向量與空間解析幾何

例設例已知由參數(shù)方程確定二階可導函數(shù)（1）求證點x=0是y=f(x)的極大值點；（2)求曲線y=f(x)在點（0，0）處的曲率。一、內(nèi)容小結(jié)

二、實例分析空間解析幾何設1.向量運算一、內(nèi)容小結(jié)

向量模單位向量向量的方向余弦運算性質(zhì)：加減:數(shù)乘:點積:(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律叉積:向量方向:且符合右手規(guī)則模:運算性質(zhì)(2)分配律(3)結(jié)合律平行四邊形的面積

向量關系:混合積平行六面體的體積運算性質(zhì)1）具有輪換對稱2）兩向量積互換，混合積變號定義.一條平面曲線（1）旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:2.空間曲面思考：當曲線C

繞y

軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？旋轉(zhuǎn)過程中的特征：如圖將代入將代入得方程axyoz.雙曲線繞y

軸一周

單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面..x0zy.繞x

軸一周

雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面x0zy.

雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.繞x

軸一周y.oxz.

旋轉(zhuǎn)拋物面拋物線繞z

軸一周得旋轉(zhuǎn)拋物面環(huán)面yxorR繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面環(huán)面z繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面yxo.環(huán)面z繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面環(huán)面方程.生活中見過這個曲面嗎？yxo..例

試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為兩邊平方（2）柱面引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在xoy

面上，表示圓C,沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,定義.平行定直線并沿定曲線C

移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.z

軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)C

叫做準線,l

叫做母線.xzy0母線F(

x,y)=0z

=0準線

(不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面S上每一點都滿足方程；曲面S外的每一點都不滿足方程表示母線平行于z軸的柱面點N滿足方程，故點M滿足方程

一般柱面

F(x,y)=0母線準線(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F(y,z)=0表示母線平行于x軸的柱面

一般柱面

F(y,z)=0abzxyo橢圓柱面zxy=0yo

雙曲柱面（3）二次曲面三元二次方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項系數(shù)不全為0)截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo橢球面yzoxa.

單葉雙曲面.xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面橢圓拋物面xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面橢圓拋物面.用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0截痕法

（馬鞍面）

雙曲拋物面截痕法

雙曲拋物面

（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面截痕法.

雙曲拋物面

（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面（1）空間平面一般式點法式截距式3.空間直線與平面的方程為直線的方向向量.（2）空間直線一般式對稱式參數(shù)式為直線上一點;面與面的關系平面平面垂直:平行:夾角公式:（3）線面之間的相互關系直線線與線的關系直線垂直:平行:夾角公式:平面:垂直：平行：夾角公式：面與線間的關系直線:點的距離為到平面

：Ax+B

y+C

z+D

=0d(4)點到面的距離點到直線的距離為（5）點到直線的距離4、空間曲線在坐標面上的投影設空間曲線C的一般方程為消去

z

得投影柱面則C在xoy

面上的投影曲線C′為消去x得C在yoz

面上的投影曲線方程消去y得C在zox

面上的投影曲線方程例求曲線繞z

軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面的交線在

xoy

平面的投影曲線方程.解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為此曲線向xoy

面的投影柱面方程為此曲線在xoy

面上的投影曲線方程為,它與所給平面的例設(a×b)c=2,則[(a+b)×(b+c)](c+a)=

.及平面（A）平行于π.（B）在π上.（C）垂直于π.（D）與π斜交.例設有直線，則直線L【】例求點到平面的距離

例求過直線且垂直于平面的平面方程.例求平行于平面而與三坐標面所構(gòu)成的四面體體積為一個單位的平面。設平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解化簡得令代入體積式所求平面方程為例求過點平行于平面，且與直線相交的直線方程