高等數(shù)學(xué)第三章

高等數(shù)學(xué)

（一）廣東水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院

數(shù)學(xué)教學(xué)部張靜華第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1中值定理和函數(shù)的單調(diào)性3.2函數(shù)的極值與最值3.3曲線的凹凸性及拐點(diǎn)3.4函數(shù)圖形的描繪3.5羅必達(dá)法則第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)中值定理和函數(shù)的單調(diào)性第一節(jié)中值定理和函數(shù)的單調(diào)性一、羅爾中值定理定理1：（羅爾中值定理）如果函數(shù)

f

(x)

滿足⑴

在閉區(qū)間

[

a

,

b

]

上連續(xù)；則

在

(

a

,

b

)

內(nèi)至少存

在

一點(diǎn)ξ，⑵

在開(kāi)區(qū)間

(

a

,

b

)

內(nèi)可導(dǎo)；xoyabABC⑶使得C，在該點(diǎn)處曲線的切線平行于x軸，從而平行于弦AB

.定理的幾何意義：如果連續(xù)曲線

的弧AB

上除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線，則

弧

上至少

有

一點(diǎn)ξ例1例1：下列函數(shù)中，在閉區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是（）⑴⑵⑶⑷例2例2：不求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)，說(shuō)明方程有幾個(gè)實(shí)根，并指出實(shí)根所在的區(qū)間。解：顯然

f(x)

在區(qū)間

上滿足羅爾定理，故至少存在一點(diǎn)，使同理可知，至少存在一點(diǎn)，及，使所以，方程至少有三個(gè)實(shí)根。又因?yàn)槭侨畏匠?，至多有三個(gè)實(shí)根。故方程有且僅有三個(gè)實(shí)根。例3例3：設(shè)，試證在

內(nèi)至少存在一點(diǎn)x，滿足證明：設(shè)顯然，f(x)

在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)，且又由題設(shè)有因此，f(x)

在

上滿足羅爾中值定理的條件。由羅爾中值定理知，至少存在一點(diǎn)

，使得，即f(x)

在

上連續(xù)，在

內(nèi)可導(dǎo)，且，證例4例4（2012廣東省大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽、高職高專類(lèi)）設(shè)函數(shù)

明：至少存在一點(diǎn)

，使得證明：設(shè)依題意可知，F(xiàn)(x)

在上連續(xù)，在

內(nèi)可導(dǎo)，且有由羅爾中值定理，至少存在一點(diǎn)

，使得即，從而例5例5：設(shè)函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在任一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不為零，又試證：方程

在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。證：由于在閉區(qū)間上連續(xù)，且由零點(diǎn)定理可知，至少存在一點(diǎn)

，使即方程

在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根x0.假設(shè)還有，，不妨設(shè)，使由羅爾定理，必存在一點(diǎn)

，使與題設(shè)矛盾，故方程

有且僅有一個(gè)實(shí)根。練習(xí)設(shè)

f(x)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)可練習(xí)（2011廣東省大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽、經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)、本科）導(dǎo)；當(dāng)

時(shí)，

；且對(duì)區(qū)間

內(nèi)所有的

x

,有

，證明在

上有且僅有一點(diǎn)

，使得證明：令依題意，有根據(jù)零值定理，知：至少存在一點(diǎn)

，使得

，即假若還存在著一點(diǎn)

，

，使得

，由練習(xí)（續(xù)）由羅爾中值定理可知：在

與

之間存在一點(diǎn)

，使得即，這與已知矛盾。故原命題成立。C，在該點(diǎn)處曲線的切線平行于弦AB

.定理2：（拉格朗日中值定理）如果函數(shù)

f

(x)

滿足⑴

在閉區(qū)間

[

a

,

b

]

上連續(xù)；則在

(

a

,

b

)

內(nèi)至少存

在一點(diǎn)ξ使定理的幾何意義：⑵

在開(kāi)區(qū)間

(

a

,

b

)

內(nèi)可導(dǎo)，如果連續(xù)曲線

的弧AB

上除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線，則

弧

上至少

有

一點(diǎn)xoyabABξC二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理于是有，使得間上滿足拉格朗日定理中值的條件

.例6例6：驗(yàn)證函數(shù)

在

上滿足拉格朗日定理，并求出定理中的

ξ

.解：在

上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，

故在閉區(qū)（舍去）練習(xí)：1、1、下列函數(shù)中在給定區(qū)間上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件的是A.B.C.D.練習(xí)：2、2、下列函數(shù)中在給定區(qū)間上不滿足拉格朗日定理?xiàng)l件的是A.B.C.D.拉格朗日定理的推論推論1：函數(shù)

f

(x)

在閉區(qū)間

[

a

,

b

]

上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間

(

a

,

b

)

內(nèi)，則（

c為常數(shù)

），證：任意，由拉格朗日中值定理，有

ξ

在

x1

，x2

之間使故

，（

c為常數(shù)

），推論2：在區(qū)間

(

a

,

b

)

內(nèi)，，則（

c為常數(shù)

），不妨設(shè)利用拉格朗日中值定理的推論

1

證明等式例

3：證明證：令顯然，f

(

x

)

在上連續(xù)，且由推論

1，又當(dāng)

時(shí)，因此二、函數(shù)單調(diào)性的判別法定理2：設(shè)函數(shù)

f

(x)

在閉區(qū)間

[

a

,

b

]

上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間

(

a

,

b

)

內(nèi)可導(dǎo)且

，則函數(shù)在閉區(qū)間

[

a

,

b

]

上單調(diào)增加（減少）。證：就的情形進(jìn)行證明，可類(lèi)似證明。任意，由拉格朗日中值定理，有，使故所以函數(shù)在

[

a

,

b

]

上單調(diào)增加。⑴定理

2

中的閉區(qū)間換成

其

它區(qū)間（

包

括無(wú)

窮區(qū)間

），結(jié)論也成立。證明與定理

2

的證明類(lèi)似。必須說(shuō)明：⑵定理

2

中的條件：“

在開(kāi)區(qū)間(

a

,

b

)內(nèi)

”可以改為：“

在開(kāi)區(qū)間(

a

,

b

)內(nèi)除個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在或?qū)?shù)為零外，都有”

其它條件不變，則原來(lái)的結(jié)論仍成立。如

，說(shuō)明...有限或可列無(wú)限個(gè)點(diǎn)例7所以在其定義域上單調(diào)增加.例

7

證明函數(shù)

在其定義域上單調(diào)增加

.解

定義域注

有些

可

導(dǎo)函數(shù)雖在是單調(diào)的，

而在其各個(gè)部分區(qū)間上

就具有單調(diào)性

.xo

y由于其定義區(qū)間上可導(dǎo)，但卻不.增減區(qū)間的可能分界點(diǎn)

函數(shù)

f

(x)

單調(diào)增加與單調(diào)減

少區(qū)間的分界點(diǎn)

具有什么性質(zhì)？xo

yx

0xo

yx

0使

的點(diǎn)（

駐點(diǎn)

）可

能

是

增減區(qū)間的

分界點(diǎn)

.使

不

存在

的點(diǎn)

也

有

可能

是

增減區(qū)間的

分界點(diǎn)

.ox

y函數(shù)增減區(qū)間的求法解題步驟：⑴求出函數(shù)的定義域；⑵求出使或不存在的點(diǎn)；⑶將上述

各點(diǎn)

按

從小到大

的順序插入

到定義域中，

把定義域劃分成若干個(gè)子區(qū)間；⑷在每個(gè)子區(qū)間上確定的符號(hào)，從而判定函數(shù)在該子區(qū)間上的單調(diào)性

.為了便于查看，通常列表討論

.例8例8

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

.解

定義域令，解得↘↗↗↗↗

.

↘

；例9例9：求

的單調(diào)區(qū)間

.解：定義域↘↗↗令，得當(dāng)

時(shí)，不存在

.、是函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間；是函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間

.例10例10（高考）設(shè)函數(shù)

，，討論函數(shù)的單調(diào)性。解：函數(shù)的定義域?yàn)棰女?dāng)時(shí)，在

上單調(diào)遞增；⑵當(dāng)

或

時(shí)，令，即，得若，則例10（續(xù)）若，則↗↘↗f(x)

在

上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；在

上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)

時(shí)，f(x)

在上單調(diào)遞增；當(dāng)

時(shí)，練習(xí)練習(xí)（2011廣東高考文科19）設(shè)

，討論函數(shù)的單調(diào)性。解：函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)

時(shí)，在

上單調(diào)遞增；當(dāng)

時(shí)，令，得（負(fù)值舍去）練習(xí)（續(xù)）↗↘f(x)

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。綜上，……三、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式（例9）例

9

證明：當(dāng)

時(shí)，證：設(shè)，則

f

(x)

在上連續(xù)。在

內(nèi)，由函數(shù)單調(diào)性的判定定理知，

f

(x)

在上單調(diào)增加。所以，當(dāng)時(shí)，，即，從而例11例11證明：當(dāng)

時(shí)，證明：設(shè)因，故

為單調(diào)減函數(shù)又所以，結(jié)合的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，，即練習(xí)練習(xí)：設(shè)函數(shù)⑴求；⑵證明：當(dāng)時(shí)，

單調(diào)增加。解：⑴⑵當(dāng)時(shí)，設(shè)當(dāng)時(shí)，練習(xí)（續(xù)）⑵當(dāng)時(shí)，設(shè)在上單調(diào)遞減。又于是，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增。例

12

證明：當(dāng)

時(shí)，證：所以

在

上單調(diào)增加，當(dāng)

時(shí)，例12等價(jià)于令

從而知，

在

上單調(diào)增加。，即故當(dāng)時(shí)，，則四、確定方程的實(shí)根個(gè)數(shù)方法：函數(shù)在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上的圖象至多與

x

軸有一個(gè)交點(diǎn)，因此可由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的個(gè)數(shù)推得方程

至多有幾個(gè)實(shí)根；然后在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上用零點(diǎn)存在定理等方法檢驗(yàn)，就可確定方程有幾個(gè)實(shí)根。復(fù)習(xí)：零點(diǎn)存在定理（P

3

8）若函數(shù)

f

(

x

)

在

[

a

,b

]

上連續(xù)，且，則至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得例13：確定方程的實(shí)根個(gè)數(shù)。解：令確定函數(shù)f

(

x

)的單調(diào)區(qū)間令，得駐點(diǎn)沒(méi)有不可導(dǎo)的點(diǎn)。x所以，函數(shù)

f

(

x

)

在

、上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少。例13例13（續(xù)）取

試算，得x所以，函數(shù)

f

(

x

)

在

、上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少。由于

，因此在區(qū)間

內(nèi)方程有一個(gè)實(shí)根。而

，因此在區(qū)間

、

上方程都沒(méi)有實(shí)根。綜上所述，原方程有且僅有一個(gè)實(shí)根。例14（考研）方程

在上有例14（）個(gè)實(shí)根。（A）0（B）1（C）2（D）無(wú)窮多解：令

.因?yàn)?/p>

f(x)

在上為偶函數(shù)，所以只須討論

f(x)

在

有幾個(gè)零點(diǎn)。注意：當(dāng)

時(shí)，，所以只須討論

f(x)在有幾個(gè)零點(diǎn)。因?yàn)?/p>

f(x)

在

上連續(xù)，且所以f(x)在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。例14（續(xù)）所以f(x)在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。又因?yàn)楣?/p>

f(x)

在

上單調(diào)遞增，從而

f(x)

在只有一個(gè)零點(diǎn)，所以

f(x)

在

上只有一個(gè)零點(diǎn)。因此

f(x)

在

上恰有二個(gè)零點(diǎn)，即方程

在

上恰有二個(gè)實(shí)根。應(yīng)選（C）練習(xí)設(shè)在上可導(dǎo)，且對(duì)任意的

，，當(dāng)時(shí)，都有，則（）A.對(duì)任意

x，B.對(duì)任意

x，C.函數(shù)單調(diào)遞增D.函數(shù)

單調(diào)遞增答案：D習(xí)題1、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：⑴；⑵2、證明：當(dāng)

時(shí)，⑶習(xí)題解答：1（1）1、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：⑴解：定義域令，得駐點(diǎn)所以f

(

x

)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為1（1）（續(xù)）⑵解：定義域所以f

(

x

)的單調(diào)增區(qū)間為1（2）解：定義域

，所以

在

，

，上單調(diào)增加；在1（3）⑶因?yàn)樗?，函?shù)有駐點(diǎn)；不可導(dǎo)點(diǎn)及x0××＋＋－＋↗↗↗↘上單調(diào)遞減。2、證明：當(dāng)

時(shí)，證：設(shè)則

f

(x)

在上連續(xù)。在

內(nèi)，由函數(shù)單調(diào)性的判定定理知，

f

(x)

在上單調(diào)增加。所以，當(dāng)

時(shí)，，從而有2、第二節(jié)函數(shù)的極值與最值一、函數(shù)的極值觀察下圖：xoyabx1x2x3x4（）（）（）（）⒈函數(shù)極值的定義定義

1

：設(shè)函數(shù)f

(x)在點(diǎn)x0

的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)于該鄰域內(nèi)任意異于x0

的點(diǎn)x

，恒有⑴，則

稱

f

(x0)為函數(shù)

f

(x)的

極

大

值，并

稱

x0

為極大值點(diǎn)。⑵

，則

稱

f

(x0)為函數(shù)

f

(x)的

極

小

值，并

稱

x0

為極小值點(diǎn)。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。注意：

⑴函

數(shù)的

極值

與

最

值

是

有區(qū)別的。函

數(shù)的極大值

與極小值概念是一個(gè)局部性的概念，就是說(shuō)，如果函數(shù)在某點(diǎn)達(dá)到極大值或極小值，那只是對(duì)該點(diǎn)附近某個(gè)局部范圍（該點(diǎn)的某個(gè)鄰域）而言的，在該鄰域中，它是

f

(x)

的最大值或最小值，但對(duì)函數(shù)的整個(gè)定義域來(lái)說(shuō)，它未必是最大值或最小值；而函數(shù)的最大值和最小值概念是整體性的概念，是在整個(gè)定義域上的最大值和最小值。⑵函

數(shù)

在

定義

域

內(nèi)可能

有多個(gè)

極大值、極小值，且

其中的極大值不一定大于每個(gè)極小值，極小值也不一定小于每個(gè)極大值⑶函數(shù)定義區(qū)間的端點(diǎn)一定不是極值點(diǎn)；而函數(shù)的最大值、最小值可能出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得。注意若點(diǎn)

x

0

是函數(shù)

的極值點(diǎn)，則

x

0

是

f

(

x

)

的駐點(diǎn)或⒉函數(shù)的極值的判定和求法定理

1

：（函數(shù)取得極值的必要條件）注意：定理

1

的逆命題是不成立的。導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。通常把函數(shù)在定義域內(nèi)的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)稱為函數(shù)的可能極值點(diǎn)。例如，函數(shù)

的駐點(diǎn)

不是它的極值點(diǎn)。xoy函數(shù)

在

處不可導(dǎo)，但

不是極值點(diǎn)。xoy插圖定理2（第一充分條件）定理

2（第一充分條件）設(shè)函數(shù)

f

(

x

)

在點(diǎn)

x

0

處連續(xù)且在

x

0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則在去心鄰域內(nèi)⑴若

時(shí)，有

，而當(dāng)

時(shí)，有那么

x0

為

f

(x)

的極大值點(diǎn)；⑵若

時(shí)，有

，而當(dāng)

時(shí)，有那么

x0

為

f

(x)

的極小值點(diǎn)；⑶若

在

x0

的左右同號(hào)，那么

x0

不是

f

(

x

)

的極值點(diǎn)。xoyx0xoyx0求函數(shù)

f

(

x

)

的極值可按如下步驟進(jìn)行：⑴求出函數(shù)的定義域；⑵求出使

或

不存在的點(diǎn)；⑶將上述

各可能

極

值點(diǎn)

按

從

小到

大的順

序

插入到

定義域中，把定義域劃分成若干個(gè)子區(qū)間；⑷列表考察在每一個(gè)可能極值點(diǎn)左右兩側(cè)

的符號(hào)，根據(jù)定理2確定極值點(diǎn)；⑸求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，從而得到函數(shù)

f

(

x

)

的全部極值。求函數(shù)的極值的步驟例1例

1

：求函數(shù)

的極值。解：定義域令，解得↘↗↗↗極小值為極小值點(diǎn)，極小值例2例

2

：求

的極值

.解：定義域↘↗↗令，得當(dāng)

時(shí)，不存在。極大值極小值為極大值點(diǎn)，極大值為極小值點(diǎn)，極小值設(shè)

x

0

是函數(shù)

f

(

x

)

的駐點(diǎn)，且，

若，則

x

0

是函數(shù)

f

(

x

)

的極大（小）值點(diǎn)。注意：⑴在應(yīng)用定理時(shí)，要注意檢驗(yàn)

x

0

是函數(shù)

f

(

x

)

的駐點(diǎn)；⑵當(dāng)時(shí)，

x

0

可能是函數(shù)

f

(

x

)的極大值點(diǎn)，也可能是極小值點(diǎn)或不是極值點(diǎn)，此時(shí)必須用第一充分條件判斷；⑶當(dāng)二

階導(dǎo)數(shù)比

較

難

求，或

可能

極值點(diǎn)

不

全

是駐點(diǎn)時(shí)，亦應(yīng)考慮用第一充分條件判斷。定理

3

：（第二充分條件）例

3

：求

的極值

。解：定義域令，得駐點(diǎn)又所以，是極大值點(diǎn)，極大值是極小值點(diǎn)，極小值例3例4：試問(wèn)

a

為何值時(shí)，函數(shù)

在處取得極值

？

它是極大值還是極小值

？

并求此極值。解：由題設(shè)又，，故由于，所以，函數(shù)

f

(

x

)

在處取得極大值，極大值為例4例5（研）設(shè)函數(shù)

在

處有極值，其

例5圖形在處的切線與直線平行，則極大值與極小值之差為（）（A）1（B）2（C）3（D）4解：依題意，有解得故，令，得駐點(diǎn)例5（續(xù)），令，得駐點(diǎn)極大值，極小值于是，極大值與極小值之差為

4，故選（D）設(shè)

f(x)

對(duì)于

滿足方程例

6（2011廣東省大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽、經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)、本科）例6若

f(x)

在取得極值，則它是

.（填極大值或極小值）解：二階可導(dǎo)，且在處取得極值，，且連續(xù)。例6（續(xù)）因此為極小值。例

7

（研）

設(shè)

，試確定方程

實(shí)根的個(gè)數(shù)及每個(gè)例7根所在的區(qū)間。分析解決這類(lèi)型題的思路是：分離常數(shù)，然后分析所給函數(shù)在

指定區(qū)間上

的

單調(diào)性

和

極值

以及它

在

指定

區(qū)間

上

對(duì)應(yīng)

的

值域

，從而

確定

該

函數(shù)

在

指定

區(qū)間

內(nèi)零點(diǎn)

的

個(gè)數(shù)

，畫(huà)

出函數(shù)

的圖形對(duì)分析問(wèn)題很有幫助。解：方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)

與

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。例7（續(xù)1）考察函數(shù)

的單調(diào)性、極值和值域。定義域，令，得x↗↘極大值又例7（續(xù)2）x↗↘極大值又所以，當(dāng)

時(shí)，方程恰有二根，且；當(dāng)時(shí)，方程恰有一根；當(dāng)

時(shí)，方程無(wú)根。練習(xí)（研）

設(shè)

，試確定方程

實(shí)根的個(gè)數(shù)及每個(gè)練習(xí)根所在的區(qū)間。解：方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)?？疾旌瘮?shù)的單調(diào)性、極值和值域。定義域，令，得練習(xí)（續(xù)1）x↗↘極小值↗又練習(xí)（續(xù)2）所以，當(dāng)

時(shí)，方程恰有一負(fù)根；當(dāng)當(dāng)時(shí)，方程

恰有二根，且；當(dāng)時(shí)，方程

恰有三根，且二、函數(shù)的最值及應(yīng)用隨著函數(shù)定義域的不同，函數(shù)最值的情況有很大的差別。下面就幾種主要的、也是常用的簡(jiǎn)單情形討論如下。⒈函數(shù)

f

(

x

)

在閉區(qū)間

[

a

,

b

]

上

連

續(xù)

且

至多存

在

有限個(gè)

可能極值點(diǎn)；⑴求出函數(shù)f

(

x

)在(

a

,b

)內(nèi)的所有可能極值點(diǎn)；⑵求出函數(shù)f

(

x

)在

區(qū)間兩

端點(diǎn)的函數(shù)值f

(

a

)和f

(

b

)

，以及⑶

比較

這些函數(shù)值的大小，最大

者為函數(shù)

f

(

x

)在[

a

,b

]上在所有可能極值點(diǎn)處的函數(shù)值；的最大值，最小者為函數(shù)

f

(

x

)在[

a

,b

]上的最小值。例5例5：求函數(shù)

在區(qū)間

上的最大值和最小值。解：令，得；y

在不可導(dǎo)。因?yàn)椋?，，所以，?⒉函數(shù)f

(

x

)在一般區(qū)間（包括無(wú)窮區(qū)間）上連續(xù)，且有唯一的可能極值點(diǎn)（設(shè)為

x

0

），若

x

0

是函數(shù)

f

(

x

)

的極大（小）值點(diǎn)，則x

0也是f

(

x

)

的最大（

小

）值點(diǎn)。例6：求函數(shù)的最值。解：定義域又因此，

是極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，最小值為⒊

如

果

函

數(shù)

在

所考慮的

區(qū)間上

是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的，則它只可能在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處達(dá)到最大值或最小值。例7：求函數(shù)

在

上的最值。解：因?yàn)樗院瘮?shù)

f

(

x

)

在

上單調(diào)遞增，無(wú)最大值，最小值為例7得

（負(fù)值舍去）例8：求函數(shù)的值域。解：定義域令

，x極大值例8x極大值例8（續(xù)）因?yàn)?/p>

，所以函數(shù)的值域?yàn)槔?（2012廣東省大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽、高職高專類(lèi)）例9（利用函數(shù)的最大值或最小值證明不等式）利用函數(shù)的最大值或最小值證明不等式當(dāng)

時(shí)，證明不等式：證明：設(shè)，顯然，f(x)

在

上連續(xù)。令，得列表如下：例9（續(xù)）x0↗↘最大值由此可知，函數(shù)

f(x)

只能在區(qū)間的端點(diǎn)取得最小值。又因?yàn)樗裕?dāng)

時(shí)，有，即的可能極值點(diǎn)x0

，則可以直接斷定x0

就是函數(shù)

f

(

x

)

的最大（?。磳?shí)際問(wèn)題如果根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的性質(zhì)，可以斷定連續(xù)的目標(biāo)函數(shù)

f

(

x

)

在定義區(qū)間內(nèi)一定取得最大（?。┲?，而在定義區(qū)間內(nèi)

f

(

x

)

有唯一值點(diǎn)。而

是定義區(qū)間內(nèi)唯一的可能極值例10例

10

：

要制作一個(gè)容積為

4

m

3

的長(zhǎng)方體形

的無(wú)蓋水箱，水箱的底部是正方形，如何設(shè)計(jì)解設(shè)水箱底面邊長(zhǎng)為

x

，高為

h，表面積為

s，又消去

h，得令，得駐點(diǎn)才能使用料最省？由問(wèn)題的實(shí)際意義，水箱用料

的最小值一定存在，點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，水箱用料最省.則例11例

11

欲

建

造

一座底面是正方形的平頂倉(cāng)庫(kù)，設(shè)倉(cāng)庫(kù)容積是1500

m

3，已知倉(cāng)庫(kù)屋頂單位面積的造價(jià)是四周墻壁造價(jià)的3倍，求倉(cāng)庫(kù)底的邊長(zhǎng)和高，使總造價(jià)最低。解：設(shè)底邊長(zhǎng)為x米，高為y米，墻壁造價(jià)為

q元/m

2，總造價(jià)為w元。則，又，消去y得，得唯一駐點(diǎn)令由于倉(cāng)庫(kù)總造價(jià)的最小值確實(shí)存在，所以當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為

10

米

，高為

15

米時(shí)，倉(cāng)庫(kù)總造價(jià)最低。練習(xí)：11、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所A.一個(gè)極小值點(diǎn)，兩個(gè)極大值點(diǎn)B.兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)C.兩個(gè)極小值點(diǎn)，兩個(gè)極大值點(diǎn)D.三個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)示，則有（）答案：Cxyox1x2x3練習(xí)：2練習(xí)：不存在，則（）A.

及

一定都是極值點(diǎn)2、設(shè)函數(shù)

在處有

，在

處答案：CB.只有

是極值點(diǎn)C.

及

都可能不是極值點(diǎn)D.

及

至少有一個(gè)點(diǎn)是極值點(diǎn)練習(xí)：3練習(xí)：處有極大值，則必有（）A.在

處有極大值B.在

處有極小值C.在

處有最小值D.在

處既無(wú)極值也無(wú)最小值3、設(shè)

在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，又可導(dǎo)函數(shù)在答案：B練習(xí)：44、判斷題：⑴二階可導(dǎo)函數(shù)f

(

x

)在

x

0

處取得極值，則；⑵可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是函數(shù)的駐點(diǎn)；⑶若函數(shù)

f

(x)

在x

0處取得極值，則曲線

在點(diǎn)處必有平行于

x

軸的切線；⑷在區(qū)間(

a

,b

)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則這個(gè)極大值點(diǎn)是

f

(

x

)在(

a

,b

)內(nèi)的最大值點(diǎn)。4、判斷題：⑴二階可導(dǎo)函數(shù)f

(

x

)在

x

0

處取得極值，則；答：錯(cuò)如，函數(shù)xoy練習(xí)4解答4（2）、（3）⑵可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是函數(shù)的駐點(diǎn)；√

⑶若函數(shù)f

(

x

)在

x

0

處取得極值，則曲線在點(diǎn)處必有平行于

x

軸的切線；xoyxoy⑷在區(qū)間(

a

,b

)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則這個(gè)極大值點(diǎn)是

f

(

x

)在(

a

,b

)內(nèi)的最大值點(diǎn)。4（4）、（5）xoyabx0習(xí)題1、求下列函數(shù)的極值點(diǎn)與極值：⑴；⑵2、設(shè)函數(shù)

在

處都取得極值，求

a，b

的值，并討論

f

(

x

)在

x

1，

x

2

處是取得極大值還是極小值。3、已知函數(shù)（m

為常數(shù)

）在區(qū)間上有最大值

3

，求此函數(shù)在上的最小值。4、求內(nèi)接于半徑為R的球的正圓錐體，當(dāng)其體積最大時(shí)的高與體積。2、求下列函數(shù)的極值點(diǎn)與極值：⑴解：定義域令，得極大值解答：1（1）⑵解：定義域y

在

R

上單調(diào)遞增，無(wú)極值。1（2）2、2、設(shè)函數(shù)在處都取得極值，求a，b的值并討論

f

(

x

)在

x

1，x

2處是取得極大值還是極小值。解：由題設(shè)，即解得，由于所以

f

(

x

)在處取得極小值，在處取得極大值。2（續(xù)）上頁(yè)：3、3、已知函數(shù)

（

m

為常數(shù)

）在區(qū)間上有最大值

3

，求此函數(shù)在上的最小值。解：令，得

，由于所以4、4、求內(nèi)接于半徑為R的球的正圓錐體當(dāng)其體積最大時(shí)的高與體積。解：設(shè)球心到圓錐底面垂線的長(zhǎng)為

x

，.x，圓錐的底半徑為，則圓錐的高為圓錐的體積為令，得唯一駐點(diǎn)由問(wèn)題的實(shí)際意義可知，圓錐體積的最大值一定存在，而是定義區(qū)間內(nèi)唯一的可能極值點(diǎn)，所以此時(shí)圓錐的高為4（續(xù)）ABCDFEP0.xoy第三節(jié)曲線的凹凸性與函數(shù)作圖間內(nèi)是凹

的

.每點(diǎn)的切線的上

方，一、曲線的凹凸性及拐點(diǎn)1、曲線凹凸的定義x0y定義

若在某區(qū)間內(nèi)，曲線該區(qū)間稱為曲線的凹（下）（凸）區(qū)間

.位于其上則稱此曲線在該區(qū)（凸）x0y....ab..ab2、曲線凹凸的判別法定理

內(nèi)二階可導(dǎo)，且恒有，則曲線上是凹2、曲線凹凸的判別法（凸）在閉區(qū)間在上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間的切線的斜率↗是單調(diào)增加的即切線的斜率

↘是單調(diào)減少的即x0yx0y....ab..ab設(shè)函數(shù)

3、拐點(diǎn)的定義3、拐點(diǎn)的定義定義

連續(xù)曲線上凹和凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)

.x0y.aAbBx0C﹏﹏﹏注意

拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，不能僅用橫坐標(biāo)表4、拐點(diǎn)的判別法曲線凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)x0使或不存在的點(diǎn)x

0若在點(diǎn)x

0的兩側(cè)的符號(hào)相反點(diǎn)是點(diǎn)是（相同）曲線凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)，（不是）拐點(diǎn)

.（不是）4、拐點(diǎn)的判別法，則那么x0示，必須用平面上點(diǎn)坐標(biāo)形式表示

.5、求曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟⑴確定函數(shù)

⑵

求二階導(dǎo)數(shù)；⑶

求出在定義域內(nèi)使和的點(diǎn)；⑷

將上述各點(diǎn)按從不到大的順序插入定義域⑸列表討論各部分區(qū)間上的符號(hào)，曲線的凹凸區(qū)間，并求出拐點(diǎn)

.的定義域；不存在確定中，把定義域劃分為若干個(gè)子區(qū)間；例1

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)

.解函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，時(shí)，不存在；例1例1（續(xù)）拐點(diǎn)拐點(diǎn)凸的凹的凸的時(shí)，時(shí)，不存在；由表格可知，區(qū)間

，

是曲

線的凸區(qū)間，區(qū)間是曲線的凹區(qū)間；

點(diǎn)，是曲線的兩個(gè)拐點(diǎn)

.

例2例

2

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)解

函數(shù)的定義域?yàn)榈昧畎嫉陌嫉牡陌紖^(qū)間，無(wú)拐點(diǎn)

.是曲線∴x0y..例3例3

設(shè)點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，求，解

因?yàn)楣拯c(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，所以⑴又函數(shù)有二階導(dǎo)數(shù)所以⑵由式⑴、⑵可解得練習(xí)及解答例

4

求函數(shù)的增減區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)

.解

函數(shù)的定義域?yàn)榱畹脴O大值極小值拐點(diǎn)得令習(xí)題(專插本)：1、2、31、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值及其圖形的凹3、已知

是曲線

的拐點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處取得極值，求

a、b、c

.2、設(shè)函數(shù)⑴判斷

f(x)

在區(qū)間上的凹凸性，并說(shuō)明理由；⑵證明：當(dāng)時(shí)，有凸區(qū)間與拐點(diǎn).習(xí)題解答：1、1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值及其圖形的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).解：定義域令，得令，得1（續(xù)）凸增極大值凸減拐點(diǎn)凹減極小值凹增拐點(diǎn)2、2、設(shè)函數(shù)⑴判斷

f(x)

在區(qū)間上的凹凸性，并說(shuō)明理由；⑵證明：當(dāng)時(shí)，有解：⑴定義域在區(qū)間上是凸的。⑵由

⑴

知，在區(qū)間上單調(diào)遞減。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，2（續(xù)）⑵由

⑴

知，在區(qū)間上單調(diào)遞減。當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)，（上頁(yè)）3、已知

是曲線

的拐點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處取得極值，求

a、b、c

.解：由題設(shè)有又3、所以解得3（續(xù)）二、函數(shù)圖形的描繪1、曲線的水平漸近線定義

若當(dāng)自變量（

或僅當(dāng)或函數(shù)f

(x)以常量

b

為極限，那么直線叫做曲線的水平漸近線

.即）時(shí)，例如因?yàn)樗郧€有水平漸近線：x

0

y和水平漸近線的例2、曲線的垂直漸近線定義

如果當(dāng)自變量（或僅當(dāng)或）時(shí)，，

那么直線叫做曲線的垂直漸近線

.2、曲線的垂直漸近線函數(shù)f

(x)為無(wú)窮大量，即例如：x0y所以曲線有垂直漸近線：由于所以曲線有水平漸近線：垂直漸近線的例，由于例

1求下列曲線的水平漸近線或垂直漸近線⑴解所以曲線有水平漸近線因?yàn)槔?⑴又所以曲線有垂直漸近線⑵解又，故有水平漸近線例1⑵曲線沒(méi)有垂直漸近線

.例2例2：曲線A.沒(méi)有漸近線B.僅有水平漸近線C.僅有鉛直漸近線D.既有水平漸近線又有鉛直漸近線解：因?yàn)椋杂兴綕u近線又，所以有鉛直漸近線故選項(xiàng)D正確。例3例3：曲線的水平漸近線是

解：因?yàn)樗杂兴綕u近線例4例4（2012廣東專插本）如果曲線的水平漸近線存在，則常數(shù)

（）A.2B.1C.0D.解：存在習(xí)題：求下列曲線的漸近線⑴習(xí)題⑵⑶⑷習(xí)題：求下列曲線的漸近線⑴解：因?yàn)樗允乔€的水平漸近線；是曲線的垂直漸近線。因?yàn)樗粤?xí)題解答（1）習(xí)題：求下列曲線的漸近線解：因?yàn)樗允乔€的水平漸近線；是曲線的垂直漸近線。因?yàn)樗粤?xí)題解答（2）⑵習(xí)題：求下列曲線的漸近線⑶解：因?yàn)樗允乔€的水平漸近線；是曲線的垂直漸近線。因?yàn)樗粤?xí)題解答（3）習(xí)題解答（4）⑷解：因?yàn)樗允乔€的水平漸近線；因?yàn)樗?/p>

是曲線的垂直漸近線。注意：定義域?yàn)棰?/p>

求函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)求出函數(shù)的可能極并確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)、函數(shù)圖象的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)；3、函數(shù)圖形的描繪利用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)圖象的步驟：⑴確定函數(shù)的定義域；⑵

討論奇偶性（對(duì)稱性）和周期性（重現(xiàn)性）；值點(diǎn)、二階導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)；⑷

將上述各點(diǎn)按從小到大的順序插入函數(shù)的定義域內(nèi)，把把定義域劃分為若干個(gè)小區(qū)間；⑸

在劃分所得的每個(gè)小區(qū)間內(nèi)確定一、二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，⑹

討論曲線有無(wú)漸近線；⑺

作曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等輔助點(diǎn)，并描點(diǎn)作圖。作圖步驟（續(xù)）例1：作函數(shù)

的圖象。解：函數(shù)的定義域?yàn)榱?/p>

，得駐點(diǎn)令

，得列表討論如下：例1函數(shù)的定義域?yàn)榱?，得駐點(diǎn)；令

，得拐點(diǎn)極小值漸近線：因?yàn)樗灾本€是水平漸近線；因?yàn)?，所以直線

是垂直漸近線。例1（續(xù)1）xoy......例1（續(xù)2）例2

作函數(shù)的圖象

.解函數(shù)的定義域?yàn)榍沂桥己瘮?shù)，因此只要在上作出該函數(shù)的圖象

，利用對(duì)稱性便可得整個(gè)圖象

.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，例2曲線極大值拐點(diǎn)又所以為函數(shù)圖象的水平漸近線；例2（續(xù)1）由..得到圖象上的點(diǎn)，結(jié)合以上表格，先描出函數(shù)在區(qū)上的圖形，再作其關(guān)于

y

軸的對(duì)稱圖形

....例2（續(xù)2）和間是偶函數(shù)，因此只要在習(xí)題：作函數(shù)的圖象。解：函數(shù)的定義域?yàn)榱?xí)題當(dāng)時(shí)，上作出該函數(shù)的圖象，利用對(duì)稱性便可得整個(gè)圖象。列表討論如下：習(xí)題（續(xù)1）x00y極大值0漸近線：因?yàn)?，所以直線是水平漸近線；因?yàn)?，所以直線

是垂直漸近線。xoy習(xí)題（續(xù)2）第五節(jié)羅必達(dá)法則定理：若

滿足⑴是“

”型或“

”型未定式；

⑵則有例1（1）、（2）例1：求下列極限⑴

解：原式⑵

解：原式~例1（3）⑶解：原式…例1（4）、（5）⑷

解：原式解：原式⑸例1（6）⑹（考研）

解：原式⑺（考研）例1（7）解：原式當(dāng)時(shí)，例1（7）（續(xù)）原式⑴

不是“”

或

“”未定式的極限決不能用羅必達(dá)法則；⑵

使用一次羅必達(dá)法則

后仍是

未定式

時(shí)，

可

連續(xù)

使

用羅

必達(dá)法則，但連續(xù)使用前應(yīng)注意化簡(jiǎn)極限式子，若式中有極限為非零常數(shù)的因式，則可先行求出；⑶

與其它求極限的方法綜合運(yùn)用，注意選擇簡(jiǎn)便的解法；⑷

羅必達(dá)法則的條件是充分而不必要的條件，若不存在時(shí)，不能斷定

不存在，這時(shí)應(yīng)用其它方法求解。注意：例2例2：求此極限是

型未定式，但若使用羅必達(dá)法則，有不存在

.事實(shí)上，例3例3：計(jì)算出現(xiàn)循環(huán)，羅必達(dá)法則失效

.解：原式若使用羅必達(dá)法則，情況會(huì)怎樣？請(qǐng)?jiān)囈幌?、等非基本情形，它們可以通過(guò)恒等變形化為基本情形

，其他類(lèi)型的未定式未定式的極限除了、外，還有、、

、請(qǐng)看下面的例子。例

4：求下列極限解：原式例4（1）⑴解：原式例4（2）⑵（考研）

且，

且

令解：原式例4（3）⑶（考研）

令例

5：求下列極限解：原式例5（1）⑴⑵（考研）例5（2）解：原式例5（2）（續(xù)1）例5（2）（續(xù)2）例5（3）⑶（考研）解：原式例5（3）（續(xù)）例

6：求解：原式因?yàn)樗岳?例

7（2012廣東省大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽、高職高專類(lèi)）例7求解：原式因?yàn)樗?，原式?例8（第二屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽、非數(shù)學(xué)類(lèi)）求解：原式因?yàn)槔?（續(xù)）所以，原式例

9：求解：原式所以，原式例9因?yàn)椋渲芯毩?xí)：求解：原式練習(xí)原式例10（1）例10（考研）求下列極限：⑴解：因?yàn)?，又因?yàn)楣试摌O限是型未定式。原式，所以，例10續(xù)（1