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山西省臨汾市襄汾縣大鄧鄉(xiāng)聯(lián)合學(xué)校2023年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)a=dx,b=dx,c=dx,則下列關(guān)系式成立的是()A.<< B.<< C.<< D.<<參考答案:C【考點(diǎn)】定積分;不等關(guān)系與不等式.【分析】利用微積分基本定理就看得出a=ln2,b=ln3,c=ln5.再利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【解答】解:∵,∴=ln2,=ln3,c==ln5.∵,,,∴,∴,∴,∴;∵,,,∴,∴,∴.∴.故選C.2.函數(shù)處的切線方程是A.
B.
C.
D.參考答案:D3.在區(qū)間[-1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k,使直線與圓相交的概率為(
)A. B. C. D.參考答案:C【分析】先求出直線和圓相交時(shí)的取值范圍,然后根據(jù)線型的幾何概型概率公式求解即可.【詳解】由題意得,圓的圓心為,半徑為,直線方程即為,所以圓心到直線的距離,又直線與圓相交,所以,解得.所以在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),使直線與圓相交的概率為.故選C.【點(diǎn)睛】本題以直線和圓的位置關(guān)系為載體考查幾何概型,解題的關(guān)鍵是由直線和圓相交求出參數(shù)的取值范圍,然后根據(jù)公式求解,考查轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4.直線(t為參數(shù))與圓(φ為參數(shù))相切,則此直線的傾斜角α(α>)等于()A. B. C. D.參考答案:A【考點(diǎn)】QH:參數(shù)方程化成普通方程.【分析】直線(t為參數(shù)),消去參數(shù)化為普通方程.圓(φ為參數(shù)),消去參數(shù)化為普通方程:(x﹣4)2+y2=4,可得圓心C(4,0),半徑r=2.利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出.【解答】解:直線(t為參數(shù)),消去參數(shù)化為普通方程:xtanα﹣y=0.圓(φ為參數(shù)),消去參數(shù)化為普通方程:(x﹣4)2+y2=4,可得圓心C(4,0),半徑r=2.∵直線(t為參數(shù))與圓(φ為參數(shù))相切,∴=2,α>,解得tanα=.∴α=.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)求值,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.5.閱讀右圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出的結(jié)果是().A.
B.
C.
D.參考答案:B6.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.(1,1) B.(0,1] C.[1,+∞) D.(∞,-1)∪(0,1]參考答案:B略7.已知是拋物線的焦點(diǎn),是該拋物線上的兩點(diǎn).若線段的中點(diǎn)到軸的距離為,則()A.2 B. C.3 D.4參考答案:C8.下列結(jié)論正確的是(A)當(dāng)
(B)(C)
(D)參考答案:B略9.從臺(tái)甲型和臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出臺(tái),其中至少有甲型與乙型電視機(jī)各臺(tái),則不同的取法共有(
)A.種
B.種
C.種
D.種參考答案:C略10.在R上定義運(yùn)算,若成立,則x的取值范圍是()A.(﹣4,1) B.(﹣1,4) C.(﹣∞,﹣4)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞)參考答案:A【考點(diǎn)】二階矩陣.【專題】計(jì)算題.【分析】根據(jù)定義運(yùn)算,把化簡(jiǎn)得x2+3x<4,求出其解集即可.【解答】解:因?yàn)?,所以,化?jiǎn)得;x2+3x<4即x2+3x﹣4<0即(x﹣1)(x+4)<0,解得:﹣4<x<1,故選A.【點(diǎn)評(píng)】考查二階矩陣,以及一元二次不等式,考查運(yùn)算的能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.(1+x2)(1﹣x)5展開式中x3的系數(shù)為.參考答案:﹣15【考點(diǎn)】DB:二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).【分析】由于展開式中含x3的項(xiàng)為(﹣C53﹣C51)x3,故x3的系數(shù)為﹣C53﹣C51,運(yùn)算求得結(jié)果.【解答】解:展開式中含x3的項(xiàng)為(﹣C53﹣C51)x3,故x3的系數(shù)為﹣C53﹣C51=﹣15,故答案為﹣15.12.設(shè)向量是空間一個(gè)基底,則中,一定可以與向量構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量
.參考答案:略13.拋物線x=y2的焦點(diǎn)到雙曲線﹣=1(a>0,b>0)的漸近線的距離為,則該雙曲線的離心率為
.參考答案:考點(diǎn):雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).專題:計(jì)算題;直線與圓;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析:求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),雙曲線的漸近線方程,由點(diǎn)到直線的距離公式,可得a,b的關(guān)系,再由離心率公式,計(jì)算即可得到.解答: 解:拋物線x=y2的焦點(diǎn)為(1,0),雙曲線﹣=1(a>b>0)的一條漸近線為bx+ay=0,則焦點(diǎn)到漸近線的距離d==,即有b=a,則c==a,即有雙曲線的離心率為.故答案為:.點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì),考查漸近線方程的運(yùn)用,考查點(diǎn)到直線的距離公式,考查離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題.14.已知直線l與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為P,設(shè)直線l的斜率為(k1≠0),直線OP的斜率為,則的值等于________.參考答案:略15.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
▲
.參考答案:16.數(shù)列中,前項(xiàng)和,,則的通項(xiàng)公式為
參考答案:略17.命題P:“內(nèi)接于圓的四邊形對(duì)角互補(bǔ)”,則P的否命題是
,非P是
。參考答案:不內(nèi)接于圓的四邊形對(duì)角不互補(bǔ).內(nèi)接于圓的四邊形對(duì)角不互補(bǔ),三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn),在培訓(xùn)期間,他們參加的5項(xiàng)預(yù)賽成績(jī)記錄如下:甲8282799587乙9575809085(1)從甲、乙兩人的成績(jī)中各隨機(jī)抽取一個(gè),求甲的成績(jī)比乙高的概率;(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?說明理由.參考答案:解:(1)記甲被抽到的成績(jī)?yōu)閤,乙被抽到的成績(jī)?yōu)閥,用數(shù)對(duì)(x,y)表示基本事件:(82,95)(82,75)(82,80)(82,90)(82,85)(82,95)(82,75)(82,80)(82,90)(82,85)(79,95)(79,75)(79,80)(79,90)(79,85)(95,95)(95,75)(95,80)(95,90)(95,85)(87,95)(87,75)(87,80)(87,90)(87,85)基本事件總數(shù)n=25.·································································································2分記“甲的成績(jī)比乙高”為事件A,事件A包含的基本事件:(82,75)(82,80)(82,75)(82,80)(79,75)(95,75)(95,80)(95,90)(95,85)(87,85)(87,75)(87,80)事件A包含的基本事件數(shù)是m=12.···········································································4分所以P(A)==.·······································································································6分
(2)派甲參賽比較合適.理由如下:甲=85,乙=85,·································································································8分=31.6,=50.·····························································································10分∵甲=乙,<,∴甲的成績(jī)較穩(wěn)定,派甲參賽比較合適.··································································12分19.如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,,是中點(diǎn)。(1)求異面直線PD與CQ所成角的大??;(2)求QC與平面PCD所成角的大小。參考答案:(1)(2)【分析】(1)推導(dǎo)出PA⊥AB,PA⊥AD.以A為原點(diǎn),AB,AD,AP分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,利用向量法能求出異面直線DP與CQ所成角的余弦值.(2)設(shè)平面法向量,與平面所成角,由得出,代入即可得解.【詳解】(1)以A為原點(diǎn),AB,AD,AP分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,,設(shè)與所成角是所以與所成角是.(2)設(shè)平面法向量,與平面所成角
令,所以與平面所成角.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值、線面角的正弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.20.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,|an+1﹣an|=pn,n∈N*.(Ⅰ)若{an}是遞增數(shù)列,且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,求p的值;(Ⅱ)若p=,且{a2n﹣1}是遞增數(shù)列,{a2n}是遞減數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.參考答案:解:(Ⅰ)∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,∴an+1﹣an>0,則|an+1﹣an|=pn化為:an+1﹣an=pn,分別令n=1,2可得,a2﹣a1=p,,即a2=1+p,,∵a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,∴4a2=a1+3a3,即4(1+p)=1+3(p2+p+1),化簡(jiǎn)得3p2﹣p=0,解得或0,當(dāng)p=0時(shí),數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列,不符合數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,∴;(2)由題意可得,|an+1﹣an|=,則|a2n﹣a2n﹣1|=,|a2n+2﹣a2n+1|=,∵數(shù)列{a2n﹣1}是遞增數(shù)列,且{a2n}是遞減數(shù)列,∴a2n+1﹣a2n﹣1>0,且a2n+2﹣a2n<0,則﹣(a2n+2﹣a2n)>0,兩不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣(a2n+2﹣a2n)>0,即a2n+1﹣a2n+2>a2n﹣1﹣a2n,又∵|a2n﹣a2n﹣1|=>|a2n+2﹣a2n+1|=,∴a2n﹣a2n﹣1>0,即,同理可得:a2n+3﹣a2n+2>a2n+1﹣a2n,即|a2n+3﹣a2n+2|<|a2n+1﹣a2n|,則a2n+1﹣a2n=當(dāng)數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí),令n=2m(m∈N*),,,,…,,這2m﹣1個(gè)等式相加可得,==,則;當(dāng)數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí),令n=2m+1(m∈N*),,,…,,這2m個(gè)等式相加可得,…﹣…+=﹣=,則,且當(dāng)m=0時(shí)a1=1符合,故,綜上得,.點(diǎn)評(píng): 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性,累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,不等式的性質(zhì)等,同時(shí)考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想,以及推理論證、分析與解決問題的能力.本題設(shè)計(jì)巧妙,題型新穎,立意深刻,是一道不可多得的好題,難度很大考點(diǎn): 數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式.
專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析: (Ⅰ)根據(jù)條件去掉式子的絕對(duì)值,分別令n=1,2代入求出a2和a3,再由等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)于p的方程求解,利用“{an}是遞增數(shù)列”對(duì)求出的p的值取舍;(Ⅱ)根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性和式子“|an+1﹣an|=pn”、不等式的可加性,求出和a2n+1﹣a2n=,再對(duì)數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)分類討論,利用累加法和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式,求出數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式,再用分段函數(shù)的形式表示出來.解答: 解:(Ⅰ)∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,∴an+1﹣an>0,則|an+1﹣an|=pn化為:an+1﹣an=pn,分別令n=1,2可得,a2﹣a1=p,,即a2=1+p,,∵a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,∴4a2=a1+3a3,即4(1+p)=1+3(p2+p+1),化簡(jiǎn)得3p2﹣p=0,解得或0,當(dāng)p=0時(shí),數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列,不符合數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,∴;(2)由題意可得,|an+1﹣an|=,則|a2n﹣a2n﹣1|=,|a2n+2﹣a2n+1|=,∵數(shù)列{a2n﹣1}是遞增數(shù)列,且{a2n}是遞減數(shù)列,∴a2n+1﹣a2n﹣1>0,且a2n+2﹣a2n<0,則﹣(a2n+2﹣a2n)>0,兩不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣(a2n+2﹣a2n)>0,即a2n+1﹣a2n+2>a2n﹣1﹣a2n,又∵|a2n﹣a2n﹣1|=>|a2n+2﹣a2n+1|=,∴a2n﹣a2n﹣1>0,即,同理可得:a2n+3﹣a2n+2>a2n+1﹣a2n,即|a2n+3﹣a2n+2|<|a2n+1﹣a2n|,則a2n+1﹣a2n=當(dāng)數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí),令n=2m(m∈N*),,,,…,,這2m﹣1個(gè)等式相加可得,==,則;當(dāng)數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí),令n=2m+1(m∈N*),,,…,,這2m個(gè)等式相加可得,…﹣…+=﹣=,則,且當(dāng)m=0時(shí)a1=1符合,故,綜上得,.點(diǎn)評(píng): 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性,累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,不等式的性質(zhì)等,同時(shí)考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想,以及推理論證、分析與解決問題的能力.本題設(shè)計(jì)巧妙,題型新穎,立意深刻,是一道不可多得的好題,難度很大21.已知a∈R,命題p:“?x∈[1,2],x2﹣a≥0”,命題q:“?x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”.(1)若命題p為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若命題“p∨q”為真命題,命題“p∧q”為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案:【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假;命題的真假判斷與應(yīng)用.【分析】(1)由于命題p:“?x∈[1,2],x2﹣a≥0”,令f(x)=x2﹣a,只要x∈[1,2]時(shí),f(x)min≥0即可;(2)由(1)可知,當(dāng)命題p為真命題時(shí),a≤1,命題q為真命題時(shí),△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,解得a的取值范圍.由于命題“p∨q”為真命題,命題“p∧q”為假命題,可知:命題p與命題q必然一真一假,解出即可.【解答】解:(1)∵命題p:“?x∈[1,2],x2﹣a≥0”,
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