河師大探究性課堂

探究性課堂教學的實踐與思考

河南師大附中張存敬

張存敬，河南師大附中教師全國優(yōu)質課一等獎首屆河南省最具成長力教師十佳教師河南省中招考試命題專家組成員全國初中數(shù)學競賽優(yōu)秀輔導員河南省班級管理專家組成員河南省骨干教師培訓講師

探究性教學的教學價值學生探究而不是老師講授；學生思考而不是機械訓練；深度思維而不是簡單重復。著眼中考，提升課堂品味；

2013年全國初中數(shù)學聯(lián)賽；

2010年的中考數(shù)學探究性教學的經(jīng)典案例

案例：它就叫π

藍天白云下，數(shù)學教師帶著一群學生走進公園，來到一棵梧桐樹前，翻開課本對他們說“書上說這種樹成熟后樹干的直徑是3厘米～90厘米，請你們拿尺子去量一量，看看這棵樹的樹干直徑是多少”．說完就把皮尺遞給學生．來到樹邊，兩個學生相對而立，拉直皮尺用目測方式估算出樹的直徑約為45厘米．教師說：“你們這樣做只是估計和猜測，還有沒有其他方法可以算得比較準確呢?”這時一名學生說：“我們可以先量圓周，然后在地上畫圓圈，再量這個圓周的直徑．”于是幾個學生都去做這件事．教師又問其他學生“還有沒有不同的方法?”自主探究一個學生看了看樹的兩側后說“直徑是樹的圓周除以2”．教師說：“好．你把你的計算結果去和在地上畫圓圈的同學比較比較看．”結果不符．教師又問“他們量出圓周長150厘米，除以2是75厘米，可是量地上圓圈的直徑是45厘米．有沒有比2更好的除數(shù)呢?”這時一個學生說：“那就除以3”．想了一想又補充說“再減5”．“很好．現(xiàn)在你們找到了一個公式，那么就去量一下那棵梧桐樹，再用這個公式計算一下吧!”教師指著一棵半徑大約只有15厘米的梧桐樹說道．幾個學生量出樹的周長，用這個公式一算，結果大失所望．教師又請他們再去量其他的樹．過了一會兒，一個學生回來說“除以3很對，但是減去5就不太對”．自主探究另一個學生說：“3好像還不夠大．”教師問：“要多大才夠?”學生們就這樣由幾棵樹的尺寸慢慢去推算，發(fā)現(xiàn)圓周扣除3倍直徑后，剩余的那一段長大約是直徑的1/8，因而認為應該是圓周除以3.125，學生就這樣在“丌”值上下不斷推算著，這時候教師才說：“我要告訴你們一個秘密，有一個魔術般的數(shù)字非常奇特，有自己的名字，它就叫丌，不論圓多大多小，你們都可以用丌值除圓周求出直徑，或根據(jù)直徑求圓周??”然后教師和學生們一路逛公園，用丌值去驗證其他的樹干的直徑和周長，直到學生確信丌是恒常的值．自主探究數(shù)學探究活動的模式一般為：自主探究案例一：負負得正證法一（乘法的意義）證法二（類比）證法三（-1×0=0）案例二：多邊形內角和的重點是什么多邊形內角和案例21.公式（結果）2.多種方法（過程）3.轉化思想（解決問題的基本思維：轉化為已知）4.五邊形轉化為四邊形和三角形5.轉化思想要強調嗎？6.歸納思維7.類比（類比什么，研究問題的方法，結果的形式）有邊長為1的等邊三角形卡片若干張，使用這些三角形卡片拼出邊長為2，3，4，…的等邊三角形（如圖19），根據(jù)圖形推測，每個等邊三角形所用三角形卡片總數(shù)與邊長的關系式是（）案例3案例的價值：這個方法很好！對兩種不同解決問題的方法和思維教學價值的理解

平方差公式的探究案例4.

方案一

方案二：小明去市場買一種水果，價格為每公斤9．8元，現(xiàn)稱出該水果為10．2公斤，小明隨即報出了要付現(xiàn)金99．96元．你知道小明為什么算得這么快嗎?說說你的理由．教學效果：導入材料呈現(xiàn)后，教師讓學生對上述問題發(fā)表看法．學生積極發(fā)言，有人說小明是神童，有人說小明用了計算器，也有人說小明看了電子天平秤，等等．

原來小明是這樣計算的：9.8×10.2=(10-0.2)×(10+0.2)=l02-0.22=99.96．請問(1)他這樣處理正確嗎?請驗證；(2)這種運算是不是巧合呢?你能再舉例說明嗎?(3)你能寫出一般結論嗎?

案例5——幾何作圖案例6——如何問，學生才愿學1.怎樣的四邊形是菱形？2.你打算選用哪一個方法3.如何證明案例6——如何問，學生才愿學1.可能是特殊的平行四邊形？（培養(yǎng)直觀思維）2.點C在什么位置，是菱形。（學生也許會說中點）3.你能把一張三角形的紙片折成一個菱形嗎？案例7——圓錐側面積探究

師：老師讓每位同學做了一個圓錐的模型，哪位同學來說一說，你是怎樣來做這個圓錐模型的．生1：我是把一張紙先卷成一個圓錐的形狀，然后按大小裁剪好，并把它粘牢，再按下底的大小粘上一個圓面．師：大家有沒有想過，圓錐的側面是什么形狀的呢?生：扇形!師：只有部分同學說是扇形，請大家用剪刀沿圓錐的一條母線將側面剪開并展平，看一看圓錐的側面是什么形狀．經(jīng)過動手實踐，學生一致認為圓錐的側面展開圖是一個扇形．師：同學們，這個扇形的半徑就是圓錐的母線．那么這個扇形的弧長應該是圓錐的什么呢?學生：底面周長．教師：如果設圓錐的母線長為z，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑和弧長分別是多少?扇形的面積又是多少呢?學生：這個扇形的半徑是z，弧長是2兀r，面積是·2兀r·兀rf．教師：這就是圓錐的側面積計算公式．

分析：學走路案例2教師：下面我們來探究圓錐側面的形狀．老師不想直接告訴大家該怎么探究，因為同學們已經(jīng)經(jīng)歷了制作圓錐模型的過程，相信你們能找到答案．在探究之前，老師提幾點建議和要求：以你制作的圓錐模型為工具，運用所學的知識去探究，要求獨立思考探究．同時應思考以下幾個問題：(1)你是用什么方法、怎樣進行探究的?(2)你認為運用什么知識可以求出圓錐的側面積?(3)在探究得到的結論中，需要已知哪幾個量才可以求出圓錐的側面積?(4)用字母表示圓錐的側面積的計算公式．經(jīng)過大約4分鐘的時間，教師看到學生都找到了方法——把圓錐的側面剪開展平成一個扇形．大多數(shù)學生已初步有了計算公式，還有一部分學生不知所措．于是進入了第二個環(huán)節(jié)．教師：下面請各小組相互討論、交流各自的想法。分析：完美風暴裴光亞《數(shù)學教師的專業(yè)發(fā)展》

案例8——平分面積已知四邊形ABCD，用一條直線把四邊形的面積平分，求出該直線.

兩種方法的教學價值

案例9——有理數(shù)的除法

1.怎么計算8÷（-4）？

2.因為（-2）×（-4）=8，所以8÷（－4）=－2.

另一方面，我們有

8×（－1/4）=－2.

于是有

8÷（－4）=8×（－1/4）.

案例10——有理數(shù)的乘法思考觀察下面的乘法算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

3×3=9,3×2=6,3×1=3,3×0=0.你認為老師接下來要寫什么，為什么？

案例11----三角形相似判定

案例12--2013年中考試題探究試題如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉.當點D恰好落在AB邊上時，填空：①線段DE與AC的位置關系是

；②設△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關系是

.（2）猜想論證當△DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請證明小明的猜想.2013年中考試題探究試題（2）猜想論證當△DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE