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山西省呂梁市方山縣第四中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.等差數(shù)列{an}中,則(
)A.8 B.6 C.4 D.3參考答案:D【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)題意,求解,進(jìn)而可求得,即可得到答案.【詳解】由題意,設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,即,又由,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,其中解答中設(shè)等差數(shù)列的公差為,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.集合,,則M∩N=(
)A. B.C.{-1,-2,1,2} D.{1,23}參考答案:D【分析】先求出N={-1,0,1,2,3},再求得解.【詳解】由題得N={x|-1≤x≤3,={-1,0,1,2,3},所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和交集運(yùn)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.3.如果等差數(shù)列中,,那么(
)
A.14
B.21
C.28
D.35參考答案:C4.方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為(
)A.6
B.5
C.4
D.3參考答案:A5.在中,角C為最大角,且,則是(
)A.直角三角形
B.銳角三角形
C.鈍角三角形
D.形狀不確定參考答案:B6.已知,且∥,則
(
)A.-3
B.
C.
0
D.參考答案:B略7.設(shè)全集U={1,2,3,4},集合S={1,2},T={2,3},則等于(
)A.{2} B.{3} C.{4} D.{2,3,4}參考答案:B【分析】根據(jù)補(bǔ)集和并集的定義可計(jì)算出集合.【詳解】由題意可得,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集和交集的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8.(4分)圓x2+y2=16上的點(diǎn)到直線x﹣y=3的距離的最大值為() A. B. C. D. 8參考答案:C考點(diǎn): 直線與圓的位置關(guān)系.專題: 計(jì)算題.分析: 求出圓心(0,0)到直線的距離,把此距離加上半徑4,即為所求.解答: 圓心(0,0)到直線的距離為
=,又圓的半徑等于4,故圓x2+y2=16上的點(diǎn)到直線x﹣y=3的距離的最大值為
4+,故選C.點(diǎn)評(píng): 本題考查直線和圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式,求出圓心(0,0)到直線的距離,是解題的關(guān)鍵.9.已知是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)=()A.
B.
C.
D.參考答案:D10.已知函數(shù)若對(duì)任意,都有=
(
)
A.—1
B.1
C.0
D.參考答案:C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù),定義:使為整數(shù)的數(shù)叫作企盼數(shù),則在區(qū)間內(nèi)這樣的企盼數(shù)共有
個(gè).參考答案:2略12.若點(diǎn)為圓的弦MN的中點(diǎn),則弦MN所在的直線的方程為___________.參考答案:;【分析】利用垂徑定理,即圓心與弦中點(diǎn)連線垂直于弦.【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心為,,∵是中點(diǎn),∴,即,∴的方程為,即.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理.圓中弦問題,常常要用垂徑定理,如弦長(zhǎng)(其中為圓心到弦所在直線的距離).13.函數(shù)的最大值等于
.參考答案:
解析:14.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為2cm,2cm,cm,它的頂點(diǎn)都在球面上,則球的體積是.參考答案:cm3【考點(diǎn)】球的體積和表面積.【專題】計(jì)算題;方程思想;綜合法;立體幾何.【分析】長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是外接球的直徑,求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng),即可求出球的半徑.【解答】解:由題意長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是球的直徑,所以長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為:=4,所以球的直徑為:4;半徑為:2,所以球的體積是=cm3.故答案為:cm3.【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題,考查長(zhǎng)方體的外接球的半徑的求法,考查計(jì)算能力,比較基礎(chǔ).15.集合,若,則的值為_______.參考答案:316.對(duì)于函數(shù)f(x)=,給出下列四個(gè)命題:①該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù);②當(dāng)且僅當(dāng)x=π+kπ(k∈Z)時(shí),該函數(shù)取得最小值﹣1;③該函數(shù)的圖象關(guān)于x=+2kπ(k∈Z)對(duì)稱;④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ<x<+2kπ(k∈Z)時(shí),0<f(x)≤.其中正確命題的序號(hào)是.(請(qǐng)將所有正確命題的序號(hào)都填上)參考答案:③④【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值;三角函數(shù)的周期性及其求法;余弦函數(shù)的單調(diào)性.【分析】由題意作出此分段函數(shù)的圖象,由圖象研究該函數(shù)的性質(zhì),依據(jù)這些性質(zhì)判斷四個(gè)命題的真假,此函數(shù)取自變量相同時(shí)函數(shù)值小的那一個(gè),由此可順利作出函數(shù)圖象.【解答】解:由題意函數(shù)f(x)=,畫出f(x)在x∈[0,2π]上的圖象.由圖象知,函數(shù)f(x)的最小正周期為2π,在x=π+2kπ(k∈Z)和x=+2kπ(k∈Z)時(shí),該函數(shù)都取得最小值﹣1,故①②錯(cuò)誤,由圖象知,函數(shù)圖象關(guān)于直線x=+2kπ(k∈Z)對(duì)稱,在2kπ<x<+2kπ(k∈Z)時(shí),0<f(x)≤,故③④正確.故答案為
③④17.對(duì)于實(shí)數(shù),符號(hào)表示不超過的最大整數(shù),例如,定義函數(shù),則下列命題中正確的是_________.(填題號(hào))①函數(shù)的最大值為1;②函數(shù)的最小值為0;③函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn);④函數(shù)是增函數(shù)參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過程或演算步驟18.已知.(1)求的值;(2)求的值.
參考答案:(1)(2)解得,從而,故所求=19.(本小題10分)已知向量
(1)求;(2)當(dāng)時(shí),求的.
參考答案:解:(1)(2)略20.(本小題滿分14分)已知為銳角且tan
函數(shù)f(x)=,數(shù)列{}的首項(xiàng)(1)求f(x)函數(shù)表達(dá)式
(2)求證:(3求證:1<…+參考答案:解:①由tan得,又為銳角
f(x)=
……3分
②=
,又不恒等于0,故
……7分③設(shè)…+g(n)-g(n-1)=>0故g(n)的最小值為g(2)==所以g(n)
……10分,顯然,故…+成立?!?4分略21.開灤二中的學(xué)生王丫丫同學(xué)在設(shè)計(jì)計(jì)算函數(shù)的值的程序時(shí),發(fā)現(xiàn)當(dāng)sinx和cosx滿足方程時(shí),無(wú)論輸入任意實(shí)數(shù)x,f(x)的值都不變,你能說(shuō)明其中的道理嗎?這個(gè)定值是多少?你還能求出k的值嗎?參考答案:略22.(14分)如圖,長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn).(1)求證:直線BD1∥平面PAC;(2)求證:平面PAC⊥平面BDD1B1;(3)求CP與平面BDD1B1所成的角大?。畢⒖即鸢福嚎键c(diǎn): 直線與平面平行的判定;平面與平面垂直的判定;直線與平面所成的角.專題: 證明題.分析: (1)設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O,由三角形的中位線的性質(zhì)可得PO∥BD1,從而證明直線BD1∥平面PAC.(2)證明AC⊥BD,DD1⊥AC,可證AC⊥面BDD1B1,進(jìn)而證得平面PAC⊥平面BDD1B1.(3)CP在平面BDD1B1內(nèi)的射影為OP,故∠CPO是CP與平面BDD1B1所成的角,在Rt△CPO中,利用邊角關(guān)系求得∠CPO的大?。獯穑?(1)證明:設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O,連PO,由P,O分別是DD1,BD的中點(diǎn),故PO∥BD1,∵PO?平面PAC,BD1?平面PAC,所以,直線BD1∥平面PAC.(2)長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,底面ABCD是正方形,則AC⊥BD,又DD1⊥面ABCD,則DD1⊥AC.∵BD?平面BDD1B1,D1D?平面BDD1B1,BD∩D1D=D,∴AC⊥面BDD1B1.∵AC?平面PAC,∴平面PAC
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