山西省呂梁市羅村中學2022年高二數學理期末試卷含解析

山西省呂梁市羅村中學2022年高二數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設等差數列的前項和為,若,則的值等于（

）A．54

B．45

C．36

D．27參考答案：A略2.如果,那么下列不等式成立的是

（）A． B． C． D．參考答案：D略3.已知函數f（x）=x﹣存在單調遞減區(qū)間，且y=f（x）的圖象在x=0處的切線l與曲線y=ex相切，符合情況的切線l（）A．有3條 B．有2條 C．有1條 D．不存在參考答案：D【分析】求出f（x）的導數，由題意可得f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，討論a＜0，a＞0可得a＞0成立，求得切線l的方程，再假設l與曲線y=ex相切，設切點為（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得x0﹣﹣1=0，設h（x）=exx﹣ex﹣1，求出導數和單調區(qū)間，可得h（x）在（0，+∞）有唯一解，由a＞0，即可判斷不存在．【解答】解：函數f（x）=x﹣的導數為f′（x）=1﹣e，依題意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，①a＜0時，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）無解，不符合題意；②a＞0時，f′（x）＞0即a＞e，lna＞，x＜alna符合題意，則a＞0．易知，曲線y=f（x）在x=0處的切線l的方程為y=（1﹣）x﹣1．假設l與曲線y=ex相切，設切點為（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得，設h（x）=exx﹣ex﹣1，則h′（x）=exx，令h′（x）＞0，則x＞0，所以h（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，當x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，則，而a＞0時，，與矛盾，所以不存在．故選：D．4.設，，，則（）．A．B．C．D．參考答案：D略5.已知α，β是相異兩平面，m，n是相異兩直線，則下列命題中不正確的是（）A．若m∥n，m⊥α，則n⊥α B．若m⊥α，m⊥β，則α∥βC．若m∥α，α∩β=n，則m∥n D．若m⊥α，m?β，則α⊥β參考答案：C【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】在A中，由直線與平面垂直的判定定理得n⊥α；在B中，由平面與平面平行的判定定理得α∥β；在C中，m與n平行或異面；在D中，由平面與平面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：∵在A中：若m∥n，m⊥α，則由直線與平面垂直的判定定理得n⊥α，故A正確；在B中：若m⊥α，m⊥β，則由平面與平面平行的判定定理得α∥β，故B正確；在C中：若m∥α，α∩β=n，則m與n平行或異面，故C錯誤；在D中：若m⊥α，m∩β，則由平面與平面垂直的判定定理得α⊥β，故D正確．故選：C．【點評】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．6.在下列命題中：①若、共線,則、所在的直線平行；②若、所在的直線是異面直線,則、一定不共面；③若、、三向量兩兩共面,則、、三向量一定也共面；④已知三向量、、,則空間任意一個向量總可以唯一表示為=x+y+z.其中真命題的個數為

(

)A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：A7.某班級有50名學生，現采取系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學生中抽出10名，將這50名學生隨機編號1～50號，并分組，第一組1～5號，第二組6～10號，，第十組46～50號，若在第三組中抽得號碼為12號的學生，則在第八組中抽得號碼為______的學生.A.36

B.37

C.41

D.42參考答案：B8.函數f(x)=log2(1?x)的圖象為參考答案：A9.，為平面向量，已知，，則，夾角的余弦值等于（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據向量數量積的坐標運算，代入即可求得夾角的余弦值?！驹斀狻扛鶕蛄繑盗糠e的運算，設，向量的夾角為則所以選A【點睛】本題考查了利用坐標求平面向量的夾角，屬于基礎題。10.將參數方程化為普通方程為（

）A

B

C

D

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在計算時，某同學學到了如下一種方法：先改寫第項：，由此得，.相加得.類比上述方法，請你計算，其結果為

▲

．參考答案：略12.如圖6：兩個等圓外切于點C，O1A，O1B切⊙O2于A、B兩點，則∠AO1B=

。參考答案：60°略13.如圖,正方體的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是___

__(寫出所有正確命題的編號).①當時,S為四邊形;②當時,S為六邊形;③當時,S與的交點R滿足;④當時,S為等腰梯形;⑤當時,S的面積為.參考答案：略14.設橢圓(a＞b＞0)恒過定點A(1，2)，則橢圓的中心到準線距離的最小值是

．參考答案：略15.已知實數x，y滿足，若z=x+y的最小值是﹣3，則z的最大值為

．參考答案：6【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數求得最小值，得到k值，再把最大值時最優(yōu)解的坐標代入目標函數得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得A（k，k），聯立，解得B（﹣2k，k），由z=x+y，得y=﹣x+z，由圖可知，當直線y=﹣x+z過B（﹣2k，k）時，直線在y軸上的截距最小為﹣k=﹣3，則k=3．當直線y=﹣x+z過A（k，k）時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為2k=6．故答案為：6．16.過點、的直線的斜率為______________．參考答案：2略17.設復數，其中為實數，若的實部為2，則的虛部為

_.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=x2+xsinx+cosx+1（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（a，f（a））處的切線是y=b，求a與b的值；（Ⅱ）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同交點，求b的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性．【專題】綜合題；轉化思想；分析法；導數的概念及應用．【分析】（Ⅰ）求出導數，求得切線的斜率和切點，解方程即可得到a=0，b=2；（Ⅱ）求得導數，求得單調區(qū)間和極值、最值，由題意可得b＞2．【解答】解：（Ⅰ）函數f（x）=x2+xsinx+cosx+1的導數為f′（x）=2x+sinx+xcosx﹣sinx=2x+xcosx，即有在點（a，f（a））處的切線斜率為2a+acosa，由切線為y=b，可得2a+acosa=0，a2+asina+cosa+1=b，解得a=0，b=2；（Ⅱ）f（x）的導數為f′（x）=2x+xcosx=x（2+cosx），當x＞0時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當x＜0時，f′（x）＜0，f（x）遞減．即有x=0處取得極小值，且為最小值2．曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同交點，可得b＞2．即為b的取值范圍是（2，+∞）．【點評】本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、極值和最值，考查函數方程的轉化思想的運用，以及運算求解能力，屬于中檔題．19.已知函數，，.（1）討論函數的單調性；（2）證明：，恒成立.參考答案：（1）當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明見解析【分析】（1）可求得，分別在、、、四種情況下討論導函數的符號，從而得到原函數的單調性；（2）將不等式轉化為：，令，，利用導數求得和，可證得，從而證得結論.【詳解】（1），①當時，時，；時，在上單調遞增，在上單調遞減②當時，和時，；時，在和上單調遞增，在上單調遞減③當時，在上恒成立在上單調遞增④當時，和時，；時，在和上單調遞增，在上單調遞減綜上所述：當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減（2）對，恒成立即為：，等價于：令，則時，；時，在上單調遞減，在上單調遞增令，則時，；時，在上單調遞增，在上單調遞減綜上可得：，即在上恒成立對，恒成立【點睛】本題考查導數在研究函數中的應用，涉及到討論含參數函數的單調性、恒成立問題的求解.解決本題中的恒成立問題的關鍵是能夠將所證不等式轉化為兩個函數之間最值的比較，通過最小值與最大值的大小關系得到結論.20.已知圓C經過點A（2，0）、B（1，﹣），且圓心C在直線y=x上．（1）求圓C的方程；（2）過點（1，）的直線l截圓所得弦長為2，求直線l的方程．參考答案：【考點】直線與圓相交的性質．【分析】（1）求出圓心坐標與半徑，即可求圓C的方程；（2）設出直線方程，利用點到直線的距離以及半徑半弦長求解即可．【解答】解：（1）AB的中點坐標（，），AB的斜率為．可得AB垂直平分線為x+6y=0，與x﹣y=0的交點為（0，0），圓心坐標（0，0），半徑為2，所以圓C的方程為x2+y2=4；（2）直線的斜率存在時，設直線l的斜率為k，又直線l過（1，），∴直線l的方程為y﹣=k（x﹣1），即y=kx+﹣k，則圓心（0，0）到直線的距離d=，又圓的半徑r=2，截得的弦長為2，則有，解得：k=﹣，則直線l的方程為y=﹣x+．當直線的斜率不存在時，直線方程為x=1，滿足題意．直線l的方程：x=1或y=﹣x+．21.已知過點A(1,1)且斜率為-m（m>0）的直線l與x軸、y軸分別交于P、Q,過P、Q作直線2x+y=0的垂線，垂足為R、S,求四邊形PRSQ面積的最小值。參考答案：22.某化工廠擬建一個下部為圓柱，上部為半球的容器（如圖，圓柱高為h，半徑為r，不計厚度，單位：米），按計劃容積為72π立方米，且h≥2r，假設其建造費用僅與表面積有關（圓柱底部不計），已知圓柱部分每平方米的費用為2千元，半球部分每平方米4千元，設該容器的建造費用為y千元．（Ⅰ）求y關于r的函數關系，并求其定義域