概率論第一章1-1

概率論與數(shù)理統(tǒng)計12.氣象、水文、地震預報、人口控制及預測都與《概率論》緊密相關；3.產(chǎn)品的抽樣驗收，新研制的藥品能否在臨床中應用，均要用到《假設檢驗》；為什么要學習概率論與數(shù)理統(tǒng)計?1.金融、信貸、醫(yī)療保險等行業(yè)策略制定；特別是經(jīng)濟學中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟的穩(wěn)定增長等問題,都大量采用《概率統(tǒng)計方法》.

27.探討太陽黑子的變化規(guī)律時,《時間可夫過程》

來描述;8.研究化學反應的時變率，要以《馬爾序列分析》方法非常有用;5.電子系統(tǒng)的設計,火箭衛(wèi)星的研制及其發(fā)射都離不開《可靠性統(tǒng)計》;4.尋求最佳生產(chǎn)方案要進行《實驗設計》和《數(shù)據(jù)處理》；6.處理通信問題,需要研究《信息論》；39.生物學中研究群體的增長問題時，提出了生滅型《隨機模型》，傳染病流行問題要用到多變量非線性《生滅過程》；水庫調(diào)度、購物排隊、紅綠燈轉換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及到的知裝卸、機器維修、病人候診、存貨控制、10.許多服務系統(tǒng)，如電話通信、船舶識就是《排隊論》.41654年,一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約定賭若干局,且誰先贏

c局便算贏家,若在一賭徒勝

a局

(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時便終止賭博,問應如何分賭本”為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個基本概念數(shù)學期望.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計的誕生和發(fā)展使概率論成為數(shù)學的一個分支的真正奠基人是瑞士數(shù)學家J.伯努利；而概率論的飛速發(fā)展則在17世紀微積分學說建立以后.5

第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要以及工業(yè)與管理的復雜化產(chǎn)生了運籌學、系統(tǒng)論、信息論、控制論與數(shù)理統(tǒng)計學等學科.

數(shù)理統(tǒng)計學是一門研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以對所考察的問題作出推斷或預測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議的數(shù)學分支學科.6

概率論與數(shù)理統(tǒng)計

課程介紹:48學時,共講8章.１~5章是概率論，６~８章是數(shù)理統(tǒng)計本課程教材選用《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》（浙江大學，盛驟，謝式千，潘承毅編，第4版）7

本書主要內(nèi)容概率論概率論的基本概念隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布隨機變量的數(shù)字特征大數(shù)定律及中心極限定理8數(shù)理統(tǒng)計樣本及抽樣分布參數(shù)估計假設檢驗9

1預習,課堂上認真聽講,以聽，思考為主,課后不要急于完成作業(yè),先自己整理,補充課堂講授中內(nèi)容,閱讀教科書,基本掌握了課堂教學內(nèi)容后,再去做作業(yè).學習方法：

2作業(yè)。要用數(shù)學語言寫出來。不能抄襲。每周交一次。每次重點檢查作業(yè)總數(shù)的二分之一，作業(yè)的收交和完成情況有一個較詳細的登記,缺交作業(yè)將直接影響學期總評成績。只有期末考試，中間會有小測驗。由作業(yè)，小測驗，期末成績確定總評成績，記入成績單（歸入檔案）?？荚嚕?0第一章

概率論的基本概念

樣本空間與隨機事件

隨機試驗

頻率與概率

等可能概型（古典概型）條件概率事件的獨立性11確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象1、確定性現(xiàn)象：在一定條件下肯定會發(fā)生的現(xiàn)象如水100oC沸騰，飛機的起落等2、偶然現(xiàn)象或隨機現(xiàn)象引言經(jīng)典的數(shù)學理論如微積分學、微分方程等都是研究確定性現(xiàn)象的有力的數(shù)學工具。在一定條件下，具有多種可能的結果，但事先又不能預知確切的結果12實例1

在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.結果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.結果有可能為:1,2,3,4,5或6.

實例2

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).132.隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結果具有偶然性,但在大量試驗或觀察中,這種結果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性

,概率論與數(shù)理統(tǒng)計就是研究隨機現(xiàn)象這種統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科.隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.問題：什么是隨機試驗?如何來研究隨機現(xiàn)象?說明1.隨機現(xiàn)象揭示了條件和結果之間的非確定性聯(lián)系

.141.可以在相同的條件下重復地進行;2.每次試驗的可能結果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結果;3.進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn).

在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗.定義§1隨機試驗15說明

1.隨機試驗簡稱為試驗,

是一個廣泛的術語.它包括各種各樣的科學實驗,也包括對客觀事物進行的“調(diào)查”、“觀察”或“測量”等.

2.隨機試驗通常用E來表示.E1:拋一枚硬幣，分別用“H(head)”和“T(tail)”表示正面朝上和反面朝上，觀察出現(xiàn)的結果，可能是“H”或“T”;E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面、反面出現(xiàn) 的情況，可能的結果是：{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}16E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。{0,1,2,3}可能的結果是：E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點數(shù)；

{1,2,3,4,5,6}E6：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命。{t|t0}E7：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。{(x,y)|T0x,yT1

}E5:記錄某段時間內(nèi)電話交換臺接到的呼喚次數(shù)，可能是0，1，2，…；17§2樣本空間與隨機事件

一

樣本空間

隨機試驗E的所有可能結果組成的集合，稱為E的樣本空間，用S表示，記為注意：

1e的完備性，互斥性特點

.S樣本點eS={e|e為E的可能結果}樣本空間的元素e，也稱為樣本點.2當目的不同時，樣本空間也會有不同。18S1:{H,T}S2:{HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}S3:{0,1,2,3}S4:{1,2,3,4,5,6}S5:{0,1,2,3……}S6:{t|t0}S7:{(x,y)|T0x,yT1}S6中{t|t1000}表示“燈泡是次品”

{t|t1000}表示“燈泡是合格品”

{t|t1500}表示“燈泡是一級品19二、隨機事件定義

隨機試驗E的樣本空間的某些子集稱為隨機事件，簡稱為事件，它常用大寫字母A，B，C表示.任意隨機事件都是樣本空間的某一個子集.在一次試驗中，事件A發(fā)生的含義是，當且僅當A中一個樣本點發(fā)生（或出現(xiàn)）。事件A發(fā)生也稱為事件A出現(xiàn)事件的發(fā)生20將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間為事件A表示“兩次出現(xiàn)的面不同”,可記作A:“兩次出現(xiàn)的面不同”或

A={兩次出現(xiàn)的面不同}

用樣本空間的子集可表達為A={(H,T),(T,H)}S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}H~headT~tail21特殊的事件：必件然事S：在每次試驗中必出現(xiàn)S中一個樣本點，即在每次試驗中S必發(fā)生，因此稱S為必然事件;

不件可事能：在每次試驗中，所出現(xiàn)的樣本點都不在中，即在每次試驗中都不發(fā)生，因此稱為不可能發(fā)生的事件?；臼录河梢粋€樣本點組成的單點集，稱為基本事件

22例

E2

中事件A1：“第一次出現(xiàn)的是正面”，即

A1={HHH,HHT,HTH,HTT}

E2

中事件A2：“三次出現(xiàn)同一面”，即

A2={HHH,TTT}

E6中事件A3：“壽命小于1000小時”，即23小結

在試驗E下事件和集合對應起來，用集合之間的關系對應表達事件之間的關系。24三：事件的關系與運算（1）若AB，則稱事件B包含事件A，事件A包含于事件B，指的是事件A發(fā)生必然導致B發(fā)生AB設試驗E

的樣本空間為S，A為S的子集

25（2）若AB，BA，即A=B，則稱事件A與事件B相等。（3）事件AB稱為事件A與事件B的并（或和）事件。——當且僅當A、B中至少有一個發(fā)生時，事件AB發(fā)生?！癆、B中至少有一個發(fā)生時”，“A發(fā)生或B發(fā)生”與“事件AB發(fā)生”是等價的。26AB類似地，稱為n個事件A1,…,An的和事件。稱為可列個事件A1,…,An,…的和事件。27（4）事件AB稱為事件A與事件B的交（或積）事件，也記作AB?！斍覂H當A、B同時發(fā)生時，事件AB發(fā)生?！笆录嗀和B同時發(fā)生”，“A和B都發(fā)生”與“事件AB發(fā)生”是等價的。28AB=AB稱為可列個事件A1,…,An,…的積事件。類似地，稱為n個事件A1,…,An的積事件。29（5）事件AB稱為事件A與事件B的差事件。——當且僅當A發(fā)生，B不發(fā)生時，事件AB發(fā)生。30類似地，若n個事件A1,…,An中兩兩互不相容，則稱這n個事件是互不相容的。若事件A1,…,An,…中任意兩個事件是互不相容的，則稱這可列無窮多個事件是互不相容的。（6）若AB=，稱為事件A與事件B互不相容，或互斥。31（7）若AB=S,

AB=，稱事件A與事件B為對立事件。——在每次試驗中，事件A、B中必有一個發(fā)生，且僅有一個發(fā)生。（8）事件稱為事件A的補事件。——當且僅當事件A不發(fā)生時，事件發(fā)生。對立事件必為互不相容事件；

互不相容事件未必為對立事件32（9）完備事件組33吸收律冪等律差化積重余律(10)運算律對應事件運算集合運算34交換律結合律分配律DeMorgan定律:35

對于一個具體事件，要學會用數(shù)學符號表示；反之，對于用數(shù)學符號表示的事件，要清楚其具體含義是什么.36例1袋中裝有2只白球和1只黑球。從袋中依次任意地摸出2只球。設球是編號的：白球為1號、2號，黑球為3號。(i,j)表示第一次摸得i號球，第二次摸得j號球的基本事件，則這一試驗的樣本空間為：S={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}

而且可得到下列隨機事件A={(3,1),(3,2)}={第一次摸得黑球}；B1={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)}={第一次摸得白球}；B2={(1,2),(2,1),(3,1)，(3,2)}={第二次摸得白球}C={(1,2),(2,1)}={兩次都摸得白球}=B1B2；D={(1,3),(2,3)}={第一次摸得白球，第二次摸得黑球}；G={(1,2),(2,1)}={沒有摸到黑球}。37例2：從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況.記A={兩件產(chǎn)品都是合格品}，

若記

Bi={取出的第

i

件是合格品}，i=1,2={兩件產(chǎn)品中至少有一個是不合格品}

A=B1B2

問如何用Bi表示A和？381.A發(fā)生,B與C不發(fā)生例3設A、B、C為三個事件，用A、B、C的運算關系表示下列各事件.或2.A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生或393.A、B、C中至少有一個發(fā)生4.A、B、C都發(fā)生或ABC恰有1個發(fā)生恰有2個發(fā)生3個都發(fā)生405.A、B、C中至少有兩個發(fā)生或

6.A、B、C都不發(fā)生恰有2個發(fā)生3個都發(fā)生或417.

A、B、C中不多于一個發(fā)生恰有2個不發(fā)生3個都不發(fā)生或至少有2個不發(fā)生42

8.A、B、C

中不多于兩個發(fā)生或或至少有1個不發(fā)生注意434445

在大量重復一隨機試驗時，會發(fā)現(xiàn)，有些事件發(fā)生的次數(shù)多一些，有些事件發(fā)生的次數(shù)少一些。也就是說，有些事件發(fā)生的可能性大一些，有些事件發(fā)生的可能性小一些將表征隨機事件發(fā)生可能性大小的數(shù)稱為事件的概率

如何度量事件發(fā)生的可能性呢？記為P(A)46§3概率的定義歷史上概率的三次定義③幾何概率②統(tǒng)計概率①古典定義概率的最初定義基于頻率的定義1930年后由前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫給出公理化定義47一等可能概率模型（古典概型）1等可能概率模型具有下列兩個特征：①樣本空間S只含有有限個元素②試驗中，每個基本事件發(fā)生是等可能的這類隨機現(xiàn)象在概率論發(fā)展初期即被注意，許多最初的概率論結果也是對它作出的，一般把這類隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型稱為古典概型。古典概型在概率論中占有相當重要的地位，它具有簡單、直觀的特點，且應用廣泛。

S={e1,e2,…en}48如何理解古典概型中的等可能假設？等可能性是古典概型的兩大假設之一，有了這兩個假設，給直接計算概率帶來了很大的方便。但在事實上，所討論問題是否符合等可能假設，一般不是通過實際驗證，而往往是根據(jù)人們長期形成的“對稱性經(jīng)驗”作出的。例如，骰子是正六面形，當質(zhì)量均勻分布時，投擲一次，每面朝上的可能性都相等；裝在袋中的小球，顏色可以不同，只要大小和形狀相同，摸出其中任一個的可能性都相等。因此，等可能假設不是人為的，而是人們根據(jù)對事物的認識一對稱性特征而確認的。4923479108615

例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球.將球編號為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.

因為抽取時這些球是完全平等的，我們沒有理由認為10個球中的某一個會比另一個更容易取得.也就是說，10個球中的任一個被取出的機會是相等的，均為1/10.1324567891010個球中的任一個被取出的機會都是1/10234791086152古典概率的定義設隨機試驗E的樣本空間S含有n個樣本點：事件A包含k個樣本點，定義S={e1,e2,…en}52533．古典概率的基本性質(zhì)

設E是古典概型，其樣本空間為

A，A1，A2，…，An是E中事件,則有

①0≤P（A）≤1②P（S）=1，P（）=0③若A1，A2，…，An是互不相容的事件，則有54二、統(tǒng)計概率古典概率要求很嚴格，特別是基本事件等可能，這一點很難做到。重復擲一顆骰子，會發(fā)現(xiàn)4，5，6出現(xiàn)的次數(shù)要多一些，這是因為重心要向1，2，3面傾斜許多情況下：需要通過大量重復試驗，來考察統(tǒng)計規(guī)律性。在n次重復試驗中，若事件A發(fā)生了m次，則f=m/n

稱為事件A發(fā)生的頻率。不可能事件的頻率一定為0。必然事件的頻率一定為1。55試驗序號12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實例

將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做

7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.波動最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性56從上述數(shù)據(jù)可得(2)拋硬幣次數(shù)n較小時,頻率f

的隨機波動幅度較大,但隨n

的增大,頻率f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當n

逐漸增大時頻率f總是在0.5附近擺動,且逐漸穩(wěn)定于0.5.(1)頻率有隨機波動性,即對于同樣的n,所得的頻率f不一定相同;57實驗者德摩根蒲豐204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.500558統(tǒng)計概率定義頻率當n較小時波動幅度比較大，當n逐漸增大時，頻率趨于穩(wěn)定值，這個穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映了事件在試驗中出現(xiàn)可能性的大?。褪鞘录母怕剩?/p>

這種穩(wěn)定性為用統(tǒng)計方法求概率的數(shù)值開拓了道路.出時，人們常取實驗次數(shù)很大時事件的頻率作為概率的估計值，在實際中，當概率不易求59頻率

穩(wěn)定值

概率

事件發(fā)生的頻繁程度事件發(fā)生的可能性的大小頻率的性質(zhì)概率的公理化定義年份新生兒總數(shù)男嬰兒數(shù)女嬰兒數(shù)男嬰頻率女嬰兒頻率197736701883 17870.5131 0.486919784250217720730.51220.487819794055213819170.52730.472719805844295528890.50560.494419816344327130730.51560.484419827231372235090.51470.48536年總計3139416146152480.51480.4852可以認為生男孩的概率近似值為0.515這種概率只能通過統(tǒng)計得出。如某婦產(chǎn)醫(yī)院幾年間出生嬰兒的性別記錄為：61醫(yī)生在檢查完病人的時候搖搖頭“你的病很重，在十個得這種病的人中只有一個能救活.”當病人被這個消息嚇得夠嗆時，醫(yī)生繼續(xù)說“但你是幸運的.因為你找到了我，我已經(jīng)看過九個病人了，他們都死于此病.”

醫(yī)生的說法對嗎？請同學們思考.62頻率的基本性質(zhì)

（1）對任意事件A，有（2）（3）若A1，A2，…，An是互不相容的，則63三、幾何概率考慮一個點等可能地隨機落在[0,1]區(qū)間。00.31若問事件C:點落在0.5處的概率。顯然P(C)=0但C不是不可能事件。問事件A：點落在0與0.3之間的概率。P(B)=0.5這種與幾何測量有關的概率稱為幾何概率。問事件B：點落在0與0.5之間的概率。64解：以X,Y分別表示甲乙二人到達的時刻，于是

即點M落在圖中的陰影部分。所有的點構成一個正方形，