概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第七章-參數(shù)估計(jì)-第二節(jié)-點(diǎn)估計(jì)

參數(shù)估計(jì)第二節(jié)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)一、引例隨機(jī)抽查100個(gè)嬰兒,得100個(gè)體重?cái)?shù)據(jù)10,7,6,6.5,5,5.2,

…呢?據(jù)此,我們應(yīng)如何估計(jì)和而全部信息就由這100個(gè)數(shù)組成.例如

已知某地區(qū)新生嬰兒的體重

,未知一、引例

為估計(jì):我們需要構(gòu)造出適當(dāng)?shù)臉颖镜暮瘮?shù)U(X1,X2,…Xn)，每當(dāng)有了樣本，就代入該函數(shù)中算出一個(gè)值，用來作為的估計(jì)值.U(X1,X2,…Xn)稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量，把樣本值代入U(xiǎn)(X1,X2,…Xn)中，估計(jì)值.得到的一個(gè)點(diǎn)一、引例由大數(shù)定律,自然想到把樣本體重的平均值作為總體平均體重的一個(gè)估計(jì).樣本體重的平均值我們知道,若,則.用樣本體重的均值估計(jì).類似地，用樣本體重的方差估計(jì).一、引例可以用樣本均值;也可以用樣本中位數(shù);還可以用別的統(tǒng)計(jì)量.使用什么樣的統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)？問題是:1.順序統(tǒng)計(jì)量估計(jì)法2.矩估計(jì)法3.極大似然估計(jì)4.最小二乘法……這里我們主要介紹前面三種方法.點(diǎn)估計(jì)常用方法：二、順序統(tǒng)計(jì)量法1、用中位數(shù)估計(jì)均值二、順序統(tǒng)計(jì)量法二、順序統(tǒng)計(jì)量法二、順序統(tǒng)計(jì)量法2、用極差估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差二、順序統(tǒng)計(jì)量法二、順序統(tǒng)計(jì)量法二、順序統(tǒng)計(jì)量法二、順序統(tǒng)計(jì)量法二、順序統(tǒng)計(jì)量法三、矩估計(jì)法矩估計(jì)法是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜最早提出來的.由辛欽大數(shù)定理,若總體的數(shù)學(xué)期望有限,則有其中為連續(xù)函數(shù).三、矩估計(jì)法

這表明,當(dāng)樣本容量很大時(shí)

,在統(tǒng)計(jì)上,可以用用樣本矩去估計(jì)總體矩.這一事實(shí)導(dǎo)出矩估計(jì)法.定義用樣本原點(diǎn)矩估計(jì)相應(yīng)的總體原點(diǎn)矩,又用樣本原點(diǎn)矩的連續(xù)函數(shù)估計(jì)相應(yīng)的總體原點(diǎn)矩的連續(xù)函數(shù),這種參數(shù)點(diǎn)估計(jì)法稱為矩估計(jì)法

.

理論依據(jù):

大數(shù)定律矩估計(jì)法的具體做法如下：那么它的前k階矩,一般都是這k個(gè)參數(shù)設(shè)總體的分布函數(shù)中含有k個(gè)未知參數(shù),那么用諸的估計(jì)量Ai分別代替上式中的諸,即可得諸的矩估計(jì)量：三、矩估計(jì)法i=1,2,…,k從這k個(gè)方程中解出j=1,2,…,kj=1,2,…,k矩估計(jì)量的觀察值稱為矩估計(jì)值.的函數(shù),記為：三、矩估計(jì)法三、矩估計(jì)法三、矩估計(jì)法三、矩估計(jì)法三、矩估計(jì)法三、矩估計(jì)法三、矩估計(jì)法三、矩估計(jì)法

矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡單易行,并不需要事先知道總體是什么分布.

缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒有充分利用分布提供的信息.一般場合下,矩估計(jì)量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程時(shí)，選取那些總體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶有一定的隨意性.

練習(xí)1

設(shè)總體X在[a,b]上服從均勻分布,a,b未知.是來自X

的樣本,試求a,b

的矩估計(jì)量.解

三、矩估計(jì)法即解得于是a,b的矩估計(jì)量為樣本矩總體矩三、矩估計(jì)法解

練習(xí)2

設(shè)總體X的均值和方差都存在,未知.是來自X

的樣本,試求的矩估計(jì)量.三、矩估計(jì)法解得于是的矩估計(jì)量為樣本矩總體矩三、矩估計(jì)法解:

由矩法,樣本矩總體矩從中解得的矩估計(jì).即為數(shù)學(xué)期望是一階原點(diǎn)矩

練習(xí)3

設(shè)總體X的概率密度為是未知參數(shù),其中X1,X2,…,Xn是取自X的樣本,求參的矩估計(jì).三、矩估計(jì)法四、極大似然估計(jì)它是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計(jì)方法.它首先是由德國數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的.GaussFisher然而,這個(gè)方法常歸功于英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇.費(fèi)歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì).四、極大似然估計(jì)極大似然估計(jì)法的思想

極大似然估計(jì)法，是建立在最大似然原理的基礎(chǔ)上的求點(diǎn)估計(jì)量的方法。最大似然原理的直觀想法是：在試驗(yàn)中概率最大的事件最有可能出現(xiàn)。因此，一個(gè)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果A,B,C,…,若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果A出現(xiàn)，則一般認(rèn)為A出現(xiàn)的概率最大。四、極大似然估計(jì)極大似然估計(jì)定義：當(dāng)給定樣本X1,X2,…Xn時(shí)，定義似然函數(shù)為：設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個(gè)樣本，樣本的聯(lián)合密度(連續(xù)型）或聯(lián)合分布律(離散型)為

f(x1,x2,…,xn;)這里x1,x2,…,xn

是樣本的觀察值.四、極大似然估計(jì)似然函數(shù)：f(x1,x2,…,xn;)極大似然估計(jì)法就是用使達(dá)到最大值的去估計(jì).即稱為的極大似然估計(jì)值.而相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為的極大似然估計(jì)量.看作參數(shù)的函數(shù)，它可作為將以多大可能產(chǎn)生樣本值x1,x2,…,xn

的一種度量.四、極大似然估計(jì)求最大似然估計(jì)量的一般步驟為：

（1）求似然函數(shù)（2）一般地，求出及似然方程

（3）解似然方程得到最大似然估計(jì)值

（4）最后得到最大似然估計(jì)量

四、極大似然估計(jì)四、極大似然估計(jì)四、極大似然估計(jì)四、極大似然估計(jì)解似然函數(shù)練習(xí)四、極大似然估計(jì)四、極大似然估計(jì)四、極大似然估計(jì)四、極大似然估計(jì)四、極大似然估計(jì)解似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為練習(xí)

設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個(gè)樣本求的最大似然估計(jì)值.其中

>0,四、極大似然估計(jì)求導(dǎo)并令其為0=0從中解得即為的最大似然估計(jì)值

.對數(shù)似然函數(shù)為四、極大似然估計(jì)四、極大似然估計(jì)四、極大似然估計(jì)四、極大似然估計(jì)四、極大似然估計(jì)五、評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)這就需要討論以下問題:問題的提出從前面可以看到,對于同一個(gè)參數(shù),用不同的估計(jì)方法求出的估計(jì)量可能不相同,而且,很明顯,原則上任何統(tǒng)計(jì)量都可以作為未知參數(shù)的估計(jì)量.(1)對于同一個(gè)參數(shù)究竟采用哪一個(gè)估計(jì)量好?(2)評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)是什么?五、評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是：1．無偏性2．有效性3．一致性這里我們重點(diǎn)介紹前面兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn).五、評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)1、無偏性五、評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)五、評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)證推廣五、評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)特別的:不論總體X服從什么分布,只要它的數(shù)學(xué)期望存在,五、評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)五、評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)五、評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)五、評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)五、評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)五、評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)所