高中數(shù)學(xué)人教A版第二章統(tǒng)計用樣本估計總體 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（1）一、教學(xué)目標(biāo)重點:對樣本數(shù)據(jù)提取的基本數(shù)字特征(如平均數(shù)等)做出合理解釋;用樣本估計總體的思想,用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征;樣本數(shù)字特征的隨機性體驗.難點：統(tǒng)計思想的建立;體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異.知識點：利用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征.能力點：通過對幾種數(shù)字特征優(yōu)缺點的比較,有利于學(xué)生在解決實際問題時選擇適當(dāng)?shù)姆椒▽傮w數(shù)字特征進行估計.自主探究點：理論聯(lián)系實際,注重所選數(shù)字特征的實要性.考試點：會從頻率分布直方圖中找出樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).易錯易混點：對數(shù)字特征的特點理解有偏差,導(dǎo)致結(jié)論下錯.拓展點：會用隨機抽樣的基本思想和樣本估計整體的思想,解決一些簡單的實際問題.引入新課在上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了用圖、表來組織樣本數(shù)據(jù),并學(xué)習(xí)了如何通過圖、表所提供的信息,用樣本的頻率分布估計總體的分布.為了從整體上更好的把握總體的規(guī)律,我們還需要通過樣本的數(shù)據(jù)對總體的數(shù)字特征進行研究.思考:(1)怎樣將樣本數(shù)據(jù)匯總為一個數(shù)值,并使它成為樣本數(shù)據(jù)的“中心點”?(2)能否用一個數(shù)值來描寫樣本數(shù)據(jù)的離散程度?【設(shè)計意圖】帶著探究去思考問題使本節(jié)課的目標(biāo)更明確.初中我們曾經(jīng)學(xué)過一些特殊的數(shù)：眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù),一組數(shù)據(jù)中可以有多個眾數(shù).中位數(shù):一組數(shù)據(jù)有奇數(shù)個數(shù)時,中位數(shù)就是中間的那個數(shù),有偶數(shù)個數(shù)時,中位數(shù)是中間兩個數(shù)的平均數(shù).平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù)即算術(shù)平均數(shù).我們曾經(jīng)學(xué)過眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù)等各種數(shù)字特征,應(yīng)當(dāng)說,這些數(shù)字都能夠為我們提供關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的特征信息.那么我們?nèi)绾螐念l率分布直方圖中得到樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)呢?【設(shè)計意圖】針對前面的“點題”,教師再通過設(shè)疑，激發(fā)學(xué)生的求知欲望和學(xué)習(xí)興趣,順勢引出樣本眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),進一步明確本節(jié)課的教學(xué)重點.三、探究新知：看圖,大家回顧一下在上一節(jié)調(diào)查100位居民的月均用水量的問題:月均用水量/t月均用水量/t1234

頻率/組距圖00探究1:在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,你認(rèn)為眾數(shù)應(yīng)在哪個小矩形內(nèi)?由此估計總體的眾數(shù)是什么?通過眾數(shù)的定義，在樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，因此眾數(shù)應(yīng)在頻率分布直方圖中的面積最大的小直方圖中（如圖）,由此可得月均用水量的眾數(shù)的估計值是（最高的矩形的中點）它告訴我們,該市的月均用水量為的居民數(shù)比月均用水量為其他值的居民數(shù)多,但它并沒有告訴我們到底多多少.【設(shè)計意圖】教給學(xué)生如何從樣本數(shù)據(jù)和頻率分布直方圖中獲取眾數(shù),以便處理一些簡單的實際問題.思考1:請大家翻回到課本第66頁看看原來抽樣的數(shù)據(jù),有沒有這個數(shù)值呢?根據(jù)眾數(shù)的定義,怎么會是眾數(shù)呢?因為樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了,而是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來的,所以存在一些偏差.【設(shè)計意圖】設(shè)計此思考的目的是讓學(xué)生知道數(shù)字特征可以通過樣本數(shù)據(jù)和頻率分布直方圖兩種方式來估計,而且兩種途徑估計的數(shù)字特征可能不同.探究2:那么如何從頻率分布直方圖中估計中位數(shù)呢?中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中,有50%的個體小于或等于中位數(shù),也有50%的個體大于或等于中位數(shù).因此,在頻率分布直方圖中,矩形的面積大小正好表示頻率的大小,即中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,從左至右各個小矩形的面積分別是,,,,,,,,.由設(shè)小矩形的寬為,則＝,得＝,所以中位數(shù)是2+＝.由此可以估計出中位數(shù)的值為.（如圖）思考2:這個中位數(shù)的估計值,與樣本的中位數(shù)值不一樣,你能解釋其中的原因嗎?樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了.探究3：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,在下面的頻率分布直方圖中,各個小矩形的重心在哪里?從直方圖估計總體在各組數(shù)據(jù)內(nèi)的平均數(shù)分別為多少?分析:根據(jù)在頻率分布直方圖中獲取眾數(shù)與中位數(shù)的方法類比尋求解題思路.平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的估計平均數(shù)就是將頻率分布直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之積相加.由此估計總體的平均數(shù)就是:×＋×＋×＋×＋×＋×＋×＋×＋×=（t）.圖顯示,大部分居民的月均用水量在中部（左右）,但是也有少數(shù)居民的月均用水量特別高,顯然,對這部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考4:這個平均數(shù)的估計值,與樣本的平均數(shù)值不一樣,你能解釋其中的原因嗎?原因同上,樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了.探究4：樣本中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響,它一定是個優(yōu)點嗎?一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一般不受少數(shù)幾個極端值的影響,在某些情況下是一個優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點.我們一起看一下下面這個例子:一個企業(yè)中,絕大多數(shù)是一線工人,他們的年收入可能是一萬元左右,另有一些經(jīng)理層次的人,年收入可以達到幾十萬.這時,年收入的平均數(shù)會比中位數(shù)大的多.盡管這時中位數(shù)比平均數(shù)更合理些,但是這個企業(yè)的老板到人才市場去招聘工人時,也許更可能用平均數(shù)來回答有關(guān)工資待遇方面的提問.你認(rèn)為“我們單位的收入水平比別的單位高”這句話應(yīng)當(dāng)怎樣理解?分析:“我們單位的收入水平比別的單位高”這句話顯然說的是單位人員的平均工資,由于經(jīng)理層次的人對平均數(shù)影響較大,所以單位人員工資的平均數(shù)遠遠要比中位數(shù)要大.所以在招聘會上如果打著平均工資的旗號去招聘工人顯然是對工人的一種“欺騙”.【設(shè)計意圖】設(shè)計此探究目的是通過此實際問題進一步加深學(xué)生對平均數(shù)與中位數(shù)的理解.謹(jǐn)防利用人們對統(tǒng)計術(shù)語的模糊認(rèn)識進行誤導(dǎo)、蒙騙,使學(xué)生能夠正確理解在日常生活中像“我們單位的收入水平比別的單位高”這類話的模糊性,培養(yǎng)學(xué)生拿起數(shù)學(xué)武器去思考問題的能力.理解新知：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是描述數(shù)據(jù)的“集中趨勢”的“特征數(shù)”,但對于同一組考察對象來說,平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)一般不一樣.他們各自的特點如下:1.眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù),（一組數(shù)據(jù)中可以有多個眾數(shù)）頻率分布直方圖中最高的矩形的中點,它體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的“最大集中點”,因此用眾數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表,可靠性就差了,但眾數(shù)有一個好處,就是不受極端數(shù)據(jù)的影響,并且求法簡便.所以,當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)變動較大時,適宜選擇中位數(shù)來表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢”.2．中位數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表,可靠性也比較差,但中位數(shù)也不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)（即排序靠前或排序靠后的數(shù)據(jù)）的影響,這在某些情況下是優(yōu)點,但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點.3．由于平均數(shù)與每一個樣本的數(shù)據(jù)有關(guān),所以任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變,這是眾

數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì).與眾數(shù)、中位數(shù)比較起,平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計時可靠性降低.特殊說明:如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù),說明樣本中存在許多較大的極端值;反之,說明樣本中存在許多較小的極端值.在實際問題中,如果同時知道樣本平均數(shù)和樣本中位數(shù),可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中的極端信息,幫助我們作出決策.【設(shè)計意圖】通過此設(shè)計可以進一步加深學(xué)生對樣本數(shù)字特征的理解,根據(jù)實際情況來選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)來表示樣本的特征.五、運用新知例1:某公司人員及工資構(gòu)成如下:人員經(jīng)理管理人員高級技工工人學(xué)徒合計周工資(元)22002502202001002970人數(shù)16510123合計22001500110020001006900指出這個問題中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).在這個問題中,平均數(shù)能客觀的反應(yīng)該公司的平均水平嗎?為什么?分析:由平均數(shù)的定義可計算出平均數(shù);通過各段的人數(shù)可得出眾數(shù);把已知數(shù)據(jù)按由小到大排列后可得中位數(shù):由表格知:眾數(shù)為200元;因為23個數(shù)據(jù)從小到大排列,排在中間的應(yīng)是第12個數(shù),其值為220.所以中位數(shù)是220;又由平均數(shù)的計算公式(2200+1500+1100+2000+100)÷23=6900÷23=300(元),所以員工工資的平均數(shù)為300元.(2)雖然平均數(shù)為300元/周,但由表格中所列的數(shù)據(jù)可見,只有經(jīng)理在平均數(shù)以上,其余人在平均數(shù)以下,故用平均數(shù)不能客觀的反應(yīng)該該公司員工的工資水平.【設(shè)計意圖】通過此例題可以進一步深刻理解和把握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)在反映樣本數(shù)據(jù)的特點,并結(jié)合實際情況,靈活選擇.變式訓(xùn)練1:高一(1)班有男生27名,女生21名,在一次語文測驗中,男同學(xué)的平均分是82分,中位數(shù)是75分,女同學(xué)的平均分是80分,中位數(shù)是80分.求這次測試全班平均分(精確到;估計全班成績在80分以下(含80分)的同學(xué)至少有多少人?分析男同學(xué)的平均分與中位數(shù)相差較大的主要原因.解:(1)利用平均數(shù)計算公式可得:(分).(2)因為男同學(xué)的中位數(shù)是75,所以男同學(xué)至少由14人得分不超過75分;又由女同學(xué)的中位數(shù)是80,所以女同學(xué)至少有11人得分不超過80分.因而,全班至少有25人得分低于80分(含80分).(3)男同學(xué)的平均分與中位數(shù)的差別較大,說明男同學(xué)中兩極分化嚴(yán)重,得分高的和得分低的相差較大.【設(shè)計意圖】通過此變式訓(xùn)練進一步明確平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)在實際生活中的含義.例2:某中學(xué)舉行電腦知識競賽,現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績進行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是、、、、.頻率/組距05060708090100頻率/組距05060708090100分?jǐn)?shù)（分）求：(1)高一參賽學(xué)生的成績的眾數(shù)、中位數(shù).(2)高一參賽學(xué)生的平均成績.分析:根據(jù)數(shù)字特征在直方圖中的求法求解.教師板書求解過程:(1)由圖可知眾數(shù)為65,又∵第一個小矩形的面積為,∴設(shè)中位數(shù)為60＋,則＋×＝,得＝5,∴中位數(shù)為60＋5＝65.(2)依題意,平均成績?yōu)?5×＋65×＋75×＋85×＋95×＝67,∴平均成績約為67.【設(shè)計意圖】通過此例題進一步理解在頻率分布直方圖怎樣求解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);并把方法進一步明確.方法小結(jié):利用頻率分布直方圖估計數(shù)字特征:(1)眾數(shù)是最高矩形的底邊的中點;(2)中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等;(3)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo).變式訓(xùn)練2:從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,由成績得到如下的頻率分布直方圖.成績(分)成績(分)0405060708090100頻率/組距由于一些數(shù)據(jù)丟失,試?yán)妙l率分布直方圖求:(1)這50名學(xué)生成績的眾數(shù)與中位數(shù);(2)這50名學(xué)生的平均成績.解：(1)由眾數(shù)的概念可知,眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).在直方圖中最高的矩形底邊中點的橫坐標(biāo)即為所求,所以眾數(shù)應(yīng)為75.將頻率分布直方圖中所有小矩形的面積一分為二的直線所對應(yīng)的成績即為所求.∵×10＋×10＋×10＝＋＋＝,∴前三個小矩形面積的和為,而第四個小矩形面積為×10＝,＋＞,∴中位數(shù)應(yīng)位于第四個小矩形內(nèi).設(shè)其底邊為,高為,∴令＝得≈,故中位數(shù)應(yīng)為70＋＝.(2)樣本平均值應(yīng)是頻率分布直方圖的“重心”,取每個小矩形底邊的中點的橫坐標(biāo)乘以每個小矩形的面積求和即可.∴平均成績?yōu)?5××10)＋55××10)＋65××10)＋75××10)＋85××10)＋95××10)≈74,綜上,(1)眾數(shù)是75,中位數(shù)約為;(2)平均成績均為74.【設(shè)計意圖】通過變式訓(xùn)練2可以讓學(xué)生進一步熟練在頻率分布直方圖求解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的方法.六、課堂小結(jié)1．知識：如何借助于頻率分布直方圖來求解樣本的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù),并且明確這三者在實際問題中的含義及三者的區(qū)別與聯(lián)系,進一步體會通過頻率分布直方圖來求解的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)與實際有偏差的原因.2．思想：本節(jié)課始終注重理論知識與實際生活的聯(lián)系,從而充分體現(xiàn)實際生活中所蘊含的一些數(shù)學(xué)知識,及統(tǒng)計知識在實際生活中的應(yīng)用,有利于學(xué)生學(xué)以致用.【師生活動】在總結(jié)中引導(dǎo)學(xué)生進行討論，相互補充后進行回答，老師最后總結(jié)、板書.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生自己小結(jié)，不僅能總結(jié)知識更重要地是總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法.這是一個重組知識的過程，是一個多維整合的過程,這樣可幫助學(xué)生自行構(gòu)建知識體系，理清知識脈絡(luò)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.七、布置作業(yè)必做題：1.某學(xué)校高一(1)班有49名學(xué)生,在一次數(shù)學(xué)測驗中成績統(tǒng)計如下:平均分眾數(shù)中位數(shù)797087該班級的李暢同學(xué)回家對媽媽說:“昨天的數(shù)學(xué)測試,我們班的平均分是79分,得70分的人最多,我得了85分,在全班算是上游了!”請你結(jié)合本節(jié)課所學(xué)知識對上面一段話給予簡要的分析.2.在生產(chǎn)過程中,測得纖維產(chǎn)品的纖維(表示纖維粗細的一種量)共有100組數(shù)據(jù),將數(shù)據(jù)分組如下表:分組頻數(shù)頻率[,4[,25[,30[,29[,10[,2合計100(1)補全頻率分布直方表,并畫出頻率分布直方圖;(2)估計纖度落在[,中的頻率計纖度小于的頻率是多少?(3)從頻率分布直方圖估計出纖度的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).選做題：1.根據(jù)條件求值:(1)已知某班4個小組的人數(shù)分別為10,10,,8,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等,求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(2)在一次測驗中某題的得分如下:得分(分)01234頻率(%)求這一題得分的眾數(shù).2.在一次人才招聘會上，有一家公司的招聘員告訴你，“我們公司的收入水平很高”“去年,在50名員工中,最高收入達到100萬,他們的平均收入是萬”.如果你希望獲得年薪萬元.你能否判斷自