高中數(shù)學(xué)人教B版3第三章統(tǒng)計案例 學(xué)業(yè)分層測評19

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、選擇題1.在畫兩個變量的散點圖時，下面敘述正確的是()A.預(yù)報變量在x軸上，解釋變量在y軸上B.解釋變量在x軸上，預(yù)報變量在y軸上C.可以選擇兩個變量中任意一個變量在x軸上D.可以選擇兩個變量中任意一個變量在y軸上【解析】結(jié)合線性回歸模型y＝bx＋a＋ε可知，解釋變量在x軸上，預(yù)報變量在y軸上，故選B.【答案】B2.(2023·泰安高二檢測)在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)r的絕對值越接近1，說明線性相關(guān)程度()A.越強 B.越弱C.可能強也可能弱 D.以上均錯【解析】∵r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2))，∴|r|越接近于1時，線性相關(guān)程度越強，故選A.【答案】A3.(2023·西安高二檢測)已知x和Y之間的一組數(shù)據(jù)x0123Y1357則Y與x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過點()A.(2,2) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))C.(1,2) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))【解析】∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,4)(0＋1＋2＋3)＝eq\f(3,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(1,4)(1＋3＋5＋7)＝4，∴回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4)).【答案】D4.已知人的年齡x與人體脂肪含量的百分數(shù)y的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－，如果某人36歲，那么這個人的脂肪含量()A.一定是%B.在%附近的可能性比較大C.無任何參考數(shù)據(jù)D.以上解釋都無道理【解析】將x＝36代入回歸方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝×36－≈.由回歸分析的意義知，這個人的脂肪含量在%附近的可能性較大，故選B.【答案】B5.四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論：①y與x負相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－；②y與x負相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋；③y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝＋；④y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－－.其中一定不正確的結(jié)論的序號是()A.①② B.②③C.③④ D.①④【解析】根據(jù)正負相關(guān)性的定義作出判斷.由正負相關(guān)性的定義知①④一定不正確.【答案】D二、填空題6.(2023·江西吉安高二檢測)已知x，Y的取值如下表所示，由散點圖分析可知Y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為y＝＋，那么表格中的數(shù)據(jù)m的值為________.x0134Ym【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(0＋1＋3＋4,4)＝2，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋m,4)＝eq\f＋m,4)，把(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))代入回歸方程得eq\f＋m,4)＝×2＋，解得m＝.【答案】7.已知回歸直線的斜率的估計值為，樣本點的中心為(4,5)，則回歸直線方程是________.【解析】由斜率的估計值為，且回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心(4,5)，可得5＝eq\o(a,\s\up6(^))＋×4，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝，即eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.【答案】eq\o(y,\s\up6(^))＝＋8.調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元.【導(dǎo)學(xué)號：62980069】【解析】以x＋1代x，得eq\o(y,\s\up6(^))＝(x＋1)＋，與eq\o(y,\s\up6(^))＝＋相減可得，年飲食支出平均增加萬元.【答案】三、解答題9.(2023·包頭高二檢測)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費用Y(萬元)，有如下的統(tǒng)計資料：x23456Y如由資料可知Y對x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求：(1)線性回歸方程；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\o(x,\s\up6(－))，\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)))(2)估計使用年限為10年時，維修費用是多少？【解】(1)eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝5，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f－5×4×5,90－5×42)＝.于是eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))x＝5－×4＝.所以線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))＝＋.(2)當(dāng)x＝10時，eq\o(y,\s\up6(^))＝×10＋＝(萬元)，即估計使用10年時維修費用是萬元.10.在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點，數(shù)值如下表：x124Y1612521試建立Y與x之間的回歸方程.【解】作出變量Y與x之間的散點圖如圖所示.由圖可知變量Y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系.設(shè)y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt.由Y與x的數(shù)據(jù)表可得Y與t的數(shù)據(jù)表：t421Y1612521作出Y與t的散點圖如圖所示.由圖可知Y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系.又eq\o(t,\s\up6(－))＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝，eq\i\su(i＝1,5,)tiyi＝，eq\i\su(i＝1,5,)teq\o\al(2,i)＝5，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,5,)tiyi－5\o(t,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),eq\i\su(i＝1,5,)t\o\al(2,i)－5\o(t,\s\up6(－))2)＝eq\f－5××,5－5×≈4，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))＝－4×≈，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝4t＋，即Y與x之間的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f4,x)＋.[能力提升]1.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678Y－－－得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，則()＞0，b＜0 ＞0，b＞0＜0，b＜0 ＜0，b＞0【解析】作出散點圖如下：由圖象不難得出，回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的斜率b＜0，當(dāng)x＝0時，eq\o(y,\s\up6(^))＝a＞0.故a＞0，b＜0.【答案】A2.(2023·湛江高二檢測)為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下：父親身高x(cm)174176176176178兒子身高Y(cm)175175176177177則Y對x的線性回歸方程為()＝x－1 ＝x＋1＝88＋eq\f(1,2)x ＝176【解析】因為eq\x\to(x)＝eq\f(174＋176＋176＋176＋178,5)＝176，eq\x\to(y)＝eq\f(175＋175＋176＋177＋177,5)＝176，而回歸方程經(jīng)過樣本中心點，所以排除A，B，又身高的整體變化趨勢隨x的增大而增大，排除D，所以選C.【答案】C3.(2023·大同高二檢測)以模型y＝cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z＝lny，其變換后得到線性回歸方程z＝＋4，則c＝________.【解析】由題意，得ln(cekx)＝＋4，∴l(xiāng)nc＋kx＝＋4，∴l(xiāng)nc＝4，∴c＝e4.【答案】e44.(2023·全國卷Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響.對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.圖3-2-2eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))(yi－eq\x\to(y))5631469表中wi＝eq\r(xi)，w]＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,)wi.(1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(∧))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,8,)ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),eq\i\su(i＝1,8,)ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(∧))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(∧))eq\x\to(u).【解】(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型.(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f,＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(w)＝563－68×＝，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋68w，因此y關(guān)于x