2021屆新高考數(shù)學(xué)第三次聯(lián)考試題詳解

2021屆新高考數(shù)學(xué)第次聯(lián)考試題詳解時(shí)間：120分鐘總分：分一、選擇題：本題共8小題，每題分共40分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是合題目要求的。1．復(fù)數(shù)

2)i

的虛部是（）A．

i

B．

C．

D．

2．已知集合

A

y

x2R

A

B

（）A．

B．

C．

D．

3．某小區(qū)有1000戶居民，各戶月的用電量近似服從正態(tài)分布N(300,100)，用電量在320以上的居民戶數(shù)估計(jì)約為（）參考據(jù)：若隨機(jī)變量服正態(tài)分布N(

)

，則P(

，(

，P

.A．17B．23．34D．464．已知函數(shù)

f

x|

的圖象大致為（）A．B．CD．5．設(shè)0.若是與的比中項(xiàng)，則

1b

的最小值（）A．

B．

8

C．

D．46．中醫(yī)是中國傳統(tǒng)文化的瑰寶中醫(yī)方劑不是藥物的任意組合，而是根據(jù)中藥配伍原則，總結(jié)臨經(jīng)驗(yàn)，用若干藥物配制組成的藥方，以到取長補(bǔ)短、辨證論治的目中醫(yī)傳統(tǒng)名方“八珍湯”是由補(bǔ)氣名方“四君子湯人參白術(shù)茯炙草四味藥組成和補(bǔ)血名“四物湯熟地黃白芍當(dāng)歸、川芎四味藥組成兩個(gè)方共八味藥組合而成的主治氣血兩虛證方.現(xiàn)“八珍湯的八味藥中任四味，取到的四味藥剛好組成“四君子”或“四物湯”的概率是（）A．

B．

C．

1840

D．

116801

xA．21227．平行四邊形ABCD中4,4,xA．2122

的取值A(chǔ)B．

C．[0,8]D．[-1,0]8．設(shè)

f

是定義在

,00,22

上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為

f

，當(dāng)

時(shí)，f

xsin

，則不等式ffsinx

的解集為（）,00,3

B．

3C．

,3

D．

33二、選擇題：本題共4小題，每題分共20分。每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分部分選對(duì)的得2分9已知m是條不重合的直線，是三個(gè)兩兩不重合的平面則下列命題正確的（）A．若

，

，//

，則

B．若

，

則//C．若//，n//，

m,

，則

//

D．若，則10知函數(shù)

f

0,

π2

的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是）A．函數(shù)

f

π的圖象關(guān)于點(diǎn)

對(duì)稱B．函數(shù)

f

的圖象關(guān)于直線

x

π

對(duì)稱C．函數(shù)

f

在

2ππ

單調(diào)遞減D．該圖象向右平移

π

個(gè)單位可得

x

的圖象11．已知、分別為雙曲線

y22bb0)的左、右點(diǎn)，且FF，點(diǎn)P為雙線右支b一點(diǎn)，為

△PFF

的內(nèi)心，若

eq\o\ac(△,)IPF

eq\o\ac(△,)IPF

eq\o\ac(△,)IFF

成立，則下列結(jié)論正確的有（）2

nnA．當(dāng)

PFx軸，PFF3012

B．離心率

C．

D．點(diǎn)I的橫坐標(biāo)為定值a12．已知曲線

:x2

n1,2,)

.從點(diǎn)

P向線

n

引斜率為

k(kn

的切線

l

n

，切點(diǎn)為

Pyn

n

.則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列

{}

的通項(xiàng)為x

B．?dāng)?shù)列

{y}

的通項(xiàng)為

y

nC．當(dāng)時(shí)，

x

D．

11

2

三、填空題：本題共4小題，每題5，共20分。

13．已知

(1xax27

，a1

____________．14.已知點(diǎn)PQ分別是圓

C:

及直線

l:y

上的動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn),則|OP的最小值____________15.一條標(biāo)語掛在墻上語作線段AB線AB地面交點(diǎn)為DAB與地面垂直AD米，米，某人直立看“標(biāo)語，眼睛C距離地面1，當(dāng)最大時(shí)，此人腳到D的距離為____________米．16.如圖四棱錐

ABCD

中PDAC

，面PAD

底面

ABCD為正方形

CDPD

.若四棱錐

的每個(gè)頂點(diǎn)都在球

O

的球面上，則當(dāng)時(shí)球O的面積為___________當(dāng)四棱錐PABCD的體積取得最大值時(shí)，二面角

的正切值為．四、解答題：本題共6小題，共70。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17分在

①

asinA

6

；

②coscos

；③2tanBbtanAc

,從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)到下面的橫線上并作.問題:在

ABC

中，內(nèi)角

,C

的對(duì)邊分別為

b

，且

，____________．3

求

的面積1812分?jǐn)?shù)人民幣，是中國人民銀行尚未發(fā)行的法定數(shù)字貨幣，即“數(shù)貨幣電子支付央行數(shù)字貨幣不計(jì)付利息，可用于小額、售、高頻的業(yè)務(wù)場景，相比于紙幣沒有任何差.數(shù)字人民幣試地區(qū)是深圳、蘇州、雄安新區(qū)、成都未來的冬奧場景，為了解居民對(duì)數(shù)字人民幣的了解程度，某區(qū)居委會(huì)隨機(jī)抽取1200名社區(qū)居民參與卷測試，并將問卷得分繪制頻率分布表如下：得分男性人數(shù)女性人數(shù)

3020

11060

11070

150180

130140

8050

4030（1）將居民對(duì)數(shù)字人民幣的了程度分為“比較了解不低于60分）和“不太了解低于60分）兩類，完成2列表，并判斷是否

的把握認(rèn)為“數(shù)字人民幣的了解度”與“性別”有關(guān)？不太了解

比較了解

總計(jì)男性女性總計(jì)（2參與問卷測試且得分不低80分的民中照性別進(jìn)行分層抽樣抽取人同

n

*

名男性調(diào)查員一起組成3個(gè)環(huán)保傳隊(duì)若從這n中機(jī)抽取3人作為隊(duì)長，且男性隊(duì)長數(shù)占的期望不小于2，求的最小值.附：

K

()()(c)()(b)

，

.臨界值表：(Kk0

2

)0

0.1502.072

0.1002.706

0.0503.841

0.0255.024

0.0106.635

0.0057.879

0.00110.828（數(shù)列

12

前項(xiàng)和滿足

n

n

2n2Nn

*

（1）求數(shù)列

公式；（2）設(shè)

n

n

為非零整數(shù)，

nN

*

試確定的值，使得對(duì)任意

nN

*

，都有b

n

b

n

成立．4

20．12分）如圖，在三棱臺(tái)

ABCDEF

中，平面BCFE

平面

，BE=EF=FC，BC=2，AC（1）求證：⊥平面ACFD（2）求二面角－AD－的面角的余弦.2112分）已知函數(shù)f(x)lnxax（1）若函數(shù)f()

在定義域上的最大值為1，求實(shí)的；（2）設(shè)函數(shù)h()exf()，，h(x)實(shí)數(shù)b的最小整數(shù)值

對(duì)任意的x,1)

恒成立，求滿足條件的22.（分）已知橢圓C

2y2a2b

的左頂點(diǎn)為

A

，兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，過點(diǎn)

軸不重合的直線l與橢圓于M，不同兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當(dāng)與MN垂直時(shí)，求的長；（Ⅲ）若過點(diǎn)P且平行于的直線交直線

x

于點(diǎn)Q，求證：線恒過定點(diǎn)．【答】【詳解】因?yàn)?/p>

，所以虛部為2.【答】【詳解】

A,

.答案詳解題得

，=10以

20)(2800.9545

，5

y2222,00,,00,x0,xhy2222,00,,00,x0,xhffx3sin所以

(320)

0.023

，所以求用電量在度以上的民戶數(shù)為1000×0.023=23.答】詳解因?yàn)楹瘮?shù)

f

x

定義域?yàn)?/p>

，所以函數(shù)

f

x|

為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱排除D又因?yàn)?/p>

f

，可排除B；

f

，可排除A．【答】【詳解】由題意得：3b

3a

，則：11aaabba1綜上可得：的最小值是

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)等號(hào)成立，答詳解取到的四味剛好組君子湯物湯事件.依題得【答】【解】PC

C435

.CBBA)(CB((ABAD)()則PA的取值范圍是1,8]

【答】【詳解】令

fx

，∵

f

是定義在

上的奇函數(shù)，∴h

fx

是定義在

上的偶函數(shù)．當(dāng)

時(shí)，sin，由

fsin

，得

f

，∴

f

sin2

，則在

上單調(diào)遞減．將ffsinx

化為，即sinx3

，則x．26

,00,,0f312,00,,0f312對(duì)于A，又h

fx

是定義在

上的偶函數(shù)．∴

h

在

上單調(diào)遞增，且

3

．當(dāng)

x,0，sinx2

，將f

x

fsinx

f化為sinx

sin3

，即

，則

x

．綜上，所求不等式的解集為

,032

．【答】【詳解】對(duì)：若

，

則

，又

，所以

，故正確；對(duì)B：若

，則與可能平行，也可能相交，故錯(cuò)誤；對(duì)C：若//n//，,

，由于沒有強(qiáng)調(diào)交，故不能推出，故錯(cuò)誤；對(duì)D：若

，根據(jù)面面垂直的判定定理，可

，故正確22答】【詳解】由函數(shù)的圖象可得A，期，所以Tπ

，當(dāng)

x

π

時(shí)，函數(shù)取得最大值，即

f

2

，所以

ππZ2

ππππ函數(shù)2

f

23

.f2sin

，故A不正確；對(duì)于B，當(dāng)

x

時(shí)，

5ππf3

，即直線

x

π

是函數(shù)

f

的一條對(duì)稱軸，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)

2時(shí)，6

，∴函數(shù)f

26

不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；7

個(gè)單位后得21eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)F1212nfx0,個(gè)單位后得21eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)F1212nfx0,對(duì)于D將

f

的圖象向右平移

π

2xx63

的圖象即D正確.【案BCD【詳解】

x

b1軸時(shí)，PFF，此時(shí)a

tanPFF2

12

，所以錯(cuò)；∵F12

a

2

，∴2c

22c2a

，整理得e

（為曲線的離心率∵

，∴e，所以正確設(shè)

△PFF

的內(nèi)切圓半徑為，由雙曲線的定義得

c12

，eq\o\ac(△,S)

11PF22

，∵

eq\o\ac(△,)IPF

eq\o\ac(△,)IPF

eq\o\ac(△,)IFF

，∴

PF2

cr

，故

PFPFcc1

，所以C正.設(shè)內(nèi)切圓與、PF、F212

的切點(diǎn)分別為M、、，可得

|PMPN|FT1

，

NT2

.由

PFFTFa，F(xiàn)FFTFTc12112

，可得

T2

，可得T的標(biāo)為

橫坐標(biāo)為a，故D正；12．【案【詳解設(shè)線

l:yxnn

聯(lián)立

x

得

，則由

，即

n

n

2n

，得

k

n2n

（負(fù)值舍去）所以可得

n

2n，y1x，所以A對(duì)，錯(cuò)；nnn12n因?yàn)椋?n所x

n1214n2

，故對(duì)因?yàn)?/p>

x11ny1n

，令()sinx

2cosx

.可得

在減，可知2x在8

上恒成立

dxxOdxxO又

1.所2sinn2

成立.故正確.答】【詳解】令

x

得：

1a

0

，令

x

得：

a7

，

.【案1【詳解】為OQ|QP表示兩點(diǎn)間的距離，又因?yàn)镻分別是圓

C:2)

2y

及直線

l:3xy

上的動(dòng)點(diǎn)，所以|OQQP|的最小值為圓心到直線的距離半徑，圓心到直線的距離所以圓上的點(diǎn)到直線的最小值為dr所以|OPOQ|最小值為1

105

215.【答案【解由題設(shè)如圖：

ABCE

，且ACB

，∴

tanACF)

ACFtanBCF

，若設(shè)

DE米，則tan

BF,CFxCF

，7∴

7tanACB1441441x

，而

x

，∴

77144當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立2xx∴由題意，[0,)2

最大時(shí)，有

tanACB

，此時(shí)人的腳到點(diǎn)的距離為12米.16.【答案】6，

【詳解(1)．因?yàn)镃D=1,則PD=2

CD

∵面PAD

，∴AB，又

PD

，∴PD面

ABCD

，則四棱錐可形成一個(gè)長方體，球的球心為的點(diǎn)，從而球的表面積為

)

.(2)．設(shè)

CD

四棱錐PABCD的體積V

，則

x，

0

時(shí)，

V

；當(dāng)

2

時(shí)，

.9

BB故

V

，此時(shí)

ADCD

，PD.過D作

于，連接，則為二角

PC

的平面角.∵DH

25

AD，∴tanAHD5.DH答】件性選擇見解析，

【詳解】選①，由正弦定理得

sinsinBB

，因?yàn)?/p>

0

，所以

sinB

，所以

sinAA

，化簡得

所以

cos

，因?yàn)橐驗(yàn)?/p>

0所以32

，b)2bc

a

，

……分所以bc

，

……8分所以

ABC

1Asin232

；

……10分選②因?yàn)?/p>

CB

cos

，所以

cos，所以cosA

，因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以

A

3

，

……5分因?yàn)?/p>

22bccos

b)bccos

6,

，所以bc

，

……8分所以

ABC

1Asin232

；

……10分選③因?yàn)?/p>

2tanBbtanAc

，所以由正弦定理可得:

tanBBAC

，可得

B2sinB

，10

可得

2sinB2sinB2sinBcosBABsinBsinCcosB

，因?yàn)?/p>

0,sinC

，所以解得

A

，因?yàn)?/p>

，所以

A

3

，

……5分因?yàn)?/p>

22

bc

b)

2

bcbccos

6,

，所以bc

，

……8分所以

ABC

13Asin232

.

……10分答（1）表格見解析，有）2.【詳解）由題意得列聯(lián)表如：男性女性總計(jì)

不太了解250150400

比較了解400400800

總計(jì)6505501200

……分K

的觀測值k

(250800650550

，

……4分因?yàn)?.635

，所以有

99%

的把握認(rèn)為居民對(duì)數(shù)字人民幣的解程度與性別有.

……5分（2）由題意知，分層抽樣抽取10人中男性6人，女性，隨機(jī)變量所有可能取值為0，1，2，3其中

P(

CCC

，

P(

CCn4C3n

，

P(

2)

C2CnC3n

，

P(

C3nC3n

，所以隨機(jī)變量分布列為P

0CC4C

1C124C

2CCC

3CC

……9分11

19．**19．**

C0C3CCC1C3n4n2，CC3C3C3Cnnn

C

C

C

，可得，

6(n6)(

(n6)((10)(9)(

，

nnn，

，∴的最小值為

……12分【案Ⅰ）

ann

（Ⅱ）

【析）由已知，

（，nN即

a

n

n

（n，

2

．∴數(shù)列

1

為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．

ann

．

……5分（2）∵

ann

，∴

4n

，要使

b

n

n

恒成立，∴

n

n

n

恒成立，

……7分∴

n

n

恒成立，∴

2

n

恒成立．

……9分（ⅰ）當(dāng)為數(shù)時(shí)，即n恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n時(shí)2n有小值為1，∴．（ⅱ）當(dāng)為數(shù)時(shí)，即

恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n時(shí)

n

有最大值

，∴

．即

，又為非零整數(shù)，則

．綜上所述，存在

，使得對(duì)任意

nN

*

，都有

n

n

．

……12分20【案Ⅰ）證明見解析Ⅱ）

．【詳解Ⅰ）延長AD，BE，

CF

相交于一點(diǎn)，如圖所示因?yàn)槠矫鍮CFE

平面

，且

AC

，

平面

，平面BCFE平BC，所以因?yàn)槠矫鍮CK，因此BFAC．

平面BCK

，由三棱臺(tái)

ABCDEF

可得四邊形

BCFE

為梯形，而FC

，

，故四邊形

為梯形為等腰梯形，如圖，過

E

作

BC

的垂線，垂足12

2分別為N，則2

BM

，故

FCN60

.所以BCK

為等邊三角形，因?yàn)闉?/p>

的中點(diǎn)，則BFCK

．而

AC

，所以BF平．

……5分（Ⅱ）方法一：如圖，延長，BE，CF相交于一點(diǎn)K，（Ⅰ）得BCK為等邊三角形．取

的中點(diǎn)

O

，則

BC

，又平面

平面

，所以

平面

．以點(diǎn)O為點(diǎn)，分別以射線OB，OK的向?yàn)閤，的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．由題意得

C

，

K31A，,0,F

……6分因此，

．設(shè)平面

ACK

的法向量為

my,11

，由

AC，得

3y3

，取

m

；

……8分平面的法向量為

,z2

．由

22，得z

，取

3．

……10分于是，

cosn

mm

．

……11分所以，二面角BAD的平面角的余弦值為

．

……12分方法二：過點(diǎn)F作于Q，連結(jié)BQ．因?yàn)槠矫鍭CK，平面ACK，所以，而

BF

FQF

，平面BQF，而BQ平面，以則AK所以BQF是二面角B的平面角．

．

……8分因?yàn)锳C

平面

，CK平面

，故

CK

，在Rt△中，AC，CK，故13，13

所以

sinAKC

313

，得

FQAKC

313

．

……10分在

eq\o\ac(△,Rt)BQF

中，F(xiàn)Q，BF3，．所以二面角BF的平面角的余弦值為

．

……12分答（1））【詳解）由題意，函數(shù)

yf()

的定義域?yàn)?0,

，當(dāng)a時(shí)

f

)

x

，數(shù)yf()

在區(qū)間(0,單調(diào)遞增，此時(shí)，函數(shù)

yf(x)

在定義域上無最大值；

……1分當(dāng)

a

時(shí)，令(x)

1

a0

，得

x

，由

f

0，得

，由

f

0得x

，此時(shí)，函數(shù)

yf(x)

的單調(diào)遞增區(qū)間為

，單調(diào)減區(qū)間為

.所以函數(shù)

f(xf(x)max

極大值

f

e

，即

為所求；

……4分（3）只需

bx

x

對(duì)任意的x,1)

恒成立即可構(gòu)造函數(shù)

g(x)xx

，

x

xex

x

x

，∵x(

，∴

，且t(x

x

單調(diào)遞增，

……6分∵

1t)2

t

，∴一定存在唯一的

x(

，使得

t(x0

，即

e0,x

，

……7分且當(dāng)

x

時(shí)，14

xAM2mmt(x)，即gxAM2mm

；當(dāng)時(shí)t(即

.所以，函數(shù)yg()

在區(qū)間,)

上單調(diào)遞增，在區(qū)間

x

上單調(diào)遞減，∴

gx)

0

1x

，

……9分∵x(

，∴

yx

1)在(x2

上單調(diào)遞增，(，∴