高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線與方程2．2橢圓第2章222

2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)1.掌握橢圓的幾何圖形和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).(重點(diǎn))2.能運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理橢圓的幾何性質(zhì)閱讀教材P31～P33例1以上部分，完成下列問(wèn)題.1.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點(diǎn)(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝2a，短軸長(zhǎng)＝2b焦點(diǎn)(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝對(duì)稱性對(duì)稱軸x軸、y軸，對(duì)稱中心(0,0)離心率e＝eq\f(c,a)(0＜e＜1)2.橢圓的離心率1.判斷正誤：(1)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于a.()(2)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為a－c.()(3)橢圓的離心率e越小，橢圓越圓.()【解析】(1)×.橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于2a.(2)√.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為a＋c，最小值為a－c.(3)√.離心率e＝eq\f(c,a)越小c就越小，這時(shí)b就越接近于a，橢圓就越圓.【答案】(1)×(2)√(3)√2.橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1的離心率是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：24830029】【解析】由方程可知a2＝25，a＝5，c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問(wèn)2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問(wèn)3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小組合作型]已知橢圓方程求其幾何性質(zhì)已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的離心率e＝eq\f(\r(3),2)，求m的值及橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo).【精彩點(diǎn)撥】把橢圓方程標(biāo)準(zhǔn)化→利用離心率求m的值→求a，b，c→求性質(zhì)【自主解答】橢圓方程可化為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,\f(m,m＋3))＝1.∵m－eq\f(m,m＋3)＝eq\f(mm＋2,m＋3)>0，∴m>eq\f(m,m＋3)，即a2＝m，b2＝eq\f(m,m＋3)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(mm＋2,m＋3)).由e＝eq\f(\r(3),2)得eq\r(\f(m＋2,m＋3))＝eq\f(\r(3),2)，∴m＝1.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1.∴a＝1，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(\r(3),2).∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為1；兩焦點(diǎn)分別為F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，F(xiàn)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))；四個(gè)頂點(diǎn)分別為A1(－1,0)，A2(1,0)，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，B2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)的步驟將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式?焦點(diǎn)位置?求出a，b，c?寫(xiě)出橢圓的幾何性質(zhì)[再練一題]1.求橢圓9x2＋16y2＝144的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).【解】把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，于是a＝4，b＝3，c＝eq\r(16－9)＝eq\r(7)，∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是2a＝8和2b＝6，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(7),4)，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－eq\r(7)，0)，(eq\r(7)，0)，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3).由橢圓的幾何性質(zhì)求方程(1)已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為eq\f(\r(3),2)，且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為_(kāi)_______.(2)若橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形；且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為eq\r(3)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.【精彩點(diǎn)撥】解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出a2和b2.【自主解答】(1)設(shè)橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，半焦距為c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝12，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,c＝3\r(3).))∴b2＝a2－c2＝36－27＝9，∴橢圓G的方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))從而b2＝9，∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.【答案】(1)eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1(2)eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.1.利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程通常采用待定系數(shù)法.2.根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)、定參數(shù)”，一般步驟是：(1)求出a2，b2的值；(2)確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；(3)寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程.[再練一題]2.直線x－2y＋2＝0過(guò)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B，則橢圓的方程為_(kāi)_______.【解析】直線x－2y＋2＝0與x軸的交點(diǎn)為(－2,0)，即為橢圓的左焦點(diǎn)，故c＝2.直線x－2y＋2＝0與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，即為橢圓的頂點(diǎn)，故b＝1.故a2＝b2＋c2＝5，橢圓方程為eq\f(x2,5)＋y2＝1.【答案】eq\f(x2,5)＋y2＝1求橢圓的離心率(1)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的半焦距為c，若直線y＝2x與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)恰為c，則橢圓的離心率為_(kāi)_______.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：24830030】(2)已知橢圓上橫坐標(biāo)等于焦點(diǎn)橫坐標(biāo)的點(diǎn)，它到x軸的距離等于短半軸長(zhǎng)的eq\f(2,3)，則橢圓的離心率為_(kāi)_______.【精彩點(diǎn)撥】(1)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P在橢圓上其坐標(biāo)滿足橢圓的方程構(gòu)建關(guān)于離心率e的方程，解方程可得離心率.(2)在焦點(diǎn)三角形PF1F2中利用橢圓的定義與勾股定理得到a，b【自主解答】(1)依題意有P(c,2c)，點(diǎn)P在橢圓上，所以有eq\f(c2,a2)＋eq\f(4c2,b2)＝1，整理得b2c2＋4a2c2＝a2b2，又因?yàn)閎2＝a2－c2，代入得c4－6a2c2＋a4＝0，即e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－2eq\r(2)(3＋2eq\r(2)舍去)，從而e＝eq\r(2)－1.(2)方法一：設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，M是橢圓上一點(diǎn)，依題意設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(c，eq\f(2,3)b).在Rt△MF1F2中，F(xiàn)1Feq\o\al(2,2)＋MFeq\o\al(2,2)＝MFeq\o\al(2,1)，即4c2＋eq\f(4,9)b2＝MFeq\o\al(2,1)，而MF1＋MF2＝eq\r(4c2＋\f(4,9)b2)＋eq\f(2,3)b＝2a，整理，得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2∴3b＝2a.∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9).∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,9)，∴e＝eq\f(\r(5),3).法二：設(shè)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(2,3)b))，代入橢圓方程，得eq\f(c2,a2)＋eq\f(4b2,9b2)＝1，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,9)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，即e＝eq\f(\r(5),3).【答案】(1)eq\r(2)－1(2)eq\f(\r(5),3)求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解.(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍.[再練一題]3.點(diǎn)F為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)A使VAOF為正三角形，那么橢圓的離心率為_(kāi)_______.【解析】由題意，可設(shè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0)，因?yàn)椤鰽OF為正三角形，則點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))在橢圓上，代入得eq\f(c2,4a2)＋eq\f(3c2,4b2)＝1，即e2＋eq\f(3e2,1－e2)＝4，得e2＝4－2eq\r(3)，解得e＝eq\r(3)－1.【答案】eq\r(3)－1[探究共研型]直線與橢圓的綜合應(yīng)用探究1已知直線y＝kx＋m和橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如何判斷直線與橢圓的位置關(guān)系？【提示】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))得(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0，設(shè)該二次方程的判別式為Δ，若Δ＞0，則直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)；若Δ＝0，則直線與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)；若Δ＜0，則直線與橢圓沒(méi)有交點(diǎn).探究2如果直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，那么直線與橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與探究1中得到的關(guān)于x的二次方程有什么關(guān)系？【提示】探究1中得到的關(guān)于x的二次方程(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0的兩個(gè)根分別是直線與橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo).探究3設(shè)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M，那么如何求線段AB的長(zhǎng)和M的坐標(biāo)？【提示】方法一：解方程(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0，可得x1，x2，由y＝kx＋m可得y1，y2，即得A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求線段AB的長(zhǎng)和M的坐標(biāo).方法二：根據(jù)韋達(dá)定理，采取“設(shè)而不求”思路解決問(wèn)題.即AB＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(x1－x22＋kx1＋m－kx2－m2)＝eq\r(x1－x22＋kx1－kx22)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1－x22)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)，點(diǎn)M的坐標(biāo)可直接利用韋達(dá)定理求解.上述兩種方法，第一種方法運(yùn)算太過(guò)繁瑣，一般采用第二種方法求解此類問(wèn)題.已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為eq\f(2\r(3),3)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.【自主解答】(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，eq\f(2,c)＝eq\f(2\r(3),3)，得c＝eq\r(3).又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)當(dāng)l⊥x軸時(shí)不合題意，故設(shè)l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).將y＝kx－2代入eq\f(x2,4)＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.當(dāng)Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>eq\f(3,4)時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1＋x2＝eq\f(16k,4k2＋1)，x1x2＝eq\f(12,4k2＋1).從而|PQ|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\f(4\r(k2＋1)·\r(4k2－3),4k2＋1).又點(diǎn)O到直線PQ的距離d＝eq\f(2,\r(k2＋1)).所以△OPQ的面積S△OPQ＝eq\f(1,2)d·|PQ|＝eq\f(4\r(4k2－3),4k2＋1).設(shè)eq\r(4k2－3)＝t，則t>0，S△OPQ＝eq\f(4t,t2＋4)＝eq\f(4,t＋\f(4,t)).因?yàn)閠＋eq\f(4,t)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即k＝±eq\f(\r(7),2)時(shí)等號(hào)成立，且滿足Δ>0.所以，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，l的方程為y＝eq\f(\r(7),2)x－2或y＝－eq\f(\r(7),2)x－2.橢圓是圓錐曲線中重要的一種曲線，它可以同其它章節(jié)知識(shí)結(jié)合考查，如不等式、三角函數(shù)及平面向量，特別是與直線方程，解決這類問(wèn)題時(shí)要注意方程思想、函數(shù)思想及轉(zhuǎn)化思想，其中利用方程中根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程或函數(shù)是常用的技巧.[再練一題]4.已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2.(1)求該橢圓的方程；(2)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，求eq\o(PF1,\s\up12(→))·eq\o(PF2,\s\up12(→))的最大值與最小值.【解】(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，且a＝2，得c＝eq\r(3)，b＝1，∴所求橢圓方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)設(shè)P(x，y)，由(1)知F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，則eq\o(PF1,\s\up12(→))·eq\o(PF2,\s\up12(→))＝(－eq\r(3)－x，－y)·(eq\r(3)－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))－3＝eq\f(3,4)x2－2，∵x∈[－2,2]，∴當(dāng)x＝0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，eq\o(PF1,\s\up12(→))·eq\o(PF2,\s\up12(→))有最小值－2；當(dāng)x＝±2，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，eq\o(PF1,\s\up12(→))·eq\o(PF2,\s\up12(→))有最大值1.[構(gòu)建·體系]1.已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,2)，則C的方程是________.【解析】由題意知c＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.【答案】eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝12.已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1有兩個(gè)頂點(diǎn)在直線x＋2y＝2上，則此橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：24830031】【解析】∵直線x＋2y＝2過(guò)(2,0)和(0,1)點(diǎn)，∴a＝2，b＝1，∴c＝eq\r(3)，橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±eq\r(3)，0).【答案】(±eq\r(3)，0)3.若橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍.則m的值為_(kāi)_______.【解析】將原方程變形為x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1.由題意知a2＝eq\f(1,m)，b2＝1，∴a＝eq\r(\f(1,m))，b＝1.∴eq\r(\f(1,m