高中數(shù)學(xué)人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)與方程 公開課獎_第1頁
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第四課時,函數(shù)模型的綜合應(yīng)用一、課前準(zhǔn)備1.課時目標(biāo)(1)掌握函數(shù)的思想方法,即通過求出或構(gòu)造出函數(shù)來解決問題;(2)學(xué)會運用函數(shù)知識解決某些簡單的實際問題;(3)梳理社會生活中普遍使用的函數(shù)模型,并進(jìn)行簡單的應(yīng)用。2.基礎(chǔ)預(yù)探(1).一次函數(shù)求最值主要是利用它的;(2).二次函數(shù)求最值也是要利用它的單調(diào)性,一般我們都先.(3).無論什么函數(shù)求最值都要注意.例如等.二、基本知識習(xí)題化1.向高為H的圓錐形漏斗內(nèi)注入化學(xué)溶液(漏斗下口暫且關(guān)閉),注入溶液量V與溶液深度h的大概圖象是().2.某種生物增長的數(shù)量與時間的關(guān)系如下表:123...138...下面函數(shù)關(guān)系式中,能表達(dá)這種關(guān)系的是().A.B.C.D.3.某企業(yè)近幾年的年產(chǎn)值如下圖:則年增長率(增長率=增長值/原產(chǎn)值)最高的是().A.97年B.98年C.99年D.00年4.某商店已按每件80元的成本購進(jìn)某種上裝1000件,根據(jù)市場預(yù)測,當(dāng)每件售價100元時可全部售完,若定價每提高1元時銷售量就減少5件,若要獲得最大利潤,則銷售價應(yīng)定為()A、110元B、130元C、150元D、190元5.某新型電子產(chǎn)品2023年投產(chǎn),計劃2023年使其成本降低36℅.則平均每年應(yīng)降低成本%.三、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1.?dāng)?shù)學(xué)模型所謂數(shù)學(xué)模型是指對客觀實際的特征或數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象概括,用形式化的數(shù)學(xué)語言表述的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型剔除了事物中一切與研究目標(biāo)無本質(zhì)聯(lián)系的各種屬性,在純粹狀態(tài)下研究數(shù)量關(guān)系和空間形式,函數(shù)就是最重要的數(shù)學(xué)模型,用函數(shù)解決方程問題,使求解變得容易進(jìn)行,這是數(shù)學(xué)模型間的相互轉(zhuǎn)換在發(fā)揮作用.而用函數(shù)解決實際問題,則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的橋梁.2.關(guān)于數(shù)學(xué)建模中的假設(shè)就一般的數(shù)學(xué)建模來說,是離不開假設(shè)的,如果在問題的原始狀態(tài)下不作任何假設(shè),將所有的變化因素全部考慮進(jìn)去,對于稍復(fù)雜一點的問題就無法下手。假設(shè)的作用主要表現(xiàn)在以下幾個方面:(1)進(jìn)一步明確模型中需要考慮的因素和它們在問題中的作用。初步接觸一個問題,會覺得圍繞它的因素非常多,經(jīng)仔細(xì)分析篩查,發(fā)現(xiàn)有的因素并無實質(zhì)聯(lián)系,有的因素是無關(guān)緊要的,排除這些因素,問題則越發(fā)清晰明朗.在假設(shè)時就可以設(shè)這些因素不需考慮.(2)由于每一個解題者的能力不同,經(jīng)過適當(dāng)?shù)募僭O(shè)就可以有能力建立數(shù)學(xué)模型,并且得到相應(yīng)的解.四、典例導(dǎo)析1、一次、二次函數(shù)模型:例1、南京的某報刊零售點,從報社買進(jìn)某報紙的價格是每份元,賣出的價格是每份元,賣不掉的報紙可以以每份元的價格退回報社.在一個月(以天計算)里,有天每天可賣出份,其余每天只能賣出份,但每天從報社買進(jìn)的份數(shù)必須相同,這個攤主每天從報社買進(jìn)多少份,才能使每月所獲利潤最大?并計算他一個月最多可賺得多少元?思路導(dǎo)析:此問題是關(guān)于利潤和份數(shù)的關(guān)系,根據(jù)經(jīng)驗我們知道:利潤每份報紙賺的錢份數(shù)賣不掉的報紙份數(shù)每份報紙?zhí)澋腻X,的取值范圍是.解析:設(shè)每天從報社買進(jìn)份報紙,每月獲得總利潤元,則由題意,,,∵函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù),∴時,元,所以,該攤主每天從報社買進(jìn)份時,每月所獲利潤最大,最大利潤為元.規(guī)律總結(jié):建立目標(biāo)函數(shù)后一定要注意實際應(yīng)用問題中變量的取值范圍變式練習(xí):1、某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元,每桶水的進(jìn)價是5元.銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如表所示:銷售單價/元6789日均銷售量/桶480440400360銷售單價/元101112日均銷售量/桶320280240請據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析,這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤?2、擬合函數(shù)模型例2、某皮鞋廠從今年1月份開始投產(chǎn),并且前4個月的產(chǎn)量分別為1萬雙,萬雙,萬雙,萬雙.由于產(chǎn)品質(zhì)量好,款式新穎,前幾個月的銷售情況良好.為了推銷員在推銷產(chǎn)品時,接受定單不至于過多或過少,需要估計以后幾個月的產(chǎn)量.廠里分析,產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程.廠里也暫時不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人.假如你是廠長,就月份x,產(chǎn)量y給出四種函數(shù)模型:y=ax+b,y=ax2+bx+c,,y=abx+c,你將利用哪一種模型去估算以后幾個月的產(chǎn)量?思路導(dǎo)析:本題是通過數(shù)據(jù)驗證,確定系數(shù),然后分析確定函數(shù)的變化情況,最終找出與實際最接近的函數(shù)模型.解析:由題知A(1,1),B(2,,C

(3,,D(4,.(1)設(shè)模擬函數(shù)為y=ax+b,將B、C兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)式,有,所以得y=+1.(2)設(shè)y=ax2+bx+c,將A,B,C三點代入,有所以y=–++.(3)設(shè),將A,B兩點的坐標(biāo)代入,有所以(4)設(shè)y=abx+c,將A,B,C三點的坐標(biāo)代入,得綜上所述:所以y=–×+=規(guī)律總結(jié):本題是對數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)模擬,選擇最符合的模擬函數(shù).一般思路要畫出散點圖,然后作出模擬函數(shù)的圖象,選擇適合的幾種函數(shù)類型后,再加以驗證.函數(shù)模型的建立是最大的難點,另外運算量較大,必須借助計算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,函數(shù)模型的可靠性與合理性既需要數(shù)據(jù)檢驗,又必須與具體實際結(jié)合起來.變式練習(xí)2、某地區(qū)今年1月,2月,3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52,61,68.為了預(yù)測以后各月的患病人數(shù),甲選擇了模型y=ax2+bx+c,乙選擇了模型y=pqx+r,其中y為患病人數(shù),x為月份數(shù),a,b,c,p,q,r都是常數(shù).結(jié)果4月,5月,6月份的患病人分別為74,78,83,你認(rèn)為誰選擇的模型較好?五、隨堂練習(xí)2.某種電熱水器的水箱盛滿水是升,加熱到一定程度可浴用.浴用時,已知每分鐘放水升,在放水的同時注水,分鐘注水升,當(dāng)水箱內(nèi)水量達(dá)到最小值時,放水自動停止.現(xiàn)假定每人洗浴用水升,則該熱水器一次至多可供()洗澡.人人人人3.某不法商人將彩電先按原價提高,然后在廣告中寫上“大酬賓,八折優(yōu)惠”,結(jié)果是每臺彩電比原價多賺了元,那么每臺彩電原價是元.4、有一批材料可以圍成長的圍墻,現(xiàn)用此材料圍成一塊矩形場地,且內(nèi)部用此材料隔成兩塊矩形(如圖),則圍成的矩形場地面積的最大值為______________.5、如圖,河流航線長,工廠位于碼頭正北處,原來工廠所需原料需由碼頭裝船沿水路到碼頭后,再改陸運到工廠,由于水運太長,運費頗高,工廠與航運局協(xié)商在段上建一碼頭,并由碼頭到工廠修一條新公路,原料改為按由到再到的路線運輸,設(shè),每噸的貨物總運費為元,已知每噸貨物每千米運費水路為元,陸路為元.(1)試寫出元關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(2)要使運費最省,碼頭應(yīng)建在何處?六、課后作業(yè)1、東方旅社有張普通客床,每床每天收租費元,客床可以全部都租出;若每床每天收費提高元,出租的床的數(shù)量便減少張;再提高元,再減少張,依此變化下去,為了投資少而獲利到達(dá)每床每天應(yīng)提高租金()元.或2、如圖,某工廠年來某種產(chǎn)品的產(chǎn)量與時間(年)的函數(shù)關(guān)系,下面四種說法中,正確的是()①前三年中產(chǎn)量增加的速度越來越快;②前三年中產(chǎn)量增長的速度越來越慢;③第三年后,這種產(chǎn)品停止生產(chǎn);④第三年后,這種產(chǎn)品產(chǎn)量保持不變.②③②④①③①④3、某種商品,生產(chǎn)噸需投入固定成本元,可變成本為元,而賣出噸的價格為每噸元,其中(為常數(shù)),如果生產(chǎn)的噸產(chǎn)品全部賣掉,可獲利元,則利潤與產(chǎn)銷量的函數(shù)關(guān)系式為.4、某水廠的蓄水池中有噸水,水廠每小時可向蓄水池中注入噸水,同時蓄水池又向居民小區(qū)不斷供水,小時內(nèi)供水總量為噸.(1)從供水開始到第幾小時,蓄水池中水量最???最小水量是多少?(2)若蓄水池中水量小于噸,就會出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象,試問在一天內(nèi)有幾個小時會出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象?5.南京的某報刊零售點,從報社買進(jìn)某報紙的價格是每份元,賣出的價格是每份元,賣不掉的報紙可以以每份元的價格退回報社.在一個月(以天計算)里,有天每天可賣出份,其余每天只能賣出份,但每天從報社買進(jìn)的份數(shù)必須相同,這個攤主每天從報社買進(jìn)多少份,才能使每月所獲利潤最大?并計算他一個月最多可賺得多少元?6.已知某商品的價格上漲,銷售的數(shù)量就減少,其中為正的常數(shù).(2)如果適當(dāng)?shù)貪q價,能使銷售總金額增加,求的取值范圍.第四課時,函數(shù)模型的綜合應(yīng)用一、課前準(zhǔn)備2.基礎(chǔ)預(yù)探(1).單調(diào)性(2).判定開口方向;二、基本知識習(xí)題化1.B解析:由題意得,上升的速度越來越慢,故選B2.D解析:根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可驗證,函數(shù)最接近實際,故選D。3.D解析:由題意得,根據(jù)表中的圖象的變化趨勢得,00年的增長最快,故選D。4.解:假設(shè)提高售價x元,獲得總利潤y元由題意得,y=(20+x)(1000-5x)-80×5x=-5x2+500x+20000(0≤x≤200,x∈N)∵對稱軸x=50∴當(dāng)x=50即售價定為150元時,利潤最大;ymax=-5×2500+500×50+20000=32500,∴售價定為150元時,利潤最大.故選C5.解:設(shè)平均每年降低x,(1-x)2=1-36%解得x=20%或x=180%(舍去).故平均每年降低20%.四、典例導(dǎo)析變式練習(xí):1、解:根據(jù)表,銷售單價每增加1元,日均銷售量就減少40桶.設(shè)在進(jìn)價基礎(chǔ)上增加x元后,日均銷售利潤為y元,而在此情況下的日均銷售量就為480–40(x–1)=520–40x(桶)由于x>0且520–40x>0,即0<x<13,于是可得y=(520–40x)x–200=–40x2+520x–200,0<x<13易知,當(dāng)x=時,y有最大值.所以,只需將銷售單價定為元,就可獲得最大的利潤.2、解析:老師借助電腦解答問題(1)列表(2)畫散點圖.(3)確定函數(shù)模型.甲:y1=–x2+12x+41,乙:y2=–×+(4)做出函數(shù)圖象進(jìn)行比較.計算x=6時,y1=77,y2=.可見,乙選擇的模型較好.五、隨堂練習(xí)1、答案:D2.答案:B解析:設(shè)最多用分鐘,則水箱內(nèi)水量,當(dāng)時有最小值,此時共放水升,可供人洗澡.3.答案:4、答案:5、分析:=1\*GB3①.總運費元水路運費陸路運費=2\*GB3②.水路運費元,陸路長度可以勾股定理求得:陸路運費(元).=3\*GB3③.建立此問題的函數(shù)模型:.對于問題(2)我們可以利用求函數(shù)值域的方法求得運費最省時,點的位置.六、課后作業(yè)1、答案:B2、答案:B3、答案:4、答案:(1)小時,噸;5

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