離散時間信號與系統(tǒng)

主講：趙發(fā)勇zfy_72@163.com物電學(xué)院第一章

離散時間信號和系統(tǒng)教學(xué)目標(biāo)1、了解序列的概念和常用序列及序列的運算2、掌握序列DTFT變換的定義、性質(zhì)及計算3、掌握Ｚ變換的定義、性質(zhì)、計算及收斂域4、掌握離散時間系統(tǒng)的概念、線性時不變系統(tǒng)、差分方程及系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性5、掌握離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、零極點分析和頻率響應(yīng)6、了解FIR與IIR系統(tǒng)的基本概念教學(xué)重點和難點1、序列DTFT變換和Ｚ變換2、離散時間系統(tǒng)的線性、時不變、因果性和穩(wěn)定性概念及判定3、基于離散時間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的零極點分析和頻率響應(yīng)序列:是一串以序號為自變量的有序數(shù)字的集合寫作：x={x(n)}一∞<n<∞n為整變量，x(n)是第n項的序列值，序列值一般是連續(xù)數(shù)值(模擬量)，也可以是離散數(shù)值。注意：序列x(n)不一定代表時間序列，也可能表示頻域、相關(guān)域等其它域上的一組有序數(shù)，但習(xí)慣上常把它說成是離散時間信號x(n)只有在整數(shù)上才有定義。1.1離散時間信號引言模擬信號產(chǎn)生離散信號分析如下：對模擬信號xa(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到這里n取整數(shù)。對于不同的n值，xa(nT)是一個有序的數(shù)字序列：…

xa(-T)、xa(0)、xa(T)…，該數(shù)字序列就是時域離散信號。實際信號處理中，這些數(shù)字序列值按順序放在存貯器中，此時nT代表的是前后順序。為簡化，采樣間隔可以不寫，形成x(n)信號，即序列。對于具體信號，x(n)代表第n個序列值。在數(shù)值上它等于信號的采樣值，即

x(n)=xa(nT)，-∞＜n＜∞1.1離散時間信號引言1、集合表示集合表示符號為{·}。如，x(n)是通過觀測得到的一組離散數(shù)據(jù)，其集合符號表示為

x(n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}2、用公式表示

x(n)=an-∞＜n＜∞3、用圖表示序列也可以用圖形表示。1.1離散時間信號序列的表示方法1.單位脈沖序列δ(n)

單位脈沖序列也可以稱為單位采樣序列，離散沖激或簡稱沖激。作用類似于模擬系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0時，取值無窮大，t≠0時取值為零，對時間t的積分為1。單位采樣序列如圖所示。1.1離散時間信號1.1.1幾種最常用的典型序列２.單位階躍序列u(n)

單位階躍序列如圖所示。它類似于模擬信號中的單位階躍函數(shù)u(t)。δ(n)與u(n)之間的關(guān)系如下

1.1離散時間信號1.1.1幾種最常用的典型序列３.脈沖串序列p(n)脈沖串序列為指自變量為任意值都為1的序列。1.1離散時間信號1.1.1幾種最常用的典型序列或?qū)憺?/p>

={…,1,1,1,…}矩形序列RN(n)

1,0≤n≤N-10，其它n

上式中N稱為矩形序列的長度。當(dāng)N=4時，R4(n)的波形如圖所示。矩形序列可用單位階躍序列表示，如下式：

RN(n)=u(n)-u(n-N)RN(n)=1.1離散時間信號1.1.1幾種最常用的典型序列5.實指數(shù)序列

x(n)=anu(n)，a為實數(shù)如果|a|<1，x(n)的幅度隨n的增大而減小，稱x(n)為收斂序列；如|a|>1，則稱為發(fā)散序列。其波形如圖所示。1.1離散時間信號1.1.1幾種最常用的典型序列

6.正弦序列

x(n)=sin(ωn)

式中ω稱為正弦序列的數(shù)字域頻率，單位是弧度，它表示序列變化的速率，或者說表示相鄰兩個序列值之間變化的弧度數(shù)。如果正弦序列是由模擬信號xa(t)采樣得到的，那么

xa(t)=sin(Ωt)

xa(t)|t=nT=sin(ΩnT)Ω為模擬角頻率,T為抽樣周期。1.1離散時間信號1.1.1幾種最常用的典型序列而正弦序列表示為x(n)=sin(ωn)。因為在數(shù)值上，序列值與采樣信號值相等，因此得到數(shù)字頻率ω與模擬角頻率Ω之間的關(guān)系為

ω=ΩT

上式具有普遍意義，它表示凡是由模擬信號采樣得到的序列，模擬角頻率Ω與序列的數(shù)字域頻率ω成線性關(guān)系。由于采樣頻率fs與采樣周期T互為倒數(shù)，也可以表示成下式：

1.1離散時間信號1.1.1幾種最常用的典型序列7.復(fù)指數(shù)序列

x(n)=e(σ+jω)n式中ω為數(shù)字域頻率。設(shè)σ=0，用極坐標(biāo)和實部虛部表示如下式：

x(n)=ejωn

x(n)=cos(ωn)+jsin(ωn)

由于n取整數(shù)，下面等式成立：

ej(ω+2πM)n=ejωn,M=0,±1,±2…

1.1離散時間信號1.1.1幾種最常用的典型序列一些有用的序列關(guān)系式和表達(dá)式總結(jié)1.1離散時間信號1.1.1幾種最常用的典型序列

周期序列：如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，使下面等式成立：

x(n)=x(n+kN),-∞<n<∞

則稱序列x(n)為周期性序列，周期為N，注意N要取整數(shù)。例如：上式中，數(shù)字頻率是π/4，由于n取整數(shù)，可以寫成下式：1.1離散時間信號1.1.2離散周期序列

上式表明是周期為8的周期序列，也稱正弦序列。下面討論一般正弦序列的周期性。設(shè)x(n)=Asin(ω0n+φ)

那么

x(n+N)=Asin(ω0(n+N)+φ)=Asin(ω0n+ω0N+φ)

如果

x(n+N)=x(n)1.1離散時間信號1.1.2離散周期序列

則要求ω0N=2πk，式中k與N均取整數(shù)，且k的取值要保證N是最小的正整數(shù)，滿足這些條件，正弦序列才是以N為周期的周期序列。具體正弦序列有以下三種情況：

(1)當(dāng)2π/ω0為整數(shù)時，k=1，正弦序列是以2π/ω0為周期的周期序列。例如sin(π/8)n，ω0=π/8，2π/ω0=16,該正弦序列周期為16。

1.1離散時間信號1.1.2離散周期序列(2)2π/ω0不是整數(shù)，是一個有理數(shù)時，設(shè)2π/ω0=P/Q，式中P、Q是互為素數(shù)的整數(shù)，取k=Q,那么N=P，則正弦序列是以P為周期的周期序列。例如sin(4/5)πn，ω0=(4/5)π，2π/ω0=5/2，k=2，該正弦序列是以5為周期的周期序列。

(3)2π/ω0是無理數(shù)，任何整數(shù)k都不能使N為正整數(shù)，因此，此時的正弦序列不是周期序列。例如，ω0=1/4,sin(ω0n)即不是周期序列。對于復(fù)指數(shù)序列ejω0n的周期性也有同樣的分析結(jié)果。1.1離散時間信號1.1.2離散周期序列

數(shù)字信號處理中常遇到序列的相加、相乘以及延時（移位）等序列運算。如有兩個序列{x（n）}，{y（n）}，則：1.

序列移位

y1（n）=x（n-k）指原序列逐項依次右移k位（k>0）以形成的新序列；y2（n）=x（n＋k）指原序列逐項依次左移k位（k>0）以形成的新序列；如K=3的序列移位如圖的示。1.1離散時間信號1.1.3序列的運算n:當(dāng)前時刻n-k:過去時刻n+k:將來x(n-1)是x(n)單位延遲，以后用表示。1.1離散時間信號1.1.3序列的運算2.序列相加和相乘

x（n）=x1（n）+x2（n）,同序號的序列值逐項對應(yīng)相加；

y（n）=x1（n）·x2（n）,同序號的序列值逐項對應(yīng)相乘。注意(1)只有相同長度的序列才能進(jìn)行相加和相乘。如果需要進(jìn)行此運算需要在短序列后補零進(jìn)行。

(2)序列相乘與向量乘法的區(qū)別。例：1.1離散時間信號1.1.3序列的運算補零后的序列

1.1離散時間信號1.1.3序列的運算3、序列的能量與功率序列的能量有限，稱為能量信號；能量無限，但功率有限，稱為功率信號。定義序列的能量與功率

1.1離散時間信號1.1.3序列的運算4.實序列的偶部與奇部如果對所有的n有

x（n）=x（-n）,稱為偶對稱序列；

x（n）=-x（-n）,稱為奇對稱序列；任何序列均可以分解為偶對稱序列與奇對稱序列和的形式說明：此分類在線性相位中使用。1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.1離散時間信號的傅立葉變換傅里葉變換

建立以時間t為自變量的“信號”與以頻率f為自變量的“頻率函數(shù)”(頻譜)之間的某種變換關(guān)系?！皶r間”或“頻率”取連續(xù)還是離散值,就形成各種不同形式的傅里葉變換對。已經(jīng)學(xué)過1、傅里葉級數(shù)(FS)：連續(xù)時間,離散頻率的傅里葉變換。2、傅里葉變換(FT)：連續(xù)時間,連續(xù)頻率的傅里葉變換。本書將討論另外兩種形式的傅里葉變換：3、序列的傅里葉變換(DTFT):離散時間,連續(xù)頻率的傅里葉變換。4、離散傅里葉級數(shù)和變換(DFT):離散時間,離散頻率的傅里葉變換。注：本書中數(shù)字頻率為ω,模擬角頻率為。傅里葉級數(shù)：周期連續(xù)時間信號非周期離散頻譜密度函數(shù)：設(shè)周期為T的連續(xù)時間函數(shù)x(t)可展成傅里葉級數(shù)X(kΩ0),是離散非周期性頻譜,表示為:變換對：正變換：反變換：x(t)的信號分解，復(fù)正弦基1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.1離散時間信號的傅立葉變換

傅立葉變換：非周期連續(xù)時間信號通過連續(xù)付里葉變換(FT)得到非周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)，表示為:變換對：正變換：反變換：1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.1離散時間信號的傅立葉變換DTFT：對于任一非周期離散的時間信號序列，定義該序列的傅立葉變換：變換對：正變換：反變換：幾點說明序列是離散的，所以變換需要求和；DTFT中的級數(shù)求和不一定總是收斂的，若x(n)絕對可和，則該級數(shù)絕對收斂(充分條件)。另外,平方可和序列的DTFT也存在,要強(qiáng)調(diào)的是平方可和序列不一定滿足絕對可和的條件。序列傅里葉變換X(ejw)是ω的連續(xù)周期函數(shù)，周期為2π。1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.1離散時間信號的傅立葉變換由X(ejw)可以得到x(n)的幅度譜、相位譜及能量譜，從而實現(xiàn)離散信號的頻域分析；可以看出,時域的離散造成頻域的周期延拓

,而時域的非周期對應(yīng)于頻域的連續(xù)。DTFT的一些主要性質(zhì)見表1.1。1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.1離散時間信號的傅立葉變換信號處理中的一類重要處理手段就是將信號通過某種變換到另一域中(物理上），得到變換后的另一信號（數(shù)學(xué)上），再進(jìn)行分析。這樣，可以得到有關(guān)該信號/系統(tǒng)在另一域上的直觀特性，更有利于對信號/系統(tǒng)的分析。對于離散信號來說，Ｚ變換及Ｚ域分析具有重要的作用,類似于連續(xù)域的Ｓ變換及Ｓ域分析，是傅立葉變換的一般形式。序列Ｚ變換的定義方法有（1）直接對離散信號給出定義（2）連續(xù)信號的拉普拉斯變換過渡到Ｚ變換。Z變換概述1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換序列x(n)的Z變換直接定義為:稱為雙邊z變換，如果n的取值為正整數(shù)，則上式變?yōu)閱芜匷變換，即Z變換實際上是級數(shù)求和的公式

，下面將回顧其討論其收斂域問題。（1）直接定義1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換回顧：模擬信號中的拉氏變換。設(shè)連續(xù)信號為x(t),其拉普拉斯變換與逆變換定義為（2）從抽樣信號的拉氏變換到z變換設(shè)對模擬信號進(jìn)行抽樣，得到離散時間信號為1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換由此可見，抽樣序列的Z變換正是z=esT時該序列的拉氏變換，即：X(s)=X(z)|z=esT對上述抽樣所得到離散時間信號進(jìn)行拉氏變換，有（2）從抽樣信號的拉氏變換到z變換1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換從抽樣信號的拉氏變換到z變換

S平面到z平面的映射關(guān)系：

1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換這時Z變換演變?yōu)殡x散序列的傅立葉變換。1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換1.2.5Z變換與DTFT的關(guān)系

序列x(n)的Z變換為:

上面實際上是級數(shù)求和的公式，存在收斂問題，因此可將對級數(shù)的數(shù)學(xué)分析方法應(yīng)用于z變換的分析。使X(z)一致收斂的z的取值范圍，叫做z變換的收斂域ROC(RegionofConvergence)。級數(shù)一致收斂的充要條件是滿足絕對可和?？梢?，z平面的收斂域僅與模|z|有關(guān)，而與幅角無關(guān)，收斂域的邊界一定是圓。序列x(n)的z變換的表達(dá)式及其收斂域是一個整體，二者共同唯一確定x(n)。例1.3，見教材15面：分析略。1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換z變換收斂域與序列的關(guān)系

收斂域的確切定義需具體問題具體分析，但它的大體形狀可以根據(jù)某些規(guī)律立刻確定。以下分有限長序列、左邊序列、右邊序列和雙邊序列四種情況分析收斂域的形狀。有限長序列右邊序列1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換z變換收斂域與序列的關(guān)系3.左邊序列4.雙邊序列1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換

1.留數(shù)法

由留數(shù)定理可知

為c內(nèi)的第k個極點，為c外的第m個極點，Res[]表示極點處的留數(shù)。1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.3逆Z變換

留數(shù)的求法：

1、當(dāng)Zr為一階極點時的留數(shù)：2、當(dāng)Zr為l階(多重)極點時的留數(shù)：1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.3逆Z變換

2.部分分式法有理式：數(shù)字和字符經(jīng)有限次加、減、乘、除運算所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或兩個多項式的商。分子的次數(shù)低于分母時稱為真分式。

部分分式：把x的一個實系數(shù)的真分式分解成幾個分式的和，使各分式具有或

的形式，其中x2+Ax+B是實數(shù)范圍內(nèi)的不可約多項式，而且k是正整數(shù)。這時稱各分式為原分式的“部分分式”。1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.3逆Z變換3.長除法

所以在給定的收斂域內(nèi)，把X(z)展為冪級數(shù)，其系數(shù)就是序列x(n)。如收斂域為|z|>Rx+，x(n)為因果序列，則X(z)展成Z的負(fù)冪級數(shù)。若收斂域|Z|<Rx-,x(n)必為左邊序列，主要展成

Z的正冪級數(shù)。1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.3逆Z變換1.2.4Z變換的性質(zhì)z變換的許多重要性質(zhì)在數(shù)字信號處理常常用到，見教材表1.2Parsval定理能量信號在時域的總能量等于其頻域的總能量。一般，設(shè)有序列x(n)和y(n),則Parsval定理為DTFT時的Parsval定理為1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.６Parsval定理證：令w（n）=x（n）y*（n）利用復(fù)共軛和復(fù)卷積特性：則

假設(shè)收斂域滿足：Rx-Ry-〈1〈Rx+Ry+

因此，|z|=1在收斂域內(nèi)，即w（z）在單位圓上收斂，w（z）|z=1存在，又因

因此 證畢1.2離散時間信號的傅立葉變換與z變換1.2.６Parsval定理1.3離散時間系統(tǒng)

一個離散時間系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上的定義是將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一性變換或運算。它的輸入是一個序列，輸出也是一個序列，其本質(zhì)是將輸入序列轉(zhuǎn)變成輸出序列的一個運算。

y(n)=T[x(n)]對T[·]加以種種約束,可定義出各類離散時間系統(tǒng)。離散時間系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線性、時不變系統(tǒng)”。

x(n)y(n)T[·]T[.]

離散時間系統(tǒng)1.線性系統(tǒng)（滿足迭加原理的系統(tǒng)）若系統(tǒng)的輸入為x1（n）和x2（n）時，輸出分別為y1（n）和y2（n），

如果系統(tǒng)輸入為ax1（n）+bx2（n）時，輸出為ay1（n）+by2（n），其中a，b為任意常數(shù)，則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的條件為

線性系統(tǒng)對信號的處理可應(yīng)用迭加定理。例1.6，見教材21面：分析略。1.3離散時間系統(tǒng)1.3.1線性系統(tǒng)２.時不變系統(tǒng)如果則（k為任意整數(shù)）即系統(tǒng)的特性不隨時間而變化。線性時不變系統(tǒng)簡稱為：LTI例1.7，見教材21面：分析略。1.3離散時間系統(tǒng)1.3.2時不變系統(tǒng)3.線性時不變系統(tǒng)及其響應(yīng)線性時不變系統(tǒng)——既滿足迭加原理又具有時不變性的系統(tǒng)。線性時不變系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)來表示。任一序列都可表示成各延時單位脈沖序列的加權(quán)和

如令h（n）為系統(tǒng)對單位脈沖序列的響應(yīng)，當(dāng)系統(tǒng)的輸入為單位抽樣序列時系統(tǒng)的輸出稱為單位抽樣響應(yīng)。

h（n）=T[δ（n）]則系統(tǒng)對任一輸入序列x（n）的響應(yīng)為

由于系統(tǒng)是線性的，滿足迭加定理

1.3離散時間系統(tǒng)1.3.3線性時不變系統(tǒng)及其響應(yīng)又由于系統(tǒng)是時不變的，對移位的單位脈沖的響應(yīng)等于單位脈沖響應(yīng)的移位。

因此

該式表明：對任何線性時不變系統(tǒng)，可完全通過其單位脈沖響應(yīng)h（n）來表示。這個公式和模擬系統(tǒng)的卷積是類似的，稱為離散卷積，或線性卷積。卷積過程：①

對

h（m）繞縱軸折疊，得h（-m）；②

對h（-m）移位得

h（n-m）；③將x(m)和h(n-m)所有對應(yīng)項相乘之后相加，得離散卷積結(jié)果y（n）。

例1.8，見教材22面：分析略。注：只有線性時不變系統(tǒng)才能由單位脈沖響應(yīng)來表示1.3離散時間系統(tǒng)1.3.3線性時不變系統(tǒng)及其響應(yīng)因果性和穩(wěn)定性對于一個LSI系統(tǒng),如果它在任意時刻的輸出只決定于當(dāng)時的輸入和前過去的輸入,而與將來的輸入無關(guān),稱系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。線性移不變因果系統(tǒng)的充要條件為

h(n)=0，n<0可由卷積公式導(dǎo)出，說明見板書。對于一個LSI系統(tǒng),如果輸入信號有界,則輸出信號也有界,稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，稱為穩(wěn)定判據(jù)Ⅰ可由卷積公式導(dǎo)出，說明見板書。1.3離散時間系統(tǒng)1.3.4系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性例：分析單位脈沖響應(yīng)為h（n）=anu（n）的線性時不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。分析：既然，n〈０時，h（n）=0，系統(tǒng)是因果的如果|a|<1,則如果|a|≥1,則s→∞，級數(shù)發(fā)散。故系統(tǒng)僅在|a|〈1時才是穩(wěn)定的。1.3離散時間系統(tǒng)1.3.4系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性

穩(wěn)定的因果系統(tǒng)：既滿足穩(wěn)定性又滿足因果性的系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)既是單邊的，又是絕對可和的，即

這種穩(wěn)定因果系統(tǒng)既是可實現(xiàn)的又是穩(wěn)定工作的，這種系統(tǒng)是最主要的系統(tǒng)。1.3離散時間系統(tǒng)1.3.4系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性概述系統(tǒng)的描述和分析方法包括：時域分析法差分方程和離散卷積變換域分析法

Z變換（Z變換可將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程）:是系統(tǒng)分析與綜合的重要工具,其地位和作用類似于連續(xù)域的S變換DFT(離散傅立葉變換)1.3離散時間系統(tǒng)1.3.5系統(tǒng)的差分方程描述時域分析－差分方程

對系統(tǒng)的時域分析利用的數(shù)學(xué)工具是差分方程。線性移不變離散時間系統(tǒng)可以用常系數(shù)線性差分方程來描述：其中ai、bi都是常數(shù)。離散系統(tǒng)差分方程表示法有兩個主要用途：①由差分方程得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)；②求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)；差分方程和初始條件共同決定系統(tǒng)的瞬態(tài)解。差分方程的求解方法：遞推法、z變換法1.3離散時間系統(tǒng)1.3.5系統(tǒng)的差分方程描述考慮兩個差分方程：

上述差分方程分別是一階自回歸差分方程和三點加權(quán)平均器。下面通過求解此兩個差分方程的單位采樣響應(yīng)觀察兩個系統(tǒng)的區(qū)別1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.5FIR系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為0，即h(-1)=0。同理求得例2的單位抽樣響應(yīng)求例1的單位抽樣響應(yīng)1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.5FIR系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)FIR與IIR系統(tǒng)的概念根據(jù)離散時間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)可將系統(tǒng)分為兩大類。有限沖激響應(yīng)（FIR:FiniteImpulseResponse）：單位沖激響應(yīng)有限長的離散系統(tǒng)。無限沖激響應(yīng)（IIRFIR:InfiniteImpulseResponse）：單位沖激響應(yīng)無限長的離散系統(tǒng)。1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.5FIR系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)對于線性移不變離散時間系統(tǒng)有:

兩邊取DTFT得到定義為離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，反映系統(tǒng)性能隨頻率變化的情況?；蛘哒f，輸出序列的傅氏變換等于輸入序列的傅氏變換與頻率響應(yīng)的乘積。1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)直接定義即單位脈沖響應(yīng)的DTFT。由此可以看出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是復(fù)數(shù)，存在幅度和相位問題定義系統(tǒng)頻響H（ejw)的模和幅角分別為幅頻特性和相頻特性。1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)即系統(tǒng)頻響的性質(zhì)：①H（ejw)

是w的連續(xù)函數(shù)，且是w的周期函數(shù)，其周期為2π。②如果h(n)是實序列有H（e-jw)=H*（ejw)

。即幅頻特性偶對稱，相頻特性奇對稱。1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)更一般地，我們用單位脈沖響應(yīng)的Z變換來描述系統(tǒng)，定義系統(tǒng)函數(shù)為。下面從系統(tǒng)的兩種時域描述得出系統(tǒng)函數(shù)的兩種解釋:卷積關(guān)系

系統(tǒng)函數(shù)等于輸出、輸入序列z變換之比，從Z域體現(xiàn)了輸出、輸入關(guān)系，所以系統(tǒng)函數(shù)有時也被說成是轉(zhuǎn)移函數(shù)、傳遞函數(shù)或傳輸函數(shù)。1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.2系統(tǒng)函數(shù)2.差分方程按輸出Z變換與輸入序列的z變換之比。于是1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.2系統(tǒng)函數(shù)注意：若用H(z)表征一個系統(tǒng)，應(yīng)指明H(z)的收斂域，方能惟一地確定這個系統(tǒng)。離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)的傅立葉變換。取系統(tǒng)函數(shù)H(z)在單位圓上的值:1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.1系統(tǒng)函數(shù)零極點概念

使系統(tǒng)函數(shù)為零的z稱為系統(tǒng)的零點，使系統(tǒng)函數(shù)為趨于無窮的z稱為系統(tǒng)的極點?？紤]

zr和pk分別稱為系統(tǒng)的零點和極點。下面利用零極點概念分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和頻率響應(yīng)。對分子分母分別進(jìn)行因式分解得1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.4系統(tǒng)函數(shù)的零極點穩(wěn)定性判據(jù)2一個LSI系統(tǒng)穩(wěn)定充分必要條件是其所有的極點位于單位圓內(nèi)。證明:LSI系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為利用系統(tǒng)穩(wěn)定的判據(jù)1可得由系統(tǒng)穩(wěn)定的判據(jù)1可知,級數(shù)收斂要求|pk|<1,即極點必須在單位圓內(nèi).1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.4系統(tǒng)函數(shù)的零極點利用零極點估計系統(tǒng)的頻率響應(yīng)極零圖:將H(z)的零極點畫在Z平面上得到的圖形.1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.4系統(tǒng)函數(shù)的零極點整個系統(tǒng)函數(shù)可以由它的全部零、極點來唯一確定。隨著w在單位圓上變化,可以得到系統(tǒng)函數(shù)的模和幅角都在變化,從而可以估計系統(tǒng)的頻率響應(yīng).用極點和零點表示系統(tǒng)函數(shù)的優(yōu)點是，它提供了一種有效的求系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幾何方法。當(dāng)頻率ω由0~2π時，這些向量的終點沿單位圓反時針方向旋轉(zhuǎn)一圈，由此可估算出整個系統(tǒng)的頻響。利用零極點估計系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.4系統(tǒng)函數(shù)的零極點其基本原理是，當(dāng)單位圓上的ejω

點在極點di附近時，分母向量最短，出現(xiàn)極小值，頻響在這附近可能出現(xiàn)峰值，且極點di

越靠近單位圓，極小值越小，頻響出現(xiàn)的峰值越尖銳，當(dāng)di

處在單位圓上時，極小值為零，相應(yīng)的頻響將出現(xiàn)∞，這相當(dāng)于在該頻率處出現(xiàn)無耗（Q=∞）諧振，當(dāng)極點超出單位圓時系統(tǒng)就處于不穩(wěn)定狀態(tài)。對于現(xiàn)實系統(tǒng)，這是不希望的。對于零點位置，頻響將正好相反，ejω點越接近某零點ci

，頻響越低，因此在零點附近，頻響出現(xiàn)谷點，零點越接近單位圓，谷點越接近零，零點處于單位圓上時，谷點為零，即在零點所在頻率上出現(xiàn)傳輸零點，零點可以位于單位圓以外，不受穩(wěn)定性約束。這種幾何方法為我們認(rèn)識零、極點分布對系統(tǒng)性能的影響提供了一個直觀的概念，這一概念對系統(tǒng)的分析和設(shè)計都十分重要。零點在單位圓上0,

處；極點在,處。

ω0。。例：Im[z]0*xRe[z]a0總結(jié)：系統(tǒng)零極點與|H(ejw)|的關(guān)系①極點：在極點頻率處，|H(ejw)|出現(xiàn)峰值，極點離單位圓越近，峰值越大；極點在單位圓上，峰值無窮大。②零點：在零點頻率處，|H(ejw)|出現(xiàn)谷值，零點離單位圓越近，谷值越低；零點在單位圓上，谷值為零。幾點說明(1).

表示原點處零極點，它到單位圓的距離恒為1，故對幅度響應(yīng)不起作用只是給出線性相移分量ω(N-M)。(2).零點可在單位圓外。極點在圓外，系統(tǒng) 不穩(wěn)定。(3).極點和零點可以互相補償。利用零極點估計系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.4系統(tǒng)函數(shù)的零極點

1．conv.m本文件用來求離散系統(tǒng)的輸出y(n)。若系統(tǒng)的h(n)已知，由y(n)=x(n)*h(n)，用conv.m文件可求出y(n)。

與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件2．filter.mfilter文件是在A(z)、B(z)已知，但不知道h(n)的情況下求y(n)的。調(diào)用格式是:y=filter(b,a,x)x,y,a和b都是向量。與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件

3．freqz.m已知A(z)、B(z),求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)?；镜恼{(diào)用格式是：

[H,w]=freqz(b,a,N,'whole',Fs)N是頻率軸的分點數(shù)，建議N為2的整次冪；w是返回頻率軸座標(biāo)向量，繪圖用；Fs是抽樣頻率，若Fs＝1，頻率軸給出歸一化頻率；’whole’指定計算的頻率范圍是從0～FS,缺省時是從0～FS/2.1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件4.zplane.m本文件可用來顯示離散系統(tǒng)的極－零圖。其調(diào)用格式是：

zplane(z,p),或zplane(b,a),前者是在已知系統(tǒng)零點的列向量z和極點的列向量p的情況下畫出極－零圖，后者是在僅已知A(z)、B(z)的情況下畫出極－零圖。1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件5．impz.m在A（z）、B（z）已知情況下,求系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)。調(diào)用格式是：

h=impz(b,a,N)或

[h,t]=impz(b,a,N)N是所需的的長度。前者繪圖時n從1開始,而后者從0開始。1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件6.residuez.m

將H(z)的有理分式分解成簡單有理分式的和，因此可用來求逆變換。調(diào)用格式：

[r,p,k]=residuez(b,a)假如知道了向量r,p和k，利用residuez.m還可反過來求出多項式A(z)、B(z)。格式是

[b,a]=residuez(r,p,k)。1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件

%totestconv.m%計算兩個序列的線性卷積；clear;N=5;M=6;L=N+M-1;%教材77面x=[1,2,3,4,5];h=[6,2,3,6,4,2];y=conv(x,h);nx=0:N-1;nh=0:M-1;ny=0:L-1;subplot(311);stem(nx,x,'.k');xlabel('n');ylabel('x(n)');gridon;subplot(312);stem(nh,h,'.k');xlabel('n');ylabel('h(n)');gridon;subplot(313);stem(ny,y,'.k');xlabel('n');ylabel('y(n)');gridon;例1：離散線性卷積1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件%freqz.m%totestfreqz.mandtoobtainthefrequencyresponseclearall;b=[.001836,.007344,.011016,.007374,.001836];a=[1,-3.0544,3.8291,-2.2925,.55075];[H,w]=freqz(b,a,256,1);Hr