離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)

主講：趙發(fā)勇zfy_72@163.com物電學(xué)院第一章

離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)教學(xué)目標(biāo)1、了解序列的概念和常用序列及序列的運(yùn)算2、掌握序列DTFT變換的定義、性質(zhì)及計(jì)算3、掌握Ｚ變換的定義、性質(zhì)、計(jì)算及收斂域4、掌握離散時(shí)間系統(tǒng)的概念、線性時(shí)不變系統(tǒng)、差分方程及系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性5、掌握離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、零極點(diǎn)分析和頻率響應(yīng)6、了解FIR與IIR系統(tǒng)的基本概念教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)1、序列DTFT變換和Ｚ變換2、離散時(shí)間系統(tǒng)的線性、時(shí)不變、因果性和穩(wěn)定性概念及判定3、基于離散時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分析和頻率響應(yīng)序列:是一串以序號(hào)為自變量的有序數(shù)字的集合寫作：x={x(n)}一∞<n<∞n為整變量，x(n)是第n項(xiàng)的序列值，序列值一般是連續(xù)數(shù)值(模擬量)，也可以是離散數(shù)值。注意：序列x(n)不一定代表時(shí)間序列，也可能表示頻域、相關(guān)域等其它域上的一組有序數(shù)，但習(xí)慣上常把它說(shuō)成是離散時(shí)間信號(hào)x(n)只有在整數(shù)上才有定義。1.1離散時(shí)間信號(hào)引言模擬信號(hào)產(chǎn)生離散信號(hào)分析如下：對(duì)模擬信號(hào)xa(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到這里n取整數(shù)。對(duì)于不同的n值，xa(nT)是一個(gè)有序的數(shù)字序列：…

xa(-T)、xa(0)、xa(T)…，該數(shù)字序列就是時(shí)域離散信號(hào)。實(shí)際信號(hào)處理中，這些數(shù)字序列值按順序放在存貯器中，此時(shí)nT代表的是前后順序。為簡(jiǎn)化，采樣間隔可以不寫，形成x(n)信號(hào)，即序列。對(duì)于具體信號(hào)，x(n)代表第n個(gè)序列值。在數(shù)值上它等于信號(hào)的采樣值，即

x(n)=xa(nT)，-∞＜n＜∞1.1離散時(shí)間信號(hào)引言1、集合表示集合表示符號(hào)為{·}。如，x(n)是通過(guò)觀測(cè)得到的一組離散數(shù)據(jù)，其集合符號(hào)表示為

x(n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}2、用公式表示

x(n)=an-∞＜n＜∞3、用圖表示序列也可以用圖形表示。1.1離散時(shí)間信號(hào)序列的表示方法1.單位脈沖序列δ(n)

單位脈沖序列也可以稱為單位采樣序列，離散沖激或簡(jiǎn)稱沖激。作用類似于模擬系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0時(shí)，取值無(wú)窮大，t≠0時(shí)取值為零，對(duì)時(shí)間t的積分為1。單位采樣序列如圖所示。1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.1幾種最常用的典型序列２.單位階躍序列u(n)

單位階躍序列如圖所示。它類似于模擬信號(hào)中的單位階躍函數(shù)u(t)。δ(n)與u(n)之間的關(guān)系如下

1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.1幾種最常用的典型序列３.脈沖串序列p(n)脈沖串序列為指自變量為任意值都為1的序列。1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.1幾種最常用的典型序列或?qū)憺?/p>

={…,1,1,1,…}矩形序列RN(n)

1,0≤n≤N-10，其它n

上式中N稱為矩形序列的長(zhǎng)度。當(dāng)N=4時(shí)，R4(n)的波形如圖所示。矩形序列可用單位階躍序列表示，如下式：

RN(n)=u(n)-u(n-N)RN(n)=1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.1幾種最常用的典型序列5.實(shí)指數(shù)序列

x(n)=anu(n)，a為實(shí)數(shù)如果|a|<1，x(n)的幅度隨n的增大而減小，稱x(n)為收斂序列；如|a|>1，則稱為發(fā)散序列。其波形如圖所示。1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.1幾種最常用的典型序列

6.正弦序列

x(n)=sin(ωn)

式中ω稱為正弦序列的數(shù)字域頻率，單位是弧度，它表示序列變化的速率，或者說(shuō)表示相鄰兩個(gè)序列值之間變化的弧度數(shù)。如果正弦序列是由模擬信號(hào)xa(t)采樣得到的，那么

xa(t)=sin(Ωt)

xa(t)|t=nT=sin(ΩnT)Ω為模擬角頻率,T為抽樣周期。1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.1幾種最常用的典型序列而正弦序列表示為x(n)=sin(ωn)。因?yàn)樵跀?shù)值上，序列值與采樣信號(hào)值相等，因此得到數(shù)字頻率ω與模擬角頻率Ω之間的關(guān)系為

ω=ΩT

上式具有普遍意義，它表示凡是由模擬信號(hào)采樣得到的序列，模擬角頻率Ω與序列的數(shù)字域頻率ω成線性關(guān)系。由于采樣頻率fs與采樣周期T互為倒數(shù)，也可以表示成下式：

1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.1幾種最常用的典型序列7.復(fù)指數(shù)序列

x(n)=e(σ+jω)n式中ω為數(shù)字域頻率。設(shè)σ=0，用極坐標(biāo)和實(shí)部虛部表示如下式：

x(n)=ejωn

x(n)=cos(ωn)+jsin(ωn)

由于n取整數(shù)，下面等式成立：

ej(ω+2πM)n=ejωn,M=0,±1,±2…

1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.1幾種最常用的典型序列一些有用的序列關(guān)系式和表達(dá)式總結(jié)1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.1幾種最常用的典型序列

周期序列：如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，使下面等式成立：

x(n)=x(n+kN),-∞<n<∞

則稱序列x(n)為周期性序列，周期為N，注意N要取整數(shù)。例如：上式中，數(shù)字頻率是π/4，由于n取整數(shù)，可以寫成下式：1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.2離散周期序列

上式表明是周期為8的周期序列，也稱正弦序列。下面討論一般正弦序列的周期性。設(shè)x(n)=Asin(ω0n+φ)

那么

x(n+N)=Asin(ω0(n+N)+φ)=Asin(ω0n+ω0N+φ)

如果

x(n+N)=x(n)1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.2離散周期序列

則要求ω0N=2πk，式中k與N均取整數(shù)，且k的取值要保證N是最小的正整數(shù)，滿足這些條件，正弦序列才是以N為周期的周期序列。具體正弦序列有以下三種情況：

(1)當(dāng)2π/ω0為整數(shù)時(shí)，k=1，正弦序列是以2π/ω0為周期的周期序列。例如sin(π/8)n，ω0=π/8，2π/ω0=16,該正弦序列周期為16。

1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.2離散周期序列(2)2π/ω0不是整數(shù)，是一個(gè)有理數(shù)時(shí)，設(shè)2π/ω0=P/Q，式中P、Q是互為素?cái)?shù)的整數(shù)，取k=Q,那么N=P，則正弦序列是以P為周期的周期序列。例如sin(4/5)πn，ω0=(4/5)π，2π/ω0=5/2，k=2，該正弦序列是以5為周期的周期序列。

(3)2π/ω0是無(wú)理數(shù)，任何整數(shù)k都不能使N為正整數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。例如，ω0=1/4,sin(ω0n)即不是周期序列。對(duì)于復(fù)指數(shù)序列ejω0n的周期性也有同樣的分析結(jié)果。1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.2離散周期序列

數(shù)字信號(hào)處理中常遇到序列的相加、相乘以及延時(shí)（移位）等序列運(yùn)算。如有兩個(gè)序列{x（n）}，{y（n）}，則：1.

序列移位

y1（n）=x（n-k）指原序列逐項(xiàng)依次右移k位（k>0）以形成的新序列；y2（n）=x（n＋k）指原序列逐項(xiàng)依次左移k位（k>0）以形成的新序列；如K=3的序列移位如圖的示。1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.3序列的運(yùn)算n:當(dāng)前時(shí)刻n-k:過(guò)去時(shí)刻n+k:將來(lái)x(n-1)是x(n)單位延遲，以后用表示。1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.3序列的運(yùn)算2.序列相加和相乘

x（n）=x1（n）+x2（n）,同序號(hào)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加；

y（n）=x1（n）·x2（n）,同序號(hào)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘。注意(1)只有相同長(zhǎng)度的序列才能進(jìn)行相加和相乘。如果需要進(jìn)行此運(yùn)算需要在短序列后補(bǔ)零進(jìn)行。

(2)序列相乘與向量乘法的區(qū)別。例：1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.3序列的運(yùn)算補(bǔ)零后的序列

1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.3序列的運(yùn)算3、序列的能量與功率序列的能量有限，稱為能量信號(hào)；能量無(wú)限，但功率有限，稱為功率信號(hào)。定義序列的能量與功率

1.1離散時(shí)間信號(hào)1.1.3序列的運(yùn)算4.實(shí)序列的偶部與奇部如果對(duì)所有的n有

x（n）=x（-n）,稱為偶對(duì)稱序列；

x（n）=-x（-n）,稱為奇對(duì)稱序列；任何序列均可以分解為偶對(duì)稱序列與奇對(duì)稱序列和的形式說(shuō)明：此分類在線性相位中使用。1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.1離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換傅里葉變換

建立以時(shí)間t為自變量的“信號(hào)”與以頻率f為自變量的“頻率函數(shù)”(頻譜)之間的某種變換關(guān)系。“時(shí)間”或“頻率”取連續(xù)還是離散值,就形成各種不同形式的傅里葉變換對(duì)。已經(jīng)學(xué)過(guò)1、傅里葉級(jí)數(shù)(FS)：連續(xù)時(shí)間,離散頻率的傅里葉變換。2、傅里葉變換(FT)：連續(xù)時(shí)間,連續(xù)頻率的傅里葉變換。本書將討論另外兩種形式的傅里葉變換：3、序列的傅里葉變換(DTFT):離散時(shí)間,連續(xù)頻率的傅里葉變換。4、離散傅里葉級(jí)數(shù)和變換(DFT):離散時(shí)間,離散頻率的傅里葉變換。注：本書中數(shù)字頻率為ω,模擬角頻率為。傅里葉級(jí)數(shù)：周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)非周期離散頻譜密度函數(shù)：設(shè)周期為T的連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)可展成傅里葉級(jí)數(shù)X(kΩ0),是離散非周期性頻譜,表示為:變換對(duì)：正變換：反變換：x(t)的信號(hào)分解，復(fù)正弦基1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.1離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換

傅立葉變換：非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)通過(guò)連續(xù)付里葉變換(FT)得到非周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)，表示為:變換對(duì)：正變換：反變換：1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.1離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換DTFT：對(duì)于任一非周期離散的時(shí)間信號(hào)序列，定義該序列的傅立葉變換：變換對(duì)：正變換：反變換：幾點(diǎn)說(shuō)明序列是離散的，所以變換需要求和；DTFT中的級(jí)數(shù)求和不一定總是收斂的，若x(n)絕對(duì)可和，則該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂(充分條件)。另外,平方可和序列的DTFT也存在,要強(qiáng)調(diào)的是平方可和序列不一定滿足絕對(duì)可和的條件。序列傅里葉變換X(ejw)是ω的連續(xù)周期函數(shù)，周期為2π。1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.1離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換由X(ejw)可以得到x(n)的幅度譜、相位譜及能量譜，從而實(shí)現(xiàn)離散信號(hào)的頻域分析；可以看出,時(shí)域的離散造成頻域的周期延拓

,而時(shí)域的非周期對(duì)應(yīng)于頻域的連續(xù)。DTFT的一些主要性質(zhì)見(jiàn)表1.1。1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.1離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換信號(hào)處理中的一類重要處理手段就是將信號(hào)通過(guò)某種變換到另一域中(物理上），得到變換后的另一信號(hào)（數(shù)學(xué)上），再進(jìn)行分析。這樣，可以得到有關(guān)該信號(hào)/系統(tǒng)在另一域上的直觀特性，更有利于對(duì)信號(hào)/系統(tǒng)的分析。對(duì)于離散信號(hào)來(lái)說(shuō)，Ｚ變換及Ｚ域分析具有重要的作用,類似于連續(xù)域的Ｓ變換及Ｓ域分析，是傅立葉變換的一般形式。序列Ｚ變換的定義方法有（1）直接對(duì)離散信號(hào)給出定義（2）連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換過(guò)渡到Ｚ變換。Z變換概述1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換序列x(n)的Z變換直接定義為:稱為雙邊z變換，如果n的取值為正整數(shù)，則上式變?yōu)閱芜匷變換，即Z變換實(shí)際上是級(jí)數(shù)求和的公式

，下面將回顧其討論其收斂域問(wèn)題。（1）直接定義1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換回顧：模擬信號(hào)中的拉氏變換。設(shè)連續(xù)信號(hào)為x(t),其拉普拉斯變換與逆變換定義為（2）從抽樣信號(hào)的拉氏變換到z變換設(shè)對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行抽樣，得到離散時(shí)間信號(hào)為1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換由此可見(jiàn)，抽樣序列的Z變換正是z=esT時(shí)該序列的拉氏變換，即：X(s)=X(z)|z=esT對(duì)上述抽樣所得到離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行拉氏變換，有（2）從抽樣信號(hào)的拉氏變換到z變換1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換從抽樣信號(hào)的拉氏變換到z變換

S平面到z平面的映射關(guān)系：

1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換這時(shí)Z變換演變?yōu)殡x散序列的傅立葉變換。1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換1.2.5Z變換與DTFT的關(guān)系

序列x(n)的Z變換為:

上面實(shí)際上是級(jí)數(shù)求和的公式，存在收斂問(wèn)題，因此可將對(duì)級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)分析方法應(yīng)用于z變換的分析。使X(z)一致收斂的z的取值范圍，叫做z變換的收斂域ROC(RegionofConvergence)。級(jí)數(shù)一致收斂的充要條件是滿足絕對(duì)可和?？梢?jiàn)，z平面的收斂域僅與模|z|有關(guān)，而與幅角無(wú)關(guān)，收斂域的邊界一定是圓。序列x(n)的z變換的表達(dá)式及其收斂域是一個(gè)整體，二者共同唯一確定x(n)。例1.3，見(jiàn)教材15面：分析略。1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換z變換收斂域與序列的關(guān)系

收斂域的確切定義需具體問(wèn)題具體分析，但它的大體形狀可以根據(jù)某些規(guī)律立刻確定。以下分有限長(zhǎng)序列、左邊序列、右邊序列和雙邊序列四種情況分析收斂域的形狀。有限長(zhǎng)序列右邊序列1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換z變換收斂域與序列的關(guān)系3.左邊序列4.雙邊序列1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.2Z變換

1.留數(shù)法

由留數(shù)定理可知

為c內(nèi)的第k個(gè)極點(diǎn)，為c外的第m個(gè)極點(diǎn)，Res[]表示極點(diǎn)處的留數(shù)。1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.3逆Z變換

留數(shù)的求法：

1、當(dāng)Zr為一階極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)：2、當(dāng)Zr為l階(多重)極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)：1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.3逆Z變換

2.部分分式法有理式：數(shù)字和字符經(jīng)有限次加、減、乘、除運(yùn)算所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或兩個(gè)多項(xiàng)式的商。分子的次數(shù)低于分母時(shí)稱為真分式。

部分分式：把x的一個(gè)實(shí)系數(shù)的真分式分解成幾個(gè)分式的和，使各分式具有或

的形式，其中x2+Ax+B是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的不可約多項(xiàng)式，而且k是正整數(shù)。這時(shí)稱各分式為原分式的“部分分式”。1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.3逆Z變換3.長(zhǎng)除法

所以在給定的收斂域內(nèi)，把X(z)展為冪級(jí)數(shù)，其系數(shù)就是序列x(n)。如收斂域?yàn)閨z|>Rx+，x(n)為因果序列，則X(z)展成Z的負(fù)冪級(jí)數(shù)。若收斂域|Z|<Rx-,x(n)必為左邊序列，主要展成

Z的正冪級(jí)數(shù)。1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.3逆Z變換1.2.4Z變換的性質(zhì)z變換的許多重要性質(zhì)在數(shù)字信號(hào)處理常常用到，見(jiàn)教材表1.2Parsval定理能量信號(hào)在時(shí)域的總能量等于其頻域的總能量。一般，設(shè)有序列x(n)和y(n),則Parsval定理為DTFT時(shí)的Parsval定理為1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.６Parsval定理證：令w（n）=x（n）y*（n）利用復(fù)共軛和復(fù)卷積特性：則

假設(shè)收斂域滿足：Rx-Ry-〈1〈Rx+Ry+

因此，|z|=1在收斂域內(nèi)，即w（z）在單位圓上收斂，w（z）|z=1存在，又因

因此 證畢1.2離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換與z變換1.2.６Parsval定理1.3離散時(shí)間系統(tǒng)

一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上的定義是將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一性變換或運(yùn)算。它的輸入是一個(gè)序列，輸出也是一個(gè)序列，其本質(zhì)是將輸入序列轉(zhuǎn)變成輸出序列的一個(gè)運(yùn)算。

y(n)=T[x(n)]對(duì)T[·]加以種種約束,可定義出各類離散時(shí)間系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線性、時(shí)不變系統(tǒng)”。

x(n)y(n)T[·]T[.]

離散時(shí)間系統(tǒng)1.線性系統(tǒng)（滿足迭加原理的系統(tǒng)）若系統(tǒng)的輸入為x1（n）和x2（n）時(shí)，輸出分別為y1（n）和y2（n），

如果系統(tǒng)輸入為ax1（n）+bx2（n）時(shí)，輸出為ay1（n）+by2（n），其中a，b為任意常數(shù)，則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的條件為

線性系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的處理可應(yīng)用迭加定理。例1.6，見(jiàn)教材21面：分析略。1.3離散時(shí)間系統(tǒng)1.3.1線性系統(tǒng)２.時(shí)不變系統(tǒng)如果則（k為任意整數(shù)）即系統(tǒng)的特性不隨時(shí)間而變化。線性時(shí)不變系統(tǒng)簡(jiǎn)稱為：LTI例1.7，見(jiàn)教材21面：分析略。1.3離散時(shí)間系統(tǒng)1.3.2時(shí)不變系統(tǒng)3.線性時(shí)不變系統(tǒng)及其響應(yīng)線性時(shí)不變系統(tǒng)——既滿足迭加原理又具有時(shí)不變性的系統(tǒng)。線性時(shí)不變系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)來(lái)表示。任一序列都可表示成各延時(shí)單位脈沖序列的加權(quán)和

如令h（n）為系統(tǒng)對(duì)單位脈沖序列的響應(yīng)，當(dāng)系統(tǒng)的輸入為單位抽樣序列時(shí)系統(tǒng)的輸出稱為單位抽樣響應(yīng)。

h（n）=T[δ（n）]則系統(tǒng)對(duì)任一輸入序列x（n）的響應(yīng)為

由于系統(tǒng)是線性的，滿足迭加定理

1.3離散時(shí)間系統(tǒng)1.3.3線性時(shí)不變系統(tǒng)及其響應(yīng)又由于系統(tǒng)是時(shí)不變的，對(duì)移位的單位脈沖的響應(yīng)等于單位脈沖響應(yīng)的移位。

因此

該式表明：對(duì)任何線性時(shí)不變系統(tǒng)，可完全通過(guò)其單位脈沖響應(yīng)h（n）來(lái)表示。這個(gè)公式和模擬系統(tǒng)的卷積是類似的，稱為離散卷積，或線性卷積。卷積過(guò)程：①

對(duì)

h（m）繞縱軸折疊，得h（-m）；②

對(duì)h（-m）移位得

h（n-m）；③將x(m)和h(n-m)所有對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘之后相加，得離散卷積結(jié)果y（n）。

例1.8，見(jiàn)教材22面：分析略。注：只有線性時(shí)不變系統(tǒng)才能由單位脈沖響應(yīng)來(lái)表示1.3離散時(shí)間系統(tǒng)1.3.3線性時(shí)不變系統(tǒng)及其響應(yīng)因果性和穩(wěn)定性對(duì)于一個(gè)LSI系統(tǒng),如果它在任意時(shí)刻的輸出只決定于當(dāng)時(shí)的輸入和前過(guò)去的輸入,而與將來(lái)的輸入無(wú)關(guān),稱系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。線性移不變因果系統(tǒng)的充要條件為

h(n)=0，n<0可由卷積公式導(dǎo)出，說(shuō)明見(jiàn)板書。對(duì)于一個(gè)LSI系統(tǒng),如果輸入信號(hào)有界,則輸出信號(hào)也有界,稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，稱為穩(wěn)定判據(jù)Ⅰ可由卷積公式導(dǎo)出，說(shuō)明見(jiàn)板書。1.3離散時(shí)間系統(tǒng)1.3.4系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性例：分析單位脈沖響應(yīng)為h（n）=anu（n）的線性時(shí)不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。分析：既然，n〈０時(shí)，h（n）=0，系統(tǒng)是因果的如果|a|<1,則如果|a|≥1,則s→∞，級(jí)數(shù)發(fā)散。故系統(tǒng)僅在|a|〈1時(shí)才是穩(wěn)定的。1.3離散時(shí)間系統(tǒng)1.3.4系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性

穩(wěn)定的因果系統(tǒng)：既滿足穩(wěn)定性又滿足因果性的系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)既是單邊的，又是絕對(duì)可和的，即

這種穩(wěn)定因果系統(tǒng)既是可實(shí)現(xiàn)的又是穩(wěn)定工作的，這種系統(tǒng)是最主要的系統(tǒng)。1.3離散時(shí)間系統(tǒng)1.3.4系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性概述系統(tǒng)的描述和分析方法包括：時(shí)域分析法差分方程和離散卷積變換域分析法

Z變換（Z變換可將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程）:是系統(tǒng)分析與綜合的重要工具,其地位和作用類似于連續(xù)域的S變換DFT(離散傅立葉變換)1.3離散時(shí)間系統(tǒng)1.3.5系統(tǒng)的差分方程描述時(shí)域分析－差分方程

對(duì)系統(tǒng)的時(shí)域分析利用的數(shù)學(xué)工具是差分方程。線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)可以用常系數(shù)線性差分方程來(lái)描述：其中ai、bi都是常數(shù)。離散系統(tǒng)差分方程表示法有兩個(gè)主要用途：①由差分方程得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)；②求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)；差分方程和初始條件共同決定系統(tǒng)的瞬態(tài)解。差分方程的求解方法：遞推法、z變換法1.3離散時(shí)間系統(tǒng)1.3.5系統(tǒng)的差分方程描述考慮兩個(gè)差分方程：

上述差分方程分別是一階自回歸差分方程和三點(diǎn)加權(quán)平均器。下面通過(guò)求解此兩個(gè)差分方程的單位采樣響應(yīng)觀察兩個(gè)系統(tǒng)的區(qū)別1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.5FIR系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為0，即h(-1)=0。同理求得例2的單位抽樣響應(yīng)求例1的單位抽樣響應(yīng)1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.5FIR系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)FIR與IIR系統(tǒng)的概念根據(jù)離散時(shí)間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)可將系統(tǒng)分為兩大類。有限沖激響應(yīng)（FIR:FiniteImpulseResponse）：?jiǎn)挝粵_激響應(yīng)有限長(zhǎng)的離散系統(tǒng)。無(wú)限沖激響應(yīng)（IIRFIR:InfiniteImpulseResponse）：?jiǎn)挝粵_激響應(yīng)無(wú)限長(zhǎng)的離散系統(tǒng)。1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.5FIR系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)對(duì)于線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)有:

兩邊取DTFT得到定義為離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，反映系統(tǒng)性能隨頻率變化的情況?；蛘哒f(shuō)，輸出序列的傅氏變換等于輸入序列的傅氏變換與頻率響應(yīng)的乘積。1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)直接定義即單位脈沖響應(yīng)的DTFT。由此可以看出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是復(fù)數(shù)，存在幅度和相位問(wèn)題定義系統(tǒng)頻響H（ejw)的模和幅角分別為幅頻特性和相頻特性。1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)即系統(tǒng)頻響的性質(zhì)：①H（ejw)

是w的連續(xù)函數(shù)，且是w的周期函數(shù)，其周期為2π。②如果h(n)是實(shí)序列有H（e-jw)=H*（ejw)

。即幅頻特性偶對(duì)稱，相頻特性奇對(duì)稱。1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)更一般地，我們用單位脈沖響應(yīng)的Z變換來(lái)描述系統(tǒng)，定義系統(tǒng)函數(shù)為。下面從系統(tǒng)的兩種時(shí)域描述得出系統(tǒng)函數(shù)的兩種解釋:卷積關(guān)系

系統(tǒng)函數(shù)等于輸出、輸入序列z變換之比，從Z域體現(xiàn)了輸出、輸入關(guān)系，所以系統(tǒng)函數(shù)有時(shí)也被說(shuō)成是轉(zhuǎn)移函數(shù)、傳遞函數(shù)或傳輸函數(shù)。1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.2系統(tǒng)函數(shù)2.差分方程按輸出Z變換與輸入序列的z變換之比。于是1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.2系統(tǒng)函數(shù)注意：若用H(z)表征一個(gè)系統(tǒng)，應(yīng)指明H(z)的收斂域，方能惟一地確定這個(gè)系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)的傅立葉變換。取系統(tǒng)函數(shù)H(z)在單位圓上的值:1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.1系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)概念

使系統(tǒng)函數(shù)為零的z稱為系統(tǒng)的零點(diǎn)，使系統(tǒng)函數(shù)為趨于無(wú)窮的z稱為系統(tǒng)的極點(diǎn)?？紤]

zr和pk分別稱為系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。下面利用零極點(diǎn)概念分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和頻率響應(yīng)。對(duì)分子分母分別進(jìn)行因式分解得1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.4系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)穩(wěn)定性判據(jù)2一個(gè)LSI系統(tǒng)穩(wěn)定充分必要條件是其所有的極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)。證明:LSI系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為利用系統(tǒng)穩(wěn)定的判據(jù)1可得由系統(tǒng)穩(wěn)定的判據(jù)1可知,級(jí)數(shù)收斂要求|pk|<1,即極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi).1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.4系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)利用零極點(diǎn)估計(jì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)極零圖:將H(z)的零極點(diǎn)畫在Z平面上得到的圖形.1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.4系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)可以由它的全部零、極點(diǎn)來(lái)唯一確定。隨著w在單位圓上變化,可以得到系統(tǒng)函數(shù)的模和幅角都在變化,從而可以估計(jì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng).用極點(diǎn)和零點(diǎn)表示系統(tǒng)函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是，它提供了一種有效的求系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幾何方法。當(dāng)頻率ω由0~2π時(shí)，這些向量的終點(diǎn)沿單位圓反時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一圈，由此可估算出整個(gè)系統(tǒng)的頻響。利用零極點(diǎn)估計(jì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.4系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)其基本原理是，當(dāng)單位圓上的ejω

點(diǎn)在極點(diǎn)di附近時(shí)，分母向量最短，出現(xiàn)極小值，頻響在這附近可能出現(xiàn)峰值，且極點(diǎn)di

越靠近單位圓，極小值越小，頻響出現(xiàn)的峰值越尖銳，當(dāng)di

處在單位圓上時(shí)，極小值為零，相應(yīng)的頻響將出現(xiàn)∞，這相當(dāng)于在該頻率處出現(xiàn)無(wú)耗（Q=∞）諧振，當(dāng)極點(diǎn)超出單位圓時(shí)系統(tǒng)就處于不穩(wěn)定狀態(tài)。對(duì)于現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)，這是不希望的。對(duì)于零點(diǎn)位置，頻響將正好相反，ejω點(diǎn)越接近某零點(diǎn)ci

，頻響越低，因此在零點(diǎn)附近，頻響出現(xiàn)谷點(diǎn)，零點(diǎn)越接近單位圓，谷點(diǎn)越接近零，零點(diǎn)處于單位圓上時(shí)，谷點(diǎn)為零，即在零點(diǎn)所在頻率上出現(xiàn)傳輸零點(diǎn)，零點(diǎn)可以位于單位圓以外，不受穩(wěn)定性約束。這種幾何方法為我們認(rèn)識(shí)零、極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響提供了一個(gè)直觀的概念，這一概念對(duì)系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)都十分重要。零點(diǎn)在單位圓上0,

處；極點(diǎn)在,處。

ω0。。例：Im[z]0*xRe[z]a0總結(jié)：系統(tǒng)零極點(diǎn)與|H(ejw)|的關(guān)系①極點(diǎn)：在極點(diǎn)頻率處，|H(ejw)|出現(xiàn)峰值，極點(diǎn)離單位圓越近，峰值越大；極點(diǎn)在單位圓上，峰值無(wú)窮大。②零點(diǎn)：在零點(diǎn)頻率處，|H(ejw)|出現(xiàn)谷值，零點(diǎn)離單位圓越近，谷值越低；零點(diǎn)在單位圓上，谷值為零。幾點(diǎn)說(shuō)明(1).

表示原點(diǎn)處零極點(diǎn)，它到單位圓的距離恒為1，故對(duì)幅度響應(yīng)不起作用只是給出線性相移分量ω(N-M)。(2).零點(diǎn)可在單位圓外。極點(diǎn)在圓外，系統(tǒng) 不穩(wěn)定。(3).極點(diǎn)和零點(diǎn)可以互相補(bǔ)償。利用零極點(diǎn)估計(jì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)1.4.4系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)

1．conv.m本文件用來(lái)求離散系統(tǒng)的輸出y(n)。若系統(tǒng)的h(n)已知，由y(n)=x(n)*h(n)，用conv.m文件可求出y(n)。

與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件2．filter.mfilter文件是在A(z)、B(z)已知，但不知道h(n)的情況下求y(n)的。調(diào)用格式是:y=filter(b,a,x)x,y,a和b都是向量。與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件

3．freqz.m已知A(z)、B(z),求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)?；镜恼{(diào)用格式是：

[H,w]=freqz(b,a,N,'whole',Fs)N是頻率軸的分點(diǎn)數(shù)，建議N為2的整次冪；w是返回頻率軸座標(biāo)向量，繪圖用；Fs是抽樣頻率，若Fs＝1，頻率軸給出歸一化頻率；’whole’指定計(jì)算的頻率范圍是從0～FS,缺省時(shí)是從0～FS/2.1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件4.zplane.m本文件可用來(lái)顯示離散系統(tǒng)的極－零圖。其調(diào)用格式是：

zplane(z,p),或zplane(b,a),前者是在已知系統(tǒng)零點(diǎn)的列向量z和極點(diǎn)的列向量p的情況下畫出極－零圖，后者是在僅已知A(z)、B(z)的情況下畫出極－零圖。1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件5．impz.m在A（z）、B（z）已知情況下,求系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)。調(diào)用格式是：

h=impz(b,a,N)或

[h,t]=impz(b,a,N)N是所需的的長(zhǎng)度。前者繪圖時(shí)n從1開(kāi)始,而后者從0開(kāi)始。1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件6.residuez.m

將H(z)的有理分式分解成簡(jiǎn)單有理分式的和，因此可用來(lái)求逆變換。調(diào)用格式：

[r,p,k]=residuez(b,a)假如知道了向量r,p和k，利用residuez.m還可反過(guò)來(lái)求出多項(xiàng)式A(z)、B(z)。格式是

[b,a]=residuez(r,p,k)。1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件

%totestconv.m%計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積；clear;N=5;M=6;L=N+M-1;%教材77面x=[1,2,3,4,5];h=[6,2,3,6,4,2];y=conv(x,h);nx=0:N-1;nh=0:M-1;ny=0:L-1;subplot(311);stem(nx,x,'.k');xlabel('n');ylabel('x(n)');gridon;subplot(312);stem(nh,h,'.k');xlabel('n');ylabel('h(n)');gridon;subplot(313);stem(ny,y,'.k');xlabel('n');ylabel('y(n)');gridon;例1：離散線性卷積1.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)函數(shù)與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件%freqz.m%totestfreqz.mandtoobtainthefrequencyresponseclearall;b=[.001836,.007344,.011016,.007374,.001836];a=[1,-3.0544,3.8291,-2.2925,.55075];[H,w]=freqz(b,a,256,1);Hr