32知識(shí)講解-直線、圓的位置關(guān)系-(提高)

直、的置系【習(xí)標(biāo)．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；．能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題；．在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過(guò)程中，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思【點(diǎn)理要一直與的置系1.直與的位關(guān)：(1)直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)(2)直線與圓相切，只有一個(gè)公共；(3)直線與圓相離，沒(méi)有公共2.直與的位關(guān)的定(1)代數(shù)法：判斷直線

l

與圓C方程組成的方程組是否有.如果有解，直線

l

與圓有共有兩組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線l圓C相；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線l圓C相；無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)，直線(2)幾何法：

l

與圓C相.由圓的心到直線

l

的距離

與圓的半徑r

的關(guān)系判斷：當(dāng)

時(shí)，直線

l

與圓相；當(dāng)d時(shí)直l與C相；當(dāng)d時(shí)直l與C相要詮：(1)當(dāng)直線和圓相切時(shí)，求切線方，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，記住常見切線方程，可提高解題速度；求切線長(zhǎng)，一般要用到切線長(zhǎng)、圓的半徑、圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角，由勾股定理解得.(2)當(dāng)直線和圓相交時(shí)，有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，要用到弦心距、半徑和半弦構(gòu)成的直角三角形，也是通過(guò)勾股定理解得，有時(shí)還用到垂徑定(3)當(dāng)直線和圓相離時(shí)，常討論圓的點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，通常畫圖，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解要二圓切方的法．點(diǎn)

M

在圓上，如圖．法一：利用切線的斜率k與心和該點(diǎn)連線的斜率l

k

的乘積等于即k

l

．法二：圓心到線l距離等于半徑r．．

,

在圓外，則設(shè)切線方程：

y

0

()0

，變成一般式：

kx00

，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出

．要詮：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還有條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．常見圓的切線方程：（1過(guò)圓

x2y2

上一點(diǎn)

Py

的切線方程是

y

；

22（2）過(guò)圓

r

上一點(diǎn)

P

的切線方程是

0

要三求線圓得弦的法．應(yīng)用圓中直角三角形：半徑r

，圓心到直線的距離

，弦長(zhǎng)

l

具有的關(guān)系r

2

2

2

，這也是求弦長(zhǎng)最常用的方法．．用交點(diǎn)坐標(biāo)：若直線與圓的交坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)弦長(zhǎng)．．利用弦長(zhǎng)公式：設(shè)直l:ykx

，與圓的兩交點(diǎn)

,

,y2

，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長(zhǎng)：

l2|1

=

x

．要四圓圓位關(guān)1.圓圓位置系(1)圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)圓與圓相切(切或外)，有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)圓與圓相離(含或外)，沒(méi)有公共2.圓圓位置系判：(1)代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有有兩組不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相切；方程組無(wú)解時(shí)，兩圓相離.(2)幾何法：設(shè)

的徑為r，O的半徑為r，圓的圓心距為.112當(dāng)

r21

時(shí)，兩圓相交；當(dāng)當(dāng)

r1r1

時(shí)，兩圓外切；時(shí)，兩圓外離；

000000000000000當(dāng)當(dāng)

r2r2

時(shí)，兩圓內(nèi)切；時(shí)，兩圓內(nèi)含.要詮：判定圓與圓的位置關(guān)系主要是利用幾何法，通過(guò)比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系來(lái)確定這種方法運(yùn)算量小也可利用代數(shù)法，但是利用代數(shù)法解決時(shí)，一是運(yùn)算量大，二是方程組僅有一解或無(wú)解，兩圓的位置關(guān)系不明確還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系來(lái)確因此在理圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般不用代數(shù)法.3.兩公弦長(zhǎng)求有種方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求其長(zhǎng)．方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長(zhǎng)．．圓切的數(shù)與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．（1兩圓外離時(shí)，有條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條（2兩圓外切時(shí)，有條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條（3兩圓相交時(shí)，只有條外公切線；（4兩圓內(nèi)切時(shí)，只有條外公切線；（5兩圓內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線．要五圓方．過(guò)直線

By

與圓

x22F

的交點(diǎn)的圓系方程是x

2

y

2

DxF

By．以

心系方程是：

(

；．與圓

x22F同的圓系方程是xy2Dx

；．過(guò)同一定點(diǎn)

是

12

．【型題類一直與的置系例．已知P（x，y）圓x2

2=R2

的內(nèi)部，試判斷直線xy=R

與圓的位置關(guān)系．【答案】相離【解析】∵點(diǎn)（x，y）在圓22

=R2

的內(nèi)部，∴

．又圓心O，0）到直線xy=R

的距離為d

x2y0

20

，且

y20

，∴

12y00

1，∴2RR

，即＞．∴直線y=R

與圓x2

相離．【總結(jié)升華】判定直線與圓的位置關(guān)系采用幾何法比采用代數(shù)法的計(jì)算量要小得多，因此，我一般

392采用幾何法來(lái)解決直線與圓的位置關(guān)系的有關(guān)問(wèn)題．392【清堂與有的置系370892例2】例．已知直線lk與曲線:x2y2x21.（1求:論為何值直l和線C恒兩個(gè)交點(diǎn)（2求當(dāng)直線l被線C截的線段最短時(shí)此線段所在的直線的方【答案）（）

【證明）證法一：將直線

l

與曲線的程聯(lián)立得kx2x21

，消去y得(

)x

+k+3)x+2(8k+4k+3)=0③∵+k+3)―8(1―k2)(8k+4k+3)2―8k+12=

812，∴方程③有兩相異實(shí)根，從而，由①②組成的方程組有兩組解，即直線l與線恒兩個(gè)交點(diǎn)．證法二：將曲線的程配方得x―3)2+(y2=4，表示以（，4為圓心，2為徑的圓．設(shè)圓心到線

l

的距離為d則

2

k|k

2

2

kk21

，即

2r

，∴直線l與線C恒兩個(gè)交點(diǎn)．證法三：注意到直線l：―y―4k+3=0可為―3=k(x―4)，可知直線l恒定點(diǎn)A（4∵曲線是（3，4為圓心，為半徑的圓證二）又22

－－8×3+21＜0即點(diǎn)A圓C內(nèi)∴直線

l

與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)．（2設(shè)直線

l

被曲線C所的線段為AB當(dāng)AB時(shí)|AB|最，直線PQ的率k，所以直線的率AB

k

PQ

43

，其方程l：

【總結(jié)升華】證一抓住了直與圓的位置關(guān)系的代數(shù)特征，從而轉(zhuǎn)化為對(duì)方程的解的研究，這是研究直線與曲線的位置關(guān)系的基本方法；證法二抓住了直線與圓的位置關(guān)系的幾何特征，從而化為研究圓心到直線的距離，抓住幾何特征對(duì)于研究圓的問(wèn)題特別有效；證法三通過(guò)判定直線過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)，從而使問(wèn)題獲證．由上述三種解法可知，解題的切入點(diǎn)不同，解法就有優(yōu)劣之分．因此，在解題時(shí)審題要慢，要仔細(xì)地分析題意，透徹地理解題意，挖掘其中的隱含條件，從而找到解決問(wèn)題的捷徑．舉反：【變式】若直線與線

y

有公共點(diǎn)，則的范圍是（）A

[

B

2]

11121111111112111111C．

2,3]

D．

2,3]【答案C【解析】曲線方程可化簡(jiǎn)為

，即表示圓心為2,3徑2的半圓，依據(jù)數(shù)形結(jié)合，當(dāng)直線

y

與此半圓相切時(shí)須滿足圓心（2,3到直線

y

距離等于2，解得

或

因?yàn)槭窍掳雸A故可得

（舍線（時(shí)解得

，故

2

，所以C確．【變式】已知直線

l

：，：(x2+(y―2)

=25則為意實(shí)數(shù)時(shí)，

l

與C是必相交？【答案】相交類二切問(wèn)例．過(guò)點(diǎn)A4，―3）作圓(x2+(y―1)2=1的線，求此切線方程．【思路點(diǎn)撥判點(diǎn)在圓上或外果點(diǎn)在圓上則有一條切線果在圓外有條切線例中很明顯點(diǎn)在圓外．【答案】15x+8y―36=0【解析】∵2―32＞1∴點(diǎn)A圓外．①若所求直線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為―4)．因?yàn)閳A心（3，）到切線的距離等于半徑1，所以

|kk|

，得k

158

．所以切線方程為

y

158

(

，即．②若切線斜率不存在，圓心（，1）到直線距離也為，這時(shí)直線與圓也相，所以另一條切線方程是x=4，綜上，所求切線方程為15x+8y―36=0或．【總結(jié)升華】求圓的切線方程一般有三種方法：（1直接法：應(yīng)用常見結(jié)論，直接寫出切線方程；（2待定系數(shù)法；（3定義法．一般地，過(guò)圓外一點(diǎn)可向圓作兩條切線，在后兩種方法中，應(yīng)注意斜率不存在的情況．舉反：【變式2016春長(zhǎng)春末）已知圓C：(―

y―4)2，直線l過(guò)定點(diǎn)（1，0（1若l與圓C切，求l的程；（2若l一圓C交于，Q兩，求三角形CPQ面積的最大值，并求此時(shí)直線l的程．【思路點(diǎn)撥）通過(guò)直線l的斜率存在與不存在兩種情況，利用直線的方程圓C相切，圓心到直線的距離等于半徑，即可求l的程；（2）設(shè)直線方程為kx―y―k，求出圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)，得到三角C的積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出面積的最大值的距離，然后求出直線的斜率，即可得到l的線方程．【答案）=1x―y―3=0）=―1或=7―【解析）若直線l的斜率不存，則直線l=1，符合題意．

11111②若直線l斜存在，設(shè)直線l的方程為=k(―，即kx―y―k．由題意知，圓心3）到已知直線l的離等于半徑，11111即：

|3k|

，之得k

34

．所求直線l的程是x=1或x―4y―3=0（2直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0設(shè)直線方程為―y―k=0則圓心到直線l的離

|2k|又∵三角形面積

S

12

d2422∴當(dāng)

時(shí)，S取最大值．∴

|2k|2

2

，k=1或k=7∴直線方程為y=―1，或y=7x7【變式】已知點(diǎn)P(

x

0

，

y

0

)是圓

:2y

上一點(diǎn)，求證：過(guò)

()00

的圓

的切線方程是：

x

【解析】當(dāng)

x0

時(shí)，過(guò)P點(diǎn)線方程為

當(dāng)

x0

時(shí)，可設(shè)切線斜率為k.法一：方程組，判別式為；過(guò)P切方程

yy(x0

∴

y(xy代00

2

y

2

r

2∴

x

2()]2r0由eq\o\ac(△,)，解

(繁瑣，過(guò)程略從而可得切線方程：

y0()即

x

法二：∵

OP

，由

OP切線l

，∴

∴切方程為：

y0()

即

x

法三：平面幾何點(diǎn)到線l的離為半徑；設(shè)過(guò)P線方程

yy(x0

即

kxykx0

121121(121121(k2k2∴

d

y0k2

∴

r(k2y00

0∴

k(x2)kxy00∴

2kkxy00

∴

()

∴

下同法二.類三弦問(wèn)例．直線

l

經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，）并且與圓：x2

2

=25相截得的弦長(zhǎng)為

，求

l

的方程．【思路點(diǎn)撥】求弦長(zhǎng)問(wèn)題主要使用幾何方法，即解由半徑、弦心距和弦長(zhǎng)的一半組成的直角三形，進(jìn)一步求弦長(zhǎng)．【答案】或2x―y―5=0【解析】法一：根據(jù)題意知直線

l

的斜率存在，設(shè)直線

l

的方程為y―5=k(x―5)圓心（0，0）到直線的距離

|5

，在由弦長(zhǎng)的一半、半徑和距離

構(gòu)成的直角三角形中，|k

2

2

，解得

12

或k=2故直線

l

的方程為x或2x―y―5=0．法二：根據(jù)意知直線l的率存在，設(shè)直線l的程y―5=k(x―5)與C相于A（x，yx，）聯(lián)立方程

y(x225

，消去y，得(2+1)x2―k)x+25k(k∴―k)]+1)·25k(k＞0，解得k＞0又

x12

10k(1)25(k，xxk2k2

．由斜率公式，得y―y=k(x―x)∴

||

()

)

(1))[()2xx21

2

)

k2(1)k(2)

．兩邊平方，整理得2k2―5k+2=0，

001212001212解得

k

12

或，合題意故直線l的程x或2x―y―5=9【總結(jié)升華設(shè)線l的程為圓O的程為x―x)2+(y―y2=r，弦長(zhǎng)的方法有以下兩種：．（1何法由圓的性質(zhì)知圓作中，|BC|=r―d

l

的垂線足為段的點(diǎn)圖所示則弦長(zhǎng)，即

ABr

2

2

．（2代數(shù)法：解方程組

()2)220

，消元后可得關(guān)于x+x，x·x或y，y·y的關(guān)系式，則|AB|2)x221[()22舉反：

2

y](12【變式】已知圓C經(jīng)坐標(biāo)原點(diǎn)和2，2圓在軸上．（Ⅰ）求圓的程；（Ⅱ）設(shè)直線l經(jīng)點(diǎn)（，2l與C相所得弦長(zhǎng)為2，直線l的程【思路點(diǎn)撥根據(jù)圓C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和，2圓在x軸上，求出圓心與半徑，即可求圓的程；（Ⅱ）分類討論，利用圓心到直線的距離公式，求出斜率，即可得出直線方程．【答案）

x

2y2

）―1=0或3x+4－11=0【解析）圓C的心坐標(biāo)為（，依題意，有

|

(a2)

22

，即

2

，解得a，所以圓的程為

2y

．（Ⅱ）依題意，圓C的心到直線l的離為1所以直線x=1符題．設(shè)直線l方為(x即yk，|k則，3解得，4所以直線l的程為

34

(x

，

12121212121212121212121211即x+4．12121212121212121212121211綜上，直線l的程為―1=0或x+4y11=0類四圓圓位關(guān)例5．已知圓Cx2+y22―5=0，圓C+y+2x―2my+m―3=0，問(wèn)m為值時(shí)圓C和圓C相外切？2）圓C與內(nèi)？【答案）―5或）―2＜＜―1．【解析】對(duì)圓C，C的程，配方得C：―m)2

=9C：+(y―．（1如果圓與圓C相外切，則有

(mm

，即(m+1)

+(m+2)

=25，解得―5或m=2．（2如果圓與圓C內(nèi)含，則有

(2

2

，即(m+1)

+(m+2)

＜12

+3m+2＜0解―2＜＜．故（）當(dāng)―5或m=2時(shí)圓與圓相外切）＜m―1時(shí)圓C與圓內(nèi)含．【總結(jié)升華】利幾何法判定圓的位置關(guān)系比用代數(shù)法（即解兩圓方程聯(lián)立方程組的方法）要簡(jiǎn)捷些，但需要注意的是，我們這里所說(shuō)的幾何法仍然是在解析幾何前提下的幾何法，即利用圓方程及兩點(diǎn)間距離公式求出兩圓圓心距d和圓的半徑R和r根據(jù)R+r與R―r的小關(guān)系判定即可．舉反：【變式】當(dāng)a何值時(shí)，圓：x2

+y2―2ax+4y+(a―5)=0和圓C：x2

+y2+2x2相．【答案】當(dāng)＜＜或＜＜2時(shí)圓與圓相【變式】已知圓C：2+y+2x，Cx2+y2―4x+2y―11=0，求兩圓的共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng)．【解析】因圓的交點(diǎn)坐標(biāo)同滿足兩個(gè)圓的方程，聯(lián)立方程組，消去x所在的直線方程，利用勾股定理可求出兩圓公共弦長(zhǎng)．

和y

項(xiàng)，即得兩圓的交點(diǎn)設(shè)兩圓交點(diǎn)為A（x，y（x，yA兩坐標(biāo)是方程組

yy

①②的解，①②3x．∵A、兩坐標(biāo)都滿足此方程，∴即兩圓公共弦所在的直線方程．易知圓的圓心為―13徑r=3．又到直線AB的離為

||32

．∴

ABr

3

24，即兩圓的公共弦長(zhǎng)為．5【總結(jié)升華兩的公共弦所的直線方程需兩個(gè)圓的方程相減即可是為若兩圓相，其交點(diǎn)坐標(biāo)必須滿足相減后的方程；另一方面，相減后的方程為二元一次方程，即直線的一般程，故此方程即為兩圓公共弦所在的直線方程在求兩圓的公共弦長(zhǎng)時(shí)應(yīng)意數(shù)形結(jié)合思想方法的靈運(yùn)用．類五最問(wèn)例．已知實(shí)數(shù)x、y滿方程x―4x+1=0，求）

yx

的最大值）y的最小值．

2222【思路點(diǎn)撥】將x

+y2―4x+1=0、

yx

、―x賦幾何意義，利用數(shù)形合來(lái)解決．【答案）

3

（2

【解析】將實(shí)數(shù)x、y看點(diǎn)（，）的坐標(biāo)，滿足x+y2的（x，y）組成的圖形是以M（2，0為圓心，半徑為3的，如圖所示．（1設(shè)

y即是圓上的點(diǎn)與點(diǎn)O連的斜率xxx由圖知，直線y=kx圓M在一象限相切時(shí)，k取大值．此時(shí)有⊥PM，

||

3

，，∴∠POM=60°此時(shí)

k60

，∴

yx

的最大值為

3

．（2設(shè)―x=b，則b直線在y上截距．由圖知，當(dāng)直線y和圓M在四象限相切時(shí)，b（＜0）取最小值，此時(shí)有

|2

，解得

6

，∴―x的小值是

．【總結(jié)升華】利用數(shù)形結(jié)合解決最值問(wèn)題時(shí)，首先從代數(shù)演算入手，將代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意，看成某幾何量的大小，根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，觀察出最值出現(xiàn)的時(shí)機(jī)和位置，從而解決求代數(shù)表式的最值問(wèn)題這用幾何方法解決代數(shù)題的常用方法數(shù)形結(jié)合常的數(shù)形結(jié)合點(diǎn)是直線方程的程、過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式、平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式、直線在y軸的截距等．舉反：【清堂與有的置系370892例4】【變式】已知實(shí)數(shù)x，y滿

y-2

，求(22

的最大值；的小值．【答案）（2

2【解析】

2-23y以化為(-于是(x，y)可看作是以如圖

(-1,3)

為圓心，2為徑的圓上的點(diǎn)．（1x+y2可作是圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，由圖顯然最大為2r=4，所以2（2）解法同例（2

+y

的最大值為16【變式】直線

2與x

2

y

2

相交于A、B兩（其中、b是數(shù)是直角三角形（O是坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)P（，）與點(diǎn)，1之間距離的最大值為A

B．2C．