高中數(shù)學人教B版2第二章推理與證明合情推理與演繹推理 學業(yè)分層測評

學業(yè)分層測評(三)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1.下列說法正確的是()A.由合情推理得出的結論一定是正確的B.合情推理必須有前提有結論C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的結論無法判定正誤【解析】合情推理得出的結論不一定正確，故A錯；合情推理必須有前提有結論，故B正確；合情推理中類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理，可進行猜想，故C錯；合情推理得出的結論可以進行判定正誤，故D錯.【答案】B2.下面使用類比推理恰當?shù)氖?)A.“若a·3＝b·3，則a＝b”類比推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B.“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(a·b)c＝ac·bc”C.“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D.“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn”【解析】由實數(shù)運算的知識易得C項正確.【答案】C3.用火柴棒擺“金魚”，如圖2-1-7所示，圖2-1-7按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()【導學號：37820231】－2 －2＋2 ＋2【解析】從①②③可以看出，從第②個圖開始每個圖中的火柴棒都比前一個圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n＋2.【答案】C4.對命題“正三角形的內切圓切于三邊中點”可類比猜想：正四面體的內切球切于四面體各正三角形的()A.一條中線上的點，但不是中心B.一條垂線上的點，但不是垂心C.一條角平分線上的點，但不是內心D.中心【解析】由正四面體的內切球可知，內切球切于四個面的中心.【答案】D5.(2023·南昌調研)已知整數(shù)對的序列為(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，則第57個數(shù)對是()A.(2，10) B.(10，2)C.(3，5) D.(5，3)【解析】由題意，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)對有如下規(guī)律：(1，1)的和為2，共1個；(1，2)，(2，1)的和為3，共2個；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和為4，共3個；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和為5，共4個；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和為6，共5個.由此可知，當數(shù)對中兩個數(shù)字之和為n時，有n－1個數(shù)對.易知第57個數(shù)對中兩數(shù)之和為12，且是兩數(shù)之和為12的數(shù)對中的第2個數(shù)對，故為(2，10).【答案】A二、填空題6.把正數(shù)排列成如圖2-1-8甲的三角形數(shù)陣，然后擦去偶數(shù)行中的奇數(shù)和奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖2-1-8乙的三角形數(shù)陣，現(xiàn)把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個數(shù)列{an}，若an＝2017，則n＝__________.12345678910111213141516甲12457910121416乙圖2-1-8【解析】圖乙中第k行有k個數(shù)，第k行最后的一個數(shù)為k2，前k行共有eq\f(k（k＋1）,2)個數(shù)，由44×44＝1936，45×45＝2025知an＝2017出現(xiàn)在第45行，第45行第一個數(shù)為1937，第eq\f(2017－1937,2)＋1＝41個數(shù)為2017，所以n＝eq\f(44（44＋1）,2)＋41＝1031.【答案】10317.二維空間中圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)S＝πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l；三維空間中球的二維測度(表面積)S＝4πr2，三維測度(體積)V＝eq\f(4,3)πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′＝S.已知四維空間中“超球”的三維測度V＝8πr3，猜想其四維測度W＝________.【解析】因為V＝8πr3，所以W＝2πr4，滿足W′＝V.【答案】2πr48.已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結論為________.【解析】結合等差數(shù)列的特點，類比等比數(shù)列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，則有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【答案】a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9三、解答題9.已知數(shù)列eq\f(8×1,12×32)，eq\f(8×2,32×52)，…，eq\f(8×n,（2n－1）2（2n＋1）2)，…，Sn為其前n項和，計算S1，S2，S3，S4，觀察計算結果，并歸納出Sn的公式.【解】S1＝eq\f(8×1,12×32)＝eq\f(8,9)＝eq\f(32－1,32)＝eq\f(（2×1＋1）2－1,（2×1＋1）2)，S2＝eq\f(8,9)＋eq\f(8×2,32×52)＝eq\f(24,25)＝eq\f(52－1,52)＝eq\f(（2×2＋1）2－1,（2×2＋1）2)，S3＝eq\f(24,25)＋eq\f(8×3,52×72)＝eq\f(48,49)＝eq\f(72－1,72)＝eq\f(（2×3＋1）2－1,（2×3＋1）2)，S4＝eq\f(48,49)＋eq\f(8×4,72×92)＝eq\f(80,81)＝eq\f(92－1,92)＝eq\f(（2×4＋1）2－1,（2×4＋1）2)，由此歸納猜想Sn＝eq\f(（2n＋1）2－1,（2n＋1）2).10.在平面幾何中，研究正三角形內任意一點與三邊的關系時，我們有真命題：邊長為a的正三角形內任意一點到各邊的距離之和是定值eq\f(\r(3),2)a.類比上述命題，請你寫出關于正四面體內任意一點與四個面的關系的一個真命題，并給出簡要的證明.【解】類比所得的真命題是：棱長為a的正四面體內任意一點到四個面的距離之和是定值eq\f(\r(6),3)a.證明：設M是正四面體P-ABC內任一點，M到平面ABC，平面PAB，平面PAC，平面PBC的距離分別為d1，d2，d3，d4.由于正四面體四個面的面積相等，故有：VP-ABC＝VM-ABC＋VM-PAB＋VM-PAC＋VM-PBC＝eq\f(1,3)·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，VP-ABC＝eq\f(\r(2),12)a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝eq\f(\r(6),3)a(定值).[能力提升]1.根據(jù)給出的數(shù)塔，猜測123456×9＋7等于()【導學號：37820232】1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1111；1234×9＋5＝11111；12345×9＋6＝111111；111110 111111111112 111113【解析】由前5個等式知，右邊各位數(shù)字均為1，位數(shù)比前一個等式依次多1位，所以123456×9＋7＝1111111，故選B.【答案】B2.已知結論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點，G是三角形ABC的重心，則eq\f(AG,GD)＝2”.若把該結論推廣到空間，則有結論：“在棱長都相等的四面體ABCD中，若△BCD的中心為M，四面體內部一點O到四面體各面的距離都相等”，則eq\f(AO,OM)＝() 【解析】如圖，設正四面體的棱長為1，即易知其高AM＝eq\f(\r(6),3)，此時易知點O即為正四面體內切球的球心，設其半徑為r，利用等體積法有4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)?r＝eq\f(\r(6),12)，故AO＝AM－MO＝eq\f(\r(6),3)－eq\f(\r(6),12)＝eq\f(\r(6),4)，故AO∶OM＝eq\f(\r(6),4)∶eq\f(\r(6),12)＝3∶1.【答案】C3.如圖2-1-9所示，橢圓中心在坐標原點，F(xiàn)為左焦點，當eq\o(FB,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))時，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于_______________________.圖2-1-9【解析】如圖所示，設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則F(－c，0)，B(0，b)，A(a，0)，所以eq\o(FB,\s\up7(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－a，b).又因為eq\o(FB,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(FB,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝b2－ac＝0，所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去).【答案】eq\f(1＋\r(5),2)4.某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結論.【解】(1)選擇②式，計算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαco