華科高等工程數(shù)學(xué)課后習(xí)題與答案

第一章5.計(jì)算球體積，要使相對(duì)誤差限為1%,問(wèn)度量半徑/＜時(shí)允許的相對(duì)誤差限是多少？12.序列｛"｝滿(mǎn)足遞推關(guān)系州=10打一1-1 (7i=1?2,…).若”=亞％1,41(三位有效數(shù)字3計(jì)算到尸。時(shí)誤差有多大?這個(gè)計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定嗎？12.解 因獷=已癡=.而Iy—E '于是有Iyi—戶(hù)*1=110乃一1—10^—1I—10Iyo—何1<1。2?Iyi—yiI=I10yi—1—lOp—11=101yi—戶(hù)* 10"S.類(lèi)推有，Iyia—.I'C1OMS.即計(jì)算到口，其誤差限為W京亦即若在非處有誤差限為e,則13尸c的誤差限將擴(kuò)大1產(chǎn)倍，可見(jiàn)這個(gè)計(jì)算過(guò)程是不穩(wěn)定的.

A/t- JiE.第一章7.已知wiMO.3幻=0.314567，苗in(0.34)=0.羽3487有6位有效數(shù)字，(1)用線性桶值求Sin(0.33)的近似值.(￡)證明在區(qū)間［0.笠,0.34：|上用線性插值計(jì)算sin工時(shí)至少有4位有效數(shù)字.7.解(1)選取費(fèi)=0.32.m=0.34,%=0.33代人線性插值多項(xiàng)式.得sing.33)*Al(0.33)=7三二？手X0.314567,0.33—0.320.34-0.32X0.333487=4(0,314567-0.333487)=0.324027.⑵由余項(xiàng)表達(dá)式￡2.8)知,在區(qū)間［0.3區(qū)0.融］上用線性插值計(jì)算用㈠的余項(xiàng)滿(mǎn)足I用(.X)I=|工一口.非)(工一0.34)|￡6(0,32,0.34)W。?，干34E；,：u34—O.3￡fV<O.OOOOK<4xiO4-VtG：0.32,0.34]X-l因此結(jié)果至少有4位有效數(shù)字.6.設(shè)制為互異節(jié)點(diǎn)q=0J，…，G,求證：II1)Z打(K)三=,(止=0，1，-*'.門(mén))：j-o(2)反(金一工?。(丈)三0(占=1忑，…,GJ-06.解⑴設(shè)f（x）=/.當(dāng)5=0,1,…，H時(shí)：有尸0（行=0.對(duì)/（jc）構(gòu)造L;由Tan配插值塞項(xiàng)式.（,X）=ZX）fR（工〕=/（X）—An（J；）—；r_f：,嚴(yán),?｛工｝=口E介于xj之間4=0TlT"■-Tn-故f（G=匕（G,即2%：匕（算）=注\L=0'lr'，n.i-o特別地，當(dāng)七=0時(shí)，Z以工）=L（2）方法1：口上 r[（芍一注了1式幻=尤”乜⑷.1一禮阿’1v1f[JM上；i—『M一n..1--1）.XjXj—（Xj-Tj）—0.u .L.方法2：令式t）=3一不了"=0/，…e.對(duì)觀力構(gòu)造n次La即m能插值事項(xiàng)式,得LW=t⑺.GO由（D的結(jié)果知n￡（為一工）乜3=小一%yj-c對(duì)一切￡均成立.恃別地，取r=工，上式仍成立.即H.￡（圖一工）匕（工｝=0,k=0,1?-"tn.尸口.給出msm（rw*wg（r的函數(shù)表,步長(zhǎng)人=i'=ci/cor,若函數(shù)表具有5位有效數(shù)字,研究用線性插值求近似值時(shí)的總誤差界，

.解由題設(shè)知0”與X三90""=溫卜I—Xi—(￡)口,記Xibl)處的潴確值為人，帶有謨差的值為fr則-/+-/+Xi-X^lJy*i>=華《一二)(二一百門(mén)一L『&

￡! T—Xi+i———djH,Hi1-Xi其中&=卜一于=戶(hù)1-/其中番=#一六1&1= —/IL.I魘II魘I<1取I—I&I=COS2II(X-Xi)(X-H"LX一公卜1小?X-Xiix

Ui十 屯IIXi—工并] 1升i-Xi,?號(hào)d—,?號(hào)d—￡■Li-r戈-w1Xi-Hi+i-^^11XA1—XiIJ心=max{I&ITI如I}]=J<1±fH<1±fH〔60;〔isoJ￡ 1-4xiobjLi因表色有5但有效數(shù)字，故&K0.5M10:加1.0GX106-4x10;=5.0106X10F.■￡jZb.填空題：(1)人工)=3/一1貝”/[L2,￡=，/[1,2,丸羽=(2)設(shè)心3=0,1,2,3,4,51為互異節(jié)點(diǎn)為對(duì)應(yīng)的5次$Lagrange插值基函數(shù),則￡工汴(。)=，5d+24+if G?電rt—1)&(#)—.(3)/(jc)=x—1,z—4-E,其中i=0J,2,…,則8力—56|第三章25.用最小一乘法求一個(gè)形如y=a+hx的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下列數(shù)據(jù)相擬合，并計(jì)算均方誤差.XlIP23ai$s4419.0S2.34&.073.397.525.解 由題意知力=span{l,j?},球=1,5=￥.經(jīng)計(jì)算（%.球）==1=5. （爾.p）=Z-=5327.TOC\o"1-5"\h\z￡-1 i-IJ 3[甲呼）==4=7277699,（*P>,y）=ZF=271.4.

E—1 J-1（叼，r>= =369321.5,i-i得法方程組[5?-5327A=271.4,15327O+727769S6=369321.&t解之得 。=0.97空。4G,小=0.0500351.故 y=0.9726046-0.0500351?.均方誤差為II6h=|||了||；—Hp,7）—從中..122（0.0150232）172=0.123.2G.觀測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng)，得出以下數(shù)據(jù)時(shí)間I，秒00.0二二3.03.&5.0除離/秒01&305080110求運(yùn)動(dòng)方程

2機(jī)解 設(shè)運(yùn)動(dòng)方程為S=at~b.=1=1=G,Z-皆=1上7,

1-1E上=53,63,二^yj—280fXiJ'=10^8.￡-1 j-1得法方程/C&-14.7n=280.,14.7i+53.63a=1078,解之得/>=-7.8550473. 22.25376.故 S=22.2537GE-7.8550478.第四章例4試構(gòu)造形如1'/(產(chǎn)不工?4c_f(0■,—Aif(.h)—Aif(,2h的數(shù)值求積公式.使其代數(shù)精度盡可能高，并指出其代數(shù)精度的階數(shù).解令公式對(duì)—公=1,附￥均準(zhǔn)確成立.則有1353h=百n—A：一心.Jfi=0——A.h——Aa工人.9ft=0—Ai后一4出也.解之得j_3,4―凸」—9

Ac——Al——UtAi——fl.故求和公式的形式為甲/⑷dZ芋八0一曾/⑵).由公式的構(gòu)造過(guò)程知，公式至少有2次代數(shù)希度.而當(dāng)f(x-)=f時(shí)r公式的左邊=乎乩右邊=13〃.左邊關(guān)右邊，說(shuō)明此公式對(duì)/(x)=x：不能準(zhǔn)確成立.因此，公式只具2次代數(shù)精度..確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度.) f(.xAif(.-A)—Acf(_0)—41/(h)\/IT)dryAjf(.~h)—An/(0)—Aif(.hy：j\fGlxx：/(-1;-2/(^)-37(xs)：/3;I：.R±)d克n"[fg)一興的二一曲[/￡0)—八h匚1.解(1)求枳公式中含有二個(gè)待定參數(shù)，即Ai小，瓦，將/(x)=l,x.?分別代人求積公式，并令其左右相等，得Al—百二一Ai—2h,,一hi,4?一百i)=0,K(.Ai—4)=5〃.解得用」=兒=[■兒比=,從所求公式至少具有2次代數(shù)精度，又由于二獷+和),產(chǎn)，d芯#專(zhuān)(—七》，(二).故]：八4d4管?一於一告八0)一母JW具有三次代數(shù)精度{3)求積公式中含兩個(gè)特定常數(shù)如、城，當(dāng)令公式對(duì)f(.x)=l準(zhǔn)確成立時(shí)，得到「/工=2=/1—2一町，此等式不含有待定量於、衰，無(wú)用，故需令公式對(duì)八公=工.1準(zhǔn)確成立.即jdJ=0- —1—2,11—3JT2)-X-dI=W= 1—2xi-3),,2jq—3x2— ￡4.29；、24一3x2—1. (4.30)解上一述方程組得:蜃=-0.12660, [X2=0.52660,.xl=0.68990 IXi=—0.28990.故有1/Wd*kj[/<-1)-2/(0.689907-3/(-0.12660)：或「」/Wdm巾=/L1}—2/{—0.況990：一小0-5煩01：|.將八公=/代入上已確定的求積公式中，」/d*5=-y_-1—2xi一3力].163故求:積公式具有￡次代數(shù)精度4.已知箝=[”*=3，* -Q）推導(dǎo)以這r個(gè)點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)在[0,1]上的插值型求積公式,（外指明求積公式所具有的代數(shù)精度.157⑶用所求公式計(jì)算廣3%J□工解口）所求公式的形式為Jc人工）d父0月口/（1>一4]/'｛《）一此/（）.因所要構(gòu)造的公式應(yīng)為插值型的,則16G故JJ3d3% >—/(4-：■—2//匚(2)因上述求積公式為3點(diǎn)的插值型公式『由定理41知，此公式至少有兩次代數(shù)精度.再將f(.x)=J,J代入上述求積公式，Jjdk彳=3[2刈i]-川+4T]1r1&7壬虻2x[』TT+2鳥(niǎo)門(mén).0 3」 4J4I4J-1故所求求積公式具有3次代數(shù)精度.(3)因所得求積公式有3次代數(shù)精度，從而用求積公式計(jì)算「丁，丘的值應(yīng)是精確值，即」07.給定積分/=[寮，立，口)利用復(fù)化梯形公式計(jì)算上述積分值，使其截?cái)嘀櫜畈怀^(guò)口乂1口I(幻取同樣的求積節(jié)點(diǎn)，改用復(fù)化&mp.n公式計(jì)算時(shí)，鼓斷誤差是多少？要求截?cái)嗾`差不超過(guò)1。、如果用復(fù)化$mpw公式，應(yīng)取:多少個(gè)函數(shù)值？一解由于/(.r)=生U=1en式所以xQ168f”[工)=[-^-^cos( =t\:os(xt——W〉dhddr 」0 2故I廣Y工)IW?'Icostif—""fItilIdt=J]口)為使復(fù)化拂形公式滿(mǎn)足謾差要求.只需|兄("=一與*cMeh二三看X1N>Lu ]_口OLi即可，這只需A^O.1342.">含金=0.1342=7'4516,故只需3等分即可.此時(shí)無(wú)=卷=0/￡5,則KK=3、5{1一2乂(0冉9禊79—0.鴕96159+0.9767266-0.958851—0.9361557-0.9088517+0.8771926)+0.8414710}=0.9456911.(2)對(duì)于同樣點(diǎn)數(shù)用復(fù)化Simpson公式時(shí)，入=力，其截?cái)嗾`差為1兄⑺尸卜二康亭"等=0.000000271=0.271X10F.131為了在使用復(fù)化55impwn求積公式時(shí)誤差不超過(guò)10二只需1 1= /'8*嬴*■2880X51nJ1解得 ^C9.444444. 2.88G75.故至少需將［0」：|3等分，即取2X3—1=7個(gè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)11.用復(fù)化梯形公式和復(fù)化4mpMn公式的事后謾差估計(jì)11算定積分/=算定積分/=。告、要求精確到n l""I犬!ri=f兀+告Z/(.X>).± 白±-Q不 —Sn.)f10%厘=Tin-Tn.

O O計(jì)算列表如下（表4.63表46￡等分好 T盧[_?r?-ii的El京f一$/601 3二2 3.13.11333348.131176471a1.389SS4951.141=P2503O.OQCOei78<iC3i1G8.140941612G.'；JCC5L<1011.141=P2C51Q.CCOOQOCOO因此,山拂形公式得|『上"=3.140941612,精確到100.由復(fù)化Simp號(hào)皿公式得到—&=3.141592503,精確到10、.若取$=3.141592651,則精確到ioK12.用Rcmher呂算法計(jì)算積分,h，要求誤差不超過(guò)12.解用Rnmh，后方法計(jì)算積分I；Th,應(yīng)用公式J0計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表工，，172表4-7k玲丁產(chǎn)00.683940o.Bssssa：.632122C.BB312O10.6452350.632135：.6321.26■■0.6354100.B32121a0.&32943所求積分■\'rix^-==X0.632120^0.71327,Jr°J?r而積分準(zhǔn)確值為071兆72.14.用下列方法計(jì)算積分J：^d『(DRomh^rg算法.(2)三點(diǎn)及五點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式.(3)將:積分區(qū)間分為四等分，用復(fù)化兩點(diǎn)公式14.解(1)用Rnmkr月算法膏=匕&［汽。)_八方］,J-TI=L2「一計(jì)算,計(jì)算結(jié)果如表4.8.表48k￡?duì)tF（蜀17yl01.3333331.111111L.OAS25E1.09863011.1666671.0&&9001.O&8640?'1.llefififii.0P5725311QSS10,3I故 一dv 1.098630」1%--

(2)用三點(diǎn)及五點(diǎn)Gauas-Legendre求積公式，需先對(duì)求積區(qū)間［1,31作如下變換:令y—口一h)--yCb-a)t=s~2.則當(dāng)yG_L3］時(shí)，E6_1J_：旦dT=dh1」—d.y”2-0.5384693y三點(diǎn)Gauss2-0.538469317400.5555556200.55555562+0.7745967+2-0.7745967,-0.8888889X,

jLt■UIVr=1.098039283.^0.2369269五點(diǎn)Guums公式^0.23692692-0.90617982+0.9061798J-0.4786289X2+0.5584693J-4-0.5688889X-t■1.098609289.⑶用復(fù)化的兩點(diǎn)GauSfi求積公式計(jì)算，需將［L3：|工等分.則r4r4「「Jl-iyJ2y—dy44l2」2.5+0.5( Vi3.5+0.5;? ri/ .1JHr2'i4.5—0.5? 2'i5.5—0.5! 1 12.5—0方X(卜3丐2.5-0.5X33.5-t).5X(-3]^)+3.5-0.^34.5+0.5X(-3J/2)+4.5-0.5X35.5-t).5X(-3J/s)+5.5-O.5X31.098537573.=廣]—的真值為『=1.098612289.lb.建立Gauss型求枳公式工整加_f(xo)—Aif(.xi)15.解此題可用兩種方法求解：第一種利用代數(shù)精度，得到之于鳳、風(fēng)、期、伍的一個(gè)非線性方程組，求解此方程組，得加、卜、#/L；第一種方法,利用正交事項(xiàng)式的零點(diǎn)作為GaU"點(diǎn).下亓田簞■神隸融社，17.證明求和公式「L小汨工295/(后幣—8曲-5/(-O)：■1■對(duì)于次數(shù)不高于5的穿項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，并計(jì)算積分隹主必'01-X方法一:驗(yàn)證所給的求積公式是G國(guó)uss-Le群ndr紀(jì)求積公式.因?yàn)?次L已群ndre多項(xiàng)式為At(.x)= —3工).它的3個(gè)零點(diǎn)分別為重=一反」1=0,舉=O.于是有1八了萬(wàn)工弋.金八一EJ)-4l/(0)-a；/(Oy才一1飛公式對(duì)「」?：=一力成口許2=Au—Ai——A?-“0=—10.64一Jo.ej4as.,虧=0.6/ic+0.6Ai.lo故公式j(luò)J(0d…卷[5/(_O)-8/<0}-5y(O)]是Gauss型的，且恰為三點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式.其代數(shù)精度為5.也可直接住表得4%而、急.JF1計(jì)算積分I產(chǎn)d戈：-1—K令工=4。一則.[1±,1ii n*1sin力TOC\o"1-5"\h\zsmjc._1 Z「尸』―五L9 2iLj t=0.2842485.=0.2842485.第五章1.取步長(zhǎng)無(wú)=0.2,用EuLr法解初值問(wèn)題6)ry6)r-y(0)=1.1-解/( y)=~y~xy,Eider格式為216/I：：=y*—hf(_Xn,/)=ya—0.2(—ya-*.>；=0-3y*.-0.2Tny*.由T=1計(jì)算得>'(o.:)七丁?=0.上.式。.4)=yj=0.S8S8+y(0. =0.鴕95.2.用擲形公式解初值同題y(l)一上，212取步長(zhǎng)h=0.2,小數(shù)點(diǎn)后至少保留5位.2.解人工，6=3—梯形公式為“1=yn&代%+*)—_f( 1,yoi1)]A9=yn /_匕一3/一8—3joH].jLt料理得顯格式為=J__16

川」1科口+11rtli1=yb=2;If!j-式L2)3.=2.30769.式L4)3—=2.并337,式L6)g.=￡562581y(1.8)?sp=2.610C2,式Z0Af=N63649.

4.寫(xiě)出用梯形格式的迭代算法求解初值問(wèn)題jV—V=0..0)=1的計(jì)算公式T取步長(zhǎng)無(wú)=0.1,并求z(0.2)的近似值,要求迭代誤差不超過(guò)io1.4.解梯形格式的迭代算法為y-Yi=*—九/(*…8)+￥二11=”一與_于1心/)—/(.Vn-l.蘆1)［■0?1,2■,■,n=0,1,2t-t,.F是取f(,x,y)=一—有了％1=0.9Xn-,>1；,;=0.95/0-0.05^.由K01=酬=1,經(jīng)計(jì)算有嚴(yán)'=0.9,貨’=0.905,p￡>=0.90475,

=0.9047625,pJ=0.904761875.因 |p3- |=G..25X10<10\^UJ=0.81428^UJ=0.81428G,=0.818809,川=0.8185&3,川=0lS18595,f=0.8185%.l/?-5rl=i(}-G<io\

叭0.幻土爐=￡=0.318594.設(shè)有常微分方程初值問(wèn)題|［一,］"3的單步法

L/(型)=產(chǎn)yo-i=/□一當(dāng)［/［舒予)-2f(%?1,/=因故得13.214證明該方法是無(wú)條件穩(wěn)定的.13.證對(duì)模型方程『=打（1<0,所蛤方法的形式為y(Ayn—2y(Ayn—2Ay--1),因恒有記*為》處的擾動(dòng)，則有(5.35)式減(5.34)式得件穩(wěn)定的.19.解因尸工,y）=燈，所以中點(diǎn)公式為yn-1—Yn——hAy- 與Xyn） ."I一口-J"令油=不則）\.—1—7i—^7F}n..設(shè)了?上有小擾動(dòng)工，則ya-i—&ii=1一方（.?—Sc）與上式相減有心:.胃1-n—Ch.顯然當(dāng)且僅當(dāng)|1+五+三￡IW1時(shí)，|區(qū)+iIW|&|,即所蛤格式是穩(wěn)定的，解|1+存+才|<1等價(jià)F—1*1一方一4胡<1.即-2〈方1-4^〈仇當(dāng)1一方一為=1時(shí)，得五1-4^1=0,即方=0及方=—2,將區(qū)間分為229（一鞏―2k[―2,0]<0,—8）,僅當(dāng)方￡[一二舊時(shí),一二獻(xiàn)1—W■玲W0,故一2W五W0即為絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間.所以當(dāng)步長(zhǎng)二f A時(shí),一階中點(diǎn)公式是穩(wěn)定的，它是條件穩(wěn)定的.第七章is.設(shè)有解方程12—口+2c-=0的迭代法_,.2XnI1---5"仁01區(qū)工H.（1）證明VmEr,均有為方程的根rrr（如取功=4,用此迭代法求方程根的近似值，謾差不超過(guò)18.解⑴因迭代函數(shù)_ 2 r_ 2qJt.：1=4—亍ESH,中（H）=一虧田口工.￡75而對(duì)一切工?均有故迭代過(guò)程收斂，即均有1加笳=，.值）取依=4,代人迭代式計(jì)算有xi=4-4cos4=3.56424.腎=4-4cos3.56424=3.391996.依=4-4cos3.39199c=3.354125,g=4-^cos3.354125=3.34S33.監(jiān)=4+-|cts3.34833=3.3476299.取—上347即可使誤差不超過(guò)10IC3）因＞D=一■日inr,卬）|=|看⑥口工”/。澈由推論GJ知.此迭代格式只具線性收斂性.14.證明迭代公式_k式戈;-3a）

G7——― [%/—a是計(jì)算工的一一階方法?假定初值方充分靠近根d,求1， 4〃—Xi+1hm .…（:ia-jcty

14.證顯然，當(dāng)制＞0時(shí)＞0（-1,九…，令迭代函數(shù)（3J+3口）（3J+仃）一式￥+3加，6工_3(x-a/(3hl-a)-故對(duì)匕＞0/爐（喜）|VL即迭代收斂，設(shè)設(shè)e｝的極限為1,則有LK『一383r—a解得￡=0,￡=土=.由題知取￡=兀.即迭代序列收斂于立一'二（又一方）“就一最故院中迭代式是求短的1階方法.20.試確定常數(shù)pw",使迭代公式_Ia\a

xj：■]—pxi-4；~： r——產(chǎn)生的序列《熊｝收斂到工,并使其收斂階盡可能高.20.解迭代函數(shù)虱了》=「工+守與+r之，，—根據(jù)定XX理6.3,要使迭代序列收斂的階盡可能高，應(yīng)使/=。，),力/)=0押'(/1=0.由/=儀#*)得p_q_r—1;由力/】=0t得以h1)=p-p—2「5r=0由由")=。,得近3&-6g3^+30r3?-=0,

(W(3’即 q+5r=0.亦即『、*r滿(mǎn)足方程：p—<]-「=1+'p—￡廠5r=0,

■q—5r=0.9.應(yīng)用NcwSri法于方程?一。=0,求立方根兀的迭代公式，并討論其收斂性.9.解方程x~fi=O的根——底用Newton迭代法xt-1=xt――7~」=虧箝一y-jA=0,1,

OXJrO □Xk此公式的迭代函數(shù)儀工）=Wx—T-r則 $（父）=虧一言/，由）=0,*./）=j#0,