結構力學第六章

§6-1概述§6-2位移法的基本原理§6-3位移法的基本假設、基本未知量基本體系和典型方程§6-4

荷載作用下超靜定剛架的計算舉例§6-5對稱性的應用§6-6溫度改變及支座移動下的計算§6-7超靜定結構討論第六章位移法§6-1概述一、位移法的提出圖示結構是六次超靜定結構，但只有一個結點位移（受彎桿忽略其軸向變形）。力法——六個未知量位移法——用結點位移作為未知量，只有一個未知量二、單跨超靜定梁的內力

單跨超靜定梁的內力可用力法求出，它是位移法的計算基礎，舉例討論如下：

(a)原結構(b)基本體系1、固端梁受支座轉角作用力法典型方程為：

由圖乘法由靜定結構的支座沉陷位移計算公式：

解方程得令稱桿AB的線剛度。當時，當時，SAB稱為桿AB的A端抗彎勁度。由求桿端彎矩，并畫出彎矩圖（g)。，桿端剪力可求得，2、固端梁受支座線位移作用力法典型方程為：由圖乘法：直接由幾何關系判斷解方程得：由得彎矩圖（g),桿端剪力也可求得。令，當?shù)脧澗貓D如圖（h)所示。3、固端梁受荷載作用力法典型方程為：由圖乘法：4、固端梁受變溫作用力法典型方程為:解方程得：由得(g),桿端剪力也可求得，如圖（g)所示。由圖乘法：由靜定結構在變溫下的位移計算可得由得彎矩（g),剪力為零，軸力為一常數(shù)

將系數(shù)項和自由項代入力法典型方程，并求解得

桿端彎矩和剪力可將各種外來因素單獨作用的結果疊加得。2、一端固定，一端鉸支梁同時承受荷載，支座移動及溫度改變作用時，將各種外來因素單獨作用的結果疊加。3、一端固定，一端滑移支座梁同時承受荷載、支座移動及溫度改變作用，將各種外來因素單獨作用疊加。4、一端固定，一端平行于桿軸線的連桿約束的梁同時承受荷載、支座移動及溫度改變作用時，因其在支座移動及溫度改變下均不產(chǎn)生彎矩，僅荷載作用產(chǎn)生彎矩。此種基本桿件，實質與懸臂梁相同。結論：以上推導了各種單跨超靜定梁在桿端位移、荷載、溫度下的桿端彎矩、剪力表達式。由此可知，對于任一等截面直桿，只要知道桿件兩端位移、荷載、溫度，即可求出桿件兩端彎矩、剪力，作出此桿件的彎矩圖、剪力圖。返回

§6—2位移法的基本原理

位移法是與力法對偶的一種超靜定結構解法。

結點位移位移協(xié)調桿端位移位移協(xié)調桿端彎矩彎矩一、具有一個結點角位移的情況基本未知量——結點B角位移基本系基本系——在結點B附加一個剛臂（僅能控制轉動不能控制移動的約束）=比較基本體系與原結構在約束處的受力狀況，典型方程——表示結點B處的力矩平衡。求系數(shù)與自由項由圖（e）由圖（f）作彎矩圖二、具有一個獨立結點線位移情況基本系基本未知量——結點線位移?；鞠怠诮Y點1方向附加一個連桿。

設以向右為正，規(guī)定以同向為正。典型方程——表示結構上截面的剪力平衡條件。比較基本系與原結構在附加連桿處的受力情況系數(shù)與自由項由圖由圖將系數(shù)代入典型方程，解方程得作彎矩圖三、位移法原理總結基本方程單跨超靜定梁的組合體荷載結點位移基本系基本未知量超靜定結構轉化手段：附加約束加上結點位移等效條件：平衡條件返回一、基本假設和符號規(guī)定

基本假設；（1）不計軸向變形（受彎構件）（2）彎曲變形是微小的§6-3位移法的基本假設、基本未知量、基本體系和典型方程符號規(guī)定：結點的量習慣上采用：結點轉角和剛臂反力矩，順時針轉向為正；結點水平線位移和附加連桿反力，向右為正；桿端的力順時針轉向為正（如下圖）。彎矩、剪力轉角線位移（或弦轉角β）二、基本未知量位移法基本未知量1.結點角位移基本未知量數(shù)=結構剛結點數(shù)目注：1.鉸結點的轉角不作為基本的未知量；2.鉸支座（包括連桿支座）的轉角不作為基本的未知量。結點角位移結點線位移2.結點線位移基本未知量數(shù)=結構獨立結點線位移數(shù)目注：支座的線位移不作為基本未知量三、基本體系在結構剛結點處附加一個剛臂；選定獨立結點線位移處附加一個連桿。換鉸法——把結構所有剛結點和固定支座都轉換成鉸，結構變成一個鉸結體系。為保持該體系的幾何不變所必須附加的最少連桿數(shù)，即為原結構的獨立結點線位移數(shù)目。討論:鉸結點角位移和滑移支座線位移為什么不作為位移法的基本未知量？觀察法換鉸法獨立結點線位移的確定（b)鉸化體系四、典型方程根據(jù)基本體系上附加約束內的約束力為零的條件，建立位移法典型方程其中：勁度系數(shù)；自由項;為位移法的基本未知量對n個基本未知量的結構，其位移法典型方程為：勁度系數(shù)表示作用在基本系上引起的處附加約束內的反力（反力矩），由結點平衡或截面平衡條件求出。自由項表示荷載作用在基本體系上引起的處附加約束內的反力（反力矩），由結點平衡條件或截面平衡條件求出。勁度系數(shù)特點：五、結點位移

將系數(shù)項和自由項代入位移法方程，解出結點位移。返回由桿端彎矩繪彎矩圖，由桿件和結點平衡條件求桿端剪力和軸力，作剪力圖和軸力圖。六、最后的內力、內力圖

§6-4對稱性的利用對稱結構可利用下列性質取一半結構進行計算：1.結構對稱，在對稱荷載作用下，其變形、位移、內力、反力均對稱；2.結構對稱，在反對稱荷載作用下，其變形、位移、內力、反力均反對稱；奇數(shù)跨對稱荷載偶數(shù)跨對稱荷載奇數(shù)跨反對稱荷載偶數(shù)跨反對稱荷載返回

§6-5溫度改變及支座移動下的計算

用位移法計算受溫度改變及支座移動作用下的超靜定結構，與受荷載作用時的不同之處是典型方程的自由項，用FRkt或FRkc來代替FRkp，其它計算與受荷載時的相同。計算同荷載作用下一樣計算。一、溫度改變(設溫度膨脹系數(shù)α）現(xiàn)計算FR1t、FR2t:

為中性軸上溫度改變引起附加約束上的反力矩或反力；為桿件內外溫度差引起附加約束上的反力矩或反力二、支座移動現(xiàn)計算FR1c、FR2c：返回§6-6轉角撓度法轉角撓度法基本未知量的確定（剛結點角位移和獨立結點線位移）同附加剛臂和附加連桿法。圖示剛架為常數(shù)，基本結點未知位移各桿端彎矩求出未知結點位移后，代入桿端彎矩式可求得各桿端彎矩。由各桿端彎矩作出原結構的彎矩圖。其中：根據(jù)結點C、E的力矩平衡條件及截面m-m以上部分隔離體的力的平衡條件

例作圖示鋼架彎矩圖。解：1.位移未知量2.列彎矩的轉角位移方程：

3.列平衡方程并求解：其中：代入有關數(shù)據(jù)并整理：求解得：4.求各桿端彎矩：

5.作最后彎矩圖：例作圖示剛架彎矩圖。2.列彎矩的轉角位移方程：解：1.確定基本未知量：由于橫梁,AB、CD桿只能水平移動，無角位移，，只有一個線位移3.列平衡方程并求解：其中：代入方程：有脫離體：4.求各桿端彎矩、作M圖：解：1.基本未知量，基本系如圖：2.典型方程：例確定圖示鋼架用位移法解的基本未知量，作單位彎矩圖，并求出系數(shù)項和自由項。為求圖，先求時各桿的相對位移，由圖用速度順心法。2.單位位移彎矩圖、荷載彎矩圖：求系數(shù)項：求時，先求出，由圖自由項計算：求時，先求

返回位移法計算步驟：1.確定基本未知量，建立基本系，列出典型方程；2.作單位位移圖及荷載彎矩圖，計算勁度系數(shù)及自由項;3.求解典型方程，得基本未知量；4.根據(jù)疊加原理作內力圖并校核?！?-7位移法計算舉例一、平行柱鋼架例計算圖示結構內力，繪內力圖（EI=C).解：1.基本未知量基本系如圖典型方程2.作單位位移彎矩圖，荷載彎矩圖：系數(shù)計算：自由項計算：3.求解典型方程其中4.作最后內力圖：疊加原理作彎矩圖，由M圖作FQ圖、FN圖例計算圖示結構內力并繪制彎矩圖。解：1.基本系未知量、基本系：2.典型方程;2.單位彎矩圖，荷載彎矩圖：系數(shù)計算：自由項計算：3.接典型方程得：4.做最后彎矩圖：迭加原理作彎矩圖對無窮大的桿件桿端彎矩由結點平衡例計算圖（a)所示剛架，做彎矩圖。EI=常數(shù)。解：1.基本未知量及基本系2.典型方程3.單位彎矩圖和荷載彎矩圖，分別如圖（c)、(d)、(e)4.解典型方程得5.最后彎矩圖由疊加原理作出彎矩圖二、斜桿剛架例作圖示斜桿剛架的彎矩圖，各桿EI=C.解：1.基本未知量基本系如圖：

典型方程：2.單位彎矩圖、荷載彎矩圖作圖時應先求出各桿兩端的相對線位移，這里介紹速度瞬心法：（1）將基本體系改變?yōu)殂q接體系；（2）沿附加連桿方向給單位線位移；（3）求各桿相對線位移值。當繪出，由圖示幾何關系：系數(shù)計算：求k33先由桿AB、BC求出FQAB、FQBC；求出結點B求出FNBC=25.5;由桿CD求出FQCD=23.45;由結點C求出K33；自由項計算：FR3P求法同求k33過程：3.解典型方程：4.作最后彎矩圖：由迭加原理作出彎矩圖。解：1.基本未知量例確定圖示剛架用位移法解的基本未知量，作單位彎矩圖，并求出系數(shù)項和自由項。基本系如圖2.典型方程為求圖，先求時各桿的相對位移，由圖用速度瞬心法。2.單位位移彎矩圖、荷載彎矩圖：求系數(shù)項：求時，先求出，由圖自由項計算：求時，先求

返回例作圖指示結構的M圖、FN圖、FQ圖。

作出彎矩圖，由彎矩圖求出每桿兩端剪力，作剪力圖，由結點平衡求出各桿軸