SPSS課程PPT( 置信區(qū)間估計)

生物統(tǒng)計與實驗設(shè)計BiologicalStatisticsAndExperimentalDesigns

2第二章置信區(qū)間估計

2.1參數(shù)的點估計2.2估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)2.3參數(shù)的區(qū)間估計2.4正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計2.5兩個正態(tài)總體均值及方差比的置信區(qū)間2.6單側(cè)置信限32.1點估計1.點估計問題的提法2.估計量的求法3.小結(jié)矩估計法最大似然法估計方法點估計區(qū)間估計41.點估計問題的提法設(shè)總體

X的分布函數(shù)形式已知,但它的一個或多個參數(shù)為未知,借助于總體X的一個樣本來估計總體未知參數(shù)的值的問題稱為點估計問題.例15解用樣本均值來估計總體的均值E(X).6點估計問題的一般提法72.估計量的求法由于估計量是樣本的函數(shù),是隨機(jī)變量,故對不同的樣本值,得到的參數(shù)值往往不同,如何求估計量是關(guān)鍵問題.常用構(gòu)造估計量的方法:(兩種)矩估計法和最大似然估計法.(1).

矩估計法復(fù)習(xí)2.

樣本

k階(原點)矩89(X為連續(xù)型)(X為離散型)10矩估計法的定義用樣本矩來估計總體矩,用樣本矩的連續(xù)函數(shù)來估計總體矩的連續(xù)函數(shù),這種估計法稱為矩估計法.矩估計法的具體做法:矩估計量的觀察值稱為矩估計值.11例2設(shè)總體X的概率密度為其中為待估參數(shù)，設(shè)是來自X的一個樣本，求的矩估計量..解

總體X的一階矩為以一階樣本矩代替上式中的一階總體矩，從中解出，，

得到的矩估計量為

12例3設(shè)總體X的概率密度為其中為待估參數(shù)，設(shè)是來自X的一個樣本，求的矩估計量.13解總體X的一階、二階矩分別為分別以一階、二階樣本矩代替上兩式中的有14從中解得即得到的矩估計量為15解根據(jù)矩估計法,例416解例517解方程組得到a,b的矩估計量分別為18解解方程組得到矩估計量分別為例619上例表明:總體均值與方差的矩估計量的表達(dá)式不因不同的總體分布而異.一般地,20(2).

最大似然估計法似然函數(shù)的定義2122最大似然估計法23似然函數(shù)的定義2425求最大似然估計量的步驟:最大似然估計法是由費舍爾引進(jìn)的.26最大似然估計法也適用于分布中含有多個未知參數(shù)的情況.此時只需令對數(shù)似然方程組對數(shù)似然方程27解似然函數(shù)例728這一估計量與矩估計量是相同的.29例8在例2中求參數(shù)的最大似然估計值，設(shè)是一個樣本值.解似然函數(shù)為令

解得注意到故所求

的最大似然估計值為這與的矩估計值不一樣.30解X的似然函數(shù)為例93132它們與相應(yīng)的矩估計量相同.33解例1034注：最大似然估計法也適用于分布中含多個未知參數(shù)的情形.353、小結(jié)兩種求點估計的方法:矩估計法最大似然估計法在統(tǒng)計問題中往往先使用最大似然估計法,在最大似然估計法使用不方便時,

再用矩估計法.362.2估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)1、問題的提出2、無偏性3、有效性4、相合性5、小結(jié)371.問題的提出從前一節(jié)可以看到,對于同一個參數(shù),用不同的估計方法求出的估計量可能不相同,如第一節(jié)的例4和例10.而且,很明顯,原則上任何統(tǒng)計量都可以作為未知參數(shù)的估計量.問題(1)對于同一個參數(shù)究竟采用哪一個估計量好?(2)評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)是什么?下面介紹幾個常用標(biāo)準(zhǔn).382.無偏性無偏估計的實際意義:無系統(tǒng)誤差.P(

)BA無偏有偏39證例140特別的:不論總體X服從什么分布,只要它的數(shù)學(xué)期望存在,41證例242(這種方法稱為無偏化).43證明例344由以上例子可知,一個參數(shù)可以有不同的無偏估計量.453.有效性由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度,所以無偏估計以方差小者為好.AB的抽樣分布的抽樣分布P(

)46證明例4

(續(xù)例3)474、相合性相合性是對估計量的一個基本要求,不具備相合性的估計量是不予以考慮的.485、小結(jié)估計量的評選的三個標(biāo)準(zhǔn)無偏性有效性相合性由最大似然估計法得到的估計量,在一定條件下也具有相合性.估計量的相合性只有當(dāng)樣本容量相當(dāng)大時,才能顯示出優(yōu)越性,這在實際中往往難以做到,因此,在工程中往往使用無偏性和有效性這兩個標(biāo)準(zhǔn).492.3參數(shù)的區(qū)間估計1、區(qū)間估計的基本概念2、典型例題3、小結(jié)501.區(qū)間估計的基本概念(1)置信區(qū)間的定義51關(guān)于定義的說明52若反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等,都是n)按伯努利大數(shù)定理,在這樣多的區(qū)間中,53例如54(2)求置信區(qū)間的一般步驟(共3步)樞軸量

55解例12.典型例題56常寫成其置信區(qū)間的長度為57由一個樣本值算得樣本均值的觀察值則置信區(qū)間為其置信區(qū)間的長度為58比較兩個置信區(qū)間的長度置信區(qū)間短表示估計的精度高.說明:

對于概率密度的圖形是單峰且關(guān)于縱坐標(biāo)軸對稱的情況,易證取a和b關(guān)于原點對稱時,能使置信區(qū)間長度最小.59說明評價一個置信區(qū)間的好壞有兩個因素：一是精度，這可用區(qū)間長度來刻畫；二是置信水平

.60今抽9件測量其長度,得數(shù)據(jù)如下(單位:mm):142,138,150,165,156,148,132,135,160.解例2613.小結(jié)點估計不能反映估計的精度,故而本節(jié)引入了區(qū)間估計.求置信區(qū)間的一般步驟(分三步).622.4正態(tài)總體均值與方差的

區(qū)間估計3、小結(jié)1.2.63由上節(jié)例1可知:1.64包糖機(jī)某日開工包了12包糖,稱得質(zhì)量(單位:克)分別為506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.

假設(shè)重量服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差為，試求糖包解例165查表得66推導(dǎo)過程如下:67解例2(續(xù)例1)如果只假設(shè)糖包的重量服從正態(tài)分布68推導(dǎo)過程如下:根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計定理2.69進(jìn)一步可得:注意:在密度函數(shù)不對稱時,習(xí)慣上仍取對稱的分位點來確定置信區(qū)間(如圖).70解例3

(續(xù)例1)713、小結(jié)(正態(tài)總體）722.5兩個正態(tài)總體均值差及

方差比的置信區(qū)間3.小結(jié)73討論兩個正態(tài)總體均值差和方差比的估計問題.74推導(dǎo)過程如下:1.757677例1.耗氧率是跑步運動員生理活力的一個重要測度。文獻(xiàn)中報導(dǎo)了大學(xué)生男運動員的兩種不同的訓(xùn)練方法，一種是在一定時段內(nèi)每日連續(xù)訓(xùn)練；另一種是間斷訓(xùn)練（兩種訓(xùn)練方法總訓(xùn)時間相同）。下面給出了兩種不同訓(xùn)練方法下的實測數(shù)據(jù)。單位為毫升（氧）/千克（體重）·分鐘。設(shè)數(shù)據(jù)分別來自正態(tài)總體和，兩總體方差相同，兩，，均未知。求兩總體均的置信水平為0.95的置信區(qū)間。樣本相互獨立，值差78連續(xù)訓(xùn)練間斷訓(xùn)練樣本容量樣本均值樣本標(biāo)準(zhǔn)差解現(xiàn)在

79由得所求的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間為即

（4.08±7.25）＝（－3.17，11.33）.80例2測得兩個民族中各5位成年人的身高（以cm計）如下A民族162.6170.2172.7165.1157.5B民族175.3177.8167.6180.3182.9設(shè)樣本分別來自總體，，未知，兩樣本獨立，求的置信水平為0.90的置信區(qū)間。

81

解現(xiàn)在經(jīng)計算

得

的一個置信水平為0.90的置信區(qū)間為即（－18.17，－4.15）.這個區(qū)間的上限小于零，在實際中我們就認(rèn)為比小。82例3為比較?,??兩種型號步槍子彈的槍口速度,隨機(jī)地取?型子彈10發(fā),得到槍口速度的平均值為隨機(jī)地取??型子彈20發(fā),得槍口速度平均值為假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布,且由生產(chǎn)過程可認(rèn)為它們的方差相等,求兩總體均值差信區(qū)間.解由題意,兩總體樣本獨立且方差相等(但未知),8384推導(dǎo)過程如下:2.85根據(jù)F分布的定義,知8687例4分別由工人和機(jī)器人操作鉆孔機(jī)在綱部件上鉆孔，今測得所鉆的孔的深度（以cm計）如下工人操作4.023.644.034.023.954.064.00機(jī)器人操作4.014.034.024.014.003.994.024.00涉及的兩總體分別為

均未知，兩樣本相互獨立，

求的置信水平為0.90的置信區(qū)間。88解現(xiàn)在經(jīng)計算得

所求的

的置信水平為0.90的置信區(qū)間為

這個區(qū)間的下限大于1，在實際中，我們就認(rèn)為比大。89解例5研究由機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑,隨機(jī)抽取機(jī)器A生產(chǎn)的管子18只,測得樣本方差為均未知,求方差比區(qū)間.設(shè)兩樣本相互獨抽取機(jī)器B生產(chǎn)的管子13只,測得樣本方差為立,且設(shè)由機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布信909192932.6單側(cè)置信限2、基本概念3、典型例題1、問題的引入4、小結(jié)941、問題的引入但在某些實際問題中,例如,對于設(shè)備、元件的壽命來說,平均壽命長是我們希望的,我們關(guān)心的是平均壽命的“下限”;與之相反,在考慮產(chǎn)品的廢品率

p時,我們常關(guān)心參數(shù)

p的“上限”,這就引出了單側(cè)置信區(qū)間的概念.952、基本概念1).

單側(cè)置信區(qū)間的定義962).

正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間97983、典型例題設(shè)從一批燈泡中,隨機(jī)地取5只作壽命試驗,測得壽命(以小時計)為1050,1100,1120,1250,1280,設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布,求燈泡壽命平均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限.解例199例2

下面列出了自密歇根湖中捕獲的10條魚的聚氯聯(lián)苯（以mg/kg計）的含量（這是一種有毒化學(xué)物）：11.512.011.611.810.410.812.211.912.412.6設(shè)樣本來自正態(tài)總體均未知。試求的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限。解現(xiàn)在

經(jīng)計算得套用公式得所求置信上限為100例3

下面分別列出了某地25～35歲吸煙和不吸煙的男子的血壓（收縮壓，以mm–kg計）.設(shè)兩樣本分別來自總體均未知，兩樣本相互獨立，求的置信水平為0.90的置信下限。吸煙