材料力學課件第10章

第10章變形能法變形能法（能量法）出發(fā)點：能量守恒與轉換原理。彈性體承載時，加力點發(fā)生位移——荷載做功，W彈性體變形——儲存變形能（應變能），U略去在該過程中的微量能量損耗，則由能量守恒與轉換原理，得：外力功=變形能W=U由能量的觀點出發(fā)建立荷載與變形間關系的方法稱為變形能法（能量法）。10.1桿件變形能的計算一、基本變形時的變形能⒈軸向拉伸或壓縮軸力N是x的函數時⒉扭轉扭矩Mn是x的函數時⒊彎曲

純彎曲

橫力彎曲對細長梁，剪力引起的變形能與彎矩引起的變形能相比很小，通?？珊雎圆挥?。用廣義力和廣義位移表示變形能可將統一寫為二、彈性變形能的主要特征（1）彈性變形能只與力或位移的最終值有關，與加載過程和次序無關。（2）一般情況下，變形能不能疊加。P1單獨作用時P2單獨作用時P1、P2共同作用時顯然，變形能不能疊加的力學本質：一種荷載在另一種荷載引起的位移上做了功。從數學觀點看：U不是P或者

的線性函數，所以不能疊加。如果構件上有若干載荷，但其中任一種載荷在另一種載荷產生的位移上不做功，則每一種載荷單獨作用時產生的變形能之和等于共同作用時產生的變形能。但在某些情況下，變形能可以疊加。如拉扭組合變形時。三、變形能的普遍表達式廣義力P1,,Pn

力作用點沿力的方向的 廣義位移1,,

n

克拉貝隆原理四、組合變形時的變形能取一微段為研究對象由變形能的普遍表達式，有：例10-1-1

圖示平面剛架，已知抗彎剛度與抗拉剛度分別為EI和EA（二者都是常數），試求A端的豎直位移。解：（1）求內力（2）變形能BC

段：AB

段：

（3）由能量守恒求δA上式中的第一項對應彎曲變形引起的位移，第二項對應軸向拉壓變形引起的位移。若a=l，且各桿橫截面為直徑等于d的圓形，l=10d，則上式括號內的第二項小于0.05%，故在求解抗彎桿件結構的變形時，一般可以不考慮軸力的影響。例10-1-2

軸線為平面半圓形曲桿如圖示。A端處作用有垂直于軸線所在平面的集中力，試求A端的豎直位移。解：

dd

10.2莫爾定理求任意點C的位移δ一、定理的證明：

Ｃ=1P0Ｃδq(x)

Ｃ0P=1q(x)δ上式即為莫爾定理也稱莫爾積分。上式δ也可為轉角，此時只需將單位力換成單位力偶即可，故δ是廣義的。此法也稱為單位載荷法或單位力法。莫爾定理的推廣：（1）曲桿的變形小曲率桿（曲率半徑與截面高度之比大于5），一般可忽略剪力和軸力的影響。則（2）桁架結構（3）一般情況PABCDE加單位載荷的方法PABCDPABCD求結點C的豎向位移求B截面的轉角PABCD求C、E兩點的相對位移求鉸C兩側截面的相對轉角例10-2-1

求圖示1/4圓弧形曲梁B端的垂直位移、水平位移和轉角。P、R、EI

已知。PABR解：PABRABR（向下）(1)求B端的垂直位移（向左）(2)求B端的水平位移PABRABR（順時針）(3)求B端的轉角PABRABR例10-2-2

圓截面鋼架受力如圖，整個鋼架的抗扭剛度和抗彎剛度分別為GIp和EI，若不計剪力對變形的影響，試求鋼架C截面沿豎直方向的位移。BC段：AB段：解：（向下）莫爾積分成為10.3計算莫爾積分的圖形互乘法對等截面直桿，EI,GIp

或EA為常量。由于其中：是M圖形心點對應的的值。是M圖的面積；上述卷積計算法稱圖乘法。注意：⒈M

圖與圖在桿的同側時，圖乘為正；在桿的兩側時，圖乘為負。⒉若圖為折線，需分段圖乘。圖10-16給出了常用的面積和形心值。例10-3-1

外伸梁受載如圖所示。若抗彎剛度EI為常量，試求外伸端C的撓度。例10-3-2

帶中間鉸的靜定量（也稱為子母梁）結構受載如圖示。已知抗彎剛度EI為常量，試求中間鉸C兩側截面的相對轉角。10.4卡氏定理即：變形能對任一載荷的偏導數等于該載荷作用點沿載荷作用方向的位移。這是意大利工程師卡斯提列諾(AlbertoCastigliano，1847～1884)在1873年提出來的，也稱卡氏第二定理。證明：P1P2Pnδ1δ2δn(a)P1P2dPn+Pnδ2δnδ1(b)(a)圖：若給Pn

以增量dPn

，則：改變加載次序，先加dPn，然后再作用P1、

P2、…，則：(b)圖：忽略二階微量，即可得：P1P2Pnδ1δ2δnP1P2dPn+Pnδ2δnδ1(a)(b)注意：式中的位移和力均是廣義的。由U1=U2，則：卡氏第二定理卡氏定理的幾種常用形式

桁架設有m根桿，則變形能為:交換求導和積分的次序，有

直梁彎曲曲桿彎曲

組合變形例10-4-1

結構如圖，試求A截面的撓度和轉角。(1)求A截面的撓度AlPEI解：x(2)求A截面的轉角沒有與A向相對應的力（廣義力），需加一附加力MfMfAlPEIxMfAlPEIx“負號”說明

A與所加廣義力Mf方向相反。令得：注意：通常在積分前即令Mf=0，可使積分簡單。例10-4-２

軸線為四分之一圓周的平面曲桿，曲桿的A端固定，自由端B上作用有豎直集中力P，求B點的豎直和水平位移。已知抗彎剛度EI為常量。(1)求B點的豎直位移δBV解：（向下）APBR（向右）APBRPf(2)求B點的水平位移δBH在B點附加一水平力Pf一、功的互等定理10.5功的互等定理和位移互等定理P1P212(c)（先作用P1，再作用P2）P1P212(d)（先作用P2，再作用P1）P112(a)P212(b)(c)圖(d)圖由U1=U2，得此即功的互等定理：載荷P1在由載荷P2引起的相應位移上所做的功，等于載荷P2在由載荷P1引起的相