高中數(shù)學(xué)北師大版第二章解析幾何初步單元測試學(xué)業(yè)分層測評24

學(xué)業(yè)分層測評(二十四)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標]一、選擇題1．若A(1,3，－2)，B(－2,3,2)，則A，B兩點間的距離為()\r(61)B．25C．5\r(57)【解析】|AB|＝eq\r(1＋22＋3－32＋－2－22)＝5.【答案】C2．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，則對角線AC1的長為()A．9 \r(29)C．5 D．2eq\r(6)【解析】由已知可得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝eq\r(4－02＋0－22＋0－32)＝eq\r(29).【答案】B3．如圖2-3-13，在空間直角坐標系中，有一棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1，A1C的中點E到AB的中點F的距離為()圖2-3-13\r(2)a \f(\r(2),2)aC．a(chǎn) \f(1,2)a【解析】由題意得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2)))，則|EF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,2)))\s\up14(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,2)))\s\up14(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(a,2)))\s\up14(2))＝eq\f(\r(2),2)a.【答案】B4．設(shè)點P在x軸上，它到P1(0,eq\r(2)，3)的距離為到點P2(0,1，－1)的距離的兩倍，則點P的坐標為()A．(1,0,0) B．(－1,0,0)C．(1,0,0)或(0，－1,0) D．(1,0,0)或(－1,0,0)【解析】∵點P在x軸上，∴設(shè)點P的坐標為(x,0,0)，由題意|PP1|＝2|PP2|，∴eq\r(x－02＋0－\r(2)2＋0－32)＝2eq\r(x－02＋0－12＋0＋12)，解得x＝±1，∴所求點為(1,0,0)或(－1,0,0)．【答案】D5．已知點A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)，則|AB|的最小值是()A．3eq\r(3) B．3eq\r(6)C．2eq\r(3) D．2eq\r(6)【解析】|AB|＝eq\r(1－2a2＋a＋72＋－5＋22)＝eq\r(5a＋12＋54)≥eq\r(54)＝3eq\r(6).【答案】B二、填空題6．點P(x，y，z)到點A(－1,2,3)，B(0,0,5)兩點的距離相等，則x、y、z滿足______．【解析】由|PA|＝|PB|，可得eq\r(x＋12＋y－22＋z－32)＝eq\r(x2＋y2＋z－52)，整理得2x－4y＋4z－11＝0.【答案】2x－4y＋4z－11＝07．已知正方體不在同一表面上的兩頂點A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，則正方體的體積是________．【解析】設(shè)正方體棱長為a，則eq\r(a2＋a2＋a2)＝|AB|＝eq\r(42＋－42＋42)，所以a＝4，V＝43＝64.【答案】648．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(x,0,1)，則x＝________.【解析】由距離公式|AB|＝eq\r(2－12＋1－12＋1－22)＝eq\r(2)；|AC|＝eq\r(2－x2＋1－02＋1－12)＝eq\r(2－x2＋1)；|BC|＝eq\r(1－x2＋1－02＋2－12)＝eq\r(1－x2＋2)；∵∠BAC＝90°，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，∴(1－x)2＋2＝2＋(2－x)2＋1，解得x＝2.【答案】2三、解答題9．如圖2-3-14，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝2，DC＝4，DD1＝3，利用空間兩點間的距離公式，求對角線AD1，AB1和AC1的長.【導(dǎo)學(xué)號：10690074】圖2-3-14【解】以D為坐標原點，DA，DC和DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．則D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,3)，B1(2,4,3)，C1(0,4,3)，∴|AD1|＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13)，|AB1|＝eq\r(2－22＋42＋32)＝5，|AC1|＝eq\r(2－02＋－42＋－32)＝eq\r(29).10．在xOy平面內(nèi)的直線2x－y＝0上確定一點M，使它到點P(－3,4,5)的距離最小，并求出最小值．【解】∵點M在xOy平面內(nèi)的直線2x－y＝0上，∴點M的坐標為(a,2a,0)，則|MP|＝eq\r(a＋32＋2a－42＋52)＝eq\r(5a2－10a＋50)＝eq\r(5a－12＋45)，∴當a＝1時，|MP|取最小值3eq\r(5)，此時M(1,2,0)．即M坐標為(1,2,0)時，|PM|最小，最小值為3eq\r(5).[能力提升]1．在空間直角坐標系中，與點A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距離的點的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．無數(shù)【解析】由兩點間距離公式可得|AB|＝eq\r(26)，|BC|＝eq\r(74)，|AC|＝eq\r(26)，易知A、B、C三點不共線，故可確定一個平面．在△ABC所在平面內(nèi)可找到一點到A、B、C距離相等，而過該點與面ABC垂直的直線上的每一點到A、B、C距離均相等．【答案】D2．點P(x，y，z)的坐標滿足x2＋y2＋z2＝1，點A(－2,3，eq\r(3))，則|PA|的最小值是()A．2 B．3C．4 D．5【解析】x2＋y2＋z2＝1在空間中表示以坐標原點O為球心、1為半徑的球面，所以當O、P、A三點共線時，|PA|最小，此時|PA|＝|OA|－|OP|＝|OA|－1＝eq\r(－22＋32＋\r(3)2)－1＝4－1＝3.【答案】B3．(2023·徐州高一檢測)對于任意實數(shù)x、y、z，eq\r(x2＋y2＋z2)＋eq\r(x＋32＋y＋22＋z－12)的最小值為______．【解析】結(jié)合空間直角坐標系中任意兩點的距離公式，可得eq\r(x2＋y2＋z2)＋eq\r(x＋32＋y＋22＋z－12)表示的幾何意義是空間內(nèi)任意一點M(x，y，z)與原點O(0,0,0)及定點A(－3，－2,1)的距離之和，顯然當O，M，A三點共線時，|OM|＋|MA|最小，最小值為|OA|＝eq\r(－3－02＋－2－02＋1－02)＝eq\r(14).【答案】eq\r(14)4．已知正三棱錐A-BCD，高為1，底面正三角形邊長為eq\r(3)，建立適當坐標系寫出A、B、C、D四點的坐標，并求側(cè)棱AB的長度．【解】設(shè)O為A在底面BCD上的射影，則O為正三角形BCD的中心．如圖以O(shè)B所在直線為x軸，以O(shè)A所在直線為z軸，以過O與CD平行的直線為y軸，建立空間直角坐標系，設(shè)CD中點為E，由BC＝eq\r(3)，O為△BCD中心可知，|OB|＝eq\f(2,3)|BE|＝eq\f(2,3)·eq\f(\r(3),2)|BC|＝1，|OE|＝eq\f(1,2)|OB|＝eq\f(1,2)，∴B(1,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，0)).又|CE|＝|ED|＝eq\f(\r(3),2)，∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)，0)).又∵A在z軸上，且|AO|＝1，∴A(0,0,1)．由兩點間的距離公式|AB|＝eq\r