質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)速度與加速度

運(yùn)動(dòng)學(xué)：動(dòng)力學(xué)：靜力學(xué)：研究物體在力系作用下的平衡規(guī)律，同時(shí)也研究力的一般性質(zhì)和力系的簡(jiǎn)化方法等。（平衡方程的應(yīng)用和受力分析）研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)，而不研究引起物體運(yùn)動(dòng)的原因。（位移，速度，加速度，軌跡等的描述和計(jì)算）研究受力物體的運(yùn)動(dòng)變化與作用力之間的關(guān)系。（運(yùn)動(dòng)微分方程的建立和求解）§1.1引言第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)經(jīng)典力學(xué)適用范圍：弱引力場(chǎng)中宏觀物體的低速運(yùn)動(dòng)。

力學(xué)的研究對(duì)象時(shí)間：空間：時(shí)間用以表述事物之間的順序

空間用以表述事件相互之間的位形

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)在牛頓力學(xué)中，時(shí)間間隔和空間間隔（長(zhǎng)度）被認(rèn)為是絕對(duì)量，是獨(dú)立于所研究對(duì)象（物體）和運(yùn)動(dòng)而存在的客觀實(shí)在。時(shí)間的流逝與空間位置無關(guān)，空間為歐幾里德幾何空間。時(shí)間、空間和牛頓力學(xué)的絕對(duì)量時(shí)間的測(cè)量：第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)任何具有重復(fù)性的周期過程或現(xiàn)象，都可以作為測(cè)量時(shí)間的一種鐘（例如，太陽的升沒表示天；四季的循環(huán)稱作年；月亮的盈虧是農(nóng)歷的月。其他的循環(huán)過程，如雙星的旋轉(zhuǎn)、人體的脈搏、吊燈的擺動(dòng)、分子的振動(dòng)等等，也都可以用作測(cè)時(shí)的工具）

時(shí)間的測(cè)量：第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)1967年10月在第十三屆國際度量衡會(huì)議上規(guī)定：位于海平面上的銫原子的基態(tài)的兩個(gè)超精細(xì)能級(jí)在零磁場(chǎng)中躍遷輻射的周期T與1秒的關(guān)系為

1秒=9,192,631,770T這樣的時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)稱為原子時(shí)

用銫鐘作為計(jì)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)，誤差若按一個(gè)周期計(jì)算，測(cè)量精度要比秒表作時(shí)計(jì)提高倍，即誤差下降到秒表的之一時(shí)間是測(cè)量得最準(zhǔn)確的一個(gè)基本量

空間的測(cè)量：第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)長(zhǎng)度是空間的一個(gè)基本性質(zhì)

對(duì)長(zhǎng)度的測(cè)量，在日常的范圍中，是用各種各樣的尺，如米尺、千分尺、螺旋測(cè)微計(jì)等等?？臻g的測(cè)量：第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)米：規(guī)定為通過巴黎的自北極至赤道的子午線長(zhǎng)度 的1/10,000,000

1875年起，決定改用米原器（截面呈“X”形的鉑銥合金尺）作為長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)。由于這樣規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)米不易復(fù)制，精度又不高

1960年在第十一屆國際計(jì)量大會(huì)上規(guī)定：1米等于氪86原子的兩個(gè)特定能級(jí)之間躍遷時(shí)所對(duì)應(yīng)的輻射（橙色譜線）在真空中的波長(zhǎng)λ的1,650,763.73倍。這樣規(guī)定的米叫原子米

1983年10月在第十七屆國際計(jì)量大會(huì)上規(guī)定：米是光在真空中在1/299,792,458秒的時(shí)間間隔內(nèi)所傳播的路程長(zhǎng)度光速：c=299,792,458米／秒

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)目前物理學(xué)中涉及的最小的時(shí)間是10-43秒，稱為普朗克時(shí)間。普朗克時(shí)間被認(rèn)為是最小的時(shí)間，比普朗克時(shí)間還要小的范圍內(nèi)，時(shí)間的概念可能就不再適用了。最短的時(shí)間第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)目前，物理學(xué)中涉及的普朗克長(zhǎng)度約為10-35米，被認(rèn)為是最小的長(zhǎng)度，意思是說，在比普朗克長(zhǎng)度更小的范圍內(nèi)，長(zhǎng)度的概念可能就不再適用了。最小的長(zhǎng)度牛頓力學(xué)適用范圍：微米尺度—天體尺度質(zhì)點(diǎn)：參考物：參考坐標(biāo)系：固定在參考物上的坐標(biāo)架（簡(jiǎn)稱參考系）突出了“物體具有質(zhì)量”、“物體占有位置”

為了研究運(yùn)動(dòng)，固定坐標(biāo)系的物體

§1.2質(zhì)點(diǎn)和參考系

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)參考系=參考物+坐標(biāo)架+鐘

質(zhì)點(diǎn)和參考系質(zhì)點(diǎn)近似的相對(duì)性對(duì)于某個(gè)物體，如果其大小和自轉(zhuǎn)對(duì)于所研究的具體問題可以忽略，則該物體可以近似為質(zhì)點(diǎn)。第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)和參考系

質(zhì)點(diǎn)的位置矢量r（簡(jiǎn)稱位矢）的大小為OP的長(zhǎng)度，而方向從O指向P。用這個(gè)矢量就完全確定了質(zhì)點(diǎn)P的位置其中i，j，k分別分別表示空間的三個(gè)坐標(biāo)方向（軸）上的單位矢量，稱為坐標(biāo)基矢。參考系的選擇是任意的，對(duì)于同一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置，用不同參考系來描寫時(shí)，則具有不同的位置矢量。就這一點(diǎn)，我們可以說，位置是具有相對(duì)性的物理量。第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所經(jīng)過的各點(diǎn)在空間連成一條曲線，這條曲線我們稱之為軌跡。一般曲線方程可以表示成：軌跡可以利用曲線方程來描寫。譬如，曲線方程：就描寫了在oxy平面上半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡。軌跡和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)軌跡和運(yùn)動(dòng)方程我們知道，可以利用矢量方法來描寫質(zhì)點(diǎn)M的位置。質(zhì)點(diǎn)的位置關(guān)于時(shí)間的函數(shù)稱為運(yùn)動(dòng)方程，知道了這個(gè)方程等于知道了此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一切情況。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可以表示成：當(dāng)然，也可以用坐標(biāo)系中三個(gè)坐標(biāo)分量來描述運(yùn)動(dòng)并有關(guān)系式從運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間t即得到軌跡的方程瞬時(shí)速度（簡(jiǎn)稱速度）定義為：1.直線運(yùn)動(dòng)

§1.3速度與加速度

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)通常稱平均速度的絕對(duì)值為平均速率。類似地，瞬時(shí)速度的絕對(duì)值被稱為速率。質(zhì)點(diǎn)在t1到t2時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度

位移、路程與速度這個(gè)平均速度的定義表明，平均速度是矢量。

2.三維曲線運(yùn)動(dòng)

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)位移、路程與速度質(zhì)點(diǎn)在t1=t到t2=t+△t時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度

是在時(shí)間間隔△t內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置矢量的改變量，稱為位移矢量（簡(jiǎn)稱位移）2.三維曲線運(yùn)動(dòng)

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)位移、路程與速度在△t→0的極限情況下，△r的方向趨于軌跡曲線在點(diǎn)1的切線方向，且位移與路程兩者的大小近似相等。這樣，我們就得到一個(gè)結(jié)論：瞬時(shí)速度的方向，就是軌跡曲線在相應(yīng)點(diǎn)的切線方向；瞬時(shí)速度的大小，就是△t→0時(shí)平均速率的大小。由此可以定義平均速率：2.三維曲線運(yùn)動(dòng)

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)位移、路程與速度質(zhì)點(diǎn)從

t1=t到t2=t+△t時(shí)間間隔內(nèi)所走過的路程路程函數(shù)s(t)：質(zhì)點(diǎn)從t1=0到t2=t時(shí)刻所走過的軌跡長(zhǎng)度（標(biāo)量）瞬時(shí)速度（簡(jiǎn)稱速度）定義為：2.三維曲線運(yùn)動(dòng)

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)在國際單位制中，速度的單位是米/秒，常用的單位還有厘米/秒、千米/小時(shí)等

位移、路程與速度速度的數(shù)值大?。ń^對(duì)值）稱為速率，由上式知：瞬時(shí)加速度（簡(jiǎn)稱加速度）定義為：1.直線運(yùn)動(dòng)

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)在t1=t到t2=t+△t時(shí)間間隔內(nèi)的平均加速度

加速度瞬時(shí)加速度（簡(jiǎn)稱加速度）定義為：2.曲線運(yùn)動(dòng)

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)加速度質(zhì)點(diǎn)在t1=t到t2=t+△t時(shí)間間隔內(nèi)的平均加速度

在國際單位制中，加速度的單位是米/秒2，常用的單位還有厘米/秒2

等。質(zhì)點(diǎn)做變速運(yùn)動(dòng)中各個(gè)時(shí)刻的速度、加速度不一定相同，它具有瞬時(shí)性第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)速度、加速度是矢量，它具有矢量性§1.3速度與加速度

選取不同的參考系，質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度是不同的，它具有相對(duì)性小結(jié)：人體能承受的最大加速度為10g左右。未受專業(yè)訓(xùn)練的一般人只能承受2-3g左右?！?.4直角坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)方程：平均速度：右圖表示的是質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置、速度和加速度關(guān)于時(shí)間的圖形。由圖上可見，當(dāng)位置最大時(shí)，速度為零（此時(shí)曲線的斜率為零），同樣當(dāng)速度最大時(shí)，其加速度為零。瞬時(shí)速度：直線運(yùn)動(dòng)第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)直線運(yùn)動(dòng)平均加速度：瞬時(shí)加速度：瞬時(shí)速率：由此可見，如知道運(yùn)動(dòng)方程x=x(t)，則速度、加速度等皆可求得。第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)直線運(yùn)動(dòng)若再知道t=0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和位置：利用：如果已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度：可以解得：

運(yùn)動(dòng)學(xué)的反問題

可以完全描述運(yùn)動(dòng)。第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)1.運(yùn)動(dòng)方程2.速度分量式：速率：其中：曲線運(yùn)動(dòng)第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)3.加速度

曲線運(yùn)動(dòng)分量式：第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)的重要性質(zhì)：運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性

運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性的實(shí)驗(yàn)演示曲線運(yùn)動(dòng)由速度、加速度的分量表達(dá)式可以看到，描寫一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其某方向的坐標(biāo)、速度和加速度與其它方向的坐標(biāo)、速度和加速度無關(guān)，即三個(gè)方向相互無關(guān)。這種性質(zhì)稱為運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性。（空間獨(dú)立性根源）第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)如果已知：路程：

運(yùn)動(dòng)學(xué)的反問題

曲線運(yùn)動(dòng)可以完全描述運(yùn)動(dòng)。分量式：速度：位矢：§1.5自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)有時(shí)直角坐標(biāo)系不是最好的坐標(biāo)系，這是因?yàn)椋喝粑覀冄芯康倪\(yùn)動(dòng)是受約束的運(yùn)動(dòng)，比如火車的行駛（它不能離開鐵軌），或穿在彎曲鋼絲上的小環(huán)的運(yùn)動(dòng)等。這類運(yùn)動(dòng)往往軌跡的形狀是給定的，沿軌跡的曲線坐標(biāo)系有可能是更好的坐標(biāo)系。

即使我們研究運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性有效的運(yùn)動(dòng)，使用直角坐標(biāo)系使得數(shù)學(xué)計(jì)算簡(jiǎn)單了，但我們對(duì)其中的一些物理細(xì)節(jié)卻并不很清楚。比如，我們知道速度的方向是沿著軌跡上質(zhì)點(diǎn)所在位置的切線方向，但加速度的方向如何？加速度的方向?qū)λ俣扔钟泻斡绊懀坑谑?，我們需要引入一種新的坐標(biāo)系：自然坐標(biāo)系?！?.5自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)切向加速度和法向加速度我們現(xiàn)在考慮加速度的方向。對(duì)于沿直線的運(yùn)動(dòng)，只有一個(gè)方向，故速度與加速度的方向都與軌跡的方向平行（對(duì)于減速運(yùn)動(dòng)，加速度的方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，我們?nèi)砸暭铀俣扰c速度方向平行，有時(shí)也稱其為反平行），如圖(a)；對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，加速度與速度方向垂直，如圖(b)；而對(duì)于一般的曲線運(yùn)動(dòng)，加速度的方向比較復(fù)雜，它往往與速度的方向即不平行又不垂直，如圖(c)。

由于一維的直線運(yùn)動(dòng)非常簡(jiǎn)單，我們下面的討論認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不是直線運(yùn)動(dòng)。

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)切向加速度和法向加速度速度矢量：其中是沿著軌道切向，指向運(yùn)動(dòng)方向的單位矢量。v(t)沒有法向分量。加速度：第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)切向加速度和法向加速度該項(xiàng)沿軌跡的切向，也即是速度的方向，我們稱這一項(xiàng)為切向加速度。

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)切向加速度和法向加速度如圖知，求瞬時(shí)加速度至少需要在軌跡上取三個(gè)點(diǎn)。在求加速度的過程中，每次只取三個(gè)點(diǎn)，而不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以唯一確定一個(gè)平面（我們已假定了質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不是直線運(yùn)動(dòng)），在取極限的過程中，這三個(gè)點(diǎn)所確定的平面也會(huì)隨之變化，最后會(huì)趨于一個(gè)極限的平面。我們認(rèn)為這個(gè)極限平面與P點(diǎn)附近的軌跡的關(guān)系最為密切，故稱該極限平面為密切平面（簡(jiǎn)稱密切面）。不僅如此，不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)還可以唯一確定一個(gè)圓，于是，在我們的密切面上還有一個(gè)極限圓，我們認(rèn)為這個(gè)極限圓與點(diǎn)附近的軌跡的彎曲情況最為密切，故稱該極限圓為密切圓，又稱曲率圓，這個(gè)圓的半經(jīng)稱為曲率半徑。

設(shè)我們?nèi)∪齻€(gè)點(diǎn)P、Q、Q1來求加速度。第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)切向加速度和法向加速度其中：切向加速度，表示速度大小的變化法向加速度，表示速度方向的變化于是：曲率半徑第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)切向加速度和法向加速度加速度的大小（絕對(duì)值）：加速度：如果運(yùn)動(dòng)方程已知：可以求得：可得軌跡上任意一點(diǎn)的曲率半徑為：第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)切向加速度和法向加速度如果以弧長(zhǎng)s為坐標(biāo)，則：可得：質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)在形式上與直線運(yùn)動(dòng)相仿，所不同的是，質(zhì)點(diǎn)走的實(shí)際上是曲線。第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)自然坐標(biāo)系這樣構(gòu)成的正交坐標(biāo)系稱為自然坐標(biāo)系（有的書上稱為內(nèi)稟坐標(biāo)系、本性坐標(biāo)系、路徑坐標(biāo)系等）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的速度向量位于軌跡上的切線方向，而加速度向量位于該點(diǎn)的密切平面上。第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)圓周運(yùn)動(dòng)2.軌道在一個(gè)平面上則稱為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。稱這樣的運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)。若同時(shí)有常數(shù)第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)的另一種描述法：

定義：角速度矢量，大小為，方向按右手系指向平行于轉(zhuǎn)軸方向。有了上述定義，則當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)選在轉(zhuǎn)軸上時(shí)，如圖，有：圓周運(yùn)動(dòng)角量與線量的關(guān)系