曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動規(guī)律

1曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動規(guī)律1實(shí)驗?zāi)康?/p>

著重介紹運(yùn)用建立近似模型并進(jìn)行數(shù)值計算來研究、討論函數(shù)的方法。2實(shí)驗問題

曲柄滑塊機(jī)構(gòu)是一種常用的機(jī)械結(jié)構(gòu)，它將曲柄的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)化為滑塊在直線上的往復(fù)運(yùn)動，是壓氣機(jī)、沖床、活塞式水泵等機(jī)械的主機(jī)構(gòu)。2記曲柄OQ的長為r，連桿QP的長為l，當(dāng)曲柄繞固定點(diǎn)O以角速度P在水平槽內(nèi)作往復(fù)直線運(yùn)動。

旋轉(zhuǎn)時，由連桿帶動滑塊假設(shè)初始時刻曲柄的端點(diǎn)Q位于水平線段OP上，曲柄從初始位置起轉(zhuǎn)動的角度為，

連桿QP與OP的銳夾角為（稱為擺角）。

3

在機(jī)械設(shè)計中要研究滑塊的運(yùn)動規(guī)律和擺角的變化規(guī)律，確切地說，要研究滑塊的位移、速度和加速度關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，

擺角及其角速度和角加速度關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，

4（1）求出滑塊的行程S（即滑塊往復(fù)運(yùn)動時左、右極限位置間的距離）；（2）求出滑塊的最大和最小加速度（絕對值），以了解滑塊在水平方向上的作用力；（3）求出

的最大和最小角加速度（絕對值），以了解連桿的轉(zhuǎn)動慣量對滑塊的影響。

在求解上述問題時，我們假定5

數(shù)學(xué)模型

取O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP方向為x軸正方向，P在x軸上的坐標(biāo)為x，那么可用x表示滑塊的位移。利用三角關(guān)系，立即得到6于是滑塊的速度進(jìn)而，可以得到滑塊的加速度為7同樣，基于關(guān)系式我們有擺角的表達(dá)式式（1.6）對t求導(dǎo)，8由此再得利用1不難由上兩式導(dǎo)出9至此，我們得到了滑塊位移x和連桿擺角運(yùn)動規(guī)律中有關(guān)變量依賴的表達(dá)式?；瑝K的加速度為

雖然我們已經(jīng)得到了有關(guān)變量的解析式，但是要求出問題的解并非十分簡單。由于滑塊加速度和擺角角加速度的函數(shù)表達(dá)式（1.5）和（1.11）相當(dāng)復(fù)雜，從這兩個式子來了解這兩個量并不方便，而要用它們進(jìn)一步求出極值則更加不易（當(dāng)然，可以借助數(shù)學(xué)軟件來進(jìn)行，我們把這一點(diǎn)留給讀者）。10

由于數(shù)學(xué)模型本身是對實(shí)際問題的抽象，從而也必定有某種簡化和忽略。即使我們得到了問題的解析形式解，一般說來，它仍然是對實(shí)際情況的近似。為了方便起見，對較為復(fù)雜的解析模型進(jìn)行近似處理常常是必要的。事實(shí)上，在曲柄連桿結(jié)構(gòu)（以及不少工程問題）的研究中，確實(shí)經(jīng)常使用著這個方法。近似模型將位移的表達(dá)式（1.1）改寫為11一般而言，是遠(yuǎn)比1小的數(shù)，

滑塊位移的近似模型為從而有相應(yīng)的近似速度

和近似加速度

這里速度和加速度是直接對近似位移模型求導(dǎo)得來，而不是對v和a的精確表達(dá)式（1.4）和（1.5）的近似。12

當(dāng)然，我們也可以直接從滑塊速度的解析式（1.4）進(jìn)行近似。仍利用公式（1.12）把上式代入（1.4），就得到滑塊速度的近似模型13從（1.16）出發(fā)，又可得近似加速度對擺角可以利用冪級數(shù)展開的Maclaurin公式得到擺角的近似模型。

粗略一些，可以取而必要時，可以取

14相應(yīng)的近似角速度為近似角加速度為158.5問題的解法和討論Ⅰ．滑塊的位移和行程利用滑塊位移的解析式（8.1）和近似式（8.13），表1列出了從0到π位移一些相應(yīng)數(shù)值（單位：mm）。

考慮到對稱性和周期性，只要計算這一區(qū)間中的函數(shù)值就可以了。16表8.1mm0400.000400.000395.475395.476382.407382.436362.258362.377337.228337.500…..…………209.201209.231202.289202.291200.000200.000行程可以從表8.1中的值求得，17從幾何直觀上看也十分明顯：Ⅱ．滑塊的加速度及其最值利用精確表達(dá)式（1.5）和近似表達(dá)式（1.15）、（1.17），18計算滑塊的加速度。注意加速度仍具有對稱性和周期性。表列出了一些相應(yīng)的數(shù)值（單位：mm/s2）：表1.2mm/s20－84220.6－84220.6－84220.6－79463.6－79461.5－79247.5－65837.4－65815.3－65230.5－45302.0－45249.6－44664.7－21086.8－21055.2－21055.22739.22684.81885.922332.422224.921055.235436.135381.734582.742078.642110.342110.31944027.544079.944664.743568.443590.544175.342562.842564.842778.942110.342110.342110.3從表中可以看出，用加速度的近似公式計算，

的結(jié)要相當(dāng)好。

的結(jié)果稍微差一些，

考慮到在應(yīng)用近似模型時，表達(dá)式的推導(dǎo)和有關(guān)計算工作量都將明顯地減少，因此在某些情況下，這樣的做法還是合適的。加速度絕對值的最大值從表立即得到。無論用哪種模型，均在

20至于加速度絕對值的最小值，顯然是加速度的零點(diǎn)。從表上看出：零點(diǎn)在

之間。

運(yùn)用方程求根的數(shù)值方法，例如Newton法，對于加速度的三種表達(dá)式，分別可以得出

因此在求加速度（絕對值）的最值時，近似模型也是十分有效的。21

我們有由擺角的精確模型導(dǎo)出的表達(dá)式（1.11）和由近似模型導(dǎo)出的表達(dá)式（1.23