最優(yōu)估計(jì)之卡爾曼濾波器的發(fā)散抑制方法

最優(yōu)估計(jì)1第7章卡爾曼濾波器的發(fā)散

抑制方法

濾波的發(fā)散現(xiàn)象

限定增益濾波誤差方差陣加權(quán)濾波衰減記憶濾波限定記憶濾波增廣狀態(tài)濾波平方根濾波2上一章要點(diǎn)回顧問題：卡爾曼濾波最優(yōu)的條件？否則濾波易發(fā)散。模型精確，統(tǒng)計(jì)特性已知。3內(nèi)容提要針對卡爾曼濾波的發(fā)散問題，討論了若干抑制濾波發(fā)散的方法。對于模型誤差導(dǎo)致的發(fā)散，可以通過直接和間接限定增益的方法增強(qiáng)新測量數(shù)據(jù)的作用，如限定增益濾波、誤差方差陣加權(quán)濾波；可以增加新數(shù)據(jù)的比重，減小舊數(shù)據(jù)的比重，如衰減記憶濾波和限定記憶濾波；也可以將模型誤差作為狀態(tài)的一部分而估計(jì)，即增廣狀態(tài)濾波。對于計(jì)算發(fā)散，可以采用平方根濾波法，減小截?cái)嗾`差的影響。47.1濾波的發(fā)散現(xiàn)象發(fā)散：實(shí)際的估計(jì)誤差超過理論預(yù)計(jì)值，非常大，甚至趨于無窮。發(fā)散視在發(fā)散真實(shí)發(fā)散模型發(fā)散數(shù)值發(fā)散模型非完全能控能觀計(jì)算機(jī)截?cái)嗾`差系統(tǒng)模型或噪聲不準(zhǔn)5兩類發(fā)散現(xiàn)象二者區(qū)別視在發(fā)散：濾波誤差大，但有界；真實(shí)發(fā)散：濾波誤差趨于無窮。6各類發(fā)散的解決方案視在發(fā)散的解決方法：（1）如果是由模型引起的，可通過改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，使系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控能觀；（2）如果是數(shù)值發(fā)散，可以采用雙字長運(yùn)算，減少有效數(shù)字損失，也可以采用平方根濾波方法。真實(shí)發(fā)散的解決方法：削弱預(yù)測在濾波估計(jì)中的作用，而增加新息的作用。77.2限定增益濾波來自模型來自觀測離散系統(tǒng)卡爾曼最優(yōu)估計(jì)：限定增益濾波的思想：降低模型誤差產(chǎn)生的影響，削弱最優(yōu)估計(jì)公式中狀態(tài)預(yù)測的作用，而增加新息的作用，這需要通過限定增益來實(shí)現(xiàn)。8例：若建立系統(tǒng)模型時(shí)忽略了常數(shù)c，即：910濾波發(fā)散了！11發(fā)散原因？建模時(shí)忽略了常數(shù)？實(shí)際上，建模時(shí)即便考慮了常數(shù)，但如果不準(zhǔn)確，即若取模型：12克服此類發(fā)散的方法：發(fā)散得到抑制M的取法：M=?原則：濾波的均方誤差（誤差方差）應(yīng)小于觀測誤差方差。137.3誤差方差陣加權(quán)濾波方法思想：通過加權(quán)的方法人為地增大濾波誤差方差陣，從而間接地增大增益陣，抑制真實(shí)發(fā)散。1.人為加權(quán)法：兩種加權(quán)方法：人為加權(quán)法和自動(dòng)加權(quán)法。14增益不會(huì)衰減到0，發(fā)散得到抑制。152.自動(dòng)加權(quán)法：由于濾波產(chǎn)生發(fā)散的直接原因是實(shí)際估計(jì)誤差超過理論預(yù)計(jì)值，因新息中包含了實(shí)際估計(jì)誤差的信息，可用其判斷濾波器是否發(fā)散。判據(jù)：當(dāng)此式不成立時(shí)，濾波發(fā)散。16濾波方程：177.4衰減記憶濾波方法思想：是一種方差加權(quán)法。對濾波器中的方差陣（包括系統(tǒng)噪聲方差、觀測噪聲方差、初始估計(jì)誤差方差）進(jìn)行加權(quán)，以逐漸減小舊的測量數(shù)據(jù)的比重，同時(shí)增加新數(shù)據(jù)的比重。權(quán)值為指數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)。1.指數(shù)加權(quán)法：18這相當(dāng)于采用新模型：對模型(7.4.6)在N時(shí)刻以后濾波，得-----------------(7.4.6)19濾波方程組：20濾波方程組：212.冪函數(shù)加權(quán)法：濾波方程組：227.5限定記憶濾波方法思想：23卡爾曼濾波基本方程的建立過程:

限定記憶濾波思想:

24限定記憶濾波實(shí)現(xiàn)過程:

25無動(dòng)態(tài)噪聲的狀態(tài)方程和觀測方程：

262728（3）利用前兩個(gè)步驟得到xk

的限定記憶濾波方程：兩式相減29加上前面已得到的估計(jì)公式：則得限定記憶的濾波公式。狀態(tài)估計(jì)公式誤差方差公式增益矩陣公式30（4）初值的選取由動(dòng)態(tài)方程可得卡爾曼濾波基本公式：317.6增廣狀態(tài)濾波方法思想：將動(dòng)態(tài)偏差作為增廣的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，解決模型誤差引起的發(fā)散問題。同時(shí)，偏差的估值還可以用于模型校正。線性系統(tǒng)模型：引入增廣狀態(tài)：增廣模型方程為：32一步預(yù)報(bào)方差陣（分塊矩陣）：估計(jì)誤差方差陣（分塊矩陣）：33上式中，34將上式展開，得展開，得：35增廣系統(tǒng)的卡爾曼濾波器方程：展開得增廣系統(tǒng)的卡爾曼濾波方程：其中，367.7平方根濾波解決由舍入誤差引起的發(fā)散問題。方法思想：在濾波過程中，采用誤差方差矩陣的平方根形式來傳播方差矩陣，從而使方差陣在傳播過程中始終保持非負(fù)定。方法步驟：37對于非負(fù)定矩陣P：注：矩陣分解方式的不唯一性導(dǎo)致平方根濾波方法也有不同的形式。38