高中數(shù)學人教B版2第一章導數(shù)及其應用單元測試 公開課

1.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式與導數(shù)的運算法則第三課時導數(shù)的運算法則一、課前準備1.課時目標1.能運用函數(shù)四則運算的求導法則，求常見函數(shù)四則運算的導數(shù)；2.能運用復合函數(shù)的求導法則，求簡單的復合函數(shù)的導數(shù)；3.能綜合利用導數(shù)的公式和運算法則解決簡單的綜合問題。2.基礎預探1.(1)[f(x)±g(x)]′＝________.(2)[f(x)·g(x)]′＝________.(3)[eq\f(f(x),g(x))]′＝________.2.由幾個函數(shù)復合而成的函數(shù)，叫復合函數(shù)，函數(shù)y＝f[φ(x)]是由________和________復合而成的．3．設函數(shù)u＝φ(x)在點x處有導數(shù)u′x＝φ′(x)，函數(shù)y＝f(u)在點x的對應點u處有導數(shù)y′u＝f′(u)，則復合函數(shù)y＝f[φ(x)]在點x處也有導數(shù)，且y′x＝________，或寫作f′x[φ(x)]＝________.二、學習引領1．對導數(shù)的運算法則的理解(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，即兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．即兩個函數(shù)積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘上第二個函數(shù)的導數(shù)．特別的，[cf(x)]′＝cf′(x)即常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù)．(3)[eq\f(f(x),g(x))]′＝eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)即需記憶如下幾個特征：兩個函數(shù)商的導數(shù)，其分母為原分母的平方；分子類似乘法公式，中間用減號鏈接，f′(x)g(x)減去含分母導數(shù)f(x)g′(x)的式子。特別地，當f(x)＝1時，有[eq\f(1,g(x))]′＝－eq\f(g′(x),[g(x)]2).2.復合函數(shù)求導應注意的問題(1)分清復合函數(shù)的復合關系是由哪些基本函數(shù)復合而成，適當選擇中間變量．(2)分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導，而其中要特別注意中間變量的系數(shù)．如(sin2x)′＝2cos2x，而(sin2x)′≠cos2x.(3)根據(jù)基本初等函數(shù)的求導公式及導數(shù)的運算法則，求出各函數(shù)的導數(shù)，并把中間變量換成自變量的函數(shù)．如求y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的導數(shù)．設y＝sinu，u＝2x＋eq\f(π,3)，則y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝cosu·2＝2cosu＝2cos(2x＋eq\f(π,3))．(4)復合函數(shù)的求導熟練后，中間步驟可省略不寫.3.求導運算的注意點(1)理解和掌握求導法則和公式的結構規(guī)律是靈活進行求導運算的前提條件，結合給定函數(shù)本身的特點，準確有效地進行求導運算．(2)利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求導時，應根據(jù)問題特征，恰當選擇求導公式，有時不能直接運用公式，還需要進行適當變形．(3)求復合函數(shù)導數(shù)問題要先分析函數(shù)是如何復合的，然后逐層求導，最后作積還原。三、典例導析題型一利用導數(shù)的四則運算求導數(shù)例1求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝tanx；(2)y＝3x2＋x·cosx；(3)y＝(eq\r(x)－2)2－sineq\f(x,2)·coseq\f(x,2).思路導析：將給出的函數(shù)轉化為簡單函數(shù)的四則運算，再利用四則運算法則和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求導．解析：(1)y′＝(tanx)′＝(eq\f(sinx,cosx))′＝eq\f((sinx)′cosx－sinx(cosx)′,(cosx)2)＝eq\f(cos2x＋sin2x,(cosx)2)＝eq\f(1,cos2x).(2)y′＝(3x2＋x·cosx)′＝(3x2)′＋(x·cosx)′＝6x＋x′·cosx＋x·(cosx)′＝6x＋cosx－xsinx.(3)y′＝[(eq\r(x)－2)2－sineq\f(x,2)·coseq\f(x,2)]′＝[(eq\r(x)－2)2]′－(eq\f(1,2)sinx)′＝(x－4eq\r(x)＋4)′－eq\f(1,2)cosx＝1－eq\f(2,\r(x))－eq\f(1,2)cosx.歸納總結：當函數(shù)解析式較為復雜時，應先變形，然后求導，當函數(shù)解析式不能直接用公式時，也要先變形，使其符合公式形式．不能正確理解求導法則，特別是商的求導法則；求導過程中對符號判斷不清，也是導致出錯的原因之一．變式訓練：求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝lgx－eq\f(1,x2)；(3)y＝x4－3x2－5x＋6；(4)y＝eq\f(2,x2)＋eq\f(3,x3).題型二求復雜函數(shù)的切線例2已知曲線C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.求曲線C在點(1，－4)的切線方程；思路導析：利用導數(shù)的幾何意義和導數(shù)的運算法則，求出切線的斜率，由點斜式寫出切線的方程．解析：y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12，所以曲線過點(1，－4)的切線斜率為－12，所以所求切線方程為y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.變式訓練：在曲線y＝x3＋3x2＋6x－10的切線中，求斜率最小的切線方程．題型三利用復合函數(shù)的求導法則求導數(shù)例3求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝(2x3－x＋eq\f(1,x))4；(2)y＝sin2(2x＋eq\f(π,3))．思路導析：正確選定中間變量是正確求導的關鍵，同時應注意不可機械地照搬某種固定的模式，這樣容易導致復合關系不準確．解析：(1)解法一：設y＝u4，u＝2x3－x＋eq\f(1,x)，則y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝4u3×(6x2－1－eq\f(1,x2))＝4(2x3－x＋eq\f(1,x))3(6x2－1－eq\f(1,x2))．解法二：y′＝[(2x3－x＋eq\f(1,x))4]′＝4(2x3－x＋eq\f(1,x))3(2x3－x＋eq\f(1,x))′＝4(2x3－x＋eq\f(1,x))3(6x2－1－eq\f(1,x2))．(2)解法一：設y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋eq\f(π,3)，則y′x＝y(tǒng)′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝4sinv·cosv＝2sin2v＝2sin(4x＋eq\f(2π,3))．解法二：y′＝[sin2(2x＋eq\f(π,3))]′＝2sin(2x＋eq\f(π,3))·[sin(2x＋eq\f(π,3))]′＝2sin(2x＋eq\f(π,3))·cos(2x＋eq\f(π,3))·(2x＋eq\f(π,3))′＝2sin(4x＋eq\f(2π,3))．規(guī)律總結：復合函數(shù)求導三步曲：第一步：分層(從外向內(nèi)分解成基本函數(shù)用到中間變量)．第二步：層層求導(將分解所得的基本函數(shù)進行求導)．第三步：作積還原(將各層基本函數(shù)的導數(shù)相乘，并將中間變量還原為原來的自變量)．上述解法中，解法一為初學時必須遵循的步驟，若熟練后，可利用解法二的步驟書寫即可。變式訓練：求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝sin3x；(2)y＝eq\r(3－x)(3)y＝ln(2x＋3)四、隨堂練習1．下列運算中正確的是()A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′B．(cosx－2x2)′＝(cosx)′－2′(x2)′C．(sin2x)′＝eq\f(1,2)(sinx)′·cosx＋eq\f(1,2)(cosx)′·cosxD．(2x－eq\f(1,x2))′＝(2x)′＋(x－2)′2．在下列四個命題中(每個函數(shù)都是可導函數(shù))，真命題為()①若y＝f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)，則y′＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x)；②若y＝f1(x)·f2(x)，則y′＝f′1(x)f2(x)＋f1(x)f′2(x)＋f′1(x)f′2(x)；③若y＝k1f1(x)±k2f2(x)(k1，k2是實常數(shù))，則y′＝k1f′1(x)±k2f′2(x)；④若y＝eq\f(f1(x),f2(x))，則f′＝eq\f(f1(x),f′2(x))＋eq\f(f′1(x),f2(x))＋eq\f(f′1(x),f′2(x)).A．①② B．②③C．①③ D．③④3．函數(shù)y＝eq\f(sinx,x)的導數(shù)為________．A．eq\f(sinx－xcosx,x) B．eq\f(sinx－xcosx,x2)C．eq\f(xcosx+sinx,x2) D．eq\f(xcosx－sinx,x2)4．函數(shù)g(x)＝2x3－2x2－7x－4在x＝2處的切線方程為________．5．若f(x)＝log3(2x－1)，則f′(2)＝________.6．求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝x2sinx；(2)y＝eq\f(ex＋1,ex－1)；(1)y＝eq\r(3x－x2)；(2)y＝ln(x-2)五、課后作業(yè)1．已知函數(shù)y＝x3＋ax2－eq\f(4,3)a的導數(shù)為0的x值也使y值為0，則常數(shù)a的值為()A．0或±3 B．0C．±3 D．非以上答案2．函數(shù)y＝cos(1＋x2)的導數(shù)是()A．2xsin(1＋x2) B．－sin(1＋x2)C．－2xsin(1＋x2) D．2cos(1＋x2)3．(1)已知f(x)＝xex＋sinxcosx，則f′(0)＝________.(2)已知g(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，則g′(1)＝________.4．點P是曲線y＝x2－lnx上任意一點，則P到直線y＝x－2的距離的最小值是________．5．(1)求y＝x(x2＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,x3))的導數(shù)；(2)求y＝(eq\r(x)＋1)(eq\f(1,\r(x))－1)的導數(shù)；(3)求y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)的導數(shù)；(4)求y＝eq\f(3x2－x\r(x)＋5\r(x)－9,\r(x))的導數(shù)．6．曲線y＝e2xcos3x在(0,1)處的切線與直線C的距離為eq\r(5)，求直線C的方程．參考答案1.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式與導數(shù)的運算法則第二課時導數(shù)的運算法則一、課前準備2.基礎預探1.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),g2(x))2.y＝f(u)u＝φ(x)3.y′u·u′xf′(u)·φ′(x)三、典例導析題型一利用導數(shù)的四則運算求導數(shù)例1變式訓練解析：(1)y′＝(3x2)′＋(xcosx)′＝6x＋cosx－xsinx；(2)y′＝；(3)y′＝4x3－6x－5；(4).例2變式訓練解析：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴當x＝－1時，切線的斜率最小，最小斜率為3，此時，y＝(－1)3＋3×(－1)2＋6×(－1)－10＝－14，切點為(－1，－14)．∴切線方程為y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.例3變式訓練解析：(1)設y＝sinu，u＝3x，則y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝cosu·3＝3cos3x.(2)設y＝eq\r(u)，u＝3－x，則y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝eq\f(1,2\r(u))·(－1)＝－eq\f(1,2\r(3－x)).（3）設y＝lnu，u＝2x＋3；y′u＝eq\f(1,u)，u′x＝2；y′x＝eq\f(1,u)×2＝eq\f(2,2x＋3)，∴y′＝eq\f(2,2x＋3).四、隨堂練習1．解析：由求導四則運算易得A正確，故選A.答案：A2．解析：由求導的四則運算易得，故選C.答案：C3．解析：y′＝eq\f((sinx)′x－sinx·(x)′,x2)＝eq\f(xcosx－sinx,x2).答案：D4．解析：∵g′(x)＝6x2－4x－7，∴g′(2)＝9.又∵g(2)＝－10，∴切線方程得9x－y－28＝0.答案：9x－y－28＝05．解析：∵f′(x)＝[log3(2x－1)]′＝eq\f(1,(2x－1)ln3)(2x－1)′＝eq\f(2,(2x－1)ln3)，∴f′(2)＝eq\f(2,3ln3).答案：eq\f(2,3ln3)6．解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)∵y＝eq\f(ex－1＋2,ex－1)＝1＋eq\f(2,ex－1)，∴y′＝1′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,ex－1)))′，即.(3)設y＝eq\r(u)，u＝3x－x2，則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝eq\f(1,2\r(u))·(3－2x)＝eq\f(3－2x,2\r(3x－x2)).(4)設y＝lnu，u＝x-2，則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝eq\f(1,u)·1＝eq\f(1,x-2).五、課后作業(yè)1．解析：由y′＝3x2＋2ax＝0得x＝0或－eq\f(2a,3)，x＝0時，得a＝0；x＝－eq\f(2a,3)時，得a2＝