山西省太原市煤炭氣化集團(tuán)有限責(zé)任公司第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省太原市煤炭氣化集團(tuán)有限責(zé)任公司第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合，則的子集共有（A）2個(gè)

（B）4個(gè)

（C）6個(gè)

（D）8個(gè)參考答案：B本題主要考查了集合間的運(yùn)算關(guān)系及對(duì)子集的理解,難度較小.因?yàn)榧螾=={1,3},則P的子集有、{1}、{3}、{1,3}，故選B.2.已知等差數(shù)列的公差為不為0，等比數(shù)列的公比是小于1的正有理數(shù)，若，且是正整數(shù)，則的值可以是

A.

B.-

C.

D.參考答案：C由題意知，，所以，因?yàn)槭钦麛?shù)，所以令，為正整數(shù)。所以，即，解得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以當(dāng)時(shí)，。符合題意，選C.3.已知:命題：“是的充分必要條件”；命題：“”．則下列命題正確的是 A．命題“∧”是真命題

B．命題“（┐）∧”是真命題 C．命題“∧（┐）”是真命題

D．命題“（┐）∧（┐）”是真命題參考答案：B略4.將函數(shù)的圖象按向量平移后所得的圖象關(guān)于對(duì)稱，則向量的坐標(biāo)可能為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略5.給出定義：若（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}=m。在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題：

（

）

①函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇o，]；

②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；

③函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為1；

④函數(shù)在[]上是增函數(shù)．

則所有正確的命題的編號(hào)是

A．①③

B．①②③

C．②④

D．③④參考答案：B6.定義集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，則A∩?RB=（）A．（1，+∞） B．[0，1] C．[0，1） D．[0，2）參考答案：B【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】求出A中x的范圍確定出A，求出B中y的范圍確定出B，找出A與B補(bǔ)集的交集即可．【解答】解：由A中f（x）=，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，解得：x≥0，即A=[0，+∞），由2x+2＞2，得到y(tǒng)=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞），∵全集為R，∴?RB=（﹣∞，1]，則A∩?RB=[0，1]．故選：B．7.已知函數(shù)，若，且，則的最小值為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D略8.已知M為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，△ABC所在平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)P，滿足，若，則λ的值為（）A．2 B．1 C． D．4參考答案：A【考點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義；向量的加法及其幾何意義．【分析】由題意滿足，可得：四邊形PACB是平行四邊形，又M為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，可得PC=2PM，即可得出．【解答】解：由題意滿足，可得：四邊形PACB是平行四邊形，又M為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，∴PC=2PM，，∴λ=2．故選：A．9.若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=（x﹣2）e2﹣x的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，且方程f（x）=mx2只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．[0，e） B．（﹣∞，e）） C．{e} D．（﹣∞，0）∪{e}參考答案：A【考點(diǎn)】3O：函數(shù)的圖象．【分析】求出f（x）的解析式，作出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)f（x）與y=mx2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷．【解答】解：∵f（x）的圖象與函數(shù)y=（x﹣2）e2﹣x的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，∴f（x）=﹣[（2﹣x）﹣2]e2﹣（2﹣x）=xex，f′（x）=ex（x+1），∴當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞﹣1時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：顯然，當(dāng)m=0時(shí)，f（x）與y=mx2有1個(gè)交點(diǎn)，符合題意；排除C，D；當(dāng)m＜0時(shí)，拋物線y=mx2與f（x）的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即f（x）=mx2有2個(gè)根，不符合題意，排除B，故選：A．10.在一個(gè)樣本的頻率分布直方圖中，總共有9個(gè)小長(zhǎng)方形，若中間一個(gè)小長(zhǎng)方形面積等于其它8個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和的，且樣本容量為90，則中間一組的頻數(shù)為A.18 B.15 C.12 D.10參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積等于________.參考答案：12.已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則此冪函數(shù)的解析式是_____________.參考答案：設(shè)冪函數(shù)為，則由得，即，所以，，所以。13.已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________。參考答案：略14.設(shè)向量=（﹣2，1），=（1，3），若向量+λ與向量=（﹣3，﹣2）共線，則λ=

．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【分析】由平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則先求出，再由向量向量與向量=（﹣3，﹣2）共線，能求出λ．【解答】解：∵向量=（﹣2，1），=（1，3），∴=（﹣2，1）+λ（1，3）=（﹣2+λ，1+3λ），∵向量與向量=（﹣3，﹣2）共線，∴﹣3（1+3λ）=﹣2（﹣2+λ），解得λ=﹣1，故答案為：﹣115.若實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最大值為

．參考答案：略16.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是

參考答案：17.設(shè)tR，若x＞0時(shí)均有，則t＝______________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+）（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的最大值為2，最小正周期為8．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及函數(shù)的增區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）圖象上的兩點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)依次為2，4，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△POQ的面積．參考答案：【考點(diǎn)】：正弦函數(shù)的圖象．【專題】：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；解三角形．【分析】：（Ⅰ）由已知得A=2．由周期公式可求得ω，即可確定解析式，由2k≤x+≤2k，k∈Z即可解得函數(shù)的增區(qū)間．（Ⅱ）先由已知可求得：P，Q坐標(biāo)，即可求得|OP|，|OQ|，|PQ|的值，由余弦定理可得cos∠POQ，可得sin∠POQ=，從而由面積公式即可求值．解：（Ⅰ）由已知得A=2．由周期公式可求得：．∴f（x）=2sin（x+）．∴由2k≤x+≤2k，k∈Z即可解得：x∈[8k﹣3，8k+1]，k∈Z，∴函數(shù)的增區(qū)間是[8k﹣3，8k+1]．，k∈Z，（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）圖象上的兩點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)依次為2，4，∴可求得：P（2，），Q（4，﹣）．∴可求得：|OP|=，|OQ|=3，|PQ|=2∴由余弦定理可得：cos∠POQ==，sin∠POQ=，∴△POQ的面積為s=×OP×OQ×sin∠POQ=3．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，兩點(diǎn)距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．19.已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn)（，）．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求△OPQ面積的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）設(shè)出橢圓的方程，將已知點(diǎn)代入橢圓的方程及利用橢圓的離心率公式得到關(guān)于橢圓的三個(gè)參數(shù)的等式，解方程組求出a，b，c的值，代入橢圓方程即可．（2）設(shè)出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的二次方程，利用韋達(dá)定理得到關(guān)于兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，將直線OP，PQ，OQ的斜率用坐標(biāo)表示，據(jù)已知三個(gè)斜率成等比數(shù)列，列出方程，將韋達(dá)定理得到的等式代入，求出k的值，利用判別式大于0得到m的范圍，將△OPQ面積用m表示，求出面積的范圍．【解答】解：（1）由題意可設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），則則故所以，橢圓方程為．（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，則△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且，．故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．因?yàn)橹本€OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，所以=k2，即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=．由于直線OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2且m2≠1．設(shè)d為點(diǎn)O到直線l的距離，則S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=，所以S△OPQ的取值范圍為（0，1）．【點(diǎn)評(píng)】求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，一般設(shè)出直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的二次方程，利用韋達(dá)定理，找突破口．注意設(shè)直線方程時(shí)，一定要討論直線的斜率是否存在．20.（本小題滿分13分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD為正方形，E、F分別為AB、PC的中點(diǎn)。

（I）求證：平面PCD；

（II）求二面角A—PC—D的余弦值。參考答案：略21.（本小題滿分14分）已知，且．（1）求證：；（2）若，求的值．參考答案：（1）證明：， ， ， ，① ，

若，則由①與矛盾，， ①兩邊同除以得：；（2）解：由（1）得，，

，，

，，從而．22.如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，∠，，⊥底面。（Ⅰ）證明：⊥；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值。參考答案：（Ⅰ）證明：設(shè)，則，在△中，∠，根據(jù)余弦定理，得，∴，∴⊥。又⊥底面，底面，∴⊥。而平面，平面，，∴⊥平面，