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山西省忻州市峨峰中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足a=2bcosC,則△ABC的形狀為()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形參考答案:A【考點】三角形的形狀判斷.【分析】利用正弦定理以及三角形的內(nèi)角和,兩角和的正弦函數(shù)化簡a=2bcosC,求出B與C的關(guān)系,即可判斷三角形的形狀.【解答】解:a=2bcosC,由正弦定理可知,sinA=2sinBcosC,因為A+B+C=π,所以sin(B+C)=2sinBcosC,所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,sin(B﹣C)=0,B﹣C=kπ,k∈Z,因為A、B、C是三角形內(nèi)角,所以B=C.三角形是等腰三角形.故選:A.2.給出如下四個命題:①若“p且q”為假命題,則p、q均為假命題;②命題“若a>b,則2a>2b﹣1”的否命題為“若a≤b,則2a≤2b﹣1”;③“?x∈R,x2+1≥1”的否定是“?x∈R,x2+1≤1;④在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要條件.其中不正確的命題的個數(shù)是(
)A.4 B.3 C.2 D.1參考答案:C【考點】命題的否定;正弦函數(shù)的單調(diào)性.【專題】閱讀型.【分析】①若“p且q”為假命題,則p、q中有一個為假命題,不一定p、q均為假命題;②根據(jù)命題寫出其否命題時,只須對條件與結(jié)論都要否定即得;③根據(jù)由一個命題的否定的定義可知:改變相應(yīng)的量詞,然后否定結(jié)論即可;④在△ABC中,根據(jù)大邊對大角及正弦定理即可進(jìn)行判斷.【解答】解:①若“p且q”為假命題,則p、q中有一個為假命題,不一定p、q均為假命題;故錯;②根據(jù)命題寫出其否命題時,只須對條件與結(jié)論都要否定即得,故命題“若a>b,則2a>2b﹣1”的否命題為“若a≤b,則2a≤2b﹣1”;正確;③根據(jù)由一個命題的否定的定義可知:改變相應(yīng)的量詞,然后否定結(jié)論:“?x∈R,x2+1≥1”的否定是“?x∈R,x2+1<1;故錯;④在△ABC中,根據(jù)大邊對大角及正弦定理即可得:“A>B”是“sinA>sinB”的充要條件.故正確.其中不正確的命題的個數(shù)是:2.故選C.【點評】本題考查的是復(fù)合命題的真假問題、命題的否定、正弦函數(shù)的單調(diào)性等.屬于基礎(chǔ)題.3.如圖,在等腰直角三角形中,在斜邊上找一點,則的概率為()A.
B.
C.
D.參考答案:A略4.等比數(shù)列{an}中,a4=2,a5=5,則數(shù)列{lgan}的前8項和等于()A.6 B.5 C.4 D.3參考答案:C【考點】等比數(shù)列的前n項和.【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列.【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.再利用對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出.【解答】解:∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a4=2,a5=5,∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.∴l(xiāng)ga1+lga2+…+lga8=lg(a1a2?…?a8)=4lg10=4.故選:C.【點評】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、對數(shù)的運算性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.5.棱臺上、下底面面積之比為,則棱臺的中截面分棱臺成兩部分的體積之比是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C
解析:中截面的面積為個單位,6.已知,則函數(shù)的零點的個數(shù)為(
)個.(A)3
(B)4
(C)5
(D)6參考答案:C略7.已知雙曲線﹣=1(a>0,b>0)的一條漸近線平行于直線l:y=2x+10,雙曲線的一個焦點在直線l上,則雙曲線的方程為()A.﹣=1
B.﹣=1C.﹣=1 D.﹣=1參考答案:A【考點】KB:雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【分析】先求出焦點坐標(biāo),利用雙曲線﹣=1(a>0,b>0)的一條漸近線平行于直線l:y=2x+10,可得=2,結(jié)合c2=a2+b2,求出a,b,即可求出雙曲線的方程.【解答】解:∵雙曲線的一個焦點在直線l上,令y=0,可得x=﹣5,即焦點坐標(biāo)為(﹣5,0),∴c=5,∵雙曲線﹣=1(a>0,b>0)的一條漸近線平行于直線l:y=2x+10,∴=2,∵c2=a2+b2,∴a2=5,b2=20,∴雙曲線的方程為﹣=1.故選:A.8.為等差數(shù)列,為其前項和,已知則(
)(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:A略9.當(dāng)時,下面的程序段輸出的結(jié)果是(
)A.9 B.3 C.6 D.5參考答案:D10.圓上滿足條件“到直線的距離是到點的距離的倍”的點的個數(shù)為(
)A.0
B.1
C.2
D.4參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1﹣an+1=0(n∈N+),則此數(shù)列的通項an=.參考答案:3﹣n【考點】數(shù)列遞推式.【分析】利用等差數(shù)列的通項公式即可得出.【解答】解:∵an+1﹣an+1=0(n∈N+),即an+1﹣an=﹣1,∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為﹣1.∴an=2﹣(n﹣1)=3﹣n.故答案為:3﹣n.12.雙曲線x2﹣2y2=4的離心率為.參考答案:
【分析】化簡雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,然后求解離心率即可.【解答】解:雙曲線x2﹣2y2=4的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,可得a=2,b=,則c=,所以雙曲線的離心率為:e=.故答案為:.13.若函數(shù)存在與直線平行的切線,則實數(shù)的取值范圍是
▲
.參考答案:14.命題“?x0>0,x02﹣4x0+1<0”的否定是
.參考答案:?x>0,x2﹣4x+1≥0【考點】2J:命題的否定.【分析】根據(jù)已知中的原命題,結(jié)合特稱命題否定的定義,可得答案.【解答】解:命題“?x0>0,x02﹣4x0+1<0”的否定是“?x>0,x2﹣4x+1≥0”,故答案為:?x>0,x2﹣4x+1≥0【點評】本題考查的知識點是命題的否定,特稱命題,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.15.在等比數(shù)列中,已知,則該數(shù)列的前15項的和
。參考答案:1116.設(shè)a=,b=﹣,c=﹣,則a,b,c的大小關(guān)系為.參考答案:a>c>b【考點】不等關(guān)系與不等式.【分析】利用分析法比較b與c的大小,再同理比較a與b,a與c的大小即可.【解答】解:b=﹣<c=﹣?+<+?<?9+2<9+2?14<18,成立,故b<c;又a﹣c=2﹣=﹣>0,∴a>c;綜上知,a>c>b.故答案為:a>c>b.17.已知A、B、C是直線l上的三點,向量滿足,則函數(shù)的表達(dá)式為
參考答案:f(x)=略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)定義在上的函數(shù)滿足對任意恒有,且不恒為(Ⅰ)求和的值;(Ⅱ)試判斷的奇偶性,并加以證明;(Ⅲ)當(dāng)時為增函數(shù),求滿足不等式的的取值構(gòu)成的集合.參考答案:19.(本小題12分)為了調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者幫助,用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:
性別是否需要男女需要4030不需要160270
①估計該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例。②能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?附:P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參考答案:解:(1)需要幫助的老年人的比例估計值為
(4分)
(2)
(8分)
∴
(10分)
∴有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)。
(12分)略20.已知函數(shù).(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若不等式對任意的都成立(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),求a的最大值。參考答案:解:(I)函數(shù)f(x)的定義域是(-1,+∞),
………2分設(shè),則.令,則。當(dāng)時,,h(x)在(-1,0)上為增函數(shù),
21.試說明圖中的算法流程圖的設(shè)計是求什么?參考答案:求非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根.22.如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,底面ABCD為矩形,AD=2AB=2PA,E為PD的上一點,且PE=2ED,F(xiàn)為PC的中點. (Ⅰ)求證:BF∥平面AEC; (Ⅱ)求二面角E﹣AC﹣D的余弦值. 參考答案:【考點】用空間向量求平面間的夾角;直線與平面平行的判定. 【專題】綜合題. 【分析】(Ⅰ)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,設(shè)B(1,0,0),則D(0,2,0),P(0,0,1),C(1,2,0),,.設(shè)平面AEC的一個法向量為,由,知,由,得,由此能夠證明BF∥平面AEC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知平面AEC的一個法向量為,由為平面ACD的法向量,能求出二面角E﹣AC﹣D的余弦值. 【解答】解:建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz, 設(shè)B(1,0,0),則D(0,2,0),P(0,0,1),C(1,2,0),(2分) (Ⅰ)設(shè)平面AEC的一個法向量為, ∵,
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