北航水力學(xué)課件s4 第四章理想流體動力學(xué)及恒定平面勢流

理想流體-----力與運(yùn)動的關(guān)系通常的流體粘性不為零，在所考慮的問題中，若粘性的作用很小可忽略時，可近似看為理想流體。這意味著粘性帶來的能量損失或阻力可忽略。理想流體：粘性為零的流體。理想流體也稱為無粘流體。本章：1、推導(dǎo)理想流體的歐拉運(yùn)動微分方程

2、伯努利方程的推導(dǎo)，以及它的意義和應(yīng)用

3、理想流體中的平面勢流問題第四章理想流體動力學(xué)理想流體的運(yùn)動方程---歐拉方程第一節(jié)歐拉運(yùn)動微分方程設(shè)在運(yùn)動的理想流體中，分析一微小正交六面體在某一瞬間的受力情況和運(yùn)動情況，如圖所示。六面體各邊分別與各坐標(biāo)軸平行，邊長分別為。設(shè)六面體形心M的坐標(biāo)為x,y,z,在所考慮的瞬間，M點上動壓強(qiáng)為p,流速為u，流體密度為，所受的單位質(zhì)量力為由于理想流體沒有粘滯性，不存在切應(yīng)力，表面力只有動壓強(qiáng)，動壓強(qiáng)方向總是沿著作用面的內(nèi)法線方向，大小只是位置坐標(biāo)和時間的函數(shù)，即

在x軸向上所受的表面力和質(zhì)量力分別為流體運(yùn)動時，有加速度，根據(jù)牛頓第二定律，則有：和整理得，同理可得，以上就是理想流體的運(yùn)動方程，也稱為歐拉方程

向量形式為其中，為哈密頓算子當(dāng)時，歐拉運(yùn)動微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榱黧w靜力學(xué)中的歐拉平衡微分方程式。也就是說歐拉平衡微分方程式是歐拉平衡微分方程式的特例。4.2.1沿流線的伯努利方程和在重力場中的伯努利方程第二節(jié)理想流體恒定元流的伯努利方程由歐拉運(yùn)動微分方程，第二節(jié)理想流體恒定元流的伯努利方程流動滿足以下條件:理想流體；流體不可壓縮，密度為常量；恒定流動；質(zhì)量力為有勢力。由上式得，沿流線積分這就是理想流體中，沿流線的伯努利積分沿不同的流線，積分常數(shù)可能不同若作用于流體上的質(zhì)量力只有重力，重力是有勢力，則因此：積分得：代入得對于同一條流線上的任意兩點應(yīng)用以上方程，則上式可以寫為4.2.2由動能定理推導(dǎo)理想流體的伯努利方程

推導(dǎo)過程同學(xué)們自學(xué)本公式是由動能定理推導(dǎo)而得，它使伯努利方程有更加明確的物理意義，說明伯努利方程是一能量方程。4.3.1沿流線的伯努利方程的水力學(xué)意義速度水頭/高度

壓強(qiáng)水頭/高度

位置水頭/高度

總水頭/高度

動能壓力勢能重力勢能機(jī)械能測壓管水頭/高度

第三節(jié)元流伯努利方程的意義和應(yīng)用水力學(xué)意義：沿流線機(jī)械能等于常數(shù)沿流線總水頭不變理想流體恒定元流伯努利方程的物理意義：

元流各過流斷面上單位重力流體所具有的機(jī)械能（位能、壓能、動能之和）沿流程保持不變，同時，伯努利方程也表明了元流在不同過流斷面上單位重力流體所具有的位能、壓能、動能之間可以相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。

伯努利方程是物質(zhì)運(yùn)動中普遍的能量既可以轉(zhuǎn)化又要守恒的原理在流體力學(xué)中的特殊表示形式。

設(shè)H不變，流動定常，不考慮粘性，假設(shè)管道截面流速分布均勻4.3.2元流伯努利方程的幾何意義理想流體恒定元流伯努利方程的幾何意義：

元流各過流斷面上總水頭H（位置水頭、壓強(qiáng)水頭、速度水頭之和）沿流程保持不變（守恒），同時，亦表明了元流在不同過流斷面上位置水頭、壓強(qiáng)水頭、速度水頭之間可以相互轉(zhuǎn)化。

流動流體中的測壓管（也稱為靜壓管）靜壓（staticpressure）相對流體靜止管口段垂直流動方向放置測壓管得到的壓強(qiáng)水頭4.3.3如何測量能量------測壓管和皮托管也稱為靜壓畢托管

距A點足夠遠(yuǎn)(3d)B處：有一個或多個小孔，可不計速度失真位于測速管前緣點A處：開個小孔頭部球形的細(xì)長柱狀物體，微弱地改變原來流速分布。A、B兩點：分別連接到壓力計兩端QA、B位于同一流線上，由伯努利方程：A：VA=B：VB=0，駐點V由A與C點，B與C點的靜壓強(qiáng)分布規(guī)律：實際應(yīng)用中，由于流體具有粘性，能量轉(zhuǎn)換時有損失；探頭端點處小孔有一定面積，反應(yīng)的實際上是平均壓強(qiáng)；以及畢托管放入流體時會引起流場的擾動，等等因素【例題】[book4-1]物體繞流如圖所示，上游無窮遠(yuǎn)處流速為壓強(qiáng)為的水流受到迎面物體的障礙后，在物體表面上的頂沖點S處的流速減至零，壓強(qiáng)升高，稱S點為滯流點或駐點。求滯流點S處的壓強(qiáng)。

物體繞流解：設(shè)滯流點S處的壓強(qiáng)為，粘性作用可以忽略。根據(jù)通過S點的流線上伯努利方程式，有將代入上式并整理，得故滯流點S處的壓強(qiáng)

無旋流動與有勢流動-流速存在勢函數(shù)，在數(shù)學(xué)上是等價的。引入勢流的意義：使問題簡化。波浪運(yùn)動，無分離的邊界層外部的流動，多孔介質(zhì)的流動（滲流）等等可以看為勢流。第四節(jié)恒定平面勢流的流速勢函數(shù)和流函數(shù)理想流體中才可能存在有勢流動，具有粘性的實際流體不會是有勢流動。但粘滯性對流動的影響很微小時，影響可以忽略。--機(jī)械能守恒以二維流動為例，根據(jù)流體運(yùn)動學(xué)，它與無旋流動等價

由無旋流的條件→渦量或轉(zhuǎn)動角速度即①4.4.1流速勢函數(shù)也即稱為勢函數(shù)，也稱為速度勢函數(shù)

因為①，則可引入一個標(biāo)量函數(shù)，滿足即物理意義：無旋任意回路做功為零考慮平面流場中的連續(xù)方程，即上式化為：即或叫拉普拉斯算子25在平面勢流中，除流速勢以外，還有一個標(biāo)量函數(shù)--流函數(shù)二元流動的流線方程為：

4.4.2流函數(shù)即不可壓縮流體平面流動的連續(xù)性方程為：

上式為使能成為某函數(shù)的全微分的充分和必要條件26函數(shù)的全微分為積分為函數(shù)稱為流函數(shù)。它的全微分可寫成所以，流函數(shù)的重要性質(zhì)1、等流函數(shù)線為流線即可見，在同一流線上各點的流函數(shù)為一常數(shù)，故等流函數(shù)線就是流線。2、平面內(nèi)任意兩點流函數(shù)值的差等于通過這兩點連線的流量。3、平面勢流中，流函數(shù)與流速勢函數(shù)一樣，也滿足拉普拉斯方程得，滿足拉普拉斯方程可以得到流

網(wǎng)4.4.3流網(wǎng)及其特性二維不可壓縮勢流中存在兩族曲線，即等線和等Ψ線，這兩族曲線互相垂直，構(gòu)成流網(wǎng)。兩族曲線所構(gòu)成的正交網(wǎng)絡(luò)，稱為流網(wǎng)等

線和速度矢量垂直，或者說，等線與等Ψ線（流線）垂直，流網(wǎng)的特征：【例題】

求：（1）判斷該流場是否存在速度勢函數(shù)，

若存在請給出并畫出等勢線；（2）判斷該流場是否存在流函數(shù)，

若存在請給出并畫出流線圖。

已知90度角