連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)頻域分析

第3章連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析3.0引言3.1信號(hào)的正交分解3.2周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)3.3周期信號(hào)的頻譜3.4非周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅里葉變換3.5傅里葉變換的性質(zhì)3.6周期信號(hào)的傅里葉變換3.7連續(xù)信號(hào)的抽樣定理3.8連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析本章要求1、能用傅里葉級(jí)數(shù)的定義、性質(zhì)和周期信號(hào)的傅里葉變化，求解周期信號(hào)的頻譜。理解周期信號(hào)分解為正弦信號(hào)線性組合的物理含義和周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)，并會(huì)繪制振幅及相位頻譜圖；2、利用傅里葉變換的定義、性質(zhì)，求解非周期信號(hào)的頻譜。利用常見信號(hào)的傅里葉變換對(duì)和傅里葉變換的性質(zhì)，熟練求解信號(hào)的正、反傅里葉變換；3、了解功率信號(hào)與功率譜、能量信號(hào)與能量譜的概念；4、熟練計(jì)算周期信號(hào)和非周期信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)。理解頻率響應(yīng)H(j)并根據(jù)H(j)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分類。理解無(wú)失真?zhèn)鬏敗⒗硐氲屯V波器的概念與物理含義，了解各種濾波器的含義，掌握有關(guān)信號(hào)濾波的計(jì)算；5、理解信號(hào)頻譜搬移的概念，掌握一般信號(hào)調(diào)制、解調(diào)和壓縮等的分析計(jì)算；6、理解并掌握抽樣定理，計(jì)算抽樣信號(hào)的頻譜。了解信號(hào)的抽樣與恢復(fù)過(guò)程。3.0引言LTI系統(tǒng)的特性完全可以由其單位沖激響應(yīng)來(lái)表征，通過(guò)對(duì)LTI系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的研究就可分析LTI系統(tǒng)的特性。變換域分析——就是選取完備的正交函數(shù)集來(lái)最佳逼近信號(hào)，或者說(shuō)，信號(hào)用完備的正交函數(shù)集來(lái)展開，其展開系數(shù)就是信號(hào)的變換表示。不同的變換域的區(qū)別就在于選取不同的正交完備集。采用變換域分析的目的：主要是簡(jiǎn)化分析。這章付里葉變換主要從信號(hào)分量的組成情況去考察信號(hào)的特性。從而便于研究信號(hào)的傳輸和處理問(wèn)題。3.1信號(hào)的正交分解3.1.1矢量的正交分解1.正交矢量

圖3.1-1兩個(gè)矢量正交兩矢量V1與V2正交時(shí)的夾角為90°。不難得到兩正交矢量的點(diǎn)積為零，即圖3.1-2矢量的近似表示及誤差所以最佳系數(shù)為若V1與V2正交，則θ=90°,cosθ=0，此時(shí)由式(3.1-2)得到的最佳系數(shù)c12=0。這表明當(dāng)V1與V2正交時(shí)，用c12V2來(lái)近似表示V1還不如用0來(lái)近似V1。據(jù)此，我們可以把兩個(gè)矢量V1與V2正交的概念解釋如下：給定兩個(gè)矢量V1和V2，現(xiàn)在要用與V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，要求誤差矢量 的模|Ve|最小(此時(shí)的c12稱為最佳)。若最佳的c12=0，則V1與V2正交。由式(3.1-2)可知，當(dāng)兩矢量V1與V2正交時(shí)，c12=0，即V1·V2=0。2.矢量的分解圖3.1-3平面矢量的分解式中，V1·V2=0。圖3.1-4三維空間矢量的分解上述矢量分解的概念可以推廣到n維空間。由n個(gè)相互正交的矢量組成一個(gè)n維的矢量空間，而正交矢量集{V1,V2,…，Vn}為n維空間的完備正交矢量集。n維空間的任一矢量V，可以精確地表示為這n個(gè)正交矢量的線性組合，即式中，Vi·Vj=0(i≠j)。第r個(gè)分量的系數(shù)3.1.2信號(hào)的正交分解1.正交函數(shù)設(shè)f1(t)和f2(t)為定義在(t1,t2)區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)，現(xiàn)在要用與f2(t)成比例的一個(gè)函數(shù)c12f2(t)近似地代表f1(t)，其誤差函數(shù)為設(shè)f1(t)、f2(t)均為復(fù)函數(shù)，此時(shí)，c12也可能為一復(fù)數(shù)系數(shù)。式中，“*”代表取共軛復(fù)數(shù)。將上式右邊展開，得根據(jù)該式，上式中，據(jù)平方誤差的定義知Ee≥0，式中惟一可供選擇的參數(shù)為c12。為使Ee最小，只有選擇c12=B，于是有2.信號(hào)的正交展開設(shè)有一函數(shù)集｛g1(t),g2(t)，…，gN(t)｝，它們定義在區(qū)間(t1,t2)上，如果對(duì)于所有的i、j(可取1,2,…，N)都有則該函數(shù)集就稱為區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)集。如果則稱該函數(shù)集為歸一化正交(復(fù)變)函數(shù)集。

用一個(gè)在區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)集｛gi(t)｝中各函數(shù)的線性組合就可逼近定義在(t1,t2)區(qū)間上的信號(hào)f(t)，即這種近似表示所產(chǎn)生的平方誤差為同樣可以導(dǎo)出，欲使平方誤差最小，其第r個(gè)函數(shù)gr(t)的加權(quán)系數(shù)cr應(yīng)按下式選?。捍藭r(shí)的平方誤差為(3.1-12)(3.1-13)用一正交矢量集中各分量的線性組合去表示任一矢量，這個(gè)矢量集必須是一完備的正交矢量集。同樣，用一正交函數(shù)集中各函數(shù)的線形組合去代表任一信號(hào)，這個(gè)函數(shù)集也必須是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。如果對(duì)某一類函數(shù)f(t)

，所選擇的正交函數(shù)集｛gi(t)｝能使上式中的Ee等于零，則稱正交函數(shù)集｛gi(t)｝對(duì)于f(t)這一類函數(shù)是完備的正交函數(shù)集?？梢宰C明，如果｛gi(t)｝是完備的正交函數(shù)集，則再也找不到另外一個(gè)非零函數(shù)與該函數(shù)集中每一個(gè)函數(shù)都正交。一個(gè)完備的正交函數(shù)集通常包括無(wú)窮多個(gè)函數(shù)。定理3.1-1設(shè)｛gi(t)｝在(t1,t2)區(qū)間上是關(guān)于某一類信號(hào)f(t)的完備的正交函數(shù)集，則這一類信號(hào)中的任何一個(gè)信號(hào)f(t)都可以精確地表示為｛gi(t)｝的線性組合，即式中，ci為加權(quán)系數(shù)，且有式(3.1-14)稱為正交展開式，有時(shí)也稱為廣義傅里葉級(jí)數(shù)，ci稱為傅里葉系數(shù)。(3.1-14)(3.1-15)定理3.1-2在式(3.1-14)條件下，平方誤差Ee=0，由(3.1-13)式有式(3.1-16)可以理解為：f(t)的能量等于各個(gè)分量的能量之和，即反映能量守恒。定理3.1-2有時(shí)也稱為帕塞瓦爾定理。(3.1-16)例1已知余弦函數(shù)集{cost,cos2t,…,cosnt}(n為整數(shù))(1)證明該函數(shù)集在區(qū)間(0,2π)內(nèi)為正交函數(shù)集；(2)該函數(shù)集在區(qū)間(0，2π)內(nèi)是完備正交函數(shù)集嗎?(3)該函數(shù)集在區(qū)間(0，)內(nèi)是正交函數(shù)集嗎?由上例可以看到，一個(gè)函數(shù)集是否正交，與它所在區(qū)間有關(guān)，在某一區(qū)間可能正交，而在另一區(qū)間又可能不正交。另外，在判斷函數(shù)集正交時(shí)，是指函數(shù)集中所有函數(shù)應(yīng)兩兩正交，不能從一個(gè)函數(shù)集中的某n個(gè)函數(shù)相互正交，就判斷該函數(shù)集是正交函數(shù)集。常見的完備正交函數(shù)集(1)三角函數(shù)集

在區(qū)間內(nèi)，有

式中，(2)虛指數(shù)函數(shù)集在區(qū)間內(nèi)，對(duì)于周期為的一類周期信號(hào)來(lái)說(shuō)，也是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。(3)函數(shù)集在區(qū)間(-∞，∞)內(nèi)，對(duì)于有限帶寬信號(hào)類來(lái)說(shuō)是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。這里稱為抽樣函數(shù)。(4)沃爾什函數(shù)集Wal(k,t)在區(qū)間(0,1)內(nèi)，對(duì)于周期為1的一類信號(hào)來(lái)說(shuō)是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。下圖示出了前6個(gè)沃爾什函數(shù)波形。(5)勒讓德多項(xiàng)式在區(qū)間(-1,+1)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)完備正交函數(shù)集，即

此外，還有一些多項(xiàng)式也可構(gòu)成正交函數(shù)集，例如雅可比多項(xiàng)式、切貝雪夫多項(xiàng)式等。3.2周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)3.2.1三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)集｛cosnΩt,sinmΩt|n=0,1,2,…｝是一個(gè)正交函數(shù)集，正交區(qū)間為(t0,t0+T)。這里T=2π/Ω是各個(gè)函數(shù)cosnΩt，sinmΩt的周期。三角函數(shù)集正交性的證明可利用如下公式：上述正交三角函數(shù)集中，當(dāng)n=0時(shí)，cos0°=1,sin0°=0，而0不應(yīng)計(jì)在此正交函數(shù)集中，故一正交三角函數(shù)集可具體寫為式中，Ω=2π/T稱為基波角頻率，a0/2，an和bn為加權(quán)系數(shù)。式(3.2-5)就是周期信號(hào)f(t)在(t0,t0+T)區(qū)間的三角傅里葉級(jí)數(shù)展開式。由于f(t)為周期信號(hào)，且其周期T與三角函數(shù)集中各函數(shù)的周期T相同，故上述展開式在(-∞,∞)區(qū)間也是成立的。三角形式一可得加權(quán)系數(shù)：例如，可取t0=0，t0=-T/2等等。顯然，an為nΩ的偶函數(shù)，bn為nΩ的奇函數(shù)，即三角形式二振幅相位余弦型傅里葉級(jí)數(shù)展開式三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式信號(hào)波形的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)積分為零。偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)積分為半?yún)^(qū)間積分的兩倍。則只含正弦項(xiàng)，奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。0......（半波平移半周期兩半周期波形重合）......（半波平移半周期關(guān)于橫軸對(duì)稱）根據(jù)周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系，可使求解傅里葉系數(shù)的計(jì)算量大大減少；也可以確定信號(hào)所含的頻率分量的類別；對(duì)繪波形圖也有作用。說(shuō)明1：

一個(gè)周期為T的周期信號(hào)f(t)，若滿足狄里赫勒條件，可展開為三角型傅里葉級(jí)數(shù)。狄里赫勒條件：（實(shí)際遇到的信號(hào)都滿足）1.一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)；2.一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值、極小值；3.一個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)可積，即說(shuō)明2：

一般要單獨(dú)計(jì)算；表示的物理意義是周期信號(hào)的直流分量。若，則只可能在它的倍頻上，如上才可能有頻率分量。

、是n的函數(shù)，它一定不含有t。(對(duì)于一個(gè)確定的n來(lái)說(shuō),它是個(gè)常數(shù)不是t的函數(shù))不必計(jì)算。例3.2-1求圖示信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。圖3.2-1例3.2-1圖解據(jù)式(3.2-6)，在本題中我們?nèi)0=0，則有這表明信號(hào)f(t)的直流分量為a0/2=E/2?？紤]到上式中Ω=2π/T，則an=0。同樣可得據(jù)式(3.2-10)有在式(3.2-6)中，若取t0=-T/2，則有周期信號(hào)f(t)的傅立葉級(jí)數(shù)中所含有的頻率分量是______。(A)余弦項(xiàng)的奇次諧波，無(wú)直流(B)正弦項(xiàng)的奇次諧波，無(wú)直流(C)余弦項(xiàng)的偶次諧波，直流(D)正弦項(xiàng)的偶次諧波，直流。例1：偶函數(shù)：只含余弦項(xiàng)；半周重疊：只含偶次諧波和直流C例2：周期信號(hào)f(t)的傅立葉級(jí)數(shù)中所含有的頻率分量是______。(A)余弦項(xiàng)的奇次諧波，無(wú)直流(B)正弦項(xiàng)的奇次諧波，無(wú)直流(C)余弦項(xiàng)的偶次諧波，直流(D)正弦項(xiàng)的偶次諧波，直流。奇函數(shù)：只含正弦項(xiàng)；半周鏡象對(duì)稱：只含奇次諧波B例3：已知周期信號(hào)f(t)前四分之一周期的波形如圖所示，按下列條件繪出整個(gè)周期內(nèi)的信號(hào)波形。

f(t)是t的偶函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)只有偶次諧波；解：波形縱軸對(duì)稱；半周重疊。已知周期信號(hào)f(t)前四分之一周期的波形如圖所示，按下列條件繪出整個(gè)周期內(nèi)的信號(hào)波形。

f(t)是t的偶函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)只有奇次諧波；解：波形縱軸對(duì)稱；半周鏡象重疊。已知周期信號(hào)f(t)前四分之一周期的波形如圖所示，按下列條件繪出整個(gè)周期內(nèi)的信號(hào)波形。

f(t)是t的偶函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)同時(shí)有奇次諧波與偶次諧波；解：波形縱軸對(duì)稱。3.2.2指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)式中，T=2π/Ω為指數(shù)函數(shù)公共周期，m、n為整數(shù)。任意函數(shù)f(t)可在區(qū)間(t0,t0+T)內(nèi)用此函數(shù)集表示為式中，相關(guān)系數(shù)Fn

指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)還可以從三角傅里葉級(jí)數(shù)直接導(dǎo)出。一般來(lái)說(shuō)Fn亦為一復(fù)數(shù)，即一般情況下，是關(guān)于變量的復(fù)函數(shù)，常稱為傅氏級(jí)數(shù)的復(fù)系數(shù)。記為（時(shí)域）

（頻域）已知求稱為正變換：反之，稱為反變換：是一對(duì)變換對(duì)。n的取值范圍與三角形傅氏級(jí)數(shù)不同說(shuō)明：1、仍為直流分量，一般仍要單獨(dú)計(jì)算；2、當(dāng)為實(shí)函數(shù)時(shí)，，即與為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)。有3、負(fù)頻率的出現(xiàn)無(wú)物理意義，只是數(shù)學(xué)表達(dá)，同一值正負(fù)頻率分量總是共軛出現(xiàn)，其和才是一個(gè)頻率分量的值，有4、當(dāng)是實(shí)偶函數(shù)時(shí)，則是實(shí)偶函數(shù)；當(dāng)是實(shí)奇函數(shù)時(shí)，則是虛奇函數(shù)。強(qiáng)調(diào)：指數(shù)型和三角形兩種傅氏級(jí)數(shù)的n，取值范圍是不同的。3.3周期信號(hào)的頻譜或3.3.1周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的復(fù)振幅 一般為nΩ的復(fù)函數(shù)，因而描述其特點(diǎn)的頻譜圖一般要畫兩個(gè)，一個(gè)稱為振幅頻譜，另一個(gè)稱為相位頻譜。所謂振幅頻譜為以ω為橫坐標(biāo)，以振幅為縱坐標(biāo)所畫出的譜線圖；而相位頻譜則為以ω為橫坐標(biāo)，以相位為縱坐標(biāo)所得到的譜線圖。在信號(hào)的復(fù)振幅 為nΩ的實(shí)函數(shù)的特殊情況下，其復(fù)振幅與變量(nΩ)的關(guān)系也可以用一個(gè)圖繪出。例3.3-1試畫出f(t)的振幅譜和相位譜。解f(t)為周期信號(hào)，題中所給的f(t)表達(dá)式可視為f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。據(jù)可知，其基波頻率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、6π分別為二、三、六次諧波頻率。且有其余圖3.3-1例3.3-1信號(hào)的頻譜振幅譜；(b)相位譜圖3.3-2例3.3-1信號(hào)的雙邊頻譜(a)振幅譜圖3.3-2例3.3-1信號(hào)的雙邊頻譜(b)相位譜3.3.2周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)圖3.3-3周期矩形脈沖信號(hào)為得到該信號(hào)的頻譜，先求其傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)振幅。取樣函數(shù)定義為這是一個(gè)偶函數(shù)，且x→0時(shí)，Sa(x)=1；當(dāng)x=kπ時(shí)，Sa(kπ)=0。據(jù)此，可將周期矩形脈沖信號(hào)的復(fù)振幅寫成取樣函數(shù)的形式，即圖3.3-4Sa(x)函數(shù)的波形圖3.3-5周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜譜線間隔由圖3.3-5可以看出，此周期信號(hào)頻譜具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：第一為離散性，此頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個(gè)正弦分量，所以此頻譜稱為不連續(xù)譜或離散譜。第二為諧波性，此頻譜的每一條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率Ω的整數(shù)倍頻率上，即含有Ω的各次諧波分量，而決不含有非Ω的諧波分量。第三為收斂性，此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨nΩ的變化有起伏變化，但總的趨勢(shì)是隨著nΩ的增大而逐漸減小。當(dāng)nΩ→∞時(shí)，|Fn|→0。圖3.3-6不同τ值時(shí)周期矩形信號(hào)的頻譜(a)τ=T/5;(b)τ=T/10脈沖寬度縮小一半譜線間隔不變第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)增加一倍幅值減小一倍圖3.3-7不同T值時(shí)周期矩形信號(hào)的頻譜(a)T=5τ;(b)T=10τ

譜線間隔減小一倍第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)不變幅值減小一倍

周期T擴(kuò)展一倍周期矩形脈沖信號(hào)含有無(wú)窮多條譜線，也就是說(shuō)，周期矩形脈沖信號(hào)可表示為無(wú)窮多個(gè)正弦分量之和。在信號(hào)的傳輸過(guò)程中，要求一個(gè)傳輸系統(tǒng)能將這無(wú)窮多個(gè)正弦分量不失真地傳輸顯然是不可能的。實(shí)際工作中，應(yīng)要求傳輸系統(tǒng)能將信號(hào)中的主要頻率分量傳輸過(guò)去，以滿足失真度方面的基本要求。周期矩形脈沖信號(hào)的主要能量集中在第一個(gè)零點(diǎn)之內(nèi)，因而，常常將ω=0~ 這段頻率范圍稱為矩形脈沖信號(hào)的頻帶寬度。記為或3.3.3周期信號(hào)的功率周期信號(hào)的能量是無(wú)限的，而其平均功率是有界的，因而周期信號(hào)是功率信號(hào)。為了方便，往往將周期信號(hào)在1Ω電阻上消耗的平均功率定義為周期信號(hào)的功率。顯然，對(duì)于周期信號(hào)f(t)，無(wú)論它是電壓信號(hào)還是電流信號(hào)，其平均功率均為因此，據(jù)函數(shù)正交分解中的帕塞瓦爾定理(式(3.1-16))，有01231-1-3功率譜0.2501231-1-3功率譜僅與幅度譜有關(guān)，與相位譜無(wú)關(guān)。例：試計(jì)算圖示信號(hào)在頻譜第一個(gè)零點(diǎn)以內(nèi)各分量的功率所占總功率的百分比。1解：先在時(shí)域中求信號(hào)的功率：將f(t)展開為指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)在頻譜第一個(gè)零點(diǎn)以內(nèi)的各分量的功率和為頻譜第一個(gè)零點(diǎn)以內(nèi)各分量的功率占總功率的90.3%3.4非周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅里葉變換3.4.1傅里葉變換對(duì)于非周期信號(hào)，重復(fù)周期T趨于無(wú)限大，譜線間隔趨于無(wú)窮小量dω，而離散頻率nΩ變成連續(xù)頻率ω。在這種極限情況下，F(xiàn)n趨于無(wú)窮小量，但 可望趨于有限值，且為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，通常記為F(jω)，即非周期信號(hào)的傅里葉變換可簡(jiǎn)記為一般來(lái)說(shuō)，傅里葉變換存在的充分條件為f(t)應(yīng)滿足絕對(duì)可積，即要求形象地說(shuō)，周期信號(hào)與頻譜之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即1T1/4時(shí)域：連續(xù)、周期頻域：離散、非周期而非周期信號(hào)與頻譜F(j)之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：11/4時(shí)域：連續(xù)、非周期頻域：連續(xù)、非周期傅里葉級(jí)數(shù)的物理意義：周期信號(hào)表述為無(wú)限多頻率分量的離散和傅里葉變換的物理意義：非周期信號(hào)表述為無(wú)限多頻率分量的連續(xù)和3.4.2非周期信號(hào)的頻譜函數(shù)由非周期信號(hào)的傅里葉變換可知:頻譜函數(shù)F(jω)一般是復(fù)函數(shù)，可記為習(xí)慣上將F(ω)~ω的關(guān)系曲線稱為非周期信號(hào)的幅度頻譜(F(ω)并不是幅度!)，而將φ(ω)~ω曲線稱為相位頻譜，它們都是ω的連續(xù)函數(shù)。f(t)為實(shí)函數(shù)時(shí)，根據(jù)頻譜函數(shù)的定義式不難導(dǎo)出:式中：與周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)相類似，F(xiàn)(ω)、φ(ω)與R(ω)、X(ω)相互之間存在下列關(guān)系：在f(t)是實(shí)函數(shù)時(shí)：(1)若f(t)為t的偶函數(shù)，即f(t)=f(-t)，則f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)為ω的實(shí)函數(shù)，且為ω的偶函數(shù)。(2)若f(t)為t的奇函數(shù)，即f(-t)=-f(t)，則f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)為ω的虛函數(shù)，且為ω的奇函數(shù)。與周期信號(hào)類似，也可將非周期信號(hào)的傅里葉變換表示式改寫成三角函數(shù)的形式，即3.4.3典型信號(hào)的傅里葉變換例3.4-1圖3.4-1(a)所示矩形脈沖一般稱為門函數(shù)。其寬度為τ，高度為1，通常用符號(hào)gτ(t)來(lái)表示。試求其頻譜函數(shù)。解門函數(shù)gτ(t)可表示為圖3.4-1門函數(shù)及其頻譜(a)門函數(shù)；(b)門函數(shù)的頻譜；(c)幅度譜；(d)相位譜例3.4-2求指數(shù)函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)。圖3.4-2單邊指數(shù)函數(shù)e-αt及其頻譜(a)單邊指數(shù)函數(shù)e-αt;(b)e-αt的幅度譜其振幅頻譜及相位頻譜分別為解例3.4-3求圖3.4-3(a)所示雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)。圖3.4-3雙邊指數(shù)函數(shù)及其頻譜(a)雙邊指數(shù)函數(shù)；(b)頻譜例3.4-4求圖3.4-4(a)所示信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)。圖3.4-4例3.4-4圖(a)信號(hào)f(t);(b)頻譜(a>0)解圖示信號(hào)f(t)可表示為例3.4-5求單位沖激函數(shù)δ(t)的頻譜函數(shù)。圖3.4-5信號(hào)δ(t)及其頻譜(a)單位沖激信號(hào)δ(t);(b)δ(t)的頻譜解可見，沖激函數(shù)δ(t)的頻譜是常數(shù)1。也就是說(shuō)，δ(t)中包含了所有的頻率分量，而各頻率分量的頻譜密度都相等。顯然，信號(hào)δ(t)實(shí)際上是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。根據(jù)分配函數(shù)關(guān)于δ(t)的定義，有例3.4-6求直流信號(hào)1的頻譜函數(shù)。圖3.4-6直流信號(hào)f(t)及其頻譜(a)直流信號(hào)f(t);(b)頻譜解直流信號(hào)1可表示為例3.4-7求符號(hào)函數(shù)Sgn(t)的頻譜函數(shù)?？疾炖?.4-4所示信號(hào)f(t)當(dāng)α→0時(shí)，其極限為符號(hào)函數(shù)Sgn(t)。因而可以用求f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)當(dāng)α→0的極限的方法來(lái)求得Sgn(t)的頻譜函數(shù)。例3.4-4所示信號(hào)的頻譜函數(shù)為 ，從而有圖3.4-7符號(hào)函數(shù)Sgn(t)及其頻譜(a)Sgn(t)的波形；(b)頻譜例3.4-8求階躍函數(shù)ε(t)的頻譜函數(shù)。由階躍函數(shù)ε(t)的波形容易得到解從而就可更為方便地求出ε(t)的頻譜函數(shù)，即圖3.4-8階躍函數(shù)及其頻譜(a)ε(t)的波形；(b)頻譜求傅里葉變換的思路四個(gè)基本信號(hào)的傅里葉變換二十一個(gè)常用信號(hào)的傅里葉變換所有信號(hào)的傅里葉變換利用傅里葉變換的性質(zhì)利用已知信號(hào)推廣求信號(hào)的傅里葉變換是一個(gè)難點(diǎn),也是進(jìn)入變換域分析的第一個(gè)積分變換!表3.1常用傅里葉變換對(duì)續(xù)表3.5傅里葉變換的性質(zhì)根據(jù)傅里葉變換的概念，一個(gè)非周期信號(hào)可以表述為指數(shù)函數(shù)的積分，即1.線性若且設(shè)a1,a2為常數(shù)，則有2.時(shí)移性若f(t)←→F(jω)，且t0為實(shí)常數(shù)(可正可負(fù))，則有此性質(zhì)可證明如下。例3.5-1求圖3.5-1(a)所示信號(hào)的頻譜函數(shù)。圖3.5-1例3.5-1的圖(a)f(t)的波形；(b)相位譜解3.頻移性頻譜搬移的原理是將信號(hào)f(t)乘以載頻信號(hào)cosω0t或sinω0t,從而得到f(t)cosω0t或f(t)sinω0t的信號(hào)。因?yàn)檎{(diào)幅信號(hào)都可看成乘積信號(hào)矩形調(diào)幅指數(shù)衰減振蕩三角調(diào)幅

例3.5-2求高頻脈沖信號(hào)f(t)(圖3.5-2(a))的頻譜。圖3.5-2高頻脈沖信號(hào)及其頻譜(a)f(t)的波形；(b)頻譜解圖3.5-2(a)所示高頻脈沖信號(hào)f(t)可以表述為門函數(shù)gτ(t)與cosω0t相乘，即將頻譜左右各移04.尺度變換當(dāng)a>0時(shí)：

圖3.5-3信號(hào)的尺度變換0.1-0.1圖3.5-3(a)所示的信號(hào)f1(t),可寫成寬度τ等于1的門函數(shù)，即

尺度變換性質(zhì)表明，信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與其頻帶寬度成反比。在通信系統(tǒng)中，為了快速傳輸信號(hào)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)域壓縮，將以擴(kuò)展頻帶為代價(jià)，故在實(shí)際應(yīng)用中要權(quán)衡考慮。在尺度變換性質(zhì)中，當(dāng)a=-1時(shí)，有也稱為時(shí)間倒置定理。解此題可用不同的方法來(lái)求解。(2)先利用尺度變換性質(zhì)，有5.對(duì)稱性10000若f(t)為偶函數(shù)，則時(shí)域和頻域完全對(duì)稱

直流和沖激函數(shù)的頻譜的對(duì)稱性是一例子我們知道圖3.5-4取樣函數(shù)及其頻譜6.時(shí)域卷積在信號(hào)與系統(tǒng)分析中卷積性質(zhì)占有重要地位，它將系統(tǒng)分析中的時(shí)域方法與頻域方法緊密聯(lián)系在一起。在時(shí)域分析中，求某線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，若已知外加信號(hào)f(t)及系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t),則有在頻域分析中，若知道F(jω)=F［f(t)］，H(jω)=F［h(t)］，則據(jù)卷積性質(zhì)可知7.頻域卷積應(yīng)用頻移性質(zhì)，可知8.時(shí)域微分例如，我們知道 ,利用時(shí)域微分性質(zhì)顯然有此性質(zhì)表明，在時(shí)域中對(duì)信號(hào)f(t)求導(dǎo)數(shù)，對(duì)應(yīng)于頻域中用jω乘f(t)的頻譜函數(shù)。如果應(yīng)用此性質(zhì)對(duì)微分方程兩端求傅里葉變換，即可將微分方程變換成代數(shù)方程。從理論上講，這就為微分方程的求解找到了一種新的方法。此性質(zhì)還可推廣到f(t)的n階導(dǎo)數(shù)，即9.時(shí)域積分時(shí)域積分性質(zhì)多用于F(0)=0的情況，而F(0)=0表明f(t)的頻譜函數(shù)中直流分量的頻譜密度為零。=0例3.5-4求圖3.5-5(a)所示梯形信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)。解若直接按定義求圖示信號(hào)的頻譜，會(huì)遇到形如te-jωt的繁復(fù)積分求解問(wèn)題。而利用時(shí)域積分性質(zhì)，則很容易求解。將f(t)求導(dǎo)，得到圖3.5-5(b)所示的波形f1(t)，將f1(t)再求導(dǎo)，得到圖3.5-5(c)所示的f2(t)，顯然有圖3.5-5梯形信號(hào)及其求導(dǎo)的波形據(jù)時(shí)移性質(zhì)有圖3.5-6另一種梯形信號(hào)12.帕塞瓦爾定理設(shè),則在周期信號(hào)碼傅里葉級(jí)數(shù)計(jì)論中，我們?cè)玫街芷谛盘?hào)的帕塞瓦爾定理，即一般來(lái)說(shuō)，非周期信號(hào)不是功率信號(hào)，其平均功率為零，但其能量為有限量，因而是一個(gè)能量信號(hào)。非周期信號(hào)的總能量W為非周期信號(hào)的帕塞瓦爾定理表明，對(duì)非周期信號(hào)，在時(shí)域中求得的信號(hào)能量與頻域中求得的信號(hào)能量相等。由于是的偶函數(shù)，因而（35-19）還可寫為非周期信號(hào)是由無(wú)限多個(gè)振幅為無(wú)窮小的頻率分量組成的，各頻率分量的能量也為無(wú)窮小量。為了表明信號(hào)能量在頻率分量上的分布情況，與頻譜密度函數(shù)相似，引入一個(gè)能量密度頻譜函數(shù)，簡(jiǎn)稱為能量譜。能量譜G（）為各頻率點(diǎn)上單位頻帶中的信號(hào)能量，所以信號(hào)在整個(gè)頻率范圍的全部能量為與式（3.5-20）對(duì)照，顯然有表3.2傅里葉變換的性質(zhì)求信號(hào)的傅里葉變換。解：求信號(hào)的傅里葉變換。解：已知f(t)F(j)，求下列信號(hào)的傅里葉變換。解：3.6周期信號(hào)的傅里葉變換設(shè)f(t)為周期信號(hào)，其周期為T，依據(jù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析，可將其表示為指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。即例3.6-1求圖3.6-1(a)所示周期矩形脈沖f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)。圖3.6-1周期矩形脈沖信號(hào)及其頻譜(a)f(t)的波形；(b)復(fù)振幅Fn;(c)頻譜函數(shù)F(jω)解周期矩形脈沖f(t)的復(fù)振幅Fn為例3.6-2圖3.6-2(a)為周期沖激函數(shù)序列δT(t)，其周期為T，δT(t)可表示為

m為整數(shù)圖3.6-2周期沖激序列及其頻譜解先求δT(t)的復(fù)振幅Fn：設(shè)一周期信號(hào)fT(t)，其周期為T，fT(t)中位于第一個(gè)周期的信號(hào)若為fa(t)，則不難得到已經(jīng)知道周期信號(hào)的頻譜是離散的，它集中在基頻和它所有諧波頻率上。也可以說(shuō)明，傅里葉級(jí)數(shù)是傅里葉變換的一種特例。傅里葉級(jí)數(shù)頻譜圖中每根譜線為有限值，大小代表指數(shù)分量的振幅傅里葉變換頻譜圖中譜線為沖擊函數(shù)，代表的是頻譜密度函數(shù)。無(wú)論是根據(jù)傅里葉系數(shù)畫出的幅度譜、相位譜，還是根據(jù)傅里葉變換畫出的頻譜圖，都同樣表明了信號(hào)具有哪些頻率分量，每個(gè)頻率分量振幅的大小和初相位。現(xiàn)實(shí)中存在的大多都是連續(xù)信號(hào)(如速度、溫度、壓力等)，而計(jì)算機(jī)處理的則是離散信號(hào)。對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行抽樣就可得到離散信號(hào)。在什么條件下抽樣信號(hào)能夠保留原連續(xù)信號(hào)中的信息量而不受損失。這由抽樣定理來(lái)保證。3.7連續(xù)信號(hào)的抽樣定理電影是連續(xù)畫面的抽樣：

電影是由一組按時(shí)序的單個(gè)畫面所組成，其中每一幅畫面代表著連續(xù)變化景象的一個(gè)瞬時(shí)畫面（時(shí)間樣本），當(dāng)以足夠快的速度來(lái)看這些時(shí)序樣本時(shí)，就會(huì)感覺(jué)到是原來(lái)連續(xù)活動(dòng)景象的重現(xiàn)。印刷照片是連續(xù)圖象的采樣：

印刷照片是由很多很細(xì)小的網(wǎng)點(diǎn)所組成，其中每一點(diǎn)就是一連續(xù)圖象的采樣點(diǎn)（位置樣本），當(dāng)這些采樣點(diǎn)足夠近的話，這幅印刷照片看起來(lái)就是連續(xù)的。抽樣的意義：3.7.1信號(hào)的時(shí)域抽樣定理圖3.7-1信號(hào)的抽樣圖3.7-1所示的抽樣原理從理論上分析可表述為f(t)與抽樣脈沖序列PTs(t)的乘積，即式中的抽樣脈沖序列PTs如圖3.7-2所示。它實(shí)際上就是例3.6-1所討論過(guò)的周期矩形脈沖函數(shù)，可表示為圖3.7-2抽樣脈沖序列PTs(t)圖3.7-3理想抽樣的過(guò)程及其有關(guān)波形1、理想抽樣：根據(jù)頻域卷積定理：從頻譜圖可以看出：要使各頻移不重疊，抽樣頻率s2m，m為f(t)的頻譜F(j)的最高頻率。否則，s<2m，抽樣信號(hào)的頻譜會(huì)出現(xiàn)混疊。2、矩形脈沖抽樣：根據(jù)頻域卷積定理：從頻譜圖可以看出：要使各頻移不重疊，抽樣頻率s2m，m為f(t)的頻譜F(j)的最高頻率。否則，s<2m，抽樣信號(hào)的頻譜會(huì)出現(xiàn)混疊。時(shí)域抽樣演示：頻譜演示：1.抽樣定理連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)的時(shí)域抽樣定理可表述為：在頻率fmHz以上沒(méi)有頻譜分量的帶限信號(hào)，由它在均勻間隔上的抽樣值惟一地決定，只要其抽樣間隔Ts小于或等于 。由抽樣定理可知，要求被抽樣的信號(hào)f(t)為帶限信號(hào)，即頻帶有限的信號(hào)。其最高頻率為fm，最高角頻率ωm=2πfm，即當(dāng)|ω|＞ωm時(shí)，F(xiàn)(jω)=0。圖3.7-4帶限信號(hào)及其頻譜帶限信號(hào)的概念示于圖3.7-4。設(shè)信號(hào)f(t)為帶限信號(hào)，其最高頻率分量為fm，最高角頻率為ωm=2πfm，即當(dāng)|ω|＞ωm時(shí)，F(xiàn)(jω)=0。帶限信號(hào)f(t)的波形及頻譜示于圖3.7-5(a)中。圖3.7-5信號(hào)的抽樣及其頻譜例1：若電視信號(hào)占有的頻帶為０～６ＭＨz，電視臺(tái)每秒發(fā)送25幅圖像，每幅圖象又分為625條水平掃描線，則每條水平線至少要有______個(gè)抽樣點(diǎn)。(Ａ)625(Ｂ)768(Ｃ)1250(Ｄ)15625B例2：對(duì)帶寬為20kHz的信號(hào)f

(t)進(jìn)行抽樣，其奈奎斯特間隔Ts=______s；信號(hào)f

(2t)的帶寬為_______kHz，其奈奎斯特頻率f

s=______kHz。對(duì)f

(2t)：f

m=220=40kHz,f

s=2f

m=80kHz,信號(hào)在時(shí)域壓縮，在頻域則擴(kuò)展。254080對(duì)f

(t)：f

m=20kHz,f

s=2f

m=40kHz,例3：信號(hào)頻譜所占帶寬(包括負(fù)頻率)為______1/s，若將它進(jìn)行沖激抽樣，為使抽樣信號(hào)頻譜不產(chǎn)生混疊，最低抽樣頻率fs=______Hz，奈奎斯特間隔Ts=______s。200100//100根據(jù)對(duì)稱性：令=200有：2.f(t)的恢復(fù)由圖3.7-5(c)所示樣值函數(shù)fs(t)及其頻譜Fs(jω)圖形可知，樣值函數(shù)fs(t)經(jīng)過(guò)一個(gè)截止頻率為ωm的理想低通濾波器，就可從Fs(jω)中取出F(jω)，從時(shí)域來(lái)說(shuō)，這樣就恢復(fù)了連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)。即式中，H(jω)為理想低通濾波器的頻率特性。H(jω)的特性為(3.7-7)由式(3.7-7)可知:據(jù)傅里葉變換的時(shí)域卷積性質(zhì)，得式中，fs(t)為Fs(jω)的傅里葉反變換。圖3.7-6f(t)的恢復(fù)原理由式(3.7-8)所表示的理想低通濾波器的頻率特性可表示為ω的門函數(shù)的形式，如式(3.7-10)所示：應(yīng)用傅里葉變換的對(duì)稱性，得到當(dāng)抽樣間隔時(shí)，上式可寫為f(t)的恢復(fù)式圖3.7-7f(t)的恢復(fù)例1：如圖(a)所示系統(tǒng)。已知，系統(tǒng)的頻率特性如圖(b)所示。為一個(gè)理想低通濾波器。(1)畫出的頻譜圖。(2)若使包含的全部信息，的最大間隔應(yīng)為多少?(3)分別畫出在奈奎斯特頻率及時(shí)的抽樣信號(hào)的頻譜圖；(4)在情況下，若，則理想低通濾波器截止頻率應(yīng)為多少?幅頻特性應(yīng)具有何種形式?23.7.2周期脈沖抽樣由于fs(t)=f(t)·PTs(t)，同樣，根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積性質(zhì)，可得圖3.7-8矩形脈沖抽樣f(t)的波形及其頻譜；(b)PTs的波形及其頻譜；(c)

fs(t)的波形及其頻譜3.7.3頻域抽樣頻域抽樣定理的內(nèi)容是：一個(gè)在時(shí)間區(qū)間(-tm,tm)以外為零的時(shí)間有限信號(hào)f(t)，其頻譜函數(shù)F(jω)可以由其在均勻頻率間隔fs上的樣點(diǎn)值Fs(jnωs)惟一地確定，只要其頻率間隔fs小于或等于下面從物理概念上對(duì)此作一簡(jiǎn)單說(shuō)明。在頻域?qū)(jω)進(jìn)行抽樣，相當(dāng)于用F(jω)乘沖激函數(shù)序列δωs(ω)，而δωs(ω)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信號(hào)也為一個(gè)沖激函數(shù)序列 。根據(jù)傅里葉變換的卷積性質(zhì)可知，頻域樣值函數(shù)Fs(jnωs)對(duì)應(yīng)的時(shí)間信號(hào)fs(t)為f(t)在時(shí)域的周期性重復(fù)，其周期為Ts。只要抽樣間隔fs不大于，則在時(shí)域中波形不會(huì)發(fā)生混疊，我們用矩形脈沖作選通信號(hào)就可無(wú)失真地恢復(fù)出原信號(hào)f(t)。類似于式(3.7-13),當(dāng) 時(shí)，存在下列關(guān)系式：圖3.7-9頻域抽樣3.8連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析3.8.1基本信號(hào)ejωt激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，根據(jù)時(shí)域分析公式(3.8-1)，系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)ejωt的零狀態(tài)響應(yīng)為3.8.2一般信號(hào)f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)其推導(dǎo)過(guò)程如下：由此可得用頻域分析法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的步驟為：關(guān)鍵：的求取1.從微分方程直接求解；(方程兩邊取傅氏變換)2.從系統(tǒng)的沖激響應(yīng)；3.設(shè)激勵(lì)為求其響應(yīng)；4.由電路模型求得注意！系統(tǒng)函數(shù)的定義是:

響應(yīng)傅氏變換與激勵(lì)傅氏變換之比例3.8-1已知激勵(lì)信號(hào)f(t)=(3e-2t-2)ε(t)，試求圖3.8-1所示電路中電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)uCf(t)。圖3.8-1例3.8-1的圖注意到δ(ω)的取樣性質(zhì)，并為了較方便地求得UCf(jω)的逆變換，將UCf(jω)按如下形式整理:解：先