電磁場與微波技術(shù)04(時變)

3.在導(dǎo)電媒質(zhì)1(

)中有電流密度50A/m2，方向與界面的法線方向成。如果媒質(zhì)2的電導(dǎo)率為10S/m、相對介電常數(shù)為4，求媒質(zhì)2中的電流密度、以及交界面上的電荷密度。1.求圖示同軸電纜單位長度電容。

2.對地電壓為U、半徑為a的長直傳輸線距離地面的高度為h。證明傳輸線周圍的等位線為一組偏心圓。4.圖示同軸電纜，內(nèi)、外導(dǎo)體均為薄銅箔，導(dǎo)體間為理想介質(zhì)。求單位長度電纜中存儲的電磁場能量。22第4章時變電磁場4.1全電流定律4.2法拉第定律4.3麥克斯維方程組4.4時諧電磁場4.5時變場的能量4.6時變場的波動性4.7時變場的位函數(shù)4.8電磁波的輻射4.1全電流定律33交變電路用安培環(huán)路定律

作閉合曲線l與導(dǎo)線交鏈，根據(jù)安培環(huán)路定律經(jīng)過S1面經(jīng)過S2面4.1全電流定律4全電流定律

全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關(guān)系。麥克斯韋由此預(yù)言電磁波的。其中，-位移電流密度(DisplacementCurrentDensity)微分形式積分形式4.1全電流定律55位移電流密度位移電流例已知平板電容器的面積為S,相距為d,介質(zhì)的介電常數(shù)，極板間電壓為u(t)。試求位移電流Id、傳導(dǎo)電流iC與iD

的關(guān)系是什么?電場解忽略極板的邊緣效應(yīng)和感應(yīng)電場4.1全電流定律66例在無源的自由空間中，已知磁場強度求位移電流密度Jd。解無源的自由空間中J=0,可得4.2法拉第定律77

麥克斯韋假設(shè)，變化的磁場在其周圍激發(fā)著一種電場，該電場對電荷有作用力（產(chǎn)生感應(yīng)電流），稱之為感應(yīng)電場（ElectricFieldofInduction)。感應(yīng)電動勢與感應(yīng)電場的關(guān)系為在靜止媒質(zhì)中

感應(yīng)電場是非保守場，電力線呈閉合曲線，變化的磁場是產(chǎn)生的渦旋源。4.2法拉第定律88變化的磁場產(chǎn)生感應(yīng)電場

若空間同時存在庫侖電場,即則有變化的磁場產(chǎn)生電場

引起與閉合回路鉸鏈的磁通發(fā)生變化的原因可以是磁感應(yīng)強度B隨時間的變化，也可以是閉合回路l自身的運動(大小、形狀、位置的變化)。即4.2法拉第定律99(3)運動線圈，時變磁場iabcv4.3麥克斯維方程組1010綜上所述,電磁場基本方程組

(Maxwell方程)為全電流定律電磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性原理高斯定律(1)麥克斯維方程組4.3麥克斯維方程組1111

?

全電流定律-麥克斯韋第一方程,

表明傳導(dǎo)電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場；?

電磁感應(yīng)定律-麥克斯韋第二方程,表明電荷和變化的磁場都能產(chǎn)生電場；?

磁通連續(xù)性原理-表明磁場是無源場,磁力線總是閉合曲線；

?

高斯定律-表明電荷以發(fā)散的方式產(chǎn)生電場(變化的磁場以渦旋的形式產(chǎn)生電場)。?

麥克斯韋第一、二方程是獨立方程，后面兩個方程可以從中推得。?

靜態(tài)場和恒定場是時變場的兩種特殊形式。(2)物理意義4.3麥克斯維方程組1212例已知在無源的自由空間中，其中E0、β為常數(shù)，求H。解所謂無源，就是所研究區(qū)域內(nèi)沒有場源電流和電荷，即J=0,ρ=0。4.3麥克斯維方程組1313由上式可以寫出1414例在無源的自由空間中，已知磁場強度求由此激發(fā)的電場。解無源的自由空間中J=0,可得4.3麥克斯維方程組15154.3麥克斯維方程組4.3麥克斯維方程組1616(3)分界面上的邊界條件

時變電磁場中媒質(zhì)分界面上的邊界條件的推導(dǎo)方式與靜態(tài)場類同，即電場磁場折射定律4.3麥克斯維方程組1717例試推導(dǎo)時變場中導(dǎo)理想導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上的邊界條件。

?

在理想導(dǎo)體內(nèi)部沒有電磁場，即E=0，B=0；為此

媒質(zhì)分界面?

分界面介質(zhì)側(cè)的邊界條件為電磁波的全反射解理想導(dǎo)體中為有限值，當(dāng)4.4時諧電磁場1818

時諧電磁場即正弦電磁場的復(fù)數(shù)形式與正弦穩(wěn)態(tài)電路中的相量法類同，后者有三要素：振幅(標(biāo)量，常數(shù))、頻率和相位。前者也有三要素：振幅（矢量、空間坐標(biāo)的函數(shù)）,頻率和相位。(1)時諧場的復(fù)數(shù)形式4.4時諧電磁場1919(2)時諧場基本方程組的復(fù)數(shù)形式4.4時諧電磁場2020例平板電容器如圖所示，當(dāng)兩極板間加正弦工頻交流電壓u(t)時，試分析電容器中的電場和磁場。兩圓電極的平板電容器解忽略邊緣效應(yīng)及感應(yīng)電場,則電場滿足無旋性質(zhì)，可表示為根據(jù)全電流定律，由位移電流產(chǎn)生的磁場為4.4時諧電磁場2121例N匝長直螺線管，通有正弦交流電流。試分析螺線管儲存的電場和磁場。長直螺線管解忽略邊緣效應(yīng)及位移電流，則時變磁場可用恒定磁場的方法計算。從安培環(huán)路定律，得從電磁感應(yīng)定律，得4.4時諧電磁場2222例計算銅中的位移電流密度和傳導(dǎo)電流密度的比值。設(shè)銅中的電場為E0sinωt，銅的電導(dǎo)率σ=5.8×107S/m,ε≈ε0。解銅中的傳導(dǎo)電流密度和位移電流密度大小為則比值為23e±jx=cosx±jsinxsinx=(ejx-e-jx)/(2j)，cosx=(ejx+e-jx)/2歐拉公式24求下列各場量的相量表達(dá)式。25求下列各復(fù)場量的瞬時值表達(dá)式。4.5時變場的能量2626

?

電磁能量符合自然界物質(zhì)運動過程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定律-坡印亭定理；?

坡印亭矢量是描述電磁場能量流動的物理量。(1)能量密度在時變場中，電、磁能量相互依存，總能量密度為體積V內(nèi)存儲的電磁場能量4.5時變場的能量2727取體積分，得(2)坡印亭定理設(shè)體積微元儲存的能量隨時間的變化率為利用矢量恒等式則4.5時變場的能量2828(2)坡印亭矢量和坡印亭定理整理得坡印亭定理物理意義：體積V內(nèi)電源提供的功率，減去電阻消耗的熱功率，減去電磁能量的增加率，等于穿出閉合面S的電磁功率。4.5時變場的能量2929在恒定場中，場量是動態(tài)平衡下的恒定量，能量守恒定律為恒定場中的坡印亭定理(3)坡印亭矢量

定義坡印亭矢量（PoyntingVector）W/m2

表示單位時間內(nèi)流過與電磁波傳播方向相垂直單位面積上的電磁能量，即功率流密度，S的方向代表波傳播的方向，也是電磁能量流動的方向。3030例用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負(fù)載傳送能量的過程。設(shè)電纜為理想導(dǎo)體，內(nèi)外半徑分別為a和b。解理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場為零。電磁場分布如圖所示。電場強度磁場強度3131?

穿出任一橫截面的能量相等，電源提供的能量全部被負(fù)載吸收。?

電磁能量是通過導(dǎo)體周圍的介質(zhì)傳播的，導(dǎo)線只起導(dǎo)向作用。單位時間內(nèi)流入內(nèi)外導(dǎo)體間的橫截面A的總能量為坡印亭矢量3232

以導(dǎo)體表面為閉合面，則導(dǎo)體吸收的功率為例導(dǎo)線半徑為a，長為，電導(dǎo)率為，試用坡印亭矢量計算導(dǎo)線損耗的能量。電場強度磁場強度導(dǎo)體內(nèi)解3333表明，導(dǎo)體電阻所消耗的能量是由外部傳遞的。電源提供的能量一部分用于導(dǎo)線損耗另一部分傳遞給負(fù)載4.5時變場的能量3434(4)坡印亭定理的復(fù)數(shù)形式在正弦電磁場中，坡印亭矢量的瞬時形式為平均功率流密度4.5時變場的能量3535(4)坡印亭定理的復(fù)數(shù)形式同理其實部為平均功率流密度，虛部為無功功率流密度。定義坡印亭矢量的復(fù)數(shù)形式4.5時變場的能量3636(4)坡印亭定理的復(fù)數(shù)形式取散度，展開為取體積分，利用高斯散度定理，并將代入體積分項，有4.5時變場的能量3737(4)坡印亭定理的復(fù)數(shù)形式若體積V內(nèi)無電源，閉合面S內(nèi)吸收的功率為有功功率無功功率此項可用于求解電磁場問題的等效電路參數(shù)38例兩無限大理想導(dǎo)體平板相距d,在平行板間存在時諧電磁場,其電場強度為(1)求磁場強度H(t);(2)求坡印廷矢量S(t)及平均功率流密度;(3)求導(dǎo)體表面的面電流分布。解(1)由,得39394040(2)4141(3)x=0板：x=d板：421在位于x=0、x=a的導(dǎo)電板限定的區(qū)域中的電場強度表達(dá)式為，(1)求磁場強度H(t);(2)求導(dǎo)體表面的面電流分布。2在位于x=0、x=a，以及y=0、y=b的無限長導(dǎo)電板限定的區(qū)域中的電場強度表達(dá)式為，(1)求區(qū)域中的位移電流密度和磁場強度;(2)計算穿過該區(qū)域任一橫截面的平均功率。課堂練習(xí)4.6時變場的波動性43434.6.1波動方程4.6.2波動性4.6時變場的波動性44444.6.1波動方程·

媒質(zhì)均勻,線性,各向同性。討論前提：·

遠(yuǎn)離激勵源；

從電磁場基本方程組推導(dǎo)電磁波動方程1）4.6時變場的波動性45454.6.1波動方程2）1）4.6時變場的波動性46464.6.1波動方程3）電磁場波動方程-達(dá)郎貝爾方程理想介質(zhì)中4.6時變場的波動性47474.6.1波動方程在直角坐標(biāo)系中4.6時變場的波動性48484.6.1波動方程3）電磁場波動方程-達(dá)郎貝爾方程對于時諧場理想介質(zhì)中設(shè)4.6時變場的波動性49494.6.2波動性1)達(dá)郎貝爾方程的解對于達(dá)郎貝爾方程其解為4.6時變場的波動性50504.6.2波動性2)傳播速度真空中波速4.6時變場的波動性51514.6.2波動性3)時諧場例一維時諧場，設(shè)，則解得4.7時變場的位函數(shù)52524.7.1標(biāo)量位和矢量位4.7.2位函數(shù)的方程4.7.3位函數(shù)的解4.7時變場的位函數(shù)5353仍從電磁場基本方程組出發(fā),-稱為動態(tài)位（potentialofKineticState）。4.7.1標(biāo)量位和矢量位由由4.7時變場的位函數(shù)54544.7.2位函數(shù)的方程由由4.7時變場的位函數(shù)5555經(jīng)整理后，得洛侖茲條件（規(guī)范）定義A的散度4.7.2位函數(shù)的方程4.7時變場的位函數(shù)5656洛侖茲條件（規(guī)范）為非齊次波動方程達(dá)朗貝爾方程4.7.2位函數(shù)的方程4.7時變場的位函數(shù)57572)若場不隨時間變化，波動方程蛻變?yōu)椴此煞匠?

洛侖茲條件是電流連續(xù)性原理的體現(xiàn)。1）洛侖茲條件（LuolunciCondition)的重要意義?

確定了的值，與共同唯一確定A；說明4.7.2位函數(shù)的方程4.7時變場的位函數(shù)58584.7.3位函數(shù)的解以位于坐標(biāo)原點時變點電荷為例式中具有速度的量綱，f1，f2

是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)。（除q點外）球坐標(biāo)系4.7時變場的位函數(shù)59594.7.3位函數(shù)的解的物理意義f1

在時間內(nèi)經(jīng)過距離后不變,說明它是以有限速度

v

向

r

方向傳播，稱之為入射波。有信號從r→r+Δr當(dāng)時間從t→t+Δt，4.7時變場的位函數(shù)60604.7.3位函數(shù)的解當(dāng)點電荷不隨時間發(fā)生變化時，波動方程為，在無限大均勻媒質(zhì)中,其特解為由此，時變點電荷的動態(tài)標(biāo)量位為連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的標(biāo)量位可利用迭加原理獲得無反射4.7時變場的位函數(shù)61614.7.3位函數(shù)的解無反射若激勵源是時變電流源時，可得到A的表達(dá)式無反射當(dāng)場源不隨時間變化時，蛻變?yōu)楹愣ù艌鲋械拇攀肝弧?.7時變場的位函數(shù)62624.7.3位函數(shù)的解波的入射、反射與透射4.7時變場的位函數(shù)63634.7.3位函數(shù)的解?

達(dá)朗貝爾方程解的形式表明t時刻的響應(yīng)取決于時刻激勵源的情況。故又稱A、φ為滯后位（RetardedPotential）。?

電磁波是以有限速度傳播的，稱為波速4.7時變場的位函數(shù)6464?

它具有速度的量綱；且通解中的經(jīng)過后得以保持不變，必有自變量不變，即4.7.3位函數(shù)的解?

電磁波在真空中的波速與光速相等。光也是一種電磁波。表明：

f1是一個以速度v沿

r方向前進(jìn)的波。4.8電磁波的輻射6565?

電磁波從波源出發(fā)，以有限速度在媒質(zhì)中向四面八方傳播，一部分電磁波能量脫離波源而單獨在空間波動，不再返回波源，這種現(xiàn)象稱為輻射。

?

輻射是有方向性的，在給定的方向產(chǎn)生指定的場。

?

輻射過程是能量的傳播過程，要考慮天線發(fā)射和接收信號能力。

?

研究輻射的方向性和能量傳播的前提是掌握輻射電磁場的特性。?

輻射的波源是天線、天線陣。發(fā)射天線和接收天線是互易的。天線的幾何形狀、尺寸是多樣的，單元偶極子天線（電偶極子天線和磁偶極子天線）是天線的基本單元，也是最簡單的天線。4.8電磁波的輻射6666以平行板電容器和長直載流螺線管為例可知

即增加電容器極板間距d，縮小極板面積S，減少線圈數(shù)n，就可達(dá)到上述目的，具體方式如圖所示。

從LC電路的振蕩頻率

式可知，要提高振蕩頻率、開放電路，就必須降低電路中的電容值和電感值。4.8.1電流元4.8電磁波的輻射6767開放的LC電路就是天線！當(dāng)有電荷（或電流）在天線中振蕩時，就激發(fā)出變化的電磁場在空中傳播。

當(dāng)電流元或電偶極子p=qd

以簡諧方式振蕩時向外輻射電磁波。4.8.2電流元輻射的電磁場4.8電磁波的輻射6868設(shè)天線幾何尺寸遠(yuǎn)小于電磁波波長，天線上不計推遲效應(yīng)；研究場點遠(yuǎn)離天線；正弦電磁波。4.8.3電流元輻射的電磁場遠(yuǎn)離天線P點的動態(tài)位為4.8電磁波的輻射6969在球坐標(biāo)系中，的三個變量4.8.3電流元輻射的電磁場4.8電磁波的輻射70704.8.3電流元輻射的電磁場根據(jù)式中忽略的低次項，得（1）近區(qū)4.8電磁波的輻射71714.8.3電流元輻射的電磁場特點：?

無推遲效應(yīng)；

?

電場與靜電場中電偶極子的場相同，磁場與恒定磁場中元電流的場相同，因此有結(jié)論：任一時刻，電、磁場的分布規(guī)律分別與靜態(tài)場中電、磁場相同，稱之為似穩(wěn)場。

?

近區(qū)內(nèi)電場與磁場相位差為90°，只有電磁能量交換，沒有波的傳播（輻射）。4.8電磁波的輻射72724.8.3電流元輻射的電磁場（