信道與隨機(jī)過(guò)程

第二章信道與隨機(jī)信號(hào)分析2.1信道的數(shù)學(xué)模型2.2信道容量2.3隨機(jī)信號(hào)分析2.4信道特性對(duì)信號(hào)傳輸?shù)挠绊?.5信道中的噪聲2.1信道的數(shù)學(xué)模型信道模型的分類(lèi)：調(diào)制信道編碼信道編碼信道調(diào)制信道2.1

調(diào)制信道模型式中 －信道輸入端信號(hào)電壓； －信道輸出端的信號(hào)電壓；

－噪聲電壓。通常假設(shè)：這時(shí)上式變?yōu)椋?/p>

－信道數(shù)學(xué)模型f[ei(t)]e0(t)ei(t)n(t)圖2-1調(diào)制信道數(shù)學(xué)模型因k(t)隨t變，故信道稱(chēng)為時(shí)變信道。因k(t)與ei(t)相乘，故稱(chēng)其為乘性干擾。因k(t)作隨機(jī)變化，故又稱(chēng)信道為隨參信道。若k(t)變化很慢或很小，則稱(chēng)信道為恒參信道。乘性干擾特點(diǎn)：當(dāng)沒(méi)有信號(hào)時(shí)，沒(méi)有乘性干擾。

調(diào)制信道模型調(diào)制信道的主要特性絕大多數(shù)信道是線(xiàn)性的，即滿(mǎn)足疊加原理信號(hào)通過(guò)信道需要經(jīng)過(guò)一定的延時(shí)信道對(duì)信號(hào)有損耗（固定或時(shí)變損耗）即使沒(méi)有信號(hào)輸入，接收端仍有信號(hào)輸出（噪聲），通常稱(chēng)為加性噪聲。2.1.2調(diào)制信道模型調(diào)制信道的分類(lèi)恒參信道

k(t)不隨時(shí)間變化或變化極為緩慢

衛(wèi)通、微波中繼、有線(xiàn)信道等可看成恒參信道隨參信道

k(t)隨時(shí)間t隨機(jī)變化

天波、散射、地面無(wú)線(xiàn)信道等為隨參信道編碼信道模型編碼信道包括調(diào)制器、解調(diào)器、媒介在內(nèi)調(diào)制信道使傳輸信號(hào)發(fā)生波形變化編碼信道使數(shù)字序列發(fā)生0、1差錯(cuò)與調(diào)制信道的關(guān)系傳輸波形變化通過(guò)解調(diào)產(chǎn)生數(shù)字差錯(cuò)編碼信道模型采用數(shù)字信號(hào)的轉(zhuǎn)移概率來(lái)描述

編碼信道模型轉(zhuǎn)移概率編碼信道主要參數(shù)實(shí)際信道的轉(zhuǎn)移概率由大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到編碼信道的分類(lèi)無(wú)記憶編碼信道碼元之間相互獨(dú)立有記憶編碼信道碼元之間存在相關(guān)性2.1.2編碼信道模型

二進(jìn)制編碼信道簡(jiǎn)單模型－無(wú)記憶信道模型P(0/0)和P(1/1)－正確轉(zhuǎn)移概率P(1/0)和P(0/1)－錯(cuò)誤轉(zhuǎn)移概率P(0/0)=1–P(1/0)P(1/1)=1–P(0/1)

P(1/0)P(0/1)0011P(0/0)P(1/1)圖2-2二進(jìn)制編碼信道模型發(fā)送端接收端四進(jìn)制編碼信道模型01233210接收端發(fā)送端12

2.2.1離散信道容量?jī)煞N不同的度量單位：C－每個(gè)符號(hào)能夠傳輸?shù)钠骄畔⒘孔畲笾礐t

－單位時(shí)間（秒）內(nèi)能夠傳輸?shù)钠骄畔⒘孔畲笾祪烧咧g可以互換2.2信道容量

信號(hào)必須經(jīng)過(guò)信道才能傳輸，單位時(shí)間內(nèi)信道上所能傳輸?shù)淖畲笮畔⒘糠Q(chēng)為信道容量。它可用信道的最大信息傳輸速率(比特率)來(lái)表示。

由于信道有數(shù)字(離散)和模擬(連續(xù))之分，因此，信道容量也不相同。13計(jì)算離散信道容量的信道模型發(fā)送符號(hào)：x1，x2，x3，…，xn接收符號(hào)：y1，y2，y3，…，ymP(xi)=發(fā)送符號(hào)xi的出現(xiàn)概率，

i＝1，2，…，n；P(yj)=收到y(tǒng)j的概率，

j＝1，2，…，mP(yj/xi)=轉(zhuǎn)移概率，即發(fā)送xi的條件下收到y(tǒng)j的條件概率x1x2x3y3y2y1接收端發(fā)送端xn。。。。。。。。。ym圖2-3信道模型P(xi)P(y1/x1)P(ym/x1)P(ym/xn)P(yj)如果信道是無(wú)噪的,當(dāng)信源發(fā)出消息xi后,信宿必能準(zhǔn)確無(wú)誤地收到該消息,徹底消除對(duì)xi的不確定度,所獲得的信息量就是xi的不確定度I(xi),即xi本身含有的全部信息。一般而言,信道中總是存在著噪聲和干擾,信源發(fā)出消息xi,通過(guò)信道后信宿只可能收到由于干擾作用引起的某種變型yj

。信宿收到y(tǒng)j

后推測(cè)信源發(fā)出xi的概率p(xi|yj)稱(chēng)為后驗(yàn)概率。信源發(fā)出消息xi的概率p(xi)

稱(chēng)為先驗(yàn)概率。14互信息15互信息定義為

xi的后驗(yàn)概率與先驗(yàn)概率比值的對(duì)數(shù)互信息I(xi;yj)表示接收到某消息yj后獲得的關(guān)于事件xi的信息量。例：某地二月份天氣構(gòu)成的信源為：16若得知“今天不是晴天”,把這句話(huà)作為收到的消息y1當(dāng)收到y(tǒng)1后,各種天氣發(fā)生的概率變成后驗(yàn)概率了p(x1|y1)

=0,p(x2|y1)

=1/2,p(x3|y1)

=1/4,p(x4|y1)

=1/4

求得自信息量分別為

表明從y1分別得到了x2x3x4各1比特的信息量。消息y1使x2

x3x4的不確定度各減少1bit。17無(wú)條件熵18信源熵條件熵聯(lián)合熵19從信息量的概念得知：發(fā)送xi時(shí)收到y(tǒng)j所獲得的信息量等于發(fā)送xi前接收端對(duì)xi的不確定程度（即xi的信息量）減去收到y(tǒng)j后接收端對(duì)xi的不確定程度。發(fā)送xi時(shí)收到y(tǒng)j所獲得的信息量=-log2P(xi)-[-log2P(xi

/yj)]對(duì)所有的xi和yj取統(tǒng)計(jì)平均值，得出收到一個(gè)符號(hào)時(shí)獲得的平均信息量：平均信息量/符號(hào)＝20平均信息量/符號(hào)＝式中 －為每個(gè)發(fā)送符號(hào)xi的平均信息量，稱(chēng)為信源的熵。 －為接收yj符號(hào)已知后，發(fā)送符號(hào)xi的平均信息量。

由上式可見(jiàn)，收到一個(gè)符號(hào)的平均信息量只有[H(x)–H(x/y)]，而發(fā)送符號(hào)的信息量原為H(x)，少了的部分H(x/y)就是傳輸錯(cuò)誤率引起的損失。21容量C的定義：每個(gè)符號(hào)能夠傳輸?shù)钠骄畔⒘孔畲笾?/p>

(比特/符號(hào))當(dāng)信道中的噪聲極大時(shí)，H(x/y)=H(x)。這時(shí)C=0，即信道容量為零。容量Ct的定義：

(b/s)

式中r－單位時(shí)間內(nèi)信道傳輸?shù)姆?hào)數(shù)單位時(shí)間內(nèi)信道上所能傳輸?shù)淖畲笮畔⒘糠Q(chēng)為信息容量.220011P(0/0)=127/128P(1/1)=127/128P(1/0)=1/128P(0/1)=1/128發(fā)送端圖4-23對(duì)稱(chēng)信道模型接收端【例2.2.1】設(shè)信源由兩種符號(hào)“0”和“1”組成，符號(hào)傳輸速率為1000符號(hào)/秒，且這兩種符號(hào)的出現(xiàn)概率相等，均等于1/2。信道為對(duì)稱(chēng)信道，其傳輸?shù)姆?hào)錯(cuò)誤概率為1/128。試畫(huà)出此信道模型，并求此信道的容量C和Ct。

【解】此信道模型畫(huà)出如下：23此信源的平均信息量（熵）等于： （比特/符號(hào)）而條件信息量可以寫(xiě)為現(xiàn)在P(x1/y1)=P(x2/y2)=127/128，

P(x1/y2)=P(x2/y1)=1/128，并且考慮到P(y1)+P(y2)=1，所以上式可以改寫(xiě)為24平均信息量/符號(hào)＝H(x)–H(x/y)=1–0.045=0.955 （比特/符號(hào)）因傳輸錯(cuò)誤每個(gè)符號(hào)損失的信息量為

H(x/y)=0.045（比特/符號(hào)）信道的容量C等于：信道容量Ct等于：25

前面討論了離散新到的容量，在此討論有擾模擬(連續(xù))信道的信道容量問(wèn)題。

信號(hào)在信道中傳輸要受到干擾的影響，以致引起信息傳輸錯(cuò)誤，我們把具有干擾的信道稱(chēng)為有擾信道。那么，在怎樣的條件下，信道可以無(wú)失真(不丟失)地將信息以速率R進(jìn)行傳輸呢？香農(nóng)定理給出了理論答案：

對(duì)于一個(gè)給定的有擾信道，如果信息源的信息發(fā)出速率小于或等于信道容量，即R≤C，則理論上存在一種方法可使信息以任意小的差錯(cuò)概率通過(guò)該信道傳輸。反之，若R＞C，則該信道將無(wú)法正確傳遞該信息。2.2.2有擾連續(xù)信道容量與香農(nóng)公式26

香農(nóng)公式給出了信道帶寬、信道容量和白色高斯噪聲干擾信號(hào)(或信道輸出信噪比)之間的關(guān)系

式中,C為信道容量(單位為bit/s或b/s)，B為信道帶寬(Hz)，S是信號(hào)功率，N是噪聲功率。

由于噪聲功率N與信道的頻帶寬度有關(guān)，設(shè)單邊噪聲功率譜密度為n0，則可得到香農(nóng)公式的另一種形式式中，N=n0B。(1.4-5)(1.4-6)27

當(dāng)S

，或n0

0時(shí)，Ct

。 但是，當(dāng)B

時(shí)，Ct將趨向何值？令：x=S/n0B，上式可以改寫(xiě)為：利用關(guān)系式上式變?yōu)?8

上式表明，當(dāng)給定S/n0時(shí)，若帶寬B趨于無(wú)窮大，信道容量不會(huì)趨于無(wú)限大，而只是S/n0的1.44倍。這是因?yàn)楫?dāng)帶寬B增大時(shí)，噪聲功率也隨之增大。

Ct和帶寬B的關(guān)系曲線(xiàn)：圖4-24信道容量和帶寬關(guān)系S/n0S/n0BCt1.44(S/n0)29上式還可以改寫(xiě)成如下形式：式中 Eb

－每比特能量；

Tb=1/B

－每比特持續(xù)時(shí)間。 上式表明，為了得到給定的信道容量Ct，可以增大帶寬B以換取Eb的減?。涣硪环矫?，在接收功率受限的情況下，由于Eb=STb，可以增大Tb以減小S來(lái)保持Eb和Ct不變。30

從香農(nóng)公式中我們可得出以下結(jié)論：

(1)一個(gè)給定信道的信道容量受B、S、n0“三要素”的約束。信道容量隨“三要素”的確定而確定。

(2)提高信噪比(信號(hào)功率與噪聲功率之比)可提高信道容量。

(3)一個(gè)給定信道的信道容量既可以通過(guò)增加信道帶寬減少信號(hào)發(fā)射功率也可通過(guò)減少信道帶寬增加信號(hào)發(fā)射功率來(lái)保證。也就是說(shuō)，信道容量可通過(guò)帶寬與信噪比的互換而保持不變。

比如，若S/N=7，B=4kHz，由香農(nóng)公式可算出C=12×103b/s；同樣的C，還可由S/N=15，B=3kHz來(lái)保證。

(4)雖然C與B成正比關(guān)系，但B→∞時(shí)，C卻不能隨之趨于無(wú)窮大。

31

典型的模擬電話(huà)系統(tǒng)信噪比為30dB(S／N=1000)，帶寬B=3000Hz，根據(jù)式(1.4―5)可得它的信道容量約為30kb/s。這個(gè)值是理論上限，實(shí)際的信息(數(shù)據(jù))傳輸速率都要低于30kb/s。

香農(nóng)定理告訴我們，有擾信道的最大信息傳輸速率(即信道容量)是有限的，信道容量受信道帶寬和信道信噪比的制約，只要給定了信道信噪比和帶寬，則信道的最大信息傳輸速率就確定了，并且該容量與信號(hào)取的離散值個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，無(wú)論用什么調(diào)制方式都無(wú)法改變。32【例2.2.2】已知黑白電視圖像信號(hào)每幀有30萬(wàn)個(gè)像素；每個(gè)像素有8個(gè)亮度電平；各電平獨(dú)立地以等概率出現(xiàn)；圖像每秒發(fā)送25幀。若要求接收?qǐng)D像信噪比達(dá)到30dB，試求所需傳輸帶寬。

【解】因?yàn)槊總€(gè)像素獨(dú)立地以等概率取8個(gè)亮度電平，故每個(gè)像素的信息量為

Ip=-log2(1/8)=3 (b/pix) (4.6-18)并且每幀圖像的信息量為

IF=300,0003=900,000(b/F) (4.6-19)因?yàn)槊棵雮鬏?5幀圖像，所以要求傳輸速率為

Rb=900,00025=22,500,000=22.5106(b/s) (4.6-20)信道的容量Ct必須不小于此Rb值。將上述數(shù)值代入式：得到 22.5106=Blog2(1+1000)9.97B最后得出所需帶寬

B=(22.5106)/9.972.26(MHz)2.3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念2.3.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2.3.3高斯平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2.3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)2.3.5窄帶隨機(jī)過(guò)程2.3.6高斯白噪聲和帶限白噪聲

2.3隨機(jī)信號(hào)分析

2.3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念和統(tǒng)計(jì)特性2.3.1.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念其變化過(guò)程可以用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來(lái)描述。其變化過(guò)程不可能用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來(lái)描述。

通信過(guò)程是信號(hào)和噪聲通過(guò)通信系統(tǒng)的過(guò)程。而通信系統(tǒng)中遇到的信號(hào)和噪聲總帶有隨機(jī)性，從統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的觀(guān)點(diǎn)看，隨機(jī)信號(hào)和噪聲統(tǒng)稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程。確定性過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程：

2.3.1.1隨機(jī)過(guò)程的概念

前面所討論的隨機(jī)變量是與試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)的某一個(gè)隨機(jī)取值的量。例如，在給定的某一瞬間測(cè)量接收機(jī)輸出端上的噪聲，所測(cè)得的輸出噪聲的瞬時(shí)值就是一個(gè)隨機(jī)變量。2.3.1隨機(jī)過(guò)程的一般表述顯然，如果連續(xù)不斷地進(jìn)行試驗(yàn)，那么在任一瞬間都有一個(gè)與之相應(yīng)的隨機(jī)變量，于是這時(shí)的試驗(yàn)結(jié)果就不僅是一個(gè)隨機(jī)變量，而是一個(gè)在時(shí)間上不斷變化的隨機(jī)變量的集合。我們定義隨時(shí)間變化的無(wú)數(shù)個(gè)隨機(jī)變量的集合為隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程的基本特征是：它是時(shí)間t的函數(shù)，但在任一確定時(shí)刻上的取值是不確定的，是一個(gè)隨機(jī)變量；或者，可將它看成是一個(gè)事件的全部可能實(shí)現(xiàn)構(gòu)成的總體，其中每個(gè)實(shí)現(xiàn)都是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)，而隨機(jī)性就體現(xiàn)在出現(xiàn)哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)是不確定的。通信過(guò)程中的隨機(jī)信號(hào)和噪聲均可歸納為依賴(lài)于時(shí)間t的隨機(jī)過(guò)程。

由此從數(shù)學(xué)的角度，我們給出隨機(jī)過(guò)程這樣的定義：設(shè)(k=1,2,…)是隨機(jī)試驗(yàn)，每一次試驗(yàn)都有一個(gè)時(shí)間波形（稱(chēng)為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體就構(gòu)成一隨機(jī)過(guò)程，記作。簡(jiǎn)言之無(wú)窮多個(gè)樣本函數(shù)的總體稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程，如圖3-1所示。

圖3-1隨機(jī)過(guò)程波形2.3.1.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念什么是隨機(jī)過(guò)程？隨機(jī)過(guò)程是一類(lèi)隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過(guò)程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述?？蓮膬煞N不同角度看：角度1：對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過(guò)程的集合?！纠縩臺(tái)示波器同時(shí)觀(guān)測(cè)并記錄這n臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲波形樣本函數(shù)i(t)：隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)，是確定的時(shí)間函數(shù)。隨機(jī)過(guò)程：

(t)={1(t),2(t),…,n(t)}是全部樣本函數(shù)的集合。角度2：隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量概念的延伸。在任一給定時(shí)刻t1上，每一個(gè)樣本函數(shù)i(t)都是一個(gè)確定的數(shù)值i(t1)，但是每個(gè)i(t1)都是不可預(yù)知的。在一個(gè)固定時(shí)刻t1上，不同樣本的取值{i(t1),i=1,2,…,n}是一個(gè)隨機(jī)變量，記為

(t1)。換句話(huà)說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過(guò)程看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。這個(gè)角度更適合對(duì)隨機(jī)過(guò)程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性是通過(guò)其概率分布函數(shù)或數(shù)字特征來(lái)表述的。一、隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度2.3.1.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征設(shè)表示一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，在任意給定的時(shí)刻其取值是一個(gè)隨機(jī)變量。顯然，這個(gè)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來(lái)描述，

為隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)。如果對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)存在，即有則稱(chēng)為的一維概率密度函數(shù)。（2.3.2）（2.3.1）

我們稱(chēng)顯然，隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性，而沒(méi)有說(shuō)明隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，為此需要在足夠多的時(shí)間上考慮隨機(jī)過(guò)程的多維分布函數(shù)。任意給定，則的n維分布函數(shù)被定義為如果存在以下關(guān)系：（2.3.3）

（2.3.4）

則稱(chēng)為的n維概率密度函數(shù)。顯然，n越大，對(duì)隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性的描述就越充分，但問(wèn)題的復(fù)雜性也隨之增加。在一般實(shí)際問(wèn)題中，引用二維概率密度函數(shù)即可解決問(wèn)題。二、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性,但在實(shí)際工作中，有時(shí)不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，而用隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡(jiǎn)單直觀(guān)。1、數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計(jì)平均值）隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望定義為并記為。隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望是時(shí)間t的函數(shù)。（2.3.5）

1、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱(chēng)均值）是用來(lái)描述隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)平均值，它反映隨機(jī)變量取值的集中位置。對(duì)于離散隨機(jī)變量X，設(shè)是其取的概率，則其數(shù)學(xué)期望定義為（2.3.6）

對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量X，其數(shù)學(xué)期望定義為式中，為隨機(jī)變量X的概率密度。（2.3.7）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)如下：（1）若C為一常數(shù)，則常數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于常數(shù)，即（2）若有兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，它們的數(shù)學(xué)期望和存在，則也存在，且有（2.3.8）

（2.3.9）

我們把上式（2.3.9）推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情況。若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望都存在，則也存在，且有

（2.3.10）

（3）若隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且和存在，則也存在，且有(2.3.11）

方差常記為2(t)。這里也把任意時(shí)刻t1直接寫(xiě)成了t

。 因?yàn)?/p>

所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻t對(duì)于均值a(t)的偏離程度。均方值均值平方2、方差對(duì)于離散隨機(jī)變量，上式方差的定義可表示為式中，是隨機(jī)變量X取值為的概率。對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量，方差的定義可表示為（2.3.14）

（2.3.15）

2、隨機(jī)變量的方差方差反映隨機(jī)變量的取值偏離均值的程度。方差定義為隨機(jī)變量X與其數(shù)學(xué)期望之差的平方的數(shù)學(xué)期望。即（2.3.13）

方差的性質(zhì)如下：（1）常數(shù)的方差等于0，即（2）設(shè)D(X)存在，C為常數(shù)，則

（2.3.16）

（2.3.17）

（2.3.18）

（3）設(shè)和都存在，且X和Y相互獨(dú)立，則對(duì)于多個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量不難證明有：（2.3.19）

（2.3.20）

3、自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)衡量同一隨機(jī)過(guò)程在任意兩個(gè)時(shí)刻上獲得的隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)相關(guān)特性時(shí)，常用自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)來(lái)表示。自協(xié)方差函數(shù)定義為（2.3.21）式中，與是任取的兩個(gè)時(shí)刻；與為在及時(shí)刻得到的數(shù)學(xué)期望；為二維概率密度函數(shù)自相關(guān)函數(shù)定義為若，并令，則可表示為（2.3.22）

可見(jiàn)，相關(guān)函數(shù)是和τ的函數(shù)。顯然，由式（2.3.21）和（2.3.22）可得自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系式（2.3.23）4、互協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)也可引入到兩個(gè)或更多個(gè)隨機(jī)過(guò)程中去，從而得到互協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。設(shè)和分別表示兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，則互協(xié)方差函數(shù)定義為互相關(guān)函數(shù)定義為（2.3.24）

（2.3.25）若對(duì)于任意,有則稱(chēng)和不相關(guān)。不難證明，相互獨(dú)立的和必定不相關(guān)；反之，不一定。但對(duì)于高斯隨機(jī)過(guò)程，不相關(guān)和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立是等價(jià)的。[例2.3.1]設(shè)隨機(jī)過(guò)程可表示成，式中是一個(gè)離散隨機(jī)變量，且，試求及。解：在t=1時(shí)，的數(shù)學(xué)期望在，時(shí)的自相關(guān)函數(shù)[例2.3.2]設(shè)隨機(jī)過(guò)程其中A為高斯隨機(jī)變量，b為常數(shù)，且A的一維概率密度函數(shù)求X(t)的均值和方差。解：由得出隨機(jī)變量A的均值為1，方差為1，即E(A)=1，D(A)=1。因?yàn)?，所以同理?.3.2.1嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程是指它的任意n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)，對(duì)于任何正整數(shù)n和任何實(shí)數(shù)以及，隨機(jī)過(guò)程的n維概率密度函數(shù)滿(mǎn)足2.3.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程則稱(chēng)為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，或稱(chēng)狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。（2.3.26）

若隨機(jī)過(guò)程的均值為常數(shù)，與時(shí)間t無(wú)關(guān)，而自相關(guān)函數(shù)僅是的函數(shù)，則稱(chēng)其為寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。按此定義得知，對(duì)于寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，有

=常數(shù)（2.3.27）（2.3.28）2.3.5.2寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程由于均值和自相關(guān)函數(shù)只是統(tǒng)計(jì)特性的一部分，所以嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程一定也是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。反之，寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程就不一定是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。但對(duì)于高斯隨機(jī)過(guò)程兩者是等價(jià)的。通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視為寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。以后討論的隨機(jī)過(guò)程除特殊說(shuō)明外，均假設(shè)是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱(chēng)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。[例2.3.3]已知x(t)與y(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且它們的自相關(guān)函數(shù)分別為。求乘積的自相關(guān)函數(shù)。解：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義有一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程若按定義求其均值和自相關(guān)函數(shù)，則需要對(duì)其所有的實(shí)現(xiàn)計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均值。實(shí)際上，這是做不到的。然而，若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它的統(tǒng)計(jì)平均值可以由任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來(lái)代替。2.3.2.3各態(tài)歷經(jīng)性顧名思義，各態(tài)歷經(jīng)性表示一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的任一個(gè)實(shí)現(xiàn)能夠經(jīng)歷此過(guò)程的所有狀態(tài)。若一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它的統(tǒng)計(jì)平均值就等于其時(shí)間的平均值。也就是說(shuō)假設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)，若滿(mǎn)足：則稱(chēng)此隨機(jī)過(guò)程為具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過(guò)程?？梢?jiàn)，具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性可以用時(shí)間平均來(lái)代替，對(duì)于這種隨機(jī)過(guò)程無(wú)需（實(shí)際中也不可能）考察無(wú)限多個(gè)實(shí)現(xiàn)，

（2.3.29）

而只考察一個(gè)實(shí)現(xiàn)就可獲得隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征，因而可使計(jì)算大大簡(jiǎn)化。需要注意的是，一個(gè)隨機(jī)過(guò)程若具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它必定是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，但嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程不一定具有各態(tài)歷經(jīng)性。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿(mǎn)足各態(tài)歷經(jīng)性。

[例3-4]

設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為 其中，A和c均為常數(shù)；是在(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。

【解】(1)先求(t)的統(tǒng)計(jì)平均值： 數(shù)學(xué)期望自相關(guān)函數(shù)令t2–t1=，得到可見(jiàn)，(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t無(wú)關(guān)，只與時(shí)間間隔有關(guān)，所以(t)是廣義平穩(wěn)過(guò)程。(2)求(t)的時(shí)間平均值 比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，有 因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程而言，它的自相關(guān)函數(shù)是特別重要的一個(gè)函數(shù)。其一，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，如數(shù)字特征等，可通過(guò)自相關(guān)函數(shù)來(lái)描述；其二，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間存在傅里葉變換的關(guān)系。因此，我們有必要了解平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。2.3.2.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)

和功率譜密度一、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)為一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,則其自相關(guān)函數(shù)有如下性質(zhì)：1、上式表明，隨機(jī)過(guò)程的總能量是無(wú)窮的，但其平均功率是有限的。（2.3.30）

2、（2.3.31）3、（2.3.32）4、（2.3.33）5、（2.3.34）由上述性質(zhì)可知，用自相關(guān)函數(shù)幾乎可以表述的主要特征，因而上述性質(zhì)有明顯的實(shí)用價(jià)值。[例2.3.5]設(shè)一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為，求其均值和方差。解：由自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可得：

所以均值為：方差為：二、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度隨機(jī)過(guò)程的頻譜特性是用它的功率譜密度來(lái)表述的。由第二章，對(duì)于任意的確定功率信號(hào)f(t)其功率譜密度為

（2.3.31）

式中，是f(t)的截短函數(shù)的頻譜函數(shù)。f(t)和的波形如圖3-6所示。

圖3-6功率信號(hào)及其截短函數(shù)對(duì)功率型的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程而言，它的每一實(shí)現(xiàn)的功率譜也可以由上式確定。但是，隨機(jī)信號(hào)的每一個(gè)實(shí)現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過(guò)程的功率譜密度。隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度應(yīng)看作每一可能實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均。設(shè)的功率譜密度為，的某一實(shí)現(xiàn)的截短函數(shù)為 ,且于是有：

的平均功率S可以表示為

（2.3.32）

（2.3.33）三、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系（維納—辛欽定理）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間互為傅里葉變換的關(guān)系，即

（2.3.34）非周期的功率型確知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換。這種關(guān)系對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程同樣成立。它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。下面結(jié)合自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，歸納功率譜的性質(zhì)如下：1、（非負(fù)性）2、3、（偶函數(shù)）[例2.3.]已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程n(t)的功率譜為，試求的功率譜。解：先求自相關(guān)函數(shù)由維納—辛欽定理可得，相應(yīng)的功率譜為[例3-6]

求隨機(jī)相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。

【解】在[例3-4]中，我們已經(jīng)考察隨機(jī)相位余弦波是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為 因?yàn)槠椒€(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換，即有 以及由于有 所以，功率譜密度為 平均功率為高斯隨機(jī)過(guò)程又稱(chēng)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，是通信領(lǐng)域中普遍存在的隨機(jī)過(guò)程。在實(shí)踐中觀(guān)察到的大多數(shù)噪聲都是高斯過(guò)程，例如通信信道中的噪聲通常是一種高斯過(guò)程。2.3.3高斯隨機(jī)過(guò)程2.3.3.1高斯過(guò)程的定義若高斯過(guò)程的任意n維（n=1，2，…）分布都是正態(tài)分布，則稱(chēng)它為高斯隨機(jī)過(guò)程或正態(tài)過(guò)程。其n維正態(tài)概率密度函數(shù)可表示為（2.3.51）

式中，：歸一化協(xié)方差矩陣的行列式；

:行列式中元素的代數(shù)余因子

：歸一化協(xié)方差函數(shù)。由式（2.3.92）可見(jiàn)，正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的維分布僅由各隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。(2.3.52)1、若高斯過(guò)程是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則它也是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。也就是說(shuō)，對(duì)于高斯過(guò)程來(lái)說(shuō)，寬平穩(wěn)和嚴(yán)平穩(wěn)是等價(jià)的。2、若高斯過(guò)程中的隨機(jī)變量之間互不相關(guān)，則它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；2.3.3.2高斯過(guò)程的性質(zhì)3、高斯過(guò)程的線(xiàn)性組合仍是高斯過(guò)程；4、高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線(xiàn)性變換（或線(xiàn)性系統(tǒng)）后的過(guò)程仍是高斯過(guò)程。一、一維概率密度函數(shù)高斯過(guò)程的一維概率密度表示式為式中，a為高斯隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；為方差。f(x)的曲線(xiàn)如圖3-7所示。2.3.3一維高斯分布

（3.94）

圖3-7一維概率密度函數(shù)由式（2.3.52）和圖3-7可知f(x)具有如下特性：1、f(x)對(duì)稱(chēng)于x=a的直線(xiàn)。2、

且有

（2.3.53）

（2.3.54）

3、a表示分布中心，表示集中程度，f(x)圖形將隨著的減小而變高和變窄。當(dāng)a=0，時(shí)，稱(chēng)f(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。

二、正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分，即

（2.3.55）

式中，稱(chēng)為概率積分函數(shù)，其定義為式（2.3.56）積分不易計(jì)算，常引入誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)表示正態(tài)分布

（2.3.56）

三、誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)誤差函數(shù)的定義式：互補(bǔ)誤差函數(shù)的定義式：

（2.3.57）

（2.3.58）

誤差函數(shù)、互補(bǔ)誤差函數(shù)和概率積分函數(shù)之間的關(guān)系如下:

（2.3.60）

（2.3.61）

引入誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)后，不難求得

（2.3.62）

其好處是：借助于一般數(shù)學(xué)手冊(cè)所提供的誤差函數(shù)表，可方便查出不同值時(shí)誤差函數(shù)的近似值（參見(jiàn)附錄B），避免了復(fù)雜積分運(yùn)算。此外，誤差函數(shù)的簡(jiǎn)明特性特別有助于通信系統(tǒng)的抗噪性能分析。

信號(hào)在信道中傳輸時(shí)，常會(huì)遇到這樣一類(lèi)噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，即雙邊功率譜為

單邊功率譜為

2.3.3.4高斯白噪聲和帶限白噪聲

（2.3.70）

（2.3.71）

這種噪聲被稱(chēng)為白噪聲，它是一個(gè)理想的寬帶隨機(jī)過(guò)程。式中n0為一常數(shù)，單位是瓦/赫茲。顯然，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助下式求得：

（2.3.72）

這說(shuō)明，白噪聲只有在τ=k/2f0(k=1,2,3,…)時(shí)才相關(guān)，而它在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。圖3-8畫(huà)出了白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)的圖形。

圖3-8白噪聲的雙邊帶功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)(a)如果白噪聲被限制在（-fo,fo）之內(nèi)，即在該頻率區(qū)間上有Pξ(ω)=n0/2,而在該區(qū)間外Pξ(ω)=0，這樣的噪聲被稱(chēng)為帶限白噪聲。自相關(guān)函數(shù)為：

圖3-8白噪聲的雙邊帶功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)(b)（2.3.73）其中帶限白噪聲只有在上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。若對(duì)帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話(huà)，則個(gè)抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量。

如果白噪聲又是高斯分布的，我們就稱(chēng)之為高斯白噪聲。由式（2.3.73）可以看出，高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的取值之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在實(shí)際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。2.3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)的分析我們知道，隨機(jī)過(guò)程是以某一概率出現(xiàn)的樣本函數(shù)的集合。因此，我們可以將隨機(jī)過(guò)程加到線(xiàn)性系統(tǒng)的輸入端理解為是隨機(jī)過(guò)程的某一可能的樣本函數(shù)出現(xiàn)在線(xiàn)性系統(tǒng)的輸入端。所以，我們可以認(rèn)為確知信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)的分析方法仍然適用于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)的情況。線(xiàn)性系統(tǒng)的輸出響應(yīng)等于輸入信號(hào)與沖激響應(yīng)的卷積，即

（2.3.115）

若，，則有若線(xiàn)性系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則或

（2.3.117）

（2.3.116）

如果把看作是輸入隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，則可看作是輸出隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。因此，只要輸入有界且系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則當(dāng)輸入是隨機(jī)過(guò)程時(shí)，便有一個(gè)輸出隨機(jī)過(guò)程，且有

（2.3.118）

圖3-9平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)1、輸出隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望

（2.3.119）

上式中利用了平穩(wěn)性（常數(shù)）又因?yàn)榍蟮盟?/p>

（2.3.120）

由此可見(jiàn)，輸出過(guò)程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過(guò)程的數(shù)學(xué)期望與H(0)的乘積。并且與t無(wú)關(guān)。2、輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)根據(jù)平穩(wěn)性有

（2.3.121）

可見(jiàn)，自相關(guān)函數(shù)只依賴(lài)時(shí)間間隔而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。從數(shù)學(xué)期望與自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可見(jiàn)，這時(shí)的輸出過(guò)程是一個(gè)寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。3、的功率譜密度利用公式，有令，則有

（2.3.122）

可見(jiàn)，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度與的乘積。4、輸出過(guò)程的概率分布在已知輸入隨機(jī)過(guò)程的概率分布情況下，通過(guò)（2.3.118）式，即：可以求出輸出隨機(jī)過(guò)程的概率分布。如果線(xiàn)性系統(tǒng)的輸入過(guò)程是高斯過(guò)程，則系統(tǒng)輸出隨機(jī)過(guò)程也是高斯過(guò)程。因?yàn)榘捶e分的定義，式（2.3.116）可以表示為一個(gè)和式的極限，即

（2.3.121）

由于已假定輸入過(guò)程是高斯的，因此在任一個(gè)時(shí)刻上的每一項(xiàng)都是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。所以在任一時(shí)刻上得到的輸出隨機(jī)變量，將是無(wú)限多個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量之和，且這“和”也是正態(tài)隨機(jī)變量。這就證明，高斯隨機(jī)過(guò)程經(jīng)過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)后其輸出過(guò)程仍為高斯過(guò)程。但要注意的是，由于線(xiàn)性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過(guò)程相比，輸出過(guò)程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。[例2.3.7]均值為0，自相關(guān)函數(shù)為的高斯噪聲X(t)，通過(guò)傳輸特性為（A、B為常數(shù)）的網(wǎng)絡(luò)，試求：（1）高斯過(guò)程X(t)的一維概率密度函數(shù)；（2）隨機(jī)過(guò)程Y(t)的一維概率密度函數(shù)；（3）隨機(jī)過(guò)程Y(t)噪聲功率；解：（1）輸入過(guò)程X(t)均值為0，所以是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，它的總平均功率，即方差，所以可以直接寫(xiě)出輸入噪聲的一維概率密度函數(shù)為:（2.3.122）

（2）經(jīng)過(guò)的線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)，由于高斯過(guò)程通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)后的過(guò)程仍然是高斯過(guò)程。則

其中，均值

方差（2.3.123）

這樣

（3）輸出功率為

[例2.3.8]隨機(jī)過(guò)程，這里是均值為a、方差為的高斯隨機(jī)變量，試求：（1）及的兩個(gè)一維概率密度；（2）X(t)是否寬平穩(wěn)；（3）X(t)的功率譜；（4）X(t)的平均功率。解：（1），由題意知，是均值為a、方差為的高斯隨機(jī)變量，則同理，則（2）由（1）的結(jié)果表明，X(t)在t=0和t=1時(shí)均值不同，所以，其均值與t有關(guān)，不是常數(shù)。下面再求的X(t)自相關(guān)函數(shù)，即可見(jiàn)，X(t)的自相關(guān)函數(shù)是t和τ的函數(shù)。綜合（1）和（2）的結(jié)果知，X(t)不是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。（3）為求X(t)的功率譜，先對(duì)由（2）求出的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行時(shí)間平均，即

然后對(duì)上結(jié)果進(jìn)行傅里葉變換，求出X(t)的功率譜為

（4）X(t)的平均功率為2.4信道特性對(duì)信號(hào)傳輸?shù)挠绊懞銋⑿诺赖挠绊懞銋⑿诺琅e例：各種有線(xiàn)信道、衛(wèi)星信道…恒參信道非時(shí)變線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)的分析方法。線(xiàn)性系統(tǒng)中無(wú)失真條件：振幅～頻率特性：為水平直線(xiàn)時(shí)無(wú)失真

左圖為典型電話(huà)信道特性

用插入損耗便于測(cè)量(a)插入損耗～頻率特性相位～頻率特性：要求其為通過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)， 即群時(shí)延為常數(shù)時(shí)無(wú)失真 群時(shí)延定義：