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1自適應(yīng)信號(hào)處理

AdaptiveSignalProcessing

薛永林

xueyl@FIT1-410

2課程內(nèi)容C.1 自適應(yīng)信號(hào)處理(Introduction)自適應(yīng)系統(tǒng)特點(diǎn),自適應(yīng)處理原理梯度和最小均方誤差,性能函數(shù)和性能曲面C.2 自適應(yīng)搜索算法性能曲面梯度搜索 牛頓法,最陡下降法學(xué)習(xí)曲線(xiàn)及比較C.3 LMS算法LMS算法導(dǎo)出,加權(quán)矢量的收斂性學(xué)習(xí)曲線(xiàn),梯度估計(jì)對(duì)自適應(yīng)過(guò)程的影響加權(quán)矢量解中的噪聲,失調(diào)C.4 最小二乘自適應(yīng)濾波及快速算法投影矩陣,濾波算子格型濾波器,快速橫向?yàn)V波器C.5 自適應(yīng)信號(hào)處理的應(yīng)用

3參考文獻(xiàn)(1)張旭東、陸明泉,離散隨機(jī)信號(hào)處理,清華大學(xué)出版社,2005(2)BernardWidrow,SamuelD.Stearns, AdaptiveSignalProcessing,

Prentice-Hall,1985(3)SimonHaykin,自適應(yīng)濾波器原理,第4版,電子工業(yè)出版社,20034C.1自適應(yīng)信號(hào)處理C1.1自適應(yīng)處理概述C1.1.1自適應(yīng)系統(tǒng)特點(diǎn):能自動(dòng)適應(yīng)(最佳)變化的(時(shí)變)環(huán)境條件和要求可被訓(xùn)練以實(shí)現(xiàn)特定的過(guò)濾和判決可趨于自學(xué)習(xí)、自修復(fù)、自更新和自設(shè)計(jì)復(fù)雜性高,系統(tǒng)性能高(尤其是對(duì)時(shí)變信號(hào))主要是時(shí)變的非線(xiàn)性系統(tǒng)5自適應(yīng)濾波器:

當(dāng)環(huán)境條件發(fā)生變化時(shí),能自動(dòng)檢測(cè)變化并調(diào)整參數(shù)使輸出性能達(dá)到最優(yōu)的濾波器

自適應(yīng)過(guò)程:

包括學(xué)習(xí)過(guò)程和跟蹤過(guò)程 性能測(cè)量:

自適應(yīng)的速度 接近最優(yōu)的程度

6C1.1.2自適應(yīng)系統(tǒng)分類(lèi)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)

7

閉環(huán)系統(tǒng)8C1.1.3自適應(yīng)系統(tǒng)指標(biāo)(1)收斂速率

濾波器從初始參數(shù)調(diào)節(jié)到輸出充分接近最優(yōu)所需 的迭代次數(shù)(2)失調(diào)

充分接近與最優(yōu)的偏離程度(3)計(jì)算量(復(fù)雜度)9C1.1.4自適應(yīng)算法

根據(jù)濾波器結(jié)構(gòu)和算法準(zhǔn)則,自適應(yīng)算法主要有:梯度算法最小均方濾波器格型自適應(yīng)濾波器最小二乘自適應(yīng)濾波器快速橫向自適應(yīng)濾波器自適應(yīng)無(wú)限沖激響濾波器

隨機(jī)梯度濾波算子

10C1.1.5自適應(yīng)濾波應(yīng)用范圍系統(tǒng)辨識(shí)自適應(yīng)均衡語(yǔ)音處理譜分析自適應(yīng)信號(hào)檢測(cè)自適應(yīng)噪聲消除自適應(yīng)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)11C1.2自適應(yīng)系統(tǒng)基本原理C1.2.1自適應(yīng)線(xiàn)性組合器非遞歸自適應(yīng)濾波器12輸入信號(hào)可以是多個(gè)信源信號(hào)輸入,也可以是一個(gè)信號(hào)的個(gè)連續(xù)樣本的輸入,記

或每個(gè)信號(hào)的加權(quán)因子為

輸出

對(duì)閉環(huán)自適應(yīng)系統(tǒng),系統(tǒng)參數(shù)(加權(quán)矢量)和“希望響應(yīng)”或“訓(xùn)練信號(hào)”有關(guān),即有性能反饋13C1.2.2性能函數(shù)和均方誤差性能表面

若希望響應(yīng)為dk,誤差信號(hào)為平方誤差信號(hào)為如果該過(guò)程為統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)的,則 設(shè)相關(guān)矩陣,希望響應(yīng)和輸入分量間的互相關(guān)用表示,則均方誤差—性能函數(shù)14

均方誤差性能表面是一個(gè)關(guān)于的碗形的二次誤差函數(shù)或二次曲面。

15C1.2.3梯度和最小均方誤差常用梯度法以尋求性能表面的最小點(diǎn)梯度可求得為:

為獲得均方誤差的最小值,對(duì)加權(quán)向量取其最佳值,使梯度為0,即

這是Wiener-Hopf方程的一種矩陣表示,則最小均方誤差為

16性能函數(shù)也可用下式表示(可證與2.2中性能函數(shù)相等)

若令則

欲使,則須 當(dāng)時(shí),,Rx

正定,Rx

半正定

若梯度可有另一種表達(dá)方式若17C1.2.4二次性能曲面的性質(zhì)對(duì)于輸入相關(guān)矩陣Rx,

為Rx的特征值

為Rx的特征矢量,

可以證明:(1)若

,即特征矢量相互正交,即,,n=0,…L

令(3)歸一化 (2)18證明:(1),,則故(2)令,則,,故 (3)歸一化為標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣,則19特征值和特征矢量的幾何意義

—平移—旋轉(zhuǎn)—等值線(xiàn)橢圓 或可表示為即另由 梯度20結(jié)論:輸入相關(guān)矩陣的特征矢量規(guī)定誤差曲面的主軸輸入相關(guān)矩陣的特征值規(guī)定誤差曲面關(guān)于其主軸的二階導(dǎo)數(shù)

21C1.2.5誤差和輸入信號(hào)的不相關(guān)性

當(dāng)時(shí),

結(jié)論:當(dāng)濾波器響應(yīng)達(dá)到最佳時(shí), 誤差信號(hào)與輸入信號(hào)互不相關(guān)(正交)。誤差信號(hào)22C.2自適應(yīng)搜索算法

C.2.1梯度搜索算法基本原理23在性能曲面上,以任意W0為起始尋求W*,即是決定收斂速率和穩(wěn)定性的增益常數(shù),稱(chēng)作收斂因子。或歸納可得第K次迭代當(dāng)時(shí),對(duì)于一維加權(quán)矢量24C.2.2牛頓搜索算法選定初值w0,預(yù)計(jì)下一估值w1其導(dǎo)數(shù)

則歸納可得求函數(shù)的解:25

而故令,則對(duì)于二次曲面,將當(dāng)時(shí),,一次迭代即可。為估值代入26一般地對(duì)于任意加權(quán)矢量,有 ∴

一次迭代27又有最小均方誤差加權(quán)矢量梯度向量故當(dāng)時(shí),,一次迭代即達(dá)最優(yōu)。2829

在二次性能曲面上,牛頓迭代法可一次達(dá)到最優(yōu),但實(shí)際自適應(yīng)系統(tǒng)沒(méi)有足夠的信息量來(lái)保證這一次迭代的成功。在非穩(wěn)條件下,有兩個(gè)問(wèn)題:(1)

矩陣未知,僅僅只能盡可能好地估計(jì)。(2)在每一次自適應(yīng)迭代時(shí),梯度須利用局部觀測(cè)來(lái)加以估計(jì)。30為了預(yù)期有噪的和估計(jì)的影響,我們調(diào)整牛頓迭代法:得到一種算法,使在許多次迭代后收斂于,這小增量將有平滑在和估計(jì)中噪聲的效果, 以較小的增量調(diào)節(jié)修改后的牛頓迭代法為:使得自適應(yīng)系統(tǒng)有穩(wěn)定的性能31

在無(wú)噪聲條件下,和收斂?jī)H取決于標(biāo)量收斂因子為此代入式歸納為可以準(zhǔn)確知道32

在無(wú)噪情況下的收斂條件為: 是一步收斂是振蕩收斂

實(shí)際自適應(yīng)系統(tǒng)中具有噪聲,的優(yōu)化在小于1/2,通常作為多次迭代的收斂因子。是平滑收斂33最陡下降法和牛頓方法不同,每一步的加權(quán)調(diào)節(jié)是在梯度方向上。最陡下降法迭代算法為:而

平移向量平移C.2.3最陡下降梯度搜索方法所以34旋轉(zhuǎn)座標(biāo)到主軸方向,即 其中故歸納可得迭代公式35最陡下降法穩(wěn)定和收斂的條件為: 由于對(duì)角矩陣之積恰等于相應(yīng)對(duì)角元素乘積之矩陣,故36要滿(mǎn)足收斂條件,須其中是的最大特征值。 而則則3738C.2.4迭代的穩(wěn)定性和收斂速率

若滿(mǎn)足上述條件,各項(xiàng)公比均滿(mǎn)足 迭代收斂的條件為39當(dāng),稱(chēng)為過(guò)阻尼情況,穩(wěn)定收斂。,當(dāng),稱(chēng)為臨界阻尼情況,一步收斂。,當(dāng),稱(chēng)為欠阻尼情況,振蕩收斂。,當(dāng)或稱(chēng)為不收斂或不穩(wěn)定情況。

時(shí),40收斂速率隨r的減小而增大。41

自適應(yīng)系統(tǒng)中,MSE收斂于其最小值的過(guò)程,作為其性能的一種測(cè)度,我們現(xiàn)稱(chēng)之為學(xué)習(xí)過(guò)程,而MSE值對(duì)應(yīng)其迭代次數(shù)的曲線(xiàn)稱(chēng)之為學(xué)習(xí)曲線(xiàn)。均方誤差 利用移動(dòng)座標(biāo)則C.2.5自適應(yīng)搜索學(xué)習(xí)曲線(xiàn)42在牛頓迭代算法中:

為簡(jiǎn)單幾何級(jí)數(shù),幾何比為:

43牛頓法的學(xué)習(xí)曲線(xiàn)是有單一時(shí)間常數(shù)的純指數(shù)函數(shù)

44為了說(shuō)明學(xué)習(xí)曲線(xiàn)的收斂過(guò)程,定義兩種時(shí)間常數(shù):如果一個(gè)單位時(shí)間相應(yīng)于一次迭代,可以記為收斂特性時(shí)間常數(shù)和權(quán)值公比的關(guān)系,,,即K次迭代,一次迭代而則權(quán)值收斂時(shí)間常數(shù)45

學(xué)習(xí)曲線(xiàn)的時(shí)間常數(shù)定義為學(xué)習(xí)曲線(xiàn)的幾何比則相應(yīng)的時(shí)間常數(shù)為由此 46在最陡下降搜索算法時(shí): 其中

和均為對(duì)角矩陣,可交換47則

故最陡下降搜索算法的學(xué)習(xí)曲線(xiàn)是一些遞降幾何級(jí)數(shù)之和,各個(gè)幾何級(jí)數(shù)之公比為: 最陡下降法的學(xué)習(xí)曲線(xiàn)是具有幾何比為即學(xué)習(xí)

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