八下勾股定理典型例題歸類總結

勾股定理典型例題歸類總結題型一：直接考查勾股定理例1.在ABC中，C90.⑵已知AB17,AC15,求BC的長⑴已知⑵已知AB17,AC15,求BC的長跟蹤練習：1.在ABC中，C90.(1)若a=5,b=12,則c二;(2)若a:b=3:4,c=15,貝Ua=,b=(3)若/A=30°,BC=2,則AB=,AC=.TOC\o"1-5"\h\z. 在Rt^ABC中，/C=90 ,/ A, / B, / C分別對的邊為 a,b,c,則下列結論正確的是 ( )AB、C、D、.一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為( )A2、4、6B、4、6、8C、6、8、10D、3、4、5.等腰直角三角形的直角邊為 2,則斜邊的長為( )AB、C、1D、2.已知等邊三角形的邊長為 2cm,則等邊三角形的面積為( )AB、C、1D、.已知直角三角形的兩邊為 2和3,則第三邊的長為..如圖，/ACB=/ABD=90,AC=2BC=1,,貝UBD=..已知△ABC中，AB=AC=10BD是AC邊上的高線，CD=2那么BD等于( )A4B、6C、8D、.已知Rt^ABC的周長為，其中斜邊，求這個三角形的面積。.如果把勾股定理的邊的平方理解為正方形的面積，那么從面積的角度來說，勾股定理可以推廣 .(1)如圖，以Rt^ABC的三邊長為邊作三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的面積 S1、S2、S3之間有何關系？并說明理由。(2)如圖，以Rt^ABC的三邊長為直徑作三個半圓，則這三個半圓的面積 S1、S2、S3之間有何關系？(3)如果將上圖中的斜邊上的半圓沿斜邊翻折 180。，請?zhí)接憙蓚€陰影部分的面積之和與直角三角形的面積之間的關系，并說明理由。 (此陰影部分在數(shù)學史上稱為“希波克拉底月牙” )題型二：利用勾股定理測量長度例1.例1.如果梯子的底端離建筑物 9米，那么15米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米?跟蹤練習:BC的長是米，把蘆葦拉到岸邊,.如圖（8）,水池中離岸邊D點米的CBC的長是米，把蘆葦拉到岸邊,它的頂端B恰好落到D點，并求水池的深度AC..一座建筑物發(fā)生了火災，消防車到達現(xiàn)場后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端 5米，消防車的云梯最大升長為13米，則云梯可以達該建筑物的最大高度是（ ）A12米B、13米C、14米D、15米.如圖，有兩顆樹，一顆高10米，另一顆高4米，兩樹相距8米.一只鳥從一顆樹的樹梢飛到另一顆樹的樹梢，問小鳥至少飛行（ ）A8米B、10米C、12米D、14米題型三：勾股定理和逆定理并用一一1一例3.如圖3,正萬形ABCD43,E是BC邊上的中點，F(xiàn)是AB上一點，且FB—AB那么△DEF是直角三4角形嗎？為什么？注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習題。跟蹤練習：1.如圖，正方形ABCD43,E為BC邊的中點，F(xiàn)點CD邊上一點，且DF=3CF求證：/AEF=90題型四：利用勾股定理求線段長度一一例1.如圖4,已知長方形ABCD43AB=8cm,BC=10cm在邊CD上取一點E,將△ADEW疊使點D恰好落在BC邊上的點F,求CE的長.跟蹤練習：.如圖，將一個有45度角的三角板頂點 C放在一弓^寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個頂點 B在紙帶的另邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成 30°角，求三角板的最大邊 AB的長..如圖，在^ABC中，AB=BC/ABC=90,D為AC的中點，D已DF,交AB于E,交BC于F,(1)求證:BE=CF;(2)若AE=3,CF=1,求EF的長..如圖，CA=CB,CD=CEZACB=ZECD=90,D為AB邊上的一點.若AD=1,BD=3,求CD的長.題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直——例1.有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高米的墻上，任何東西只要移至 5米以內(nèi)，燈就自動打開，一個身高米的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？跟蹤練習：.如圖，每個小正方形的邊長都是 1,△ABC的三個頂點分別在正方形網(wǎng)格的格點上，試判斷^ ABC的形狀，并說明理由.（1）求證：/ABD=90;（2）求的值.下列各組數(shù)中，以它們邊的三角形不是直角三角形的是（）A、9，12，15B、7,24,25C、D、，，.在△ABC中，下列說法①/B=ZC-/A;②；③/A:/B:/C=3:4:5;④a:b:c=5:4:3;⑤：：=1:2:3,其中能判斷△ABC為直角三角形的條件有（ ）A、2個B、3個C、4個D、5個.在△ABC中，乙A/B、/C的對邊分別是a、b、c.判斷下列三角形是否為直角三角形？并判斷哪一個是直角？（1）a=26,b=10,c=24;（2）a=5,b=7,c=9;（3）a=2,,A2個B、3個C、4個D、5個TOC\o"1-5"\h\z.已知△ABC的三邊長為a、b、c,且滿足，則此時三角形一定是（ ）A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、銳角三角形.在4ABC中，若a=n21,b=2n,c=n21,則△ABC是（ ）A、銳角三角形 B 、鈍角三角形 C 、等腰三角形 D 、直角三角形.如圖，正方形網(wǎng)格中的^ABC是（ ）A、直角三角形 B 、銳角三角形 C 、鈍角三角形 D 、銳角三角形或鈍角三角形.已知在△ABC中，/A、/日/C的對邊分別是a、b、c,下列說法中，錯誤的是（ ）A、如果/C-/B=/A,那么/C=90 B、如果/C=90,那么C如果（a+b）（a-b）=,那么/A=90° D、如果/A=30°,那么AC=2BC.已知△ABC的三邊分別為a,b,c,且a+b=3,ab=1,,求的值，試判斷^ABC的形狀，并說明理由.觀察下列各式：，………，根據(jù)其中規(guī)律，寫出下一個式子為.已知，mon,mrn為正整數(shù)，以，2mn,為邊的三角形是三角形..一個直角三角形的三邊分別為 n+1,n-1,8,其中n+1是最大邊，當n為多少時，三角形為直角三角形？題型六：旋轉問題：例題6.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA=2,PB=2J3,PC=4,求△ABC的邊長.跟蹤練習1.如圖，△ABC為等腰直角三角形，/BAC=90 ,E、F是BC上的點，且/EAF=45° ,試探究BE2、CF2、EF間的關系，并說明理由.題型七：關于翻折問題例題7.如圖，矩形紙片ABCM邊AB=10cm]BC=6cmE為BC上一點，將矩形紙片沿AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點G處，求BE的長.跟蹤練習.如圖，AD是4ABC的中線，/ADC=45,把△ADC&直線AD翻折，點C落在點C的位置，BC=4,求BC的長.（一）折疊直角三角形.如圖，在^ABC中，/A=90°,點D為AB上一點，沿CD折疊△ABC點A恰好落在BC邊上的A處,AB=4,AC=3求BD的長。.如圖，Rt^ABC中，ZB=90°,AB=3,AC=5.將△ABC折疊使C與A重合，折痕為DE,求BE的長.（二）折疊長方形.如圖，長方形ABCD43,AB=4,BC=5,F為CD上一點，將長方形沿折痕AF折疊，點D恰好落在BC上的點E處，求CF的長。.如圖，長方形ABC邛，AD=8cmAB=4cmr]7gEF折疊，使點D與點B重合，點C與C'重合.（1）求DE的長；（2）求折痕EF的長.. (2013懦德)如圖，將長方形紙片 ABC所疊，使邊CD落在對角線AC上，折痕為CE且D點落在對角線D'處.若AB=3,AD=4,貝UED的長為( ).如圖，長方形ABC邛,AB=6,AD=&沿BD折疊使A至UA'處DA交BC于F點.(1)求證：FB=FE(2)求證：CA//BD(3)求^DBF的面積7.如圖，正方形ABCDK點E在邊CD上，將^ADE沿AE對折至/\AFE,延長EF交邊BC于點G,G為BC的中點，連結AGCF.(1)求證：AG//CF；(2)求的值.題型八：關于勾股定理在實際中的應用：例1、如圖，公路M明口公路PQ在P點處交匯，點A處有一所中學，AP=160米，點A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機行駛時，周圍 100米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是 18千米/小時，那么學校受到影響的時間為多少？例2.一輛裝滿貨物高為米，寬米的卡車要通過一個直徑為5米的半圓形雙向行駛隧道，它能順利通過嗎？跟蹤練習：.某市氣象臺測得一熱帶風暴中心從 A城正西方向300km處，以每小時26km的速度向北偏東600方向移動，距風暴中心200km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域。試問 A城是否受這次風暴的影響？如果受影響，請求出遭受風暴影響的時間；如果沒有受影響，請說明理由。.一輛裝滿貨物的卡車 ,其外形高米 ,寬米,要開進廠門形狀如下圖的某工廠 ,問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?.有一個邊長為 50dm的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少多長？（結果保留整.如圖，鐵路上A,B兩點相距25km,C,D為兩村莊，DALAB于A,CB±AB于B,已知DA=15km,CB=10km現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E,使得C,D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少km處？題型九：關于最短性問題例1、如右圖1－19，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊．結果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐.請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲 ？（兀取，結果保留1位小數(shù)，可以用計算器計算）

例2.跟蹤練習：.如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是 1cm,假設一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下地面A點沿表面爬行至右側面的 B點，最少要花幾秒鐘？.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于 5cm,3cm和1cm,A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？.一個長方體盒子的長、寬、高分別為 8cm,6cm,12cm,一只螞蟻想從盒底的A點爬到盒頂?shù)腂點，你能幫螞蟻設計一條最短的線路嗎？螞蟻要爬行的最短路程是多少？4.如圖將一根厘米長的細木棒放入長、寬、高分別為4.如圖將一根厘米長的細木棒放入長、寬、高分別為4厘米、3厘米和12厘米的長方體無蓋盒子中，能全部放進去嗎?題型十：勾股定理與特殊角2.2.在△ABC中，AB=15,AC=13AD為△ABC的高，且AD=12,求△ABC的面積。3.3.如圖，在^ABC中，/B=45°,ZBAC=75,AB=<6,求BC的長。(一)直接運用30°或45°的直角三角形.如圖，在^ABC中，ZC=90°,/B=30°,AD是△ABC的角平分線，若AC=2J3,求AD的長。.如圖，在^ABC中，/ACB=90°,AD是△ABC的角平分線，CDLAB于D,/A=30°,CD=2求AB的長。.如圖，在^ABC中，AD±BC于D,/B=60°,/,C=45°,AC=2,求BD的長。(二)作垂線構造30°或45。的直角三角形(1)將105°轉化為45°和60°.如圖，在^ABC中，/B=45°,/A=105°,AC=2求BC的長。.如圖，在四邊形ABCD43,/A=/C=45°,/ADB4ABC=105，⑴若AD=2,求AB的長；⑵若AB+CD=2V3+2,求AB的長。B(2)將75°轉化為30°和45題型十一：運用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程.如圖，在^ABC中，/C=90°,AD平分/CAB交CB于D,CD=3,BD=5求AD的長。.如圖，在^ABC中，AD±BC于D,且/CAD=2/BAD,若BD=3,CD=6求AB的長。（二）巧用“連環(huán)勾”列方程.如圖，在^ABC中，AB=5,BC=7,AC=4J2,求SABC..如圖，在^ABC中，/ACB=90°,CD!AB于D,AC=3BC=4,求AD的長。.如圖，△ABC中，/ACB=90,CD!AB于D,AD=1,BD=4,求AC的長.如圖，△ABC中，/ACB=90°,CD!AB于D,CD=3BD=4求AD的長題型十二：勾股定理與分類討論（一）銳角與鈍角不明時需分類討論1.在△ABC中，AB=AC=5,求BC的長(二)腰和底不明時需分類討論3.如圖1,4ABC中，/ACB=90,AC=6,BC=&點D為射線AC上一點，且^ABD是等腰三角形，求^ABD的周長.(三)直角邊和斜邊不明時需分類討論1.已知直角三角形兩邊分別為2和3，則第三邊的長為 .在△ABC中，ZACB=90,AC=4,BC=2以AB為邊向外作等腰直角三角形 ABR求CD的長.如圖，D(2,1),以O西一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在 x軸上，這樣的等腰三角形能畫多少個寫出落在x軸上的頂點坐標 .題型十三：或問題的證明.如圖1,4ABC中，CA=CBZACB=90,D為AB的中點，MN分別為AGBC上一點，且DMLDN.(1)求證：CM+CN=BD(2)如圖2,若MN分別在AGCB的延長線上，探究CMCNBD之間的數(shù)量關系式。.已知/BCD=c,/BAD書,CB=CD.(1)如圖1,若a=3=90°,求證：AB+AD=AC2)如圖2,若“=3=90°,求證：AB-AD=AC (3)如圖3,若a=120° ,3=60° ,求證： AB=AD=AC (4)如圖 3,若“=3=120° ,求證： AB-AD=AC；題型十四：問題的證明.如圖，OA=OBOC=OD/AOBhCOD=90,MN分別為AGBD的中點，連MNON求證：MN=ON..已知△ABC中，AB=ACZBAC=90,D為BC的中點，AE=CF連DEEF.(1)如圖1,若E、F分別在ARAC上，求證：EF=DE(2)如圖2,若E、F分別在BAAC的延長線上，則(1)中的結論是否仍成立？請說明理由．.如圖，△ABD中，。為AB的中點，C為DO延長線上一點，/ACO=135,/ODB=45探究ODOCAC之間相等的數(shù)量關系．.如圖，△ABD是等腰直角△,/BAD=90, BC// AD, BC=2AB CE平分/ BCD交 AB于E,交BD于 H.求證：（1）DC=DA；（2）BE=DH題型十五：勾股定理（逆定理）與網(wǎng)格畫圖如圖，每個小正方形的邊長為 1,A、BC是小正方形的頂點，則/ ABC的度數(shù)為.如圖，每個小正方形的邊長都是 1，在圖中畫一個三角形，使它的三邊長分別是 3,2，，且三角形的三個頂點都在格點上．如圖，每個小正方形的邊長都是 1，在圖中畫一個邊長為的正方形，且正方形的四個頂點在格點上．在圖中以格點為頂點畫一個等腰三角形，使其內(nèi)部已標注的格點只有 3個．如圖，在4個均勻由16個小正方形組成的網(wǎng)格正方形中，各有一個格點三角形，那么這 4個三角形中，與眾不同的是 中的三角形，圖4中最長邊上的高為 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為 1，每個小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要求畫圖：(1)畫一條線段MN使MN=(2)畫^ABC三邊長分別為 3,,2。如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為 1,線段AB的端點在格點上.1)圖1中以AB為腰的等腰三角形有 個，畫出其中的一個，并直接寫出其底邊長．2)圖 2中，以AB為底邊的等腰三角形有 個，畫出其中的一個，并直接寫出其底邊上的高．題型十六：利用勾股定理逆定理證垂直.如圖，在^ABC中，點D為BC邊上一點，且AB=10,BD=6,AD=&AC=7,其求CD的長..如圖，在四邊形ABCD43,/B=