北師大版選修1-1第3章變化率與導(dǎo)數(shù)單元測試

(時間：100分鐘，？^分：120分)、選擇題(本大題共10、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.已知函數(shù)f(x)=L,則f'(x)等于( )3B.0--iB.0D.3解析：選B.因為f(x)=寶，所以f'(x)=(2.已知某質(zhì)點的運動規(guī)律為s=t22.已知某質(zhì)點的運動規(guī)律為s=t2+3(s的單位:m\t的單位：s),則該質(zhì)點在t=3s至ijt=(3+At)s這段時間內(nèi)的平均速度為(6+At)m/s(6+(6+At)m/s(6+At+-^t)m/sC.(3+At)m/sD.C.(3+At)m/sD.解析：選A.平均速度為AsAt(3+At)2+3—(32+3)-解析：選A.平均速度為AsAt(3+At)2+3—(32+3)- =(6+At)m/s.3.設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù),且滿足ixm0f(1)—f(1—x)- 齊 =—1,則過曲線y=f(x)上點(1,f(1))處的nx切線斜率為( )2—11-2解析：選D.k=f'(1)=lixm0解析：選D.k=f'(1)=lixm0f(1—x)—f(1)=2頓f(1)—f(1—x)2x=-2.4.已知函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3,則f(x)的解析式可能是( )f(x)=(x-1)3+3(x-1)f(x)=2(x—1)f(x)=2(x—1)2f(x)=x-1解析：選A.利用排除法，分別對四個選項求導(dǎo)數(shù) f'(x),再求f'(1).TOC\o"1-5"\h\zx2 1 .....已知曲線y=4—3lnx的一條切線的斜率為—2,則切點的橫坐標(biāo)為( )B.21D.2B.21D.2C.1解析：選B.設(shè)切點坐標(biāo)為(x0,y0),且x0>0,1 3因為y'=2x-x，所以k=；x。一；■=2 xo所以xo=2..已知y=2x3+版+cosx，則y'等于( )26x2+x3—sinx26x2+x3+sinxC.6x2+；x3+sinx

3C.6x2+；x3+sinx

3D.6x2+；x3-sinx31解析：選D.y'=(2x3)'+(x3)'+(cosx)=6x2=6x2+-x3—sinx.7.給出定義：若函數(shù)7.給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f'(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f'(x)在D上也可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(x)在f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記 f〃(x)=(f'(x))'.若f〃(x)V0在D上恒成立，則稱函數(shù)f(x)在D上兀為凸函數(shù)，以下四個函數(shù)在 0,—上不是凸函數(shù)的是( )f(x)=sinx+cosxf(x)=Inx—2xf(x)=—x3+2x—1f(x)=xex兀解析：選D.對A,f'(x)=cosx—sinx,f"(x)=—sinx—cosx<00<x<—,TOC\o"1-5"\h\z, 兀故f(x)在0,5上是凸函數(shù)；對B,f'(x)=--2,f〃(x)=-^2<00<x<^-,故f(x)在0,y上是凸函數(shù)；

x x 2 2對C,f'(x)=-3x2+2,f〃(x)=-6x<00<x<-2,故f(x)在0,~2■上是凸函數(shù)；x x xxxx 兀對D,f'(x)=e+xe,f"(x)=e+e+xe=e(2+x)>00<x<—,, 兀故f(x)在0,"2"上不是凸函數(shù)，選D..已知曲線C:y=2x；點A(0,—2)及點B(3,a),從點A觀察點B,要實現(xiàn)不被曲線C擋住，則實數(shù)a的取值范圍是( )A.(4,+oo) B.(—8,4)C.(10,+8) D.(—8,10)解析：選D.在曲線C:y=2x2上取一點D(x。，2x2)(x。>0),因為y=2x：所以V,=4x,所以y=2x2在D點處切線的斜率為4xc,令竺±2=4xo解得x°=i此時d(1,2),所以kAD=2-二2)x0 1—0所以直線AD的方程為y=4x-2,要實現(xiàn)不被曲線 C擋住，則實數(shù)av4X3—2=10,即實數(shù)a的取值范圍是(一00,10)..設(shè)a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點P(x°,f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍為0，"4，則P到曲線y=f(x)對稱軸距離的取值范圍為( )A.0B.02aC.02aD.0A.0B.02aC.02aD.0b-12a兀解析：選B.因為過P(x0,f(x0))的切線的傾斜角的取值范圍是 0，7，且a>0,P在對稱軸的右側(cè),b 一/=Xo+2a.所以P到曲線y=忖對稱軸x=-2a一/=Xo+2a.又因為f'(x0)=2ax0+bC[0,1],—b1—b所以X°C看右.定義方程f(x)=f'(x)的實數(shù)根xo叫做函數(shù)f(x)的“新駐點”，若函數(shù)g(x)=2x,h(x)=lnx,(()(x)=x3(xwo)的“新駐點”分別為a,b,c,則a,b,c的大小關(guān)系為( )A.a>b>c B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c解析：選B.g'(x)=2,hz(x)=-,())'(x)=3x2(xw0).解方程g(x)=g'(x),即2x=2,得x=1,x即a=1;解方程h(x)=h'(x),即Inx=-,在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù) y=lnx,y=」的圖像(圖略)，可x x得Ivxve,即1vbve；解方程())(x)=4'(x),即x3=3x2(xw0),得x=3,得Ivxve,即1vbve；解方程二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在題中的橫線上 ).已知a為實數(shù)，f(x)=(x2—4)(x—a),且f'(―1)=0,則a=.解析：f(x)=x3—ax2—4x+4a,f'(x)=3x2—2ax—4,1f'(—1)=3+2a—4=0,所以a=2.答案：2.設(shè)f(x)=ex+x,若f'(xo)=2,則在點(x0,y0)處的切線方程為.解析：f'(x)=ex+1,f'(x0)=2,所以ex0+1=2,所以x°=0,y0=e°+0=1,所以切線方程為 y—1=2(x-0),即2x-y+1=0.答案：2x—y+1=0.已知函數(shù)f(x)=sinx—xcosx,若存在xC(0,兀)，使得f'(x)>入x成立，則實數(shù)入的取值范圍是.解析：f'(x)=(sinx—xcosx)'=(sinx)'—(xcosx)'=cosx—(cosx—xsinx)=xsinx>入x,因為x€(0,)),所以sinx>入，因為sinx€(0,1],所以入v1.答案：(—8,1).拋物線y=x2上到直線x+2y+4=0距離最短的點的坐標(biāo)為.解析：v'=2x,設(shè)P(x。，x0)處的切線平行直線x+2y+4=0,則點P到直線x+2y+4=0的距離最1.一1 1 .......短，由拋物線y=x在點P(x。，x。)處的切線斜率為2x0,則2x0=--,解得xo=—4,y0=—,故所求點的

一1 1坐標(biāo)為(—4,16).- 1 1答案：(一4,福n.對正整數(shù)n,設(shè)曲線y=x(1-x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為an,則數(shù)列^^的前n項和為.解析：由y=xn(1—x)得v'=nxn1(1-x)+xn(-1),所以f'(2)=—n?2n-1—2n.又因為切點為(2,-2n).所以切線方程為：y+2n=-(n2n1+2n)(x-2).令x=0,得an=(n+1)?2n.則數(shù)列島的通項公式為an=2n,由等比數(shù)列前n項和公式求得其和為2n+1—2.答案：2n+1—2三、解答題(本大題共5小題，共55分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 ).(本小題滿分10分)將石塊投入平靜的水面， 使它產(chǎn)生同心圓波紋，若最外一圈波紋半徑R以4m/s的波速增加，求在3s末被擾動的水面面積的增長率.解：設(shè)被擾動水面面積為 S,時間為t(t>0),所以S=兀R=兀(4t)2=16Ttt2,所以S'=(16兀t2)'=32兀t,所以當(dāng)t=3時，水面面積的增長率為 96兀..(本小題滿分10分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).⑴f(x)=ln(8x);3xx(2)y=xsin2cos2;x5+x/x+sinx(3)y=-J .x解：(1)f(x) =3ln2+Inx,「(x)=(3ln2>+(Inx>=1x(2)y=x3sinx2cosX-21x(2)y=x3sinx2cosX-21x3sinx,y'=2(x3sinx)=2(3x2sinx+x3cosx)=3x2sinx+2x=3x2sinx+2x3cosx.(3)yx5+JX+sinx

1 2 x3x3+x2+x2sinx3所以v=(x3)'+(x2)'+(x2sinx)'35=3x2—2x2—2x3sinx+x2cosx..(本小題滿分10分)已知曲線C:y=3x4—2x3—9x2+4.(1)求曲線C在點(1,—4)處的切線方程；(2)對于(1)中的切線與曲線C是否還有其他公共點？若有，求出公共點；若沒有，請說明理由.解：(1)y'=12x3-6x2-18x,所以當(dāng)x=1時，y'=-12,所以在點(1,—4)處的切線的斜率為一12.所以所求的切線方程為 y+4=—12(x—1),即y=-12x+8.(2)由得3x4-2x3-9x2+12x-4=0,y=3x(2)由得3x4-2x3-9x2+12x-4=0,y=-12x+8,即(x+2)(3x-2)(x-1)2=0,所以x1=-2,x2=|,x3=1.3所以除切點外，曲線和切線還有交點 (一2,32)和2.,0.3.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ax2—(a+2)x+Inx.(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；(2)當(dāng)a>l時，求證：當(dāng)xC[1,e]時，f'(x)>0,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)., , 2 . 1一..解：(1)當(dāng)a=1時，f(x)=x-3x+lnx,f(x)=2x-3+-,因為f(1)=0,f(1)=-2.x所以切線方程是y=-2.(2)證明：函數(shù)f(x)=ax2—(a+2)x+Inx的定義域是(0,+00),f'(x)=2ax—(a+2)+〕,x2ax2—(a+2)x+1 (2x—1)(ax—1)ax—1^0,當(dāng)a>l時，在xC[1,e]ax—1^0,20.(本小題滿分1320.(本小題滿分13分)設(shè)函數(shù)f(x)=1x33-|x2+bx+c,其中a>0.曲線y=f(x)在點P(0,f(0))處的切線方程為y=1.⑴確定b,c的值；(2)設(shè)曲線y=f(x)在點(x1,f(x1))及(x2,f(x2))處的切線都過點(0,2),證明：當(dāng) xRx2時，f

(xi)wf'(x2).TOC\o"1-5"\h\z解：(1)由f(x)=；x3—ax2+bx+c,得f(0)=c,f'(x)=x2—ax+b,f'(0)=b.3 2又由曲線y=f(x)在點P(0,f(0))處的切線方程為y=1,得f(0)=1,f'(0)=0.故b=0,c=1.(2)證明：f(x)=1x3—ax2+1,f'(x)=x2-ax,3 2由于點(t,f(t))處的切線方程為 y-f(t)=f'(t)(x—t),而點(0,2)在切線上，所以2—f(t)=「(仇—t),化簡得2t3—「>+1=0,即t滿足的方程為2t3—*2+1=0.3 2 3 2下面用反證法證明：假設(shè)f'(x1)=f'(x 2),由于曲線 y=f(x)在點(x1,f(x 1))及(x2,f