Ch1-5事件的獨立性和伯努力概型

概率論與數(shù)理統(tǒng)計事件的獨立性北京工業(yè)大學應用數(shù)理學院

顯然，有P(A|B)=P(A).

這就是說：事件B發(fā)生，并不影響事件A發(fā)生的概率。這時，稱事件A與B相互獨立，簡稱獨立。1.5.1兩事件的獨立A={第二次擲出6點}，B={第一次擲出6點}，

先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設§1.5事件的獨立性

由乘法公式知，當事件A與B獨立時，有

P(AB)=P(A)P(B).用P(AB)=P(A)P(B)

刻畫獨立性，比用

P(A|B)=P(A)

或

P(B|A)=P(B)

更好?！?/p>

不受P(B)>0或P(A)>0

的制約；◎反映了事件A與

B的對等性。

定義1：若兩事件A,B滿足P(AB)=P(A)P(B),則稱A與B相互獨立，或稱A,B獨立。兩事件獨立的定義例1：

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K

},B={抽到黑色的牌}。故,P(AB)=P(A)P(B).解：由于P(A)=4/52=1/13,這說明事件A,B獨立。問事件A,B是否獨立？P(AB)=2/52=1/26。P(B)=26/52=1/2，

前面是根據(jù)兩事件獨立的定義得出A,B獨立的結論，我們也可以通過計算條件概率的辦法得到

A,B獨立的結論。續(xù)前例：從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記

A={抽到K

},B={抽到黑色的牌}。

在實際應用中,往往根據(jù)問題的實際意義判斷兩事件是否獨立。

由于P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13，故，P(A)=P(A|B)。這也說明A,B獨立。如：一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設

Ai={第i件是合格品}，i=1,2。若抽取是有放回的,

則A1與A2獨立。其原因是：第二次抽取的結果受第一次抽取結果的影響。其原因是:第二次抽取的結果不受第一次抽取結果的影響。若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立。請問：如圖的兩個事件是否獨立？

即:

若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨立。其逆否命題是：若A與B獨立，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B一定不互斥。而P(A)≠0,P(B)≠0。故A與B不獨立。我們來計算：因

P(AB)=0,P(AB)≠P(A)P(B)。即請問：能否在樣本空間Ω中找到兩個事件，它們既相互獨立又互斥?所以，Φ與Ω獨立且互斥。不難發(fā)現(xiàn):Φ(或Ω)與任何事件都獨立。答：能。

設A,B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結論中，正確的是：

前面我們看到獨立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，請看下列兩個練習。1.P(B|A)>0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。

設A,B為獨立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結論中，正確的是：1.P(B|A)>0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。=P(A)－

P(AB)P(A)=P(A－

A

B)A與B獨立概率的性質(zhì)=P(A)－

P(A)P(B)證明:

僅證A與獨立。定理1：若事件A,B獨立，則

也相互獨立。=P(A)[1－

P(B)]=P(A)P(),1.5.2多個事件的獨立先將兩事件獨立的定義推廣到三個事件上：

對于三個事件A,B,C，若

P(AB)=P(A)P(B)，

P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四個等式同時成立，則稱事件A,B,C相互獨立。

推廣到n個事件的獨立性定義,可類似地給出:

設A1,A2,…,An是n個事件，如果對任意k(),任意，等式等式總數(shù)為：成立，則稱n個事件A1,A2,…，An相互獨立。請注意多個事件兩兩獨立與事件兩兩相互獨立的區(qū)別與聯(lián)系兩兩獨立相互獨立對n(n>2)個事件?參見汪仁官《概率論引論》P24或ppt29多個相互獨立事件具有如下性質(zhì)：◎若事件A1,A2,…,An相互獨立，則其中任意

k個事件也相互獨立；◎若事件A1,A2,…,An相互獨立，則B1,B2,…,

Bn也相互獨立，其中

Bi或為Ai，或為āi，

i=1,2,…,n

。對獨立事件，許多概率的計算可得到簡化。例2:

三人獨立地去破譯一份密碼,已知每個人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4。問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解：將三人分別編號為1,2,3，1.5.3獨立性概念在計算概率中的應用故，所求為P(A1∪A2∪A3)。記Ai={第i個人破譯出密碼}，i=1,2,3。已知P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4，且P(A1∪A2∪A3)A1，A2，A3相互獨立，

計算

n個獨立事件并的概率公式:

設事件相互獨立,則

P(A1∪…∪An)也就是說:n個獨立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積。例3：若干人獨立地向一移動目標射擊,每人擊中目標的概率都是0.6。求至少需要多少人,才能以0.99以上的概率擊中目標?解：設至少需要

n

個人才能以0.99以上的概率擊中目標。

令A={目標被擊中},Ai={第i人擊中目標},i=1,2,…,n。則A1,A2,…,An相互獨立。故，

也相互獨立。因

A=A1∪A2∪…∪An，得

P(A)=

P(A1∪A2∪…∪An)問題化成了求最小的n,使1-0.4n>0.99。解不等式，得例5癌癥復查的作用續(xù)第Ch1-4中例6，已知兩次檢查都呈陽性下，該人患癌癥的概率。=0.005*0.95^2/(0.005*0.95^2+0.995*0.04^2)=0.7392088例6：驗收100件產(chǎn)品方案如下，從中任取3件進行獨立測試，如果至少有一件被斷定為次品，則拒絕接收此批產(chǎn)品。設一件次品經(jīng)測試后被斷定為次品的概率為0.95，一件正品經(jīng)測試后被斷定為正品的概率為0.99，并知這100件產(chǎn)品恰有4件次品。求該批產(chǎn)品能被接收的概率。解:

設A={該批產(chǎn)品被接收}，

Bi={取出3件產(chǎn)品中恰有i件是次品}，

i=0,1,2,3。則因三次測試相互獨立，故

P(A|B0)=0.993，

P(A|B1)=0.992(1-0.95),P(A|B2)=0.99(1-0.95)2,P(A|B3)=(1-0.95)3。

由全概率公式,得更進一步，在上題的假定下，我們可以舉出抽樣檢驗比全面檢驗更優(yōu)的例子。

n重伯努利試驗概型：

n重伯努利試驗中事件

A

出現(xiàn)

k

次的概率記為且

伯努利(Bernoulli)試驗概型

每次試驗的結果與其他次試驗無關——

即這n次試驗是相互獨立的試驗可重復

n

次每次試驗只有兩個可能的結果：

解每取一個球看作是做了一次試驗記取得白球為事件A有放回地取4個球看作做了4重Bernoulli試驗,記第

i次取得白球為事件Ai感興趣的問題為:4次試驗中A

發(fā)生2次的概率例4

袋中有3個白球,2個紅球,有放回地取球

4次,每次一只,求其中恰有2個白球的概率.設E為伯努利試驗，且P(A)=p(0<p<1)，對于n重伯努利概型En，事件A恰好發(fā)生k(0kn)次的概率為

k=0,1,2,…,n

證明與前面的例3類似——若P(A)0.01則稱A為小概率事件小概率事件——一次試驗中小概率事件一般是不會發(fā)生的.若在一次試驗中居然發(fā)生了,則可懷疑該事件并非小概率事件.小概率原理女士品茶的故事那是20世紀20年代后期，在英國劍橋一個夏日的午后，一群大學的紳士和他們的夫人們，還有來訪者，正圍坐在戶外的桌旁，享用著下午茶。在品茶過程中，一位女士堅稱：把茶加進奶里，或把奶加進茶里，不同的做法，會使茶的味道品起來不同。在場的一幫科學精英們，對這位女士的“胡言亂語”嗤之以鼻。這怎么可能呢？他們不能想象，僅僅因為加茶加奶的先后順序不同，茶就會發(fā)生不同的化學反應。然而，在座的一個身材矮小、戴著厚眼鏡、下巴上蓄著的短尖髯開始變灰的先生，卻不這么看，他對這個問題很感興趣。他興奮地說道：“讓我們來檢驗這個命題吧！”并開始策劃一個實驗。在實驗中，堅持茶有不同味道的那位女士被奉上一連串的已經(jīng)調(diào)制好的茶，其中，有的是先加茶后加奶制成的，有的則是先加奶后加茶制成的。(1/2)^10=0.0009765625小結

本講首先給出事件獨立的概念、性質(zhì)定理及利用獨立性概念計算事件概率的實例；最后介紹了伯努力概型。作業(yè)1.23、1.24反例隨機投擲編號為1與2的兩個骰子事件A

表示1號骰子出現(xiàn)奇數(shù)

B

表示2號骰子出現(xiàn)奇數(shù)

C

表示兩骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)則但本例說明

不能由A,B,C