Ch1-5事件的獨(dú)立性和伯努力概型

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)事件的獨(dú)立性北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院

顯然，有P(A|B)=P(A).

這就是說：事件B發(fā)生，并不影響事件A發(fā)生的概率。這時(shí)，稱事件A與B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱獨(dú)立。1.5.1兩事件的獨(dú)立A={第二次擲出6點(diǎn)}，B={第一次擲出6點(diǎn)}，

先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)§1.5事件的獨(dú)立性

由乘法公式知，當(dāng)事件A與B獨(dú)立時(shí)，有

P(AB)=P(A)P(B).用P(AB)=P(A)P(B)

刻畫獨(dú)立性，比用

P(A|B)=P(A)

或

P(B|A)=P(B)

更好?！?/p>

不受P(B)>0或P(A)>0

的制約；◎反映了事件A與

B的對(duì)等性。

定義1：若兩事件A,B滿足P(AB)=P(A)P(B),則稱A與B相互獨(dú)立，或稱A,B獨(dú)立。兩事件獨(dú)立的定義例1：

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K

},B={抽到黑色的牌}。故,P(AB)=P(A)P(B).解：由于P(A)=4/52=1/13,這說明事件A,B獨(dú)立。問事件A,B是否獨(dú)立？P(AB)=2/52=1/26。P(B)=26/52=1/2，

前面是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義得出A,B獨(dú)立的結(jié)論，我們也可以通過計(jì)算條件概率的辦法得到

A,B獨(dú)立的結(jié)論。續(xù)前例：從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記

A={抽到K

},B={抽到黑色的牌}。

在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實(shí)際意義判斷兩事件是否獨(dú)立。

由于P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13，故，P(A)=P(A|B)。這也說明A,B獨(dú)立。如：一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)

Ai={第i件是合格品}，i=1,2。若抽取是有放回的,

則A1與A2獨(dú)立。其原因是：第二次抽取的結(jié)果受第一次抽取結(jié)果的影響。其原因是:第二次抽取的結(jié)果不受第一次抽取結(jié)果的影響。若抽取是無(wú)放回的，則A1與A2不獨(dú)立。請(qǐng)問：如圖的兩個(gè)事件是否獨(dú)立？

即:

若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨(dú)立。其逆否命題是：若A與B獨(dú)立，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B一定不互斥。而P(A)≠0,P(B)≠0。故A與B不獨(dú)立。我們來計(jì)算：因

P(AB)=0,P(AB)≠P(A)P(B)。即請(qǐng)問：能否在樣本空間Ω中找到兩個(gè)事件，它們既相互獨(dú)立又互斥?所以，Φ與Ω獨(dú)立且互斥。不難發(fā)現(xiàn):Φ(或Ω)與任何事件都獨(dú)立。答：能。

設(shè)A,B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：

前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，請(qǐng)看下列兩個(gè)練習(xí)。1.P(B|A)>0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。

設(shè)A,B為獨(dú)立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：1.P(B|A)>0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。=P(A)－

P(AB)P(A)=P(A－

A

B)A與B獨(dú)立概率的性質(zhì)=P(A)－

P(A)P(B)證明:

僅證A與獨(dú)立。定理1：若事件A,B獨(dú)立，則

也相互獨(dú)立。=P(A)[1－

P(B)]=P(A)P(),1.5.2多個(gè)事件的獨(dú)立先將兩事件獨(dú)立的定義推廣到三個(gè)事件上：

對(duì)于三個(gè)事件A,B,C，若

P(AB)=P(A)P(B)，

P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四個(gè)等式同時(shí)成立，則稱事件A,B,C相互獨(dú)立。

推廣到n個(gè)事件的獨(dú)立性定義,可類似地給出:

設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件，如果對(duì)任意k(),任意，等式等式總數(shù)為：成立，則稱n個(gè)事件A1,A2,…，An相互獨(dú)立。請(qǐng)注意多個(gè)事件兩兩獨(dú)立與事件兩兩相互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立對(duì)n(n>2)個(gè)事件?參見汪仁官《概率論引論》P24或ppt29多個(gè)相互獨(dú)立事件具有如下性質(zhì)：◎若事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立，則其中任意

k個(gè)事件也相互獨(dú)立；◎若事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立，則B1,B2,…,

Bn也相互獨(dú)立，其中

Bi或?yàn)锳i，或?yàn)楱，

i=1,2,…,n

。對(duì)獨(dú)立事件，許多概率的計(jì)算可得到簡(jiǎn)化。例2:

三人獨(dú)立地去破譯一份密碼,已知每個(gè)人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4。問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解：將三人分別編號(hào)為1,2,3，1.5.3獨(dú)立性概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用故，所求為P(A1∪A2∪A3)。記Ai={第i個(gè)人破譯出密碼}，i=1,2,3。已知P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4，且P(A1∪A2∪A3)A1，A2，A3相互獨(dú)立，

計(jì)算

n個(gè)獨(dú)立事件并的概率公式:

設(shè)事件相互獨(dú)立,則

P(A1∪…∪An)也就是說:n個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于1減去各自對(duì)立事件概率的乘積。例3：若干人獨(dú)立地向一移動(dòng)目標(biāo)射擊,每人擊中目標(biāo)的概率都是0.6。求至少需要多少人,才能以0.99以上的概率擊中目標(biāo)?解：設(shè)至少需要

n

個(gè)人才能以0.99以上的概率擊中目標(biāo)。

令A(yù)={目標(biāo)被擊中},Ai={第i人擊中目標(biāo)},i=1,2,…,n。則A1,A2,…,An相互獨(dú)立。故，

也相互獨(dú)立。因

A=A1∪A2∪…∪An，得

P(A)=

P(A1∪A2∪…∪An)問題化成了求最小的n,使1-0.4n>0.99。解不等式，得例5癌癥復(fù)查的作用續(xù)第Ch1-4中例6，已知兩次檢查都呈陽(yáng)性下，該人患癌癥的概率。=0.005*0.95^2/(0.005*0.95^2+0.995*0.04^2)=0.7392088例6：驗(yàn)收100件產(chǎn)品方案如下，從中任取3件進(jìn)行獨(dú)立測(cè)試，如果至少有一件被斷定為次品，則拒絕接收此批產(chǎn)品。設(shè)一件次品經(jīng)測(cè)試后被斷定為次品的概率為0.95，一件正品經(jīng)測(cè)試后被斷定為正品的概率為0.99，并知這100件產(chǎn)品恰有4件次品。求該批產(chǎn)品能被接收的概率。解:

設(shè)A={該批產(chǎn)品被接收}，

Bi={取出3件產(chǎn)品中恰有i件是次品}，

i=0,1,2,3。則因三次測(cè)試相互獨(dú)立，故

P(A|B0)=0.993，

P(A|B1)=0.992(1-0.95),P(A|B2)=0.99(1-0.95)2,P(A|B3)=(1-0.95)3。

由全概率公式,得更進(jìn)一步，在上題的假定下，我們可以舉出抽樣檢驗(yàn)比全面檢驗(yàn)更優(yōu)的例子。

n重伯努利試驗(yàn)概型：

n重伯努利試驗(yàn)中事件

A

出現(xiàn)

k

次的概率記為且

伯努利(Bernoulli)試驗(yàn)概型

每次試驗(yàn)的結(jié)果與其他次試驗(yàn)無(wú)關(guān)——

即這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的試驗(yàn)可重復(fù)

n

次每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果：

解每取一個(gè)球看作是做了一次試驗(yàn)記取得白球?yàn)槭录嗀有放回地取4個(gè)球看作做了4重Bernoulli試驗(yàn),記第

i次取得白球?yàn)槭录嗀i感興趣的問題為:4次試驗(yàn)中A

發(fā)生2次的概率例4

袋中有3個(gè)白球,2個(gè)紅球,有放回地取球

4次,每次一只,求其中恰有2個(gè)白球的概率.設(shè)E為伯努利試驗(yàn)，且P(A)=p(0<p<1)，對(duì)于n重伯努利概型En，事件A恰好發(fā)生k(0kn)次的概率為

k=0,1,2,…,n

證明與前面的例3類似——若P(A)0.01則稱A為小概率事件小概率事件——一次試驗(yàn)中小概率事件一般是不會(huì)發(fā)生的.若在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生了,則可懷疑該事件并非小概率事件.小概率原理女士品茶的故事那是20世紀(jì)20年代后期，在英國(guó)劍橋一個(gè)夏日的午后，一群大學(xué)的紳士和他們的夫人們，還有來訪者，正圍坐在戶外的桌旁，享用著下午茶。在品茶過程中，一位女士堅(jiān)稱：把茶加進(jìn)奶里，或把奶加進(jìn)茶里，不同的做法，會(huì)使茶的味道品起來不同。在場(chǎng)的一幫科學(xué)精英們，對(duì)這位女士的“胡言亂語(yǔ)”嗤之以鼻。這怎么可能呢？他們不能想象，僅僅因?yàn)榧硬杓幽痰南群箜樞虿煌?，茶就?huì)發(fā)生不同的化學(xué)反應(yīng)。然而，在座的一個(gè)身材矮小、戴著厚眼鏡、下巴上蓄著的短尖髯開始變灰的先生，卻不這么看，他對(duì)這個(gè)問題很感興趣。他興奮地說道：“讓我們來檢驗(yàn)這個(gè)命題吧！”并開始策劃一個(gè)實(shí)驗(yàn)。在實(shí)驗(yàn)中，堅(jiān)持茶有不同味道的那位女士被奉上一連串的已經(jīng)調(diào)制好的茶，其中，有的是先加茶后加奶制成的，有的則是先加奶后加茶制成的。(1/2)^10=0.0009765625小結(jié)

本講首先給出事件獨(dú)立的概念、性質(zhì)定理及利用獨(dú)立性概念計(jì)算事件概率的實(shí)例；最后介紹了伯努力概型。作業(yè)1.23、1.24反例隨機(jī)投擲編號(hào)為1與2的兩個(gè)骰子事件A

表示1號(hào)骰子出現(xiàn)奇數(shù)

B

表示2號(hào)骰子出現(xiàn)奇數(shù)

C

表示兩骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)則但本例說明

不能由A,B,C