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任意角教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.容章頭圖與章引言;任意角;象限角;終邊相同的角2.容解析章頭圖與章引言應(yīng)該隸屬于整個第五章的總引言紹了本章將要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容方法及實際應(yīng)用.但其內(nèi)容比較少可以任意角”合成一個課.科書在章引言中列舉了一些現(xiàn)實中存在的周期變化現(xiàn)象,并在章頭配置了一幅月亮圍繞地球運轉(zhuǎn)產(chǎn)生圓缺變化的圖形說明了三角學(xué)的起源展與天文學(xué)密不可分一個方面也說明了本章將要研究的三角函數(shù)是用來刻畫這種周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.對于角的概念推廣,因為學(xué)生過去接觸的角都在范圍之內(nèi),但在現(xiàn)實生活中有大量的關(guān)于角的例子都超出了這個范圍想描述清楚這些角要從動態(tài)的角度重新定義角的概念.實際上,我們很容易認識到一般的角是“轉(zhuǎn)”出來的,要準確刻畫一個角,必須知道兩個方面:一是旋轉(zhuǎn)方向;二是旋轉(zhuǎn)量.有了這兩個方面就可以將的角推廣到任意角,但如何對任意角進行量化,這還是一個問.我們知道,旋轉(zhuǎn)量的大小可以在角度制的基礎(chǔ)上進行推廣,而旋轉(zhuǎn)方向需要利用我們已有的“通過符號代表方向”的經(jīng)驗加以解決.此,我們規(guī)定:若角通過逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成為正角;順時針方向旋轉(zhuǎn)形成為負角;沒有作任何旋旋轉(zhuǎn)量為0角.同時比正負數(shù)的規(guī)定正角、
負角是用來表具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量”,零角無正負數(shù)0無正負一樣.角的范圍擴展到任意角后,角的運算的意義也隨之得到擴展初中學(xué)過角的和、差和倍角,角的運算中不考慮方向,兩角差只考慮“大角減小角”.的范圍擴充后,基于用符號表示方向,依據(jù)沙爾定理,即“小角減大角”,而且對兩角和也賦予了全新的意義
,不僅可以教科書定義的兩個任意角,的和是:把角的終邊旋轉(zhuǎn)角,這時終邊所對應(yīng)的角+.個規(guī)定既符合人的直覺,也與實數(shù)的運算法則一致,因此它是合理的.首先,字表示任意角,它們是帶有符號.當?shù)姆枮檎龝r,射線的旋轉(zhuǎn)方向為逆時針;符號為負時,射線的旋轉(zhuǎn)方向為順時針.了方便,我們用|
|,||表示相應(yīng)的旋轉(zhuǎn).角(+)是兩次連續(xù)旋轉(zhuǎn)的結(jié)果,可以分如下幾種情況:(1>0;<0;<0;<0.下面我們根據(jù)任意角的概念做一個分析:對于(1,角(+)的旋轉(zhuǎn)方向為逆時針,旋轉(zhuǎn)量為|
|+|
|.對于(2,如果|>|
|,則角(+)的旋轉(zhuǎn)方向為逆時針,旋轉(zhuǎn)量|
α|-||;如果|
|<|
|,則角(+)的旋轉(zhuǎn)方向為順時針,旋轉(zhuǎn)量為|
|-|
|.對于(3,如果||<||,則角(+)的旋轉(zhuǎn)方向為逆時針,旋轉(zhuǎn)量|β|-||;如果|
|>|
|,則角+)的旋轉(zhuǎn)方向為順時針,旋轉(zhuǎn)量為|
|.
對于(4,角(+)的旋轉(zhuǎn)方向為順時針,旋轉(zhuǎn)量為||+||.于是:同號兩角相加,取相同的方向,并把“絕對值”相加;“絕對值”不相等的異號兩角相加,取“絕對值”較大的角的方向,并用較大的“絕對值”減去較小的“絕對值”.顯然轉(zhuǎn)量相同轉(zhuǎn)方向相反的兩個角相加得零角個角與零角相加仍得這個角.綜上可知角和的運算與實數(shù)的加法運算完全一致時實數(shù)減法的“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”一樣,我們-=),即“減去一個角等于加上這個角的相反角.這樣,角的減法可以轉(zhuǎn)化為加.從幾何角度看,就是一條射線繞端點旋轉(zhuǎn)任意角后再旋轉(zhuǎn)任意,這時終邊所對應(yīng)的角是+.引入象限角概念角放在一個統(tǒng)一的標準下進行討論以使角的討論得到簡化,并進而可以利用任意角、直角坐標系刻畫周期性變化現(xiàn)象終邊相同的角是具有特殊關(guān)系的象限角成是在定義象限角概念之后研究它的性質(zhì),這些角有“始邊、終邊都相同”的共同特角度看邊旋轉(zhuǎn)整數(shù)周回到原來的位置”而形成“終邊相同的角”,用數(shù)量關(guān)系表示,就是“終邊相同的角相差的整數(shù)倍”,用符號形式表示,就是:所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個集合|=+,∈Z}.另外,有了終邊相同的角的表示,就可以非常方便地得出三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一根據(jù)上述分析,確定本課時教學(xué)重點是:將0°360°范圍的角擴充到任意角,終邊相同的角.
二、目標和目標解析1.標(1通過閱讀章引言,了解三角函數(shù)的背景,體會三角函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系,了解學(xué)習(xí)三角函數(shù)的必要性;(2了解任意角以及象限角的概念,會判斷一個任意角是第幾象限角,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);(3掌握所有與角終邊相同的角(包括角)的表示方法.2.標解析達成上述目標的標志是:(1學(xué)生能簡單說出本章所學(xué)的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、研究過程與方法,知道三角函數(shù)就是刻畫一類周期變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型出現(xiàn)實世界中這類周期現(xiàn)象的例子;(2對于給定一個任意角,學(xué)生能說出旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)量,并能在直角坐標系中作出該角能判斷它是第幾象限角于兩個角判斷它們是否相等或是否為相反角,如果相加、減后,從數(shù)量上,知道結(jié)果是正角、負角或零角,從圖形上,還能解釋是通過怎樣的旋轉(zhuǎn)得到的(3學(xué)生能說出集合中、的準確含義,知道終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無限多個,它們相差的整數(shù)倍,體會數(shù)形結(jié)合思想及特殊到一般的歸納思想.三、教學(xué)問題診斷分析
第一個學(xué)習(xí)難點應(yīng)該是對角的概念的推廣象數(shù)系的擴充與推廣一樣自然數(shù)到整數(shù),整數(shù)到有理數(shù),有理數(shù)到實數(shù),實數(shù)到復(fù)數(shù),等等,每一次擴充與推廣都與學(xué)生以前的認知產(chǎn)生矛盾前面知識的認識與接受可能就經(jīng)歷了不平凡的過程,這就使得打破學(xué)生認知的定勢難上加難通過初中的學(xué)習(xí),學(xué)生對角的認知基礎(chǔ)是:角的范圍在~360°.為了改變學(xué)生對角的認識先他們舉出現(xiàn)實生活中超出的角的大量例子,而且讓他們認識到這些角只能用超出0°~360°的角才能描述清楚,用以說明引入新概念的必要性和實際意義.其次借助信息技術(shù)工GeoGebra讓學(xué)生在動態(tài)的過程中感受到:角是轉(zhuǎn)出來的,在角的終邊“任意”旋轉(zhuǎn)的過程中,要準確地刻畫一個角,必須“既要知道旋轉(zhuǎn)量,又要知道旋轉(zhuǎn)方向最后,如何將這種旋轉(zhuǎn)量與旋轉(zhuǎn)方向進行量化才是關(guān)鍵所在中研究平面圖形的旋轉(zhuǎn)”,學(xué)生已經(jīng)知道旋轉(zhuǎn)的“三要素”,這是對旋轉(zhuǎn)的定性刻畫,可以作為刻畫任意角的一個基.何用量化的方法刻畫任意角呢?旋轉(zhuǎn)量的大小可以在初中學(xué)過的角度制基礎(chǔ)上進行推廣,這里的關(guān)鍵是用符號表示“旋轉(zhuǎn)方向”,逆時針方向為正、順時針方向為.教中可類比正負數(shù)的規(guī)定,說明正角、負角是用來表示“具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量”.第二個學(xué)習(xí)難點是對“的角”“第一象限角”“銳角”“小于90°的角”這些概念之間關(guān)系的認識教學(xué)中,有必要在坐標系中利用動畫進行演示,讓學(xué)生直觀感知,另外,還可以通過具體例子來反映它們之間關(guān)系,從特殊到一般加強認識.
第三個學(xué)習(xí)難點是對終邊相同角的認識為學(xué)生們對于動態(tài)的任意角的概念還不熟悉,而終邊相同的角有一個共同的特點就是這些角的始邊和終邊都相同,從圖形上看沒有任何區(qū)別,那么如何加深對終邊相同角的理解呢?第一們可以借助信息技術(shù)工如GeoGebra態(tài)地展示這些終邊相同角之間的聯(lián)系與區(qū)別,讓學(xué)生們從形上對這些角有一個很好的直觀感受第二,通過具體的例子,比如-,讓學(xué)生找出幾個-終邊相同的角,通過運算發(fā)現(xiàn)聯(lián)系它們都與-相差整數(shù)倍”,然后進行量化表達,得出所有與-終邊相同角的表達式推廣到一般角α
.其實這里用到了從特殊到一般具體到抽象過運算發(fā)現(xiàn)規(guī)律等方法是數(shù)學(xué)地探索事物性質(zhì)的普遍方法.另外邊相同角的認識過程還反映了從定性到定量的研究數(shù)學(xué)問題的基本策略,以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,讓學(xué)生從幾何與數(shù)量關(guān)系角度加強認識四、教學(xué)支持條件分析為了加強學(xué)生對任意角的旋轉(zhuǎn)量與旋轉(zhuǎn)方向邊相同角之間聯(lián)系與區(qū)別的直觀感受,需要利用信息技術(shù)工具(如GeoGebra)動態(tài)地進行了展示五、教學(xué)過程設(shè)計1.立閱讀,明確任務(wù)問題1請同學(xué)們先觀察章頭圖并閱讀第五章章引言,再回答如下問題:(1本章將要學(xué)習(xí)的函數(shù)是什么?
(2這種函數(shù)主要可以解決我們實際生活中的哪類問題?你能舉出具體例子嗎?(3你能簡單說說以前研究函數(shù)的過程與方法嗎?師生活動:生獨立閱讀教科書過閱讀確本章將要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容以及學(xué)習(xí)方本章將要學(xué)習(xí)的函數(shù)是三角函數(shù);2)三角函數(shù)可以用來刻畫現(xiàn)實生活中的一些周期現(xiàn)象,例如單擺運動、彈簧振子、圓周運動、交變電流、潮汐等;(3研究函數(shù)的一般思路是:先給出函數(shù)的定義,通過定義作出圖象,再由圖象研究性質(zhì),最后是函數(shù)的應(yīng)用設(shè)計意圖:確本章研究內(nèi)容、目的、簡單的過程和方法,為本章的研究指明方向.2.設(shè)情境,引出問題引導(dǎo)語:我們知道,現(xiàn)實世界中存在著各種各樣的“周而復(fù)始”變化現(xiàn)象,圓周運動是這類現(xiàn)象的代表.問題2圖1,⊙的點P起點做逆時針方向的旋轉(zhuǎn),如何刻畫點位置變化呢?
師生活動:學(xué)生獨立思考,教師通過鏈接(GeoGebra)動畫讓學(xué)生清楚:圓周上點的運動可以通過角的變化進行刻畫說明:刻畫個詞用在問題2中雖然比較準確,但學(xué)生可能不能理解它的含義,因此,我們可以用信息技術(shù)()將這種旋轉(zhuǎn)的過程體現(xiàn)出來是將線段鮮艷的顏色突顯出來自然就會想到點運動可以看成是由線段的運動帶動點的運動(其實就是射線的運動帶動了點的運動),由此讓學(xué)生可以理解,這種“刻畫”就是“描述”“反映”等,另外,主要讓學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)圓周上點的運動與角的關(guān)系.設(shè)計意圖:通過具體問題引出本節(jié)課的研究主題——角3.析事例,歸納特征問題3我們以前所學(xué)角都在0°的范圍內(nèi),生活中有超出角的例子嗎?請你舉例說明.
師生活動:生獨立思考回答問題.預(yù)設(shè)答案操前空翻轉(zhuǎn)體540度后空翻轉(zhuǎn)體720度如圖2;如果要將鐘表調(diào)快一個半小時,那么分針就會順時針旋轉(zhuǎn)超過360°(如圖).追問1這些角的不同,體現(xiàn)在哪幾個方面?師生活動:以通過學(xué)生簡單的討論現(xiàn)角的不同體現(xiàn)在兩個方面是大??;二是方向.設(shè)計意圖方面加強數(shù)學(xué)與我們現(xiàn)實生活的聯(lián)系數(shù)學(xué)是有用的;另一方面,學(xué)生在用語言描述這些超出角的時候,會發(fā)現(xiàn)用靜態(tài)角的定義不再適合們體會到說清楚這些角要將角的范圍進行拓展,而且需要從動態(tài)的角度重新定義角.追問2假如你的手表快了1.25小時,你應(yīng)當如何將它校準?當時間校準以后,分針轉(zhuǎn)了多少度?從幾個方向描述角?師生活動:學(xué)生獨立思考并回.得出結(jié)果:逆時針旋轉(zhuǎn);分針會旋轉(zhuǎn)450°(鏈接GeoGebra動畫)比如校準前如圖3(1),校準后應(yīng)該為圖3
設(shè)計意圖:過這個具體的例子讓學(xué)生理解想說清楚一個角括兩個方面,一是旋轉(zhuǎn)方向;二是旋轉(zhuǎn)量.追問3以上問題中對角的描述的共性是什么?師生活動:學(xué)生共同回答出角的大小及旋轉(zhuǎn)方向設(shè)計意圖:過這個具體的例子進一步讓學(xué)生體會想說清楚一個角括兩個方面:一是旋轉(zhuǎn)方向;二是旋轉(zhuǎn)量.4.過閱讀,獲得概念問題4請同學(xué)們先閱讀課本第168頁最后一段至第169頁最后一段,再回答下列問題據(jù)旋轉(zhuǎn)方向的不同可以分為哪幾類?分別是什么?這種定義方法和分類辦法是與之前的哪個知識進行類比的?師生活動:學(xué)生獨立閱讀課文,再舉手回答上述問題設(shè)答案:一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角.果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),就稱它形成了一個零角,因此,角可以分為正角、負角、零角.這種定義方法和分類辦法都是與實數(shù)進行類比的.
設(shè)計意圖:確了通過推廣以后角的定義,知道了角是“轉(zhuǎn)”出來的,關(guān)鍵是對旋轉(zhuǎn)方向的量化可以通過類比實數(shù),用符號表示方向5.步應(yīng)用,理解定義練習(xí)1:你能分別作出210°、-150°、750°、-660°嗎?師生活動作圖用GeoGebra展示動畫作圖過程.如圖(3(4設(shè)計意圖:熟悉正角、負角的定義,理解“符號”與“方向”之間的關(guān)系,從數(shù)到形的認識.追問1你知道什么是兩角相等?兩角相加又是怎樣規(guī)定的?
師生活動:叫學(xué)生個別回答問題過回答以看出學(xué)生對角的關(guān)系與運算的理解是否清.設(shè)答案:如果兩角的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等,就稱兩角相等;規(guī)定:把角的終邊旋轉(zhuǎn)角,這時終邊所對應(yīng)的角是+.設(shè)計意圖:義了一個具有數(shù)量特征的數(shù)學(xué)概念之后接著需要研究的就是兩個這種數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系以及運算問題追問2你知道什么是互為相反角?兩角怎樣相減?師生活動:學(xué)生個別回.預(yù)答案:如果兩角的旋轉(zhuǎn)方向不同且旋轉(zhuǎn)量相等,就稱兩角互為相反角;類比實數(shù)減法,我們有=).設(shè)計意圖:類比實數(shù),得到相反角的定義及兩個任意角之間的減法運算.練習(xí)2作圖的方式反映出-150°與-的關(guān)系嗎?師生活動:學(xué)生分別作圖并說明.如圖5(1)(2)追問:對于一般的-呢,你能類比實數(shù)給出相應(yīng)說明嗎?
師生活動:小組討論并指定學(xué)生回答.預(yù)設(shè)答案一般的>,則>0°;如果=,則=0°;如果<,則-<0°.從圖形上看,就是把角的終邊旋轉(zhuǎn)角(若>0°,則順時針旋轉(zhuǎn)│;<0°,則逆時針旋轉(zhuǎn)β│;若=0°,則不作旋轉(zhuǎn)),這時終邊所對應(yīng)的角是.設(shè)計意圖:過具體例子加強學(xué)生對相等角、相反角、角的加法、減法的理解推廣到一般情形體現(xiàn)了具體與抽象與一般的數(shù)學(xué)思想方法.6.究分類,精致概念問題5在直角坐標系中研究角,其頂點和始邊的位置是如何規(guī)定的?根據(jù)其終邊位置的不同把角分為哪幾類?在直角坐標系內(nèi)討論角有什么好處呢?師生活動:學(xué)生互相交流后,再回.設(shè)答案:為了方便,使角的頂點與原點重合的始邊與x軸的非負半軸重合據(jù)角終邊所在象限角又可以分為第一、二、三、四象限角以及軸線角;在直角坐標系中討論角可以很好地表現(xiàn)角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.設(shè)計意圖:讓學(xué)生明確在直角坐標系中討論角需要有一個統(tǒng)一的標準這個統(tǒng)一前提下,才能對象限角進行定另外,終邊落在坐標軸上是一種“邊界”狀態(tài),因此規(guī)定它不屬于任何一個象限更方便.樣討論角的好處就是:在同一“參照系使角的討論得到簡化還能使角的終邊位而復(fù)始”現(xiàn)象得到有效表示.練習(xí)3教材第171頁第1題.
師生活動:學(xué)生逐題給出答案.預(yù)設(shè)答案銳角是第一象限角一象限角不一定是銳角是終邊落在軸非負半軸上的角落在y軸非負半軸上的角不一定是直角;鈍角是第二象限角,第二象限角不一定是鈍角.,三,五3.第一象限角;)第四象限角;第二象限角;第三象限角.設(shè)計意圖:檢驗學(xué)生對象限角的理解情況.7.究特殊位置,獲得關(guān)系問題5在直角坐標系中,將角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合32°終邊重合的角還有哪些?有多少個?它們與-32°角有什么關(guān)系?能不能用集合的形式將它們表達出來?-推廣到一般角,結(jié)論應(yīng)該是什么?師生活動:教師演示動畫(鏈接GeoGebra動畫),學(xué)生觀察并思考后,再舉手回答.預(yù)設(shè)答案:還有-等等;有無數(shù)個;相差360°的整數(shù)倍;|∈Z;{|∈Z};設(shè)計意圖:通過動畫演示與回答問題,使學(xué)生明確:終邊相同的角不一定相等;(2終邊相同的角有無數(shù)個,這些角有“始邊、終邊都相同”的共同特征;(3這無數(shù)多個終邊相同的角在數(shù)量上都是相差360°的整數(shù).8.步應(yīng)用,理解關(guān)系
例1范圍內(nèi),找出-950°12角終邊相同的角,并判定它是第幾象限角.追問:與-950°12角終邊相同的角都有什么共同點?師生活動:由學(xué)生獨立計算,再回.預(yù)設(shè)答案:相差360°的整數(shù)倍;與角終邊相同的角可以寫成|′,它是第二象限角.
′+k·360°∈Z},當k=3,設(shè)計意圖:熟悉終邊相同的角的表示,并會在范圍內(nèi)找出與已知角終邊相同的角定其為第幾象限角以后證明恒等式簡及利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)的值等奠定基礎(chǔ).例2
寫出終邊在y軸上的角的集合.追問終邊在幾條射線上?終邊落在每條射線上的角如何表示?這兩條射線上的角都相差多少度?能不能用一個集合表示這所有的角?師生活動:生先獨立完成,再相互交.預(yù)設(shè)答案:兩條軸正、負半軸上的角的集合分別{|=90°+k·360°|=270°+k·360°∈Z};相差的整數(shù)倍;|
=90°+k·180°,k設(shè)計意圖:此題是終邊在坐標軸上的角的表示引導(dǎo)學(xué)生體會用集合表示終邊相同的角時示方式不唯一注意采用簡約的形式另外析終邊與y軸的正半軸半軸分別重合的兩個角的集合的聯(lián)系以簡化集合的表示質(zhì)是“終邊組成一條直線”的代數(shù)解釋:“兩個集合中的元素相差180°的整數(shù)倍.”
例3出終邊在直線上的角的集合.中適合不等式-≤<720°的元素有哪些?追問:求出角之前能判斷滿足條件角的個數(shù)嗎?判斷的根據(jù)是什么?師生活動:由學(xué)生獨立完成后,讓學(xué)生代表進行展示設(shè)答案:六個;所求角的范圍包含了三周S={,405
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