結(jié)構(gòu)力學(xué) 04 三鉸拱

第4章

三鉸拱了解三鉸拱的受力特點(diǎn)掌握三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算方法理解合理拱軸線的概念和幾種常見(jiàn)的合理拱軸線教學(xué)目標(biāo)Contents目錄您的目錄標(biāo)題寫在這里(普通樣式)1您的目錄標(biāo)題寫在這里(突出樣式)3您的目錄標(biāo)題寫在這里(普通樣式)5您的目錄標(biāo)題寫在這里(普通樣式)2您的目錄標(biāo)題寫在這里(普通樣式)4概述§4.1拱是軸線（截面形心的連線）為曲線且在豎向荷載下會(huì)產(chǎn)生水平反力的結(jié)構(gòu)。拱結(jié)構(gòu)是應(yīng)用比較廣泛的結(jié)構(gòu)型式之一。在房屋和橋梁建筑中，經(jīng)常用到拱結(jié)構(gòu)。拱結(jié)構(gòu)通常有三種常見(jiàn)的形式，其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖，圖（a）、（b）所示的無(wú)鉸拱和兩鉸拱是超靜定結(jié)構(gòu)。圖（c）所示的三鉸拱為靜定結(jié)構(gòu)。概述§4.1拱結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是：桿軸為曲線，而且在豎向荷載作用下支座將產(chǎn)生水平力。這種水平反力又稱為水平推力，或簡(jiǎn)稱為推力。拱結(jié)構(gòu)與梁結(jié)構(gòu)的區(qū)別，不僅在于外形不同，更重要的還在于豎向荷載作用下是否產(chǎn)生水平推力。拱結(jié)構(gòu)最高的一點(diǎn)稱為拱頂，三鉸拱的中間鉸通常是安置在拱頂處。拱的兩端與支座聯(lián)結(jié)處稱為拱趾，或稱拱腳。兩個(gè)拱趾間的水平距離l稱為跨度。拱頂?shù)絻晒爸哼B線的豎向距離f稱為拱高，或稱拱矢。如圖（a）所示。拱高與跨度之比f(wàn)/l稱為高跨比或矢跨比。由后面可知，拱的主要力學(xué)性能與高跨比有關(guān)。三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算§4.2三鉸拱為靜定結(jié)構(gòu)，其全部反力和內(nèi)力都可由靜力平衡方程求出。為了說(shuō)明三鉸拱的計(jì)算方法，現(xiàn)以圖（a）為例，導(dǎo)出其計(jì)算公式。1.支座反力的計(jì)算公式三鉸拱的兩端都是鉸支座，因此有四個(gè)未知反力，故需列四個(gè)平衡方程進(jìn)行解算。除了三鉸拱整體平衡的三個(gè)方程之外，還可利用中間鉸處不能抵抗彎矩的特性(即彎矩Mc=0)來(lái)建立一個(gè)補(bǔ)充方程。三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算§4.2從求解結(jié)論，可以看出，圖(a)和(b)相應(yīng)的豎向支座反力相同水平支座反力右邊的分子，等于相應(yīng)簡(jiǎn)支梁上與拱的中間鉸位置相對(duì)應(yīng)的截面C的彎矩M0C。由此可得：三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算§4.2由上式可知，推力FX等于相應(yīng)簡(jiǎn)支梁截面C的彎矩MC0除以拱高f。其值只與三個(gè)鉸的位置有關(guān)，而與各鉸間的拱軸形狀無(wú)關(guān)。換句話說(shuō)，即只與拱的高跨比f(wàn)/l有關(guān)。當(dāng)荷載和拱的跨度不變時(shí)，推力FX將與拱高f反比，即f愈大則FX愈小，反之，f愈小則FX愈大。三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算§4.22.內(nèi)力的計(jì)算公式計(jì)算內(nèi)力時(shí)，應(yīng)注意到拱軸為曲線這一特點(diǎn)，所取截面與拱軸正交，即與拱軸的切線相垂直，截面K的內(nèi)力可以分解為彎矩MK、剪力FSK和軸力FNK，其中FSk沿截面方向，即沿拱軸法線方向作用，軸力FNK沿垂直于截面的方向，即沿拱軸切線方向作用。

三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算§4.2（1）彎矩的計(jì)算公式彎矩的符號(hào)，規(guī)定以使拱內(nèi)側(cè)纖維受拉的為正，反之為負(fù)。取AK段為隔離體，如圖(c)得截面K的彎矩由三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算§4.2（2）剪力的計(jì)算公式剪力的符號(hào)，通常規(guī)定以使截面兩側(cè)的隔離體有順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的為正，反之為負(fù)。以AK段為隔離體，如圖(c)，由平衡條件得可得：三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算§4.2（3）軸力的計(jì)算公式因拱軸通常為受壓，所以規(guī)定使截面受壓的軸力為正，反之為負(fù)。取AK段為隔離體，如圖（c），由平衡條件可得：三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算§4.2例4.1

圖4.5（a）所示為一三鉸拱，其拱軸為一拋物線，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)選在左支座時(shí)，拱軸方程為：三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算§4.2解：先求支座反力，可得反力求出后，即可用截面法求解內(nèi)力圖。為此，將拱跨分成八等分，列表算出各截面上的M、FS、FN值，然后根據(jù)表中所得數(shù)值繪制M、FS、FN圖。三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算§4.2三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算§4.2三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算§4.2三鉸拱的壓力線和合理拱軸線§4.31、拱的壓力線三鉸拱任一截面上一般有彎矩、剪力和軸力三個(gè)內(nèi)力，它們可以合成為作用于該截面的一個(gè)合力。因?yàn)楣敖孛嫔系妮S力通常為壓力，所以合力稱為該截面的總壓力。三鉸拱各截面總壓力作用點(diǎn)的連線，稱為三鉸拱的壓力線。壓力線表示拱截面合力偏離開心的程度，偏心距越小，則作用于截面上的彎矩越小。由于左右兩個(gè)支座及拱頂處的彎矩為零，因此壓力線必定通過(guò)三個(gè)鉸的中心。對(duì)于磚、石及混凝土材料的拱，若要求截面不出現(xiàn)拉應(yīng)力，則壓力線不應(yīng)超出截面核心的范圍。2、拱的合理軸線在一般情況下，三鉸拱截面上有彎矩、剪力和軸力，處于偏心受壓狀態(tài)，其正應(yīng)力分布不均勻。但是，我們可以選取一根適當(dāng)?shù)墓拜S線，使得在給定荷載作用下，拱上各截面只承受軸力，而彎矩為零，這樣的拱軸線稱為合理軸線?？傻萌q拱的壓力線和合理拱軸線§4.3三鉸拱的壓力線和合理拱軸線§4.3例4.2試求圖（a）所示對(duì)稱三鉸拱在均勻荷載q作用下的合理拱軸線。解：作出相應(yīng)簡(jiǎn)支梁如圖（b）所示，其彎矩方程為合理軸線方程小結(jié)1.靜定拱主要有三鉸拱和帶拉桿的三鉸拱。它們是由曲桿組成，在豎向荷載作用下，支座處有水平反力的結(jié)構(gòu)。水平推力使拱上的彎矩比同情況下的梁的彎矩小得多。因而材料可以充分得