《完全平方公式》 教案 (公開課獲獎)2022北師版

課課：一章課：授課授時：教目：

1.6全方式1第六節(jié)完平方公式〔第1課時〕知與能理完全平方公式的本質(zhì)并會運用公式進行簡單的計了解完全平方公式的幾何背景.過與法經(jīng)歷探索完全平方公式的程，并從推導過程中，培養(yǎng)學生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、猜測等探究創(chuàng)新能力，開展邏輯推理能力和有條理的表達能力，培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合意識情與度驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性，并在數(shù)學活動中獲得成功體驗與喜悅，樹立學習的自信.教重：全平方公式及其應(yīng).教難：全平方公式的應(yīng).教及法導本節(jié)課采用自主探索發(fā)導交流的模式展開教學導學生主動地進行觀察、歸納、猜測和驗.考慮到學生認知方式、思維水平和學習能力的差異進行分層次教學，讓不同層次的學生都能主動參與并都能得到充分的開.啟發(fā)、邊探索、邊歸納，突出以學生為主體的探索性學習活動.遵循知識的產(chǎn)生過程特殊→一般→特殊所的知識用于實踐中課準：教師：多媒體課件.學生：課前進行預習工作.教過：一前診，辟路師上節(jié)課我學習了平方公式知了應(yīng)用平方差公式可以進行某些多項式乘法的簡便運.那位同學能說一下平方差公式是什么？它的結(jié)構(gòu)特征是什么？生極踴躍，爭先恐后〕生：平方差公式：〕=a；

公式的結(jié)構(gòu)特點：左邊是兩個二項式的乘積，即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的.右邊是兩數(shù)的平方差.師：應(yīng)用平方差公式要注意什么問題？生1：弄清在什么情況下才能使平方差公.生2充把兩個因式中相同的局部看作，互為相反的局部看作.師：很好.還記得我們是怎樣用形解釋平方差公式的嗎？生：利用圖形大正方形中割掉一個邊長為b的正方形，剩下圖形的面積可以用a表，也可以表示，就可以得到：(a+b)〔a-b〕=a-b2.師示多媒體課件，使學生數(shù)形結(jié)合起來，幫助其理.〕師平方差公式實質(zhì)上是特殊的項式乘法的一種簡便運算我由一些特殊的多項式乘法的計算中分析得到的數(shù)學規(guī)律它可以進行一些數(shù)或式乘法的簡便計.數(shù)學中，還有很多規(guī)律等待我們?nèi)ヌ剿鳌⑷グl(fā).設(shè)意：本堂的學習方向仍是引導鼓勵學生通過已學習的知識經(jīng)過個人思考、小組合作等方式推導出本課新知，進一步開展學生的符號感和推理能.而這個過程離不開舊知識的鋪墊方公式的學習很多教學環(huán)節(jié)和形式與本節(jié)的學習是類似的中含的根本知識與根本能力也仍是本節(jié)的精神主旨，因而復習很有必.二設(shè)質(zhì)，究試師示多媒體課件〕1.觀察以下算式及其運算結(jié)果，有什么發(fā)現(xiàn)？〔+3〕

〔2+3〕

=(+3)(m+3)=(2+3)(2+3)=+3+3+9=4+2×3x+2×3+9=+2×3+9=4+2×2×3x=+6+9x+92.再舉兩例驗證你的發(fā).

請同學們觀察屏幕上兩個算式及其運算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？生察思考、交流、討論、爭相舉手發(fā)表自己的發(fā)現(xiàn).生1：我發(fā)現(xiàn)兩個算式都是兩個和的平方，結(jié)果是三項，都有這兩個數(shù)的平.師：很好生我現(xiàn)算式都是兩個數(shù)和的平方果是這兩個數(shù)的平方和再上這兩個數(shù)的乘積的2倍師：太好了同們看一下是這么回事嗎？生聲〕是師：你能再舉兩例驗證你的發(fā)現(xiàn)嗎？生(積極動手、動腦，驗證結(jié)論，派代表發(fā).師：同學們是否都驗證了這個發(fā)現(xiàn)？生：是師：你能用式子表示這個規(guī)律嗎？生：能〔手〕生1：(a+b)22.師書進而問〕你能驗證這個規(guī)律嗎？生多項式乘法驗證了正確性〕師：用語言怎樣表達？生：兩和平，于們平方加它的的2倍.師書〕〔出示課件〕

圖

你能用圖1-7解釋這一公式嗎？生考、討論后，積極舉手〕生1驗證平方差公式一樣兩種方法表示圖中大正方形的面積為2和a+2ab+b，這兩個算式相等，就得到(2=a2+2ab+b.師：太棒了！剛剛，我們從數(shù)和形兩個方面驗證了這個規(guī)律的正確性，今后遇見形(a+b)的子，就可以用這個公式來計算.如：〔+3〕=+2×3?m+9=

+6m+9.比擬一下兩種做法，哪一種較簡單？生：用公式簡單.師：試著用公式計算x〕生手計算，體會公式可以使運算簡.〕設(shè)意：過特例的探索，引入完全平方公式，再讓學生自己舉例加深對公式的體.而在計算圖形的面積時，通過比照這些表示方式可以使學生對于公式有一個直觀的認.通過自主探究和交流學到了新的知識，學生的學習積極性和主動性得到大大的激.三探規(guī)、成論1.初完平公.師示課件〕你能計算(a－b)嗎生考、積極動腦，在練習本上試著計〕師視，發(fā)現(xiàn)兩種不同解法，讓這兩名學生板.〕生1：－b)－b)－b)=a.生2：－b)=a+(]2－b)+b=a.師：看這兩個同學的做法是否正確？他們是怎樣做的？生：一個是利用多項式的乘法，一個是利用公式，把差的形式化成了和的形式，都正.

師：很好！你能用語言描述一下這個結(jié)果嗎？生：兩差平，于們平方減它的的2倍.師把個規(guī)律也當成公式面公式合起來稱完全平公.你體會一下“完全〞的含義生嘴舌，最后形成統(tǒng)一意見〕“全部〞的意師：我們把a+b)2=a2稱和完全平方公式，2－2ab+b2

稱為差的完全平方公式再完平公.師：你能分析一下完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點，并用語言進行完整地描述嗎？生論，爭相答復〕生結(jié)構(gòu)特：邊二式兩和差平；右是數(shù)平和上或去這數(shù)積2倍.生2：兩和或〕平，于兩的平和上或去這數(shù)的2倍.師：很好學的東西多了，有的同學可能會記混，教你一口訣于記憶：首方尾方積2倍中，加減前.生：理解口訣，記憶公式.設(shè)意：學生從代數(shù)運算的角度導出兩數(shù)差的完全平方公式在此根底上加以總結(jié)，從而完善了完全平方公式，同時培養(yǎng)學生有條理的思考和語言表達能.最后以口訣的形式，加深學生對公式的理.四學致、固知師完平方公式和平方差公式一樣是整式乘法中的重要公式用它們可以使運算簡便〔示多媒體課件〕例完全平方公式計算：(1)(2；(2)x+5);(3)mn生：分析算式的特點，找準誰相當于公式中的a誰相當于公式中的b，試著用公式解題師：派兩名同學板演，師生共同評.穩(wěn)練.1.計：

22〔1〕

1()2

；〔2〕

15

)

；〔3〕(2－3)

；〕(+1)－.生：板演，師生共同評價.師：發(fā)現(xiàn)學生有新解法，指名板.生：(+1)－＝+1+)(n+1)＝+1)師：給出肯定，建議學生試著用這種解法做一.2.糾練習：指出以下各式中的誤，并加以改正：〔1〕a＝2a+1;〔2〕a+1)＝4

+1；〔3＝生：分析錯誤原因，并改.

a設(shè)意：照公式進行獨立的簡單計算，體會公式在解中的應(yīng)用一熟悉公式并過小組交流，自我檢驗，穩(wěn)固反.察個人的實際運用能力，并及時查漏補.例利完全平方公式計算：(1)(-2；(2)(-1-2x)師：指導學生分析算式特.生：找出相當于公式中與b的數(shù)式，試著解.設(shè)意：對課本內(nèi)容的補充，使學生從更深的一個角度來認識完全平方公式，防止解題時中間項的符號出現(xiàn)問題，并能在解題中通過靈活的變形來運用公式，解決問.教學時首放手讓學生獨立來解決第一個題目生能出錯較多且集中在中間項的符號上由引出有進一步認識公式的必要而教師引導學生再次觀察題目細分析題目當中誰相當于公式當中的a與b題過程中學生認識到了解決問題之前恰中選擇公式和正確分析題目的必要性，學習的積極性再次被激.五知遷、式練師：我們把形如2+b的式子稱完全平式請思考：1.假設(shè)(x-1)，那么代數(shù)式x+5的值為.2.〔1〕9x2-12x+m是一個完全平方式，那么m的值是〔2〕2是一個完全平方式，那么m的值是.生：組內(nèi)交流，探究嘗試.

師：巡視，發(fā)現(xiàn)有程度較好的同學已解出答案，指名，讓其說出自己的解.設(shè)意：兩題都是?？碱}型其中第一題是整體代法求代數(shù)式的值二題是考查學生對完全平方式概念的理解生解決起來可能會有困難師以給予適當?shù)闹笇蛊湔莆者@種題型的解.課上如果時間不允許，可以放到課下進行探.六

總串，入統(tǒng)師導學生從完全平方公式和方差公式不同和解題過程中要注意的事項兩方面總結(jié)本節(jié)課所學內(nèi)容生：分析1.完平方公式和平方差公式不：〔1〕形式不同．〔2〕結(jié)果不同：完全平方公式結(jié)果是三項，即(＝+；平方差公式的結(jié)果是兩項，即+)(＝2.解過程中要準確確定a和b，對照公式原形的兩,做不丟、弄符、ab時少2.設(shè)意：堂小結(jié)并不只是課堂知識點的回憶，要盡量讓學生暢談自己的切身感受，教師對于發(fā)言進行鼓勵一梳理本節(jié)所學要有所思考達所學知識穩(wěn)固的目的.七達檢，價正★1.用完平方公式計算：(1)－a)(2)3﹢b)2(3)2★x，求代數(shù)(-3+2(3﹢)－7的值.設(shè)意：計兩個題目，由簡單到復雜，對不同程度的學生分層要.度稍好的學生都完成一般的學生只要完成一題即學生限定時間獨立完成生錯使學生了解自己學習的掌握情況，便于教師的學情分.八課作、固高1.根訓練：課本習題.2.拓練習：〔1〕試著用圖形解釋2=ab.〔2〕﹢2與－b)試

有怎樣的聯(lián)系？能否用一個等式來表示兩者之間的關(guān)系，并嘗用圖形來驗證你的結(jié)論？

設(shè)意：計兩組題目，第一組為根底題，穩(wěn)固本節(jié)所學組題目為下一節(jié)課的學習做準備九板設(shè)1.6完全平方公式〔1〕完全平方公式：(＝+兩數(shù)和〔或差〕的平方，等于這兩數(shù)的平方和加上〔或減去〕這兩數(shù)積的兩.

例題

練習教反有前面平方差公式的學習做根底多數(shù)學生能夠很順利地進行自主探究和用圖形驗證和的完全平方公式，并從中建立了數(shù)形結(jié)合的意.關(guān)于差的完全平方公式的幾何解釋，本節(jié)課沒有讓學生給出驗證方法，放到課下進行探索，是為了降低難.這節(jié)課的探究活動較多學生的主性得到了充分的表達堂氣氛平等融洽激高漲更喜的是在完全平方公式的探求和應(yīng)用過程中別在解決例2的題時有學生觀察入微，又統(tǒng)攬全局，表現(xiàn)出了較強的觀察力和分析問題、解決問題的能力，此時，作為教師我們要善于抓住這個契時地對學生提出表揚和鼓勵一步激發(fā)他們的學習興趣.而對于表現(xiàn)較差的學生，不可輕言放棄，那么要適時地進行學法指導，使其領(lǐng)會數(shù)學的化歸思想學用一般方法決問題養(yǎng)他們“既見樹木又森林〞的優(yōu)良觀察品質(zhì)本節(jié)課的缺乏之處在于處理達檢測題目的時間有些緊因是學生對完全平方式的理解不是很好變訓練題用的間稍多一些議把變式訓練放到課下探究本節(jié)課練好完全平方公式的有關(guān)計算即可.第章

反例數(shù)一、學生知識狀況分析通過本章的學習已經(jīng)歷抽象反比例函數(shù)概念的過程了反比例函數(shù)的概念，

會作出反比例函數(shù)的圖象索掌握其性質(zhì)函數(shù)圖象中獲取信息來解決實際問題。本章的教學主要以直觀操作，觀察，概括和交流作為主要的活動方式。通過這些活動，對函數(shù)的三種表示方法進行有機的整合步形成對函數(shù)概念的整體性認識步高從函數(shù)圖象中獲取數(shù)學信息的能力提高生的感知水平逐步形成從函數(shù)視角處理問題的意識體驗數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方.教師應(yīng)從現(xiàn)實情境和學生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，以本章三維教學目標為標準來考查學生的學習情況，考查學生對反比例函數(shù)的定義，圖象，性質(zhì)及其應(yīng)用掌握的程度，以及從函數(shù)圖象中敏銳地獲取相關(guān)信息、分析問題、解決問題的能.二、教學任務(wù)分析函數(shù)是在探索具體問題中數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的根底上抽象出來的數(shù)學概念,是究現(xiàn)實世界變化規(guī)律的重要內(nèi)容及數(shù)學模型,生已經(jīng)在七年級下冊和八年級上冊學習過變量之間的關(guān)系、一次函數(shù)等內(nèi),對數(shù)已有了初步的認識在此底上討論反比例函,可以進一步領(lǐng)悟函數(shù)的概念累研究函數(shù)性質(zhì)的方法及用函數(shù)觀點處理和解決實際問題的經(jīng)驗為繼學習二次函數(shù)等產(chǎn)生積極的影響。教學目標(一知識與能力1.經(jīng)歷抽象反比例函數(shù)概念的過，理解反比例函數(shù)的概2.會作反比例函數(shù)的圖象，并探和掌握反比例函數(shù)的主要性.3.會從函數(shù)圖象中獲取信息用反比例函數(shù)的概念和要性質(zhì)解決實際問題.(二)過程與方法1.熟練掌握本章的整體知識結(jié)構(gòu)培養(yǎng)學生的概括和歸納能力，形成知識體.2.在經(jīng)歷抽象反比例函數(shù)概念的程中，領(lǐng)會反比例函數(shù)的意義，理解反比例函數(shù)的概念，進一步培養(yǎng)學生的抽象思維能.3.經(jīng)歷一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)探索過程，在合作與交流中開展學生的合作意識和交流能力4.能根據(jù)所給信息確定反比例函數(shù)的表達式作反比例函數(shù)的圖象能運用數(shù)形結(jié)合思想解決與反比例函數(shù)相關(guān)的數(shù)學問題和實際應(yīng)用問.(三情感與價值觀通過本章內(nèi)容的回憶與思考展學生的數(shù)學應(yīng)用能力歷函數(shù)圖象信息的識別與

應(yīng)用過程，開展學生的形象思維能力，激發(fā)學生學習的熱情，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣。教學重點本章知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)體.反比例函數(shù)的概.會作反比例函數(shù)的圖象，并掌握其性.反比例函數(shù)的相關(guān)應(yīng).教學難點利用反比例函數(shù)的圖像，探索反比例函數(shù)的主要性.反比例函數(shù)的相關(guān)應(yīng).教學方法自主探究、合作交流三、教學過程分析本節(jié)課設(shè)計了五個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復習提問，引人入勝；第二環(huán)節(jié)：知識串聯(lián)，形成體系；第三環(huán)節(jié)：例題精練，穩(wěn)固新知；第四環(huán)節(jié)：交流探討、獲小結(jié)；第五環(huán)節(jié)：課后作業(yè)第一環(huán)節(jié)：復習提問，引人入勝活動目的給生設(shè)置疑問，激學生的思考和回憶，明確本節(jié)課的學習任務(wù)。活動過程：本章的內(nèi)容已全部學完，請大家先回憶一下，本章學習了哪些主要內(nèi)?學生答復預設(shè)：反函數(shù)及例數(shù)用。.

教師引入：面就面復.第二環(huán)節(jié)：知識串聯(lián)，形成體系活動目的引導學生對本章的所的根底知識進行系統(tǒng)的歸納和整理學明確各個知識點之間的聯(lián)系，將底知識網(wǎng)絡(luò)化，形本錢章知識的框架結(jié)構(gòu)體系?；顒舆^程：〔一〕本章知識結(jié)構(gòu)引導學生構(gòu)造本章知識結(jié)構(gòu)圖。(可前讓學生自己制作本章知識的內(nèi)容框架或思維導

圖，上課進行展示和交流)本章內(nèi)容框架活動效果學可以根據(jù)以上內(nèi)框架自己整理的知識框架進行補充和整理善自己的知識體系，并能用自己的語言歸納總結(jié)本章內(nèi).考前須知：1.應(yīng)學生自主總和歸納為主，教師要在適時適當?shù)慕o予指導；2.對于學生個性化的結(jié)構(gòu)框架的理設(shè)計，只要合理，老師都應(yīng)給予肯定。（二）舉出現(xiàn)實生活中有關(guān)反比例函數(shù)的實例，并歸納出反比例函數(shù)概.學生答復預設(shè)：例：當三角形的面積是16cm時，它的底邊a(cm)是這個底邊上高h(cm)函數(shù)解：a＝

32h

.在上式中，任意給定h一值，相應(yīng)地就確定了一個a的值因此a是的數(shù)。所以一般地，如果兩變量，y之的關(guān)系可以表示成是x的比例函.

kx

(k是數(shù)，k≠0)形式,那么y〔三〕說說函數(shù)y＝

2和y的象的聯(lián)系和區(qū)別xx聯(lián)系：圖象都是由兩支曲線成；(2)它們都不與坐標軸相交；(3)它們都不過原點，既是中心稱圖形，又是軸對稱圖.(4)雖然y＝

2和y=-的象不同，但是在這兩個函數(shù)圖象上任取—點，過這兩點分xx別作x軸、y軸的平行線，與坐軸圍成的矩形面積相等，都為2.

區(qū)別：它所在的象限不同y=支曲線在第二象限和第四象限.

2的兩支曲線在第一象限和第三象限；y=-的兩x(2)y＝

2x

2的圖象在每個象限內(nèi)y隨x增大而減小y=-的象在每個象限內(nèi)，yx隨x的大而增大.〔四〕回憶反比例函數(shù)圖象的作圖步驟及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)畫函數(shù)圖象的步驟有列表、描點、連在作反比例函數(shù)的圖象時應(yīng)注意：列表時自變量的取值應(yīng)選取絕對值相等而符號相反的—對一對的數(shù)值盡量多取一些點線時要連成光滑的曲線，而不是折.反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)有〔課件演示1.形狀：反比例函數(shù)的圖象是兩雙曲.2.位置：當k>0時圖象分別位第一、三象限；k<0時，象別位于第二、四象限3.增減性：當k>0時.在每一個限內(nèi)y增大而減??；當k<0時在每一個象限，y隨x的大而增.4.因為在y=

kx

(k≠0)中x不為0也能，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸交，也不可能與y軸相.5.在一個反比例函數(shù)圖象上任取點，Q過點，Q分別作x、軸，軸的行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S，S那么S＝S6.對稱性：反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖形是中心對稱圖形它有兩條對稱軸，對稱中心是坐標原點第三環(huán)節(jié)：例題精練，穩(wěn)固新知活動目的使生運用反比例函的概念象和主要性質(zhì)熟練的解決實際問題高學生獲取信息、分析問題、解決問題的能力?；顒舆^程：課件展示例一1.以下函數(shù)中，其圖象位于第一三象限的有哪?其圖象所在象限內(nèi)，的值值的增大而增大的是哪些()

(1)y=

13x

(3)y=(2)y=x

(4)y=-

72.在函數(shù)＝

3x

的圖象上任取一點P，過P分別軸、軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積是多?分析：根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，當＞0，圖象位于第一、三象限，在每一個象1限內(nèi)，隨的大而減?。划攌<0時，好相反，但在＝中形式雖然和反比例函3x數(shù)的形式不相同，但可以化成y=

x

的形式。答案：圖象位于第一、三象限的(在其圖象所在象限內(nèi)y的隨x值增大而增大的(3)(4).2.S=｜=3.例二14

，當下底面放在桌子上時，對桌面的壓強是200，倒過來放，對桌面的壓強是多少當體積v＝5米ρ＝1.98千／米(ρ與的函關(guān)系式當米3CO的密度.

時，分析：壓強p、力面積S、壓三者間的關(guān)系為p=是一定的，由于受力面積不同，因此壓強也不.

FS

，因為是同一物體，所以質(zhì)量m、密度ρ、體積v三之的關(guān)系為：

，由v=5米，千／,可知質(zhì)量m，實際代表反比例函數(shù)中的k求出m就確定了反比例函數(shù)的關(guān)系.答案：解1.當下底面放在桌面上時，對桌面的壓強為p

FS

所倒過來放時對面的壓強＝

FF

＝800Pa.

的質(zhì)量為千克將v=5米，ρ=1.98克／米入公式ρ＝故所求ρ與v間函關(guān)系式為ρ＝.

中，得m=9.9千克.(2)當v＝9米

時，ρ=

＝1.1(千克／米3)

課堂練習課演示：1.對于函數(shù)y=

2x

2，當x>0時y_______0，這局圖象在______限；對于y＝-，x當x<0時，y____0，局部圖象在_____限2.函數(shù)y=

10

的圖象在第象內(nèi)，在每一象限內(nèi)y增大而_____.k3.根據(jù)以下條件，分別確定函數(shù)y＝的達式x(1)當x=2時，y＝-3；(2)點(-

12

13

k)在雙曲線y＝上x答案：1.>一三<二四2.一、三減3.(1)y=

1(2)y=；6考前須知：在本環(huán)節(jié)教學中，教師可以引導學生首先進行獨立思考，防止替代思維，然后可以通過小組討論、合作交流等形式，啟發(fā)學生對問題進行探究，分析，完善解題思路，進而感悟和總結(jié)解決此類問題的一般方法和規(guī)律。第四環(huán)節(jié)：交流探討收小結(jié)活動內(nèi)容：教師導學生進行憶和整理后通過師生交流和生生交流答復以下問題：本節(jié)課我們都一起回憶和復習了哪