第四節(jié) 函數(shù)的極值及其求法

第五節(jié)一、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值與最大值最小值二、最大值最小值問(wèn)題(Extrema,MaximaandMinimaofFunctions)2/4/20231第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、函數(shù)的極值及其求法圖3-5-1圖3-5-2圖3-5-32/4/20232第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.函數(shù)極值的定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).2/4/20233第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2.函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,2/4/20234第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理2(第一充分條件)

2/4/20235第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(是極值點(diǎn)情形)(不是極值點(diǎn)情形)圖3-5-4圖3-5-5圖3-5-6圖3-5-72/4/20236第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求極值的步驟:2/4/20237第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例1解列表討論極大值極小值2/4/20238第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用圖形如下圖3-5-72/4/20239第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理3(第二充分條件)證2/4/202310第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例2解圖形如下2/4/202311第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用注意:圖3-5-8-4422/4/202312第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例3解注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).圖3-5-912342/4/202313第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.小結(jié)（1）極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得.（2）判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)2/4/202314第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用思考題下列命題正確嗎？2/4/202315第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用思考題解答不正確．例2/4/202316第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用在–1和1之間振蕩故命題不成立．圖3-5-102/4/202317第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二、最大值最小值的求法圖3-5-11圖3-5-12圖3-5-132/4/202318第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.步驟:（1）求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);（2）求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最大值或最小值.2/4/202319第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2.應(yīng)用舉例例4解計(jì)算2/4/202320第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用比較得圖3-5-142/4/202321第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例5

敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．（河寬0.5千米）問(wèn)我軍摩托車何時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）？解(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系敵我相距函數(shù)圖3-5-152/4/202322第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得唯一駐點(diǎn)圖3-5-152/4/202323第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最大值與最小值;2/4/202324第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例6

某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月1000元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去．當(dāng)租金每月增加50元時(shí)，就多一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)100元的維修費(fèi)．試問(wèn)房租定為多少時(shí)可獲得最大收入？解設(shè)房租為每月元，租出去的房子有

套，每月總收入為2/4/202325第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（唯一駐點(diǎn)）這極大值點(diǎn)就是最大值點(diǎn).故每月每套租金為1800元時(shí)收入最高。最大收入為2/4/202326第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例7解如圖,設(shè)所求切點(diǎn)為圖3-5-16則切線PT的方程為2/4/202327第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解得2/4/202328第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.小結(jié)注意最大值、最小值與極值的區(qū)別.最大值、最小值是整體概念而極值是局部概念.實(shí)際問(wèn)題求最大值最小值的步驟.2/4/202329第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用思考題2/4/202330第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用思考題解答結(jié)論不成立.因?yàn)樽钪迭c(diǎn)不一定是內(nèi)點(diǎn).例在有最小值，但2/4/202331第三章