第二章信號及其描述

第二章、信號及其描述本章學習要求：1.了解信號分類方法2.掌握信號時域波形分析方法3.掌握信號頻域頻譜分析方法4.了解其它信號分析方法

信號波形：被測信號幅度隨時間的變化歷程稱為信號的波形。信號的分類主要是依據(jù)信號波形特征來劃分的，在介紹信號分類前，先建立信號波形的概念。振動弦(聲源)聲級計記錄儀0At信號波形圖：用被測物理量的強度作為縱坐標，用時間做橫坐標，記錄被測物理量隨時間的變化情況?！?-1信號的分類及其描述為深入了解信號的物理實質(zhì)，將其進行分類研究是非常必要的，從不同角度觀察信號，可以將其分為：1從信號描述上分--確定性信號與非確定性信號；2從信號的幅值和能量上分--能量信號與功率信號；3從信號分析域上分--時域與頻域；4從信號自變量的取值是否連續(xù)--連續(xù)時間信號與離散時間信號；5從信號的物理可實現(xiàn)性上分

--物理可實現(xiàn)信號與物理不可實現(xiàn)信號。一、信號的分類

1確定性信號與非確定性信號可以用明確數(shù)學關系式描述的信號稱為確定性信號。不能用數(shù)學關系式描述的信號稱為非確定性信號。周期信號：經(jīng)過一定時間可以重復出現(xiàn)的信號

x(t)=x(t+nT)簡單周期信號復雜周期信號b)非周期信號：不會重復出現(xiàn)的信號。準周期信號準周期信號:由多個周期信號合成，但各周期信號的頻率不成公倍數(shù)，其合成信號不是周期信號。如：x(t)=sin(t)+sin(√2.t)瞬態(tài)信號瞬態(tài)信號:持續(xù)時間有限的信號，如x(t)=e-Bt.Asin(2*pi*f*t)c)非確定性信號：不能用數(shù)學式描述，其幅值、相位變化不可預知，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機過程。噪聲信號(平穩(wěn))噪聲信號(非平穩(wěn))統(tǒng)計特性變異2能量信號與功率信號

a)能量信號在所分析的區(qū)間（-∞，∞），能量為有限值的信號稱為能量信號，滿足條件：

一般持續(xù)時間有限的瞬態(tài)信號是能量信號。瞬態(tài)信號b)功率信號

在所分析的區(qū)間（-∞，∞），能量不是有限值．但平均功率是有限的，即此時，研究信號的平均功率更為合適。一般持續(xù)時間無限的信號都屬于功率信號。復雜周期信號噪聲信號(平穩(wěn))3時限與頻限信號

a)時域有限信號在時間段(t1，t2)內(nèi)有定義，其外恒等于零．b)頻域有限信號在頻率區(qū)間(f1，f2)內(nèi)有定義，其外恒等于零．三角脈沖信號正弦波幅值譜4連續(xù)時間信號與離散時間信號

a)連續(xù)時間信號:在所有時間點上有定義

b)離散時間信號:在若干時間點上有定義幅值連續(xù)幅值不連續(xù)采樣信號5物理可實現(xiàn)信號與物理不可實現(xiàn)信號a)物理可實現(xiàn)信號：又稱為單邊信號，滿足條件：t＜0時，x(t)=0，即在時刻小于零的一側(cè)全為零。b)物理不可實現(xiàn)信號：在事件發(fā)生前(t<0)就預知信號。

連續(xù)時間信號n012345t0連續(xù)時間信號（可包含不連續(xù)點）離散時間信號（抽樣信號）f(t)t0數(shù)字信號f(n)

(2)

(1)(1)01234n判斷下列信號判斷下列波形是連續(xù)時間還是離散時間信號，若是離散時間信號是否為數(shù)字信號？值域連續(xù)值域不連續(xù)

例1判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt

解：兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號x(t)+y(t)仍然是周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。（1）sin2t是周期信號，其角頻率和周期分別為ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信號，其角頻率和周期分別為ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)2π。（2）cos2t和sinπt的周期分別為T1=πs，T2=2s，由于T1/T2為無理數(shù)，故f2(t)為非周期信號。（一）信號的時域波形分析以時間為獨立變量，用信號幅值隨時間變化的函數(shù)或圖形來描述信號的方法稱為時域描述（又稱波形分析）信號的時域波形分析是最常用的信號分析手段，用示波器、萬用表等普通儀器直接顯示信號波形，讀取特征參數(shù)。tA2、周期T，頻率f=1/T3、峰值P，雙峰值Pp-p第二節(jié)信號的描述方式1、信號波形圖

tAT

PPp-p4、均值均值E[x(t)]表示集合平均值或數(shù)學期望值。0At均值：反映了信號變化的中心趨勢，也稱之為直流分量。5、均方值信號的均方值E[x2(t)]，表達了信號的強度，也稱為信號的平均功率；其正平方根值，又稱為有效值(RMS)

。工程測量中儀器的表頭示值就是信號的有效值。6、方差信號x(t)的方差定義為：

大方差

小方差

方差：反映了信號繞均值的波動程度。（二）信號的頻域分析

8563ASPECTRUMANALYZER9kHz-26.5GHz信號頻域分析是采用傅立葉變換或傅立葉級數(shù)將時域信號x(t)變換為頻域信號X(f)，從而幫助人們從另一個角度來了解信號的特征。

傅里葉變換或級數(shù)1頻譜的概念131Hz147Hz165Hz175Hz頻域參數(shù)對應于設備轉(zhuǎn)速、固有頻率等參數(shù)，物理意義更明確。時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化情況，除單頻率分量的簡諧波外，很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分量大小。（三）兩者的關系圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號

時間幅值頻率時域分析頻域分析時域分析與頻域分析的關系信號的頻譜X(f)代表了信號在不同頻率分量處信號成分的大小，它能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信息。

例：方波信號的描述

時域……T0T0T02T020tx(t)

頻域，4A

4A34A50A()03050003050

()/2幅值譜相位譜x(t)0tT0補充：gibbs現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象：當用Fourier級數(shù)的諧波分量之和來表達具有間斷點的波形時，由于實際所取的諧波分量項數(shù)有限，及用傅里葉級數(shù)展開時展開式在間斷點鄰域不能均勻收斂等原因，使得合成后的波形與原波形不一致，呈現(xiàn)波紋，這種現(xiàn)象就稱為吉布斯現(xiàn)象。周期方波信號的時、頻域描述

狄里克利（Dirichet）條件

在一周期內(nèi)，若存在間斷點，則間斷點的數(shù)目為有限個。

在一周期內(nèi)，極大值和極小值數(shù)目為有限個。

在一周期內(nèi)，信號絕對可積，即

第三節(jié)周期信號及其離散頻譜

1.傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式

Q:如何求各個系數(shù)？圓頻率n=1,2,3…周期傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式如下：式中同頻項合并后得：由上式可知，周期信號是由一個常值分量A0和若干個不同頻率的簡諧信號迭加而成的。其中：稱為n次諧波(n>2時也稱為高次諧波)，諧波頻率為基波頻率的整數(shù)倍；想一想：均值為零的周期方波的第3條譜線是幾次諧波？

稱為一次諧波或基波，基波頻率與信號頻率相同(周期相同)；基頻當n為奇數(shù)時稱為奇次諧波，當n為偶數(shù)時稱為偶次諧波。A0稱為信號的直流分量，即信號的均值。利用傅里葉級數(shù)把一個周期信號分解成一個直流分量和無數(shù)諧波分量之和的方法稱為諧波分析法或傅里葉分析法。以角頻率（或頻率f）為橫坐標，幅值An或相角φn為縱坐標所作的圖形，分別稱為信號的幅頻圖和相頻圖，兩者統(tǒng)稱為信號的頻譜。想一想：周期信號頻譜是連續(xù)的，還是離散的？為什么？例：周期性三角波的頻譜

0T0/2-T0/2Ax(t)t......解：=0n=1,3,5,…

因此，有：4A

24A924A2520A()03050003050

()

A22例子：求下圖波形的頻譜+X1(f)X2(f)用線性疊加定理簡化2復指數(shù)展開式

利用歐拉公式

周期信號可以寫為：

得：按實頻譜和虛頻譜形式

幅頻譜和相頻譜形式

幅頻譜圖：|

cn|——相頻譜圖：

n

——實頻譜圖：

cnR

——虛頻譜圖：

cnI

——

負頻率“負頻率”是運算的需要。實際中，只有把負頻

率項與相應的正頻率項成對合并起來，才是實

際的頻譜函數(shù)；從向量旋轉(zhuǎn)的方向：一個向量的實部可以看成兩個旋轉(zhuǎn)方向相反的矢量在其實軸上的投影之和，虛部為其在虛軸上的投影之差。

AA/20-00ReIm-負頻率的說明

幾點結論

復指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜（從-到+），三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜（從

0到+）兩種頻譜各諧波幅值之間存在如下關系：

雙邊幅值譜為偶函數(shù)，雙邊相位譜為奇函數(shù)

一般周期函數(shù)的復指數(shù)函數(shù)展開式的實頻譜總是偶對稱的，虛頻譜總是奇對稱的。

例：畫出余弦、正弦函數(shù)的實頻及虛頻譜圖。

解：c-1=1/2，c1=1/2，c0=0（n=0,1）c-1=j/2，c1=-j/2，c0

=0（n=0,1）1x(t)=cos0t0t1x(t)=sin0tt0cnR00-01/21/2cnR00-000-01/2-1/2cnIcnI00-0|cn|00-01/21/2|cn|00-01/21/2An001An001單邊幅頻譜單邊幅頻譜雙邊幅頻譜雙邊幅頻譜綜上所述，周期信號頻譜的特點如下：

周期信號的頻譜是離散譜；

每個譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)；

各頻率分量的譜線高度表示該諧波的幅值或相位角大小。從總體上看，工程上常見的周期信號，其諧波分量幅值都是隨諧波次數(shù)的增加而減小。因此，在頻譜分析中沒有必要取次數(shù)過高的諧波分量。

第四節(jié)

瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜

瞬變信號例參見下頁

頻率之比為有理數(shù)的多個諧波分量，其疊加后由于有公共周期，→周期信號

當信號中各個頻率比不是有理數(shù)時，則信號疊加后是準周期信號

一般非周期信號是指瞬變非周期信號

1.傅里葉變換

非周期信號可以看成是周期T0

趨于無窮大的信號。

傅里葉變換(FT)

傅里葉反（逆）變換(IFT)

以代入得記為：x(t)X()FTIFT而且有：用實、虛頻譜形式和幅、相頻譜形式寫為

盡管非周期信號的幅頻譜

和周期信號的幅頻譜

很相似，但是兩者量綱不同。

為信號幅值的量綱，而

為信號單位頻寬上的幅值。所以

是頻譜密度函數(shù)。工程測試中為方便，仍稱為頻譜。注意：例：求矩形窗函數(shù)的頻譜

其中：T稱為窗寬。在信號分析中稱為抽樣信號，它以2為周期并隨的增加作衰減震蕩。

1-T/2T/2tw(t)0W(f)T01T1Tf3T3T(f)01T2T3T1T2T3T2T2TW(f)函數(shù)只有實部，沒有虛部。其幅值譜為：sinc是偶函數(shù)，在n（n=1,2,……）處其值為0。

其相位譜視的符號而定。當為正值時相角為零，為負值時相角為非周期信號頻譜的特點

基頻無限小，包含了從-

?+的所有頻率分量。

頻譜連續(xù)。當非周期信號為時限信號（即|t|

t0時，x(t)=0)時，可拓展成一周期信號（T2t0），使連續(xù)譜離散化，所得離散譜的包絡線與連續(xù)譜的形狀相同。

|X()|與|cn|量綱不同。|cn|具有與原信號幅值相同的量綱，|X()|是單位頻寬上的幅值。

非周期信號頻域描述的基礎是傅里葉變換。

傅立葉變換的主要性質(zhì)

奇偶虛實性

若x(t)為實偶函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實偶函數(shù)若x(t)為實奇函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛奇函數(shù)若x(t)為虛偶函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛偶函數(shù)若x(t)為虛奇函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實奇函數(shù)若x(t)為實函數(shù)，則：ReX(f)=ReX(-f)ImX(f)=-ImX(-f)l

對稱性：若則：X(t)x(-f)證明：

互換t和f:從而：X(t)x(-f)圖

尺度改變性質(zhì)舉例a)k=1b)k=0.5c)k=2應用：磁帶的慢錄快放和快錄慢放？圖

時移性質(zhì)舉例a)時域矩形窗

b)圖a）對應的幅頻和相頻特性曲線c)時移的時域矩形窗

d)圖c）對應的幅頻和相頻特性曲線

若x(t)X(f)，且為常數(shù),則頻移性質(zhì)證明：

時域卷積對應頻域乘積時域乘積對應頻域卷積

積分特性:

若則在振動測試中，如果測得振動系統(tǒng)的位移、速度或加速度中任意一個參數(shù)，應用微分、積分特性就可獲得其他參數(shù)的頻譜。一、單位脈沖函數(shù)(δ函數(shù))

的頻譜1.δ函數(shù)定義且其面積（強度）

/201/ts(t)0t(t)1幾種典型信號的頻譜2.δ函數(shù)的性質(zhì)

1)采樣性質(zhì)

表明：任何函數(shù)f(t)和(t-t0)函數(shù)的乘積仍是一個強度為f(t0)的函數(shù)(t-t0)，而該乘積在無限區(qū)間上的積分則是f(t)在t=t0時刻的函數(shù)值f(t0)。2)

卷積性

函數(shù)與其它函數(shù)的卷積示例

3.δ函數(shù)的頻譜

對δ(t)取傅里葉變換

δ函數(shù)具有等強度、無限寬廣的頻譜，這種頻譜常稱為“均勻譜”

δ函數(shù)是偶函數(shù)，即

，則利用對稱、時移、頻移性質(zhì)，還可以得到以下傅里葉變換對

（各頻率成分分別移相2ft0）

(tt0)(f)（單位脈沖譜線）

1（幅值為1的直流量）

1（均勻頻譜密度函數(shù)）

(t)（單位瞬時脈沖）

頻

域

時

域

二、

矩形窗函數(shù)和常值函數(shù)的頻譜

1、矩形窗函數(shù)的頻譜

（1）一個在時域有限區(qū)間里有值的信號，其頻譜卻延伸至無限頻率。

（2）在時域中截取信號的一段記錄長度，相當于將原信號與矩形窗函數(shù)之乘積。（3）幅值最大，稱主瓣，其它為旁瓣。主瓣寬度為窗寬倒數(shù)的2倍。2、常值函數(shù)(又稱直流量)

的頻譜幅值為1的常值函數(shù)的頻譜為f=0處的δ函數(shù)

實際上，常值函數(shù)可以看成是窗寬為無窮大的矩形窗函數(shù)，由時間尺度改變性質(zhì)，也可以得出其對應的頻域函數(shù)就是δ函數(shù)。

三、

指數(shù)函數(shù)的頻譜單邊指數(shù)衰減函數(shù)

其傅里葉變換為

單邊指數(shù)衰減函數(shù)及其頻譜

四、

正余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)

正余弦函數(shù)不滿足在無限區(qū)間上絕對可積條件，不能直接對之進行傅氏變換。由歐拉公式知：00ttsin2f0tcos2f0t1/2-1/20fImX(f)1/21/20fReX(f)-f0-f0f0f0五、

梳狀函數(shù)（等間隔的周期單位脈沖序列）的頻譜

其中Ts為周期；n為整數(shù)。梳狀函數(shù)為周期函數(shù)。表示成傅氏級數(shù)

（fs=1/Ts）因為在（-Ts/2，Ts/2）區(qū)間內(nèi)只有一個函數(shù)(t)，故從而

所以

即梳狀函數(shù)的頻譜也為梳狀函數(shù)，且其周期為原時域周期的倒數(shù)（1/Ts），脈沖強度為1/Ts。

第五節(jié)隨機信號的描述

隨機信號是非確定性信號

隨機信號具有不重復性（在相同條件下，每次觀測的結果都不一樣）、不確定性、不可預估性隨機信號必須采用概率和統(tǒng)計的方法進行描述相關概念

隨機現(xiàn)象：產(chǎn)生隨機信號的物理現(xiàn)象。樣本函數(shù)：隨機現(xiàn)象的單個時間歷程，即對隨機信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄。記作xi(t)，i表示第i次觀測。樣本記錄：在有限時間區(qū)間上觀測得到的樣本函數(shù)。隨機過程：在相同試驗條件下，隨機現(xiàn)象可能產(chǎn)生的全體樣本函數(shù)的集合（總體）。記作{x(t)}，即：{

x(t)}={x1(t)，x2(t)，……，xi(t)，……}隨機變量：隨機過程在某一時刻t1之取值x(t1)是一個隨機變量，隨機變量一般定義在樣本空間上。集合平均：一般而言，任何一個樣本函數(shù)都無法恰當?shù)卮黼S機過程{

x(t)}