第七章系統(tǒng)函數(shù)

電子與信息工程學(xué)院第七章系統(tǒng)函數(shù)

7.4系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)7.3信號流圖7.2系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性7.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性電子與信息工程學(xué)院目錄引言電子與信息工程學(xué)院前述幾章討論了時域分析和變換域分析，引出系統(tǒng)函數(shù)H(s)或H(z)。它與系統(tǒng)微分（差分）方程、系統(tǒng)框圖、系統(tǒng)的單位沖激(單位序列)響應(yīng)及頻率響應(yīng)有關(guān)。本章將在系統(tǒng)函數(shù)的基礎(chǔ)上，分析系統(tǒng)的零極點分布、時域特性和頻域特性，討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并介紹信號流圖，討論系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。7.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性目錄電子與信息工程學(xué)院一、系統(tǒng)函數(shù)的零點與極點分布圖二、系統(tǒng)函數(shù)與時域響應(yīng)三、系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)§7.1

系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性一、系統(tǒng)函數(shù)的零點與極點分布圖LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s或z的有理分式，即A(.)=0的根p1，p2，…，pn稱為系統(tǒng)函數(shù)H(.)的極點；B(.)=0的根1，2，…，m稱為系統(tǒng)函數(shù)H(.)的零點。將零極點畫在復(fù)平面上得零、極點分布圖。

例-1-20(2)例：已知H(s)的零、極點分布圖如圖示，并且h(0+)=2。求H(s)的表達式。解：由分布圖可得根據(jù)初值定理，有二、系統(tǒng)函數(shù)H(·)與時域響應(yīng)h(·)沖激響應(yīng)或單位序列響應(yīng)的函數(shù)形式由H(.)的極點確定。下面討論H(.)極點的位置與其時域響應(yīng)的函數(shù)形式。所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。1．連續(xù)因果系統(tǒng)

H(s)按其極點在s平面上的位置可分為:在左半開平面、虛軸和右半開平面三類。

（1）在左半平面

若有負實單極點p=–α(α>0)，則A(s)中有因子(s+α)，其所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為Ke-αtε(t)

(b)若有一對共軛復(fù)極點p12=-α±jβ，則A(s)中有因子[(s+α)2+β2]Ke-αtcos(βt+θ)ε(t)

(c)若有r重極點，則A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r，其響應(yīng)為Kitie-αtε(t)或Kitie-αtcos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)以上三種情況：當(dāng)t→∞時，響應(yīng)均趨于0。暫態(tài)分量。（2）在虛軸上

(a)單極點p=0或p12=±jβ，則響應(yīng)為Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)-----穩(wěn)態(tài)分量(b)r重極點，相應(yīng)A(s)中有sr或(s2+β2)r，其響應(yīng)函數(shù)為Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)—遞增函數(shù)（3）在右半開平面

均為遞增函數(shù)。

LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的極點確定。①H(s)在左半平面的極點所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為衰減的。即當(dāng)t→∞時，響應(yīng)均趨于0。

②H(s)在虛軸上的一階極點所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)分量。

③H(s)在虛軸上的高階極點或右半平面上的極點，其所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都是遞增的。即當(dāng)t→∞時，響應(yīng)均趨于∞。

2．離散因果系統(tǒng)

H(z)按其極點在Z平面上的位置可分為:在單位圓內(nèi)、在單位圓上和在單位圓外三類。①H(z)在單位圓內(nèi)的極點所對應(yīng)的響應(yīng)序列為衰減的。即當(dāng)k→∞時，響應(yīng)均趨于0。

②H(z)在單位圓上的一階極點所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

③H(z)在單位圓上的高階極點或單位圓外的極點，其所對應(yīng)的響應(yīng)序列都是遞增的。即當(dāng)k→∞時，響應(yīng)均趨于∞。

根據(jù)Z平面與S平面的影射關(guān)系，得出如下結(jié)論：

三、系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)1、連續(xù)系統(tǒng)

若H(s)的收斂域包含虛軸（對于因果系統(tǒng)，H(s)的極點均在左半平面），則系統(tǒng)存在頻率響應(yīng)，頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系為:下面介紹兩種常見的系統(tǒng)。（1）全通函數(shù)

若系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(jω)|為常數(shù)，則稱為全通系統(tǒng)。其相應(yīng)的H(s)稱為全通函數(shù)。凡極點位于左半開平面，零點位于右半開平面，并且所有零點與極點對于虛軸為一一鏡像對稱的系統(tǒng)函數(shù)，即為全通函數(shù)。

（2）最小相移函數(shù)對于具有相同幅頻特性的系統(tǒng)函數(shù)而言，右半開平面沒有零點的系統(tǒng)函數(shù)稱為最小相移函數(shù)。2、離散系統(tǒng)

若H(z)的收斂域包含單位圓（對于因果系統(tǒng)，H(z)的極點均在單位圓內(nèi)），則系統(tǒng)存在頻率響應(yīng)，頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系為式中，ω為角頻率，Ts為取樣周期。

例：某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(1)若系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，求單位序列響應(yīng)h(k);(2)若系統(tǒng)為反因果系統(tǒng)，求單位序列響應(yīng)h(k);(3)若系統(tǒng)存在頻率響應(yīng)，求單位序列響應(yīng)h(k);解：(1)|z|>3，h(k)=[(-0.5)k+(3)k](k)(2)|z|<0.5，h(k)=[-(-0.5)k-(3)k](-k-1)(3)0.5<|z|<3，h(k)=(-0.5)k(k)-(3)k(-k-1)7.2系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性目錄電子與信息工程學(xué)院一、系統(tǒng)的因果性二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性§7.1

系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性一、系統(tǒng)的因果性

連續(xù)因果系統(tǒng)的充分必要條件是：沖激響應(yīng)h(t)=0,t<0或者，系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域為：Re[s]>σ0

離散因果系統(tǒng)的充分必要條件是：單位響應(yīng)h(k)=0,k<0

或者，系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域為：|z|>ρ0

因果系統(tǒng)是指這類系統(tǒng)：某時刻的輸出只取決于此時刻和此時刻之前的輸入的系統(tǒng)。注：在考察系統(tǒng)的因果性時，必須把輸入信號的影響與系統(tǒng)定義中用到的其他函數(shù)的影響區(qū)別開來，例如如下系統(tǒng)：一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)：對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的。即，激勵|f(.)|≤Mf

，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)|yzs(.)|≤My(M為有限常數(shù)）時域：S域：若H(s)的收斂域包含虛軸，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。

對于因果系統(tǒng)若H(s)的極點均在左半開平面，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。（1）連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件（2）離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件時域：Z域：對于因果系統(tǒng)：若H(z)的極點均在單位圓內(nèi)，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。若H(z)的收斂域包含單位圓，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。

舉例y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)=f(k-1)(1)若為因果系統(tǒng)，求h(k)，并判斷是否穩(wěn)定。(2)若為穩(wěn)定系統(tǒng)，求h(k).

(1)因果系統(tǒng)，故收斂域|z|>2，所以h(k)=0.4[0.5k-(-2)k]ε(k)，不穩(wěn)定。

(2)穩(wěn)定系統(tǒng)，故收斂域0.5<|z|<2，所以h(k)=0.4(0.5)kε(k)+0.4(-2)kε(-k-1)解：（3）連續(xù)因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準則——羅斯-霍爾維茲準則必要條件的所有根位于左半開平面的必要條件是：（1）所有系數(shù)都必須非0，即不缺項；（2）系數(shù)的符號相同。

A(s)=s3+4s2-3s+2

符號相異，不穩(wěn)定A(s)=3s3+s2+2

，a1=0，不穩(wěn)定A(s)=3s3+s2+2s+8

需進一步判斷，非充分條件。羅斯列表將A(s)的系數(shù)作如下陣列第1行anan-2an-4…第2行an-1an-3an-5…第3行cn-1cn-3cn-5…它由第1，2行，按下列規(guī)則計算得到：

第4行由2，3行同樣方法得到。一直排到第n+1行。羅斯準則指出：若第1列元素具有相同的符號，則A(s)=0所有的根均在左半開平面。若第1列元素出現(xiàn)符號改變，則符號改變的總次數(shù)就是右半平面根的個數(shù)。例A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2羅斯列表：注意：在排羅斯陣列時，可能遇到一些特殊情況，如第一列的某個元素為0或某一行元素全為0，這時可斷言：該多項式不是霍爾維茲多項式。

第1列元素符號改變2次，因此，有2個根位于右半平面。

（4）離散因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準則——朱里準則朱里列表：第1行

anan-1an-2……a2a1a0第2行

a0a1a2……an-2an-1an第3行

cn-1cn-2cn-3……c1c0第4行

c0c1c2……cn-2cn-1第5行

dn-2dn-3dn-4……d0第6行

d0d1d2……dn-2

……第2n-3行r2r1r0第3行按下列規(guī)則計算：…一直到第2n-3行，該行有3個元素。

朱里準則指出：A(z)=0的所有根都在單位圓內(nèi)的充分必要的條件是:

(1)A(1)>0(2)(-1)nA(-1)>0(3)an>|a0|cn-1>|c0|dn-2>|d0|……r2>|r0|即，奇數(shù)行，其第1個元素必大于最后1個元素的絕對值。

特例：對2階系統(tǒng)。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得

A(1)>0A(-1)>0a2>|a0|例

A(z)=4z4-4z3+2z-1解:

排朱里列表4-402-1-120-4415-14040-1415209

-21056A(1)=1>0(-1)4A(-1)=5>04>1，15>4，209>56所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

7.3信號流圖目錄電子與信息工程學(xué)院一、信號流圖二、梅森公式§7.3信號流圖信號流圖是一種用有向的線圖描述方程變量之間因果關(guān)系圖。一、信號流圖1、定義：2、常用術(shù)語(1)結(jié)點：圖中每個結(jié)點表示一個變量或信號。(2)支路：連接兩個結(jié)點之間的有向線段稱為支路。(3)支路增益：每條支路上的權(quán)值。它也是該兩結(jié)點間的系統(tǒng)函數(shù)。(4)源點：僅有輸出支路的結(jié)點。(5)匯點：僅有輸入支路的結(jié)點。(6)通路：從一個結(jié)點沿著支路箭頭方向到達另一結(jié)點的路徑。(7)開通路：與任一結(jié)點相遇不多于一次的通路。(8)閉通路：閉合的路徑，也稱為（回路、環(huán)）。(9)不接觸回路：相互沒有公共結(jié)點的回路。(10)自回路：只有一個結(jié)點和一條支路的回路。

(11)前向通路：從源點到匯點的開通路。(12)前向通路增益，回路增益：通路中各支路增益的乘積。3、信號流圖的基本性質(zhì)(1)信號只能沿支路箭頭方向傳輸。支路的輸出=該支路的輸入與支路增益的乘積。

(2)當(dāng)結(jié)點有多個輸入時，該結(jié)點將所有輸入支路的信號相加，并將和信號傳輸給所有與該結(jié)點相連的輸出支路。4、方框圖--流圖5、流圖簡化的基本規(guī)則：X2=H2X3=H2H1X1(2)支路并聯(lián)：支路增益相加。

X2=H1X1+H2X1=(H1+H2)X1(1)支路串聯(lián)：支路增益相乘。

(3)混聯(lián)：X4=H3X3=H3(H1X1+H2X2)=H1H3X1+H2H3X2(4)自環(huán)消除：X3=H1X1+H2X2+H3X3所有來向支路除1–H3例：化簡下列流圖注意：化簡具體過程可能不同，但最終結(jié)果一定相同。

解：消x3消x2消x4消自環(huán)二、梅森公式系統(tǒng)函數(shù)H(.)記為H。梅森公式為：

稱為信號流圖的特征行列式為所有不同回路的增益之和；

為所有兩兩不接觸回路的增益乘積之和；為所有三三不接觸回路的增益乘積之和；…i

表示由源點到匯點的第i條前向通路的標(biāo)號

Pi

是由源點到匯點的第i條前向通路增益；

△i

稱為第i條前向通路特征行列式的余因子。消去接觸回路例：求右圖所示信號流圖的系統(tǒng)函數(shù)解(1)首先找出所有回路：

L1=H3GL2=2H1H2H3H5

L3=H1H4H5

(2)求特征行列式

△=1-（H3G+2H1H2H3H5+H1H4H5）+H3GH1H4H5(4)求各前向通路的余因子：(3)然后找出所有的前向通路：

p1=2H1H2H3