《數(shù)學史》朱家生版課后題目參考答案第二章

(完整word版《數(shù)學史》朱家課后題目參考答案第二章1試從數(shù)學科學展的角度，探古希臘把邏學中的演證明引入數(shù)的理由，并進一步論數(shù)學與邏輯關系答：一般認為，數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的一門科學,邏輯是研究思維形式及其規(guī)律和方法的一門科學，但它們都完全撇開其內(nèi)容,僅僅從形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分類上它們同屬于形式科.同時數(shù)學和邏輯的應用都十分廣泛，往往成為研究其它科學的工具,因此常常同被人們稱為工具性科學。圍繞邏輯與數(shù)學的關系討論下去經(jīng)形成三種意見──邏輯主義、形式主義和直覺主義。其中邏輯主義、直覺主義過多強調(diào)了數(shù)學和邏輯的同一性，而忽視了數(shù)學與邏輯的差異性。因此認識數(shù)學和邏輯的關系,于把握二者關系的辯證性──同一、差異又互補。研究中國傳統(tǒng)數(shù)學中邏輯思想與方法的必要性一直以來，不論是在邏輯史學界還是在數(shù)學史學界，對于中國傳統(tǒng)數(shù)學中邏輯思想與方法的研究沒有得到應有的重視.但從下面我們簡單論述來看，加強這方面的研究卻具有顯明的必要性。一、從邏輯與數(shù)學的關系看數(shù)學與邏輯的研究對象雖各不相同，但它們的性質(zhì)、特點卻有很多共同和類似的地方，正因為如此,才使得它們關系十分密切，在內(nèi)容和方法上可以互相運用和相互滲透。一般認為，數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的一門科學，邏輯是研究思維形式及其規(guī)律和方法的一門科學，但它們都完全撇開其內(nèi)容，僅僅從形式方面加以研究,因而均具有高度的抽象性，所以在分類上它們同屬于形式科學。同時，數(shù)學和邏輯的應用都十分廣泛,往往成為研究其它科學的工具，因此常常同被人們稱為工具性科學。圍繞邏輯與數(shù)學的關系討論下去，曾經(jīng)形成三種意見──邏輯主義、形式主義和直覺主義。其中邏輯主義、直覺主義，過多強調(diào)了數(shù)學和邏輯的同一性，而忽視了數(shù)學與邏輯的差異性。因此，認識數(shù)學和邏輯的關系在于把握二者關系的辯證性──同一、差異又互補.首先，肯定數(shù)學和邏輯的同一性。這是因為）數(shù)學和邏輯都是高度抽象的學科，數(shù)學

(完整word版《數(shù)學史》朱家課后題目參考答案第二章是研究數(shù)量的形式結構的，邏輯是研究思維的形式結構的，形式結構都是高度抽象的，是抽象結構它們的定義、定理、原理、法則等的正確性均不涉及各種事物具體內(nèi)容）數(shù)學和邏輯都講嚴格性，數(shù)學只有具有推理論證的嚴密性和結論的確定性或可靠性才成其為科學，邏輯也只有當它的推理論證嚴格而公理系統(tǒng)化時才形成科學（3)

數(shù)學和邏輯都具有廣泛的應用性，數(shù)學的應用自不待言，對邏輯而言可以肯定地說哪里有思維哪里就要邏輯,一切科學都在應用邏輯。其次，數(shù)學與邏輯的差異性也是明顯的。一方面，數(shù)學和邏輯的研究對象不同，數(shù)學的研究對象是一切事物的數(shù)與量的屬性，而邏輯學的研究對象是思維的形式及規(guī)律；另一方面，數(shù)學和邏輯的任務和目標不相同，數(shù)學的主要目標和任務是揭示客觀事物的量和數(shù)的規(guī)律性，而邏輯的主要目標和任務卻是為了解決思維推理形式的有效性或真值性問題。最后，數(shù)學和邏輯二者有很強的互補性.一方面數(shù)學可能得益于邏輯。從數(shù)學或其某一分支的產(chǎn)生和發(fā)展來看，它都是人對客觀世界中抽象出某一空間形式或數(shù)量關系進行研究的成果。在其開始階段，需要有一個有關經(jīng)驗材料的積累過程；進人提煉整理階段需要有一個組織和演繹的過程，最后才形成一個系統(tǒng)。無疑，在整個過程中都需要運用邏輯（開始階段運用歸納邏輯多一些,在整理階段則應用演繹邏輯多一些，特別是由于數(shù)學是一門形式或演繹科學，它的結論的正確性不能建立在實驗之上，能依賴于邏輯的推理證明，這是因為邏輯也是一間形式科學，其規(guī)則是普遍有效的，所以在應用中就能保證數(shù)學結論的正確性.數(shù)學一旦形成一個系統(tǒng)時（運用公理方法就由兩部分構成是原始概念與公理，另一是定義和推理的規(guī)則然后由原始概念依據(jù)定義規(guī)則逐次建立起其它的概念(所謂派生概念，及由公理出發(fā)，借助于邏輯推理逐次得到進一步的結論定理，最后組成一個有機的整體。這里運用邏輯的規(guī)則和方法是它顯著的特點,體現(xiàn)著它的結論的確定性和邏輯的嚴謹性。由此可以看出,邏輯對于數(shù)學來說確是十分重要的，如果離開了邏輯，就將成為一些經(jīng)驗材料的堆砌，也不可能成為一門科學.數(shù)學是

(完整word版《數(shù)學史》朱家課后題目參考答案第二章高度抽象的學科，它的公式，定理、法則、原則等的正確性不可能由具體實驗和經(jīng)驗實踐來證明，只能從邏輯上加以嚴格演繹論證才被確認。如果沒有邏輯，數(shù)學的大廈就無法建造至少以說不能建構系統(tǒng)的公理化的演繹的數(shù)學科學,即現(xiàn)今意義上的數(shù)學是根本不可能存在的.另一方面，邏輯的發(fā)展也要依靠數(shù)學的推動。很明顯數(shù)理邏輯的誕生和發(fā)展是離不開數(shù)學方法應用的，當今邏輯學的發(fā)展更是需要站在相當?shù)臄?shù)學基礎之上離開了數(shù)學方法，當今邏輯學的最先發(fā)展就不可能實現(xiàn)，如果說傳統(tǒng)形式邏輯向數(shù)理邏輯發(fā)展依靠的是數(shù)學方法的應用,那么當今或今后邏輯學的發(fā)展與進步也必須以廣泛的數(shù)學方法應用為基礎?？傊?，數(shù)學與邏輯的發(fā)展是密切相關的，它們相互影響互相推進，數(shù)學發(fā)展影響和推進了邏輯的前進，反過來邏輯發(fā)展又影響和推動了數(shù)學的進步當然,上面的論述并不是說我們對于歷史文化的演進過程中邏輯與數(shù)學或者數(shù)學與邏輯的關系就是十分明晰的了，相反，我們對于歷史的邏輯與歷史的數(shù)學之間的關系一直沒有清晰的認識，甚至于是十分模糊的，特別在我國的情況。因此,挖掘和梳理中國傳統(tǒng)數(shù)學中邏輯內(nèi)容，達到厘清中國傳統(tǒng)數(shù)學與中國古代邏輯的關系具有十分重要的理論意義和指導現(xiàn)實的意義。2、古時期的希臘派對數(shù)學科的發(fā)展最重的貢獻有些?并通過對料的分析，論述隊協(xié)作對數(shù)發(fā)展的重要答：有愛奧尼亞學派的演繹證明，畢達哥拉斯學派的“萬物皆數(shù)”芝諾悖論與巧辯學派，芝諾關于運動的三個悖論，巧辯學派在芝諾的那些悖論讓古希臘人傷透腦筋的時,提出了三大著名作圖問題。柏拉圖學派，柏拉圖學派把德謨克利特的原子論和畢達哥拉斯的數(shù)學成就等結合起來,提出了幾何學的原子說.

(完整word版《數(shù)學史》朱家課后題目參考答案第二章3畢達哥拉斯學是怎樣引第一次數(shù)學機的？他為什么要對次數(shù)學危機采取回避的度？這種態(tài)對數(shù)學發(fā)展什么重要影響？答：畢達哥拉斯的數(shù)是指整數(shù)，他們在數(shù)學上的一項重大發(fā)現(xiàn)是證明了勾股定理。他們知道滿足直角三角形三邊長的一般公式，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的三邊比不能用整數(shù)來表達。這樣一來，就否定了畢達哥拉斯學派的信條：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結為整數(shù)或整數(shù)比,所以不可公度量的發(fā)現(xiàn)引起第一次數(shù)學危機.這個發(fā)現(xiàn)對古希臘的數(shù)學觀點有極大的沖擊.這明,幾何學的某些真與算數(shù)無,幾何量不能完全出整數(shù)及其比來表示,反之數(shù)卻可以由幾何量表示出來.整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，所以，畢達哥拉斯學派對數(shù)學危機采取回避的態(tài)度。同時這也反應出覺和經(jīng)驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始由“自明的理出發(fā),經(jīng)演繹推,由此建立幾何學體系，這是數(shù)學思想上一次巨革命，這也是第一次數(shù)學危機的自然產(chǎn)物4、希數(shù)學學派的學觀各有什相同與不同地方，它對數(shù)學以及個科學的發(fā)展有么影響？答：在公元前6世紀～公元前3世紀期間，先后出現(xiàn)了許多數(shù)學學派，其中最有影響的有愛奧尼亞學派、畢達哥拉斯學派、巧辯學派和柏拉圖學派。1愛奧尼亞學派，享有“希臘科學之父”盛譽的泰勒斯（公元前636-—公元前這里創(chuàng)立了古希臘歷史上的第一個數(shù)學學派——愛奧尼亞學派.泰勒斯一個精明的商人，青壯年時代，他依靠自己的聰明才智,在商場上積了足夠的財富，使他的后半生能夠從事游歷和研究。泰勒斯對數(shù)學科學發(fā)展的貢獻不僅在于他發(fā)現(xiàn)一些定,重要的是泰勒斯對它們提供了某種邏輯推理。從泰勒斯開始，人們已不僅僅利用直觀和實驗來尋求數(shù)學結論了。泰勒斯已經(jīng)將邏輯學中的演繹推

(完整word版《數(shù)學史》朱家課后題目參考答案第二章理引入了數(shù)學，奠定了演繹數(shù)學的基礎，這使得他獲得了第一位數(shù)學家和論證幾何學家鼻祖的美.泰勒斯曾用全等三角形的知識計算出海船到海岸的距離,因此他被西方學者稱為“測量學的鼻祖2、畢達哥斯學派，畢達哥拉斯是古希臘哲學家、數(shù)學家、天文學家和音樂理論家，出身于愛琴海中的薩摩斯海。在學術方面，這個學派主要致力于哲學和數(shù)學的研究。相傳希臘文中“哲學”和“數(shù)學"這兩個詞就是由畢達哥拉斯學派創(chuàng)造的.管人們將許多幾何學的成就歸功于畢達哥拉斯學派，但這個學派的基本信條卻是“萬物皆數(shù)”照“萬物皆數(shù)的觀點，畢達哥拉斯學派相信：任何量都可以表示成兩個整數(shù)之(某個有理量）這在幾何上當于對于任何兩條給定的線段，總能找到第三條線段作為單位線段，將所給定的兩條線段劃分為整數(shù)段.他們稱這樣的兩條線段為“可公度量既有公共的度量單位。3、芝諾悖論與巧辯學派，畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)的不可公度量向希臘數(shù)學提出了一個難題，這就是如何處理離散與連續(xù)、有限與無限的關系。芝諾關于運動的三個悖論是二分說：物體運動是不存在的）阿基里斯追龜說阿基里斯是古希臘神話中的“神行太?！眳s永遠追不上烏龜飛箭靜止說：飛箭在飛行中的某一瞬間總是停留在某一確定的位置上，他此時是不動的，因此說飛箭實際上是靜止的。芝諾的悖論在當時是十分困難的,因為他的問題已經(jīng)涉及到對于當時的希臘數(shù)學家而言還很模糊的無限與連續(xù)的概念。更重要的是，人們明知它的悖論是不符合常理的，卻又不能駁倒,就促使人們開始思考一個理論能否自圓其說的問題。辯學派創(chuàng)立活動于雅典這個學派中聚集了各方面的學者大師,如文法、修辭、辯證法、人文，以及幾何、天文和哲學方面的學者。巧辯學派研究的主要目標之一是用數(shù)學來討論宇宙的運轉。巧辯學派的名字與著名的尺規(guī)作圖不能問題緊密地聯(lián)系在一起的。巧辯學派在芝諾的那些悖論讓古希臘人傷透腦筋的時候，提

(完整word版《數(shù)學史》朱家課后題目參考答案第二章出了三大著名作圖問題，又讓古希臘人陷入了困惑.謂三大尺規(guī)作圖不能問題是指，只允許用圓規(guī)和直尺作一正方形，使其與給定的圓面積相等；給定立方體的一邊，求作另一立方體之邊，是后者體積兩倍于前者體積；三等分任一已知角。4柏拉圖學派,柏圖是古希臘哲學家和教育家，出生于雅典的貴族家庭。柏拉圖學派把德謨克利特的原子論和畢達哥拉斯的數(shù)學成就等結合起來出了幾何學的原子說柏拉圖學派設想物質(zhì)世界的本原不是土、氣、水和,而兩種直角三角形，即正方形之半與等腰三角形之半。因為這兩種圖形是最完美的圖形，它們可以無限分下去。因此神就用它們構成種正多面體的界面：火微粒是正四面體，圡微粒是立方體，氣微粒是正八面體，水微粒是正二十面;最初一切是混亂的后來它們才被安排好，從而形成了宇宙5希臘數(shù)學的鼎時期為什會出現(xiàn)在亞山大時期?試論述學科學發(fā)展社會發(fā)展的關。答1）亞歷山大師從亞里士多德，文化修養(yǎng)很高，一般文化的皇帝都重視文化的傳播和教育2亞歷山大東征促使東西方文化和技術的交流當然就包括數(shù)學3生產(chǎn)力的迅速發(fā)展是推動數(shù)學進步的決定力量4）羅馬征地中海后，禁止數(shù)學的教育與傳播；基督教的興起也對自然科學起到了極

(完整word版《數(shù)學史》朱家課后題目參考答案第二章大地抑制作用！6歐幾里《幾何原》對數(shù)學以整個科學的展有什么要影響？其要影響的成有哪些？答：歐幾里得首先收集、整理已有的數(shù)學成果，以命題的形式作出表述，完善前人的各種定理并給于重新證明，使其達到無懈可擊的地步。然后，他做出了自己的偉大創(chuàng)造：對定義進行篩選，選擇出具有重大意義的公理輯地、嚴密地按演繹方法組織命題及其證明，最后形成了具有公理化結構和嚴密邏輯體系的《幾何原本六卷相當于平面幾何內(nèi)容，第一卷首先用23個定義給出了點、線、面、圓以及平行線等原始概念，接著提出了個公設和5個理。值得指出的是由于《幾何原本》中5公設所闡述的事實不像其他個設那樣明顯，人們懷疑它可能由前條設推出不獨立于前4條公設此，在《幾何原本》問世以后的多年中，許多人都曾試圖由其它的公設給出這一公設的證明。直到19紀初由于羅巴切夫斯基、高斯、波爾約等人的工作導致了“非歐幾何”的誕生，人們才知道該公設是不能由其它公設推導出來的,從而證明了5個公設是相互獨立的。同時著非歐幾何的誕生們關于幾何的認識也從歐幾里得的框架中解放出來，使得幾何學得到迅速的發(fā)展。7阿基米德是如讓用力學法發(fā)現(xiàn)和證球體積計公式的？試較他的方法與其他民族如中國古代學家的球體計算公式推導方法的同。答：阿基米德推導球體積公式的思想方法是先利用力學中的杠桿平衡原理得出球體積公式然后運用幾何方法加以論證巧妙地將他敏銳的洞察力理論知識和實踐，

(完整word版《數(shù)學史》朱家課后題目參考答案第二章以及他的淵博知識聯(lián)系在一起，最終求得球體體積。而第二種方法是中國古代數(shù)學家祖沖之的兒子祖暅利用祖氏定理”冪勢既同，則積不容異"和”出入相補原理方法，在牟合方蓋的基礎上，巧妙地求得出了球體體.盡管兩種求解方法極不相同,但我們可以肯定:阿基米德給予我們的方法、思想和祖暅原理給予我們的方法、思想均有相同的啟示：要注重基礎理論知識的學習；學會等價聯(lián)系和轉化勇于發(fā)明、創(chuàng)新；注重學習興趣、思想、方法的培養(yǎng);培養(yǎng)敏銳的觀察力。8、圓曲線的概是如何提出?古希臘數(shù)學家們是如何得圓錐曲線的？答:阿波羅尼斯首創(chuàng)了通過改變截面的角度，從一對對頂圓錐得到三種圓錐曲線的方法并依據(jù)曲線的做法推導出它們的特征關系式進而導出了圓錐曲線的弦、直徑、共軛直徑、切線等的定義和性質(zhì)，甚至還得到類似于在坐標變換下曲線性質(zhì)的不變性的結論。9希臘數(shù)學最重的成就有些?們留給了人哪些問題這些問題什么在希臘人的手無法解決？答1）主要成就包:泰勒斯領導的愛奧尼亞學派開了希臘命題論證先河,并明了四條定理和”泰勒斯定理畢達哥拉斯學派，證明了畢達哥拉斯定理，即勾股定理，并討論了許多數(shù)論的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)了不可公度量，歐幾里得的《原本》是數(shù)學史

(完整word版《數(shù)學史》朱家課后題目參考答案第二章上的一座豐碑最大的功績就在于數(shù)學中的演繹范式的確立即公理化思想，阿基米德用窮竭法計算圓的周長和面積公式，阿波羅里斯創(chuàng)立了完美的圓錐曲線理論，丟番圖的《算術》是希臘算數(shù)與代數(shù)成就的最高標志等。2)下的問題：任意角三等分、倍立方問題、化圓為方問題。3）為這些問題經(jīng)證明是不可能解決的問題，在這一時期,定量研究有了很大的進展，但并沒有使偏重幾何的方向發(fā)生逆轉，算數(shù)和代數(shù)中，演繹室的邏輯結構始終沒有建立起來，三角學的研究尚未擺脫天文學,這就決定了對于數(shù)學的研究仍然是直觀、經(jīng)驗的，其發(fā)展是緩慢的，從而使幾何的發(fā)展步履艱難。10收集閱讀相資料，并對進行整理，述歐幾里和阿基米德科學精神和愛國主情操。答：歐幾里得出生于雅典，曾受教于柏拉圖學院。雅典衰落后，應托勒密國王的邀請，來亞歷山大城主持數(shù)學學派的工作。歐幾里得是一位溫和仁慈的藹然長者，學生們都很尊敬他。他嚴謹治,圖名利,據(jù)說當托勒密國王向他詢問學習幾

(完整word版《數(shù)學史》朱家課后題目參考答案第二章何知識的捷徑時，他答道“幾何無王者之道。當有一位學生剛學完第一個幾何命題便問歐幾里得學了幾何后將得到什么好處時，歐幾里得則幽默地對侍者說“拿一個便士給這位先生，因為他總要從他學習的東西中獲取好處的”歐幾里得是一位勤奮的學者，他以滿腔熱情將以雅典為代表的希臘數(shù)學成果，運用歐多克索斯曾經(jīng)部分采用過的嚴密的邏輯方法重新編纂成書。歐幾里得首先收集、整理已有的數(shù)學成果，以命題的形式作出表,善前人的各種定理并給于重新證明，使其達到無懈可擊的地步。然后，他做出了自己的偉大創(chuàng)造:定義進行篩選，選擇出具有重大意義的公理，邏輯地、嚴密地按演繹方法組織命題及其證明,后形成了具有公理化結構和嚴密邏輯體系的《幾何原本是在公元前300年左右完成的.幾里得還寫了許多其他出色的著,對天文學和光學都有研究，但在純數(shù)學方面保留下來的僅有兩本數(shù)據(jù)》這在《幾何原本》基礎上進一步研究幾何學的一本問題集，共95問題；《論圖形的分割究將圖形分割成比例的問題，共有個問題。阿基米德出生于意大利西西里島的敘拉古他的父親