平均指標(biāo)和變異指標(biāo)

平均指標(biāo)和變異指標(biāo)第一頁，共九十六頁，2022年，8月28日第一節(jié)平均指標(biāo)

一、平均指標(biāo)的概念平均指標(biāo)又稱平均數(shù)，是同類社會經(jīng)濟現(xiàn)象總體內(nèi)各單位某一數(shù)量標(biāo)志在一定時間、地點條件下所達到的一般水平，是對同質(zhì)總體各單位某種數(shù)量標(biāo)志的差異抽象化，從而反映同質(zhì)總體一般水平的綜合指標(biāo)。它是某一變量數(shù)列分布的集中趨勢的代表值。第二頁，共九十六頁，2022年，8月28日

例如，我們要研究一個企業(yè)工人的工資情況，企業(yè)中每個工人的工資是不同的，彼此之間存在著差異，我們不能以其中任意一個工人的工資來代表整個企業(yè)工人工資的水平，應(yīng)該用工人的平均工資來代表。第三頁，共九十六頁，2022年，8月28日

平均指標(biāo)具有三個顯著特點：（1）它是一個代表值，可以代表總體的一般水平；（2）它將總體單位之間的數(shù)量差異抽象化了；（3）它反映了總體分布的集中趨勢。第四頁，共九十六頁，2022年，8月28日二、平均指標(biāo)的作用（一）利用平均指標(biāo)，可以了解總體的一般水平（二）利用平均指標(biāo)，可以對若干同類現(xiàn)象在不同空間進行比較分析（三）利用平均指標(biāo)，可以研究某一總體數(shù)值的平均水平在時間上的變化，說明總體的發(fā)展過程和趨勢（四）利用平均指標(biāo)，可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系（五）平均指標(biāo)可作為某些科學(xué)預(yù)測、決策和某些推算的依據(jù)第五頁，共九十六頁，2022年，8月28日三、平均指標(biāo)的分類（一）靜態(tài)平均數(shù)和動態(tài)平均數(shù)根據(jù)平均指標(biāo)反映內(nèi)容的不同，可以把平均數(shù)分為靜態(tài)平均數(shù)和動態(tài)平均數(shù)。靜態(tài)平均數(shù)：反映在同一時間范圍內(nèi)總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志一般水平的平均數(shù)。動態(tài)平均數(shù)：反映不同時間、同一空間范圍內(nèi)總體某一指標(biāo)一般水平的平均數(shù)。第六頁，共九十六頁，2022年，8月28日（二）數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)根據(jù)平均指標(biāo)計算方法的不同，可以把平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)。數(shù)值平均數(shù)：根據(jù)總體各單位標(biāo)志值計算的平均數(shù)，稱為數(shù)值平均數(shù)。如算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)。位置平均數(shù)：根據(jù)總體各單位標(biāo)志值在變量數(shù)列中的位置計算的平均數(shù)，如眾數(shù)和中位數(shù)。

第七頁，共九十六頁，2022年，8月28日第二節(jié)算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)的基本形式算術(shù)平均數(shù)是分析社會經(jīng)濟現(xiàn)象一般水平和典型特征的最基本、最常用的一種平均指標(biāo)?；径x為：總體標(biāo)志總量與總體單位總量之比。

算術(shù)平均數(shù)＝

第八頁，共九十六頁，2022年，8月28日例如，某企業(yè)某月職工工資總額為180000元，職工總?cè)藬?shù)為200人，則該企業(yè)該月職工的平均工資為：平均工資＝180000÷200＝900（元）算術(shù)平均數(shù)基本公式中的子項（總體標(biāo)志總量）與母項（總體單位總數(shù)）的口徑必須一致，各標(biāo)志與各單位之間必須具有一一對應(yīng)的關(guān)系，屬于同一總體。它區(qū)別于強度相對指標(biāo)。第九頁，共九十六頁，2022年，8月28日練習(xí)：分別指出以下指標(biāo)屬于平均指標(biāo)還是強度相對指標(biāo)。

1.每百戶居民擁有電話機的數(shù)量

2.人均糧食產(chǎn)量

3.人口密度

4.糧食平均畝產(chǎn)量

5.從業(yè)人員平均勞動報酬

6.人均糧食消費量第十頁，共九十六頁，2022年，8月28日二、算術(shù)平均數(shù)的計算方法計算算術(shù)平均數(shù)時，根據(jù)所掌握資料的不同，可分為簡單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)兩種形式。（一）簡單算術(shù)平均數(shù)掌握了總體單位標(biāo)志值及單位總數(shù)資料時，可直接利用上述公式計算算術(shù)平均數(shù)。

【例5-1】某車間7名工人，日生產(chǎn)零件分別為16、14、18、21、23、19、18件，試問該車間零件日均產(chǎn)量？第十一頁，共九十六頁，2022年，8月28日平均日產(chǎn)量＝＝18.4（件）該車間日平均生產(chǎn)零件18.4件，它代表這個車間日生產(chǎn)零件的一般水平。第十二頁，共九十六頁，2022年，8月28日簡單算術(shù)平均數(shù)是總體標(biāo)志總量與總體單位總量相比求出的平均數(shù)。其計算公式為：

＝

＝

式中：表示簡單算術(shù)平均數(shù)；表示總體標(biāo)志總量；表示各單位標(biāo)志值；表示總體單位總量。簡單算術(shù)平均數(shù)計算方法簡便，但其應(yīng)用的前提是：變量數(shù)列中各個變量出現(xiàn)的次數(shù)相同。第十三頁，共九十六頁，2022年，8月28日

（二）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)當(dāng)變量值已經(jīng)分組，且各個標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)不同時，就必須計算加權(quán)算術(shù)平均。

【例5-2】某商場鞋帽部有16名職工，按日銷售額分組，得到的變量數(shù)列資料見表5-1，試計算職工平均日銷售額。第十四頁，共九十六頁，2022年，8月28日3

按日銷售額分組（元/人）職工人數(shù)（人）

日銷售額（元）

22002600280030003200

23452

4400780011200150006400合計1644800表5-1某商場鞋帽部職工銷售額資料及計算表第十五頁，共九十六頁，2022年，8月28日

根據(jù)表5-1的資料，計算平均日銷售額如下：平均日銷售額=

==

=2800(元)第十六頁，共九十六頁，2022年，8月28日

在該平均數(shù)的計算中，不僅涉及到變量值x，還涉及到另一個反映變量值出現(xiàn)次數(shù)的量，用“f”表示。則有：

==

第十七頁，共九十六頁，2022年，8月28日該計算公式表明，平均數(shù)的大小，不僅取決于總體各單位標(biāo)志值的大小，而且還受到各單位標(biāo)志值出現(xiàn)次數(shù)的影響。所以，式中的“f”在此起著“權(quán)衡輕重”的作用，故統(tǒng)計學(xué)中將其稱為權(quán)數(shù)，將以上的計算方法稱為加權(quán)算術(shù)平均法。第十八頁，共九十六頁，2022年，8月28日【例5-2】已知某職工人數(shù)及工資總額資料，見表5-2，計算該飯店職工的平均工資。

表5-2某職工人數(shù)及工資總額資料部門工資額(元/人)職工人數(shù)(人)工資總額客房部餐飲部商品部83091010265643946480391309234合計——10894844第十九頁，共九十六頁，2022年，8月28日解：平均工資===(元)

第二十頁，共九十六頁，2022年，8月28日練習(xí)：某車間資料如表5-3，試計算該車間人均日產(chǎn)量。表5-3某車間工人日產(chǎn)量資料表

日產(chǎn)量（件）x工人人數(shù)(人）f各組日總產(chǎn)量xf202302408506602合計20第二十一頁，共九十六頁，2022年，8月28日該車間人均日產(chǎn)量為：＝＝＝42(件)第二十二頁，共九十六頁，2022年，8月28日如果我們掌握了組距式變量數(shù)列資料，也可以計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。這時可用各組的組中值來代替各組標(biāo)志值的實際水平。但應(yīng)用這種方法需要有一個假定條件，即假定各單位標(biāo)志值在各組內(nèi)是均勻分布或?qū)ΨQ分布的。

【例5-3】某企業(yè)工人工資情況如表5-4所示。第二十三頁，共九十六頁，2022年，8月28日表5-4某企業(yè)工人平均工資計算表按工人平均工資分組(元)各組工人數(shù)f組中值

x各組工資額

xf500～

600105505500600～

7002065013000700～8005075037500800～9004085034000900以上109509500合計130

—99500第二十四頁，共九十六頁，2022年，8月28日該企業(yè)工人平均工資為：

===765.4(元)第二十五頁，共九十六頁，2022年，8月28日

計算加權(quán)算術(shù)平均需要注意：

(1)權(quán)數(shù)的引入。通過前面的計算不難發(fā)現(xiàn)，簡單算術(shù)平均數(shù)的大小，只受一個因素即變量值本身的影響，當(dāng)變量值的水平較高時，平均數(shù)就較大；反之，平均數(shù)就較小。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的大小，卻要同時受兩個因素的影響；一是變量值本身，二是各個變量值出現(xiàn)的次數(shù)。

(2)權(quán)數(shù)的性質(zhì)。平均數(shù)往往靠近次數(shù)最多的那個變量值。權(quán)數(shù)大的變量值對平均數(shù)的影響就大，權(quán)數(shù)小的變量值對平均數(shù)的影響就小。第二十六頁，共九十六頁，2022年，8月28日

(3)權(quán)數(shù)的實質(zhì)。權(quán)數(shù)對算術(shù)平均數(shù)的影響，不是決定于權(quán)數(shù)本身數(shù)值的大小，而是決定于權(quán)數(shù)比重的大小。權(quán)數(shù)比重作為權(quán)數(shù)的各組單位數(shù)占總體單位數(shù)的比重，也叫權(quán)數(shù)系數(shù)。單位數(shù)所占比重大的組，其變量值對平均數(shù)的影響就越大，反之影響就小。

==

式中，為權(quán)數(shù)比重第二十七頁，共九十六頁，2022年，8月28日推導(dǎo)過程如下：

===

=第二十八頁，共九十六頁，2022年，8月28日練習(xí)1：有關(guān)資料如下，計算平均工資。工資(元)人數(shù)(人)350以下3350～4504450～5507550～6503650以上3合計20第二十九頁，共九十六頁，2022年，8月28日

練習(xí)2：有關(guān)資料如下，計算工人平均日產(chǎn)量。日產(chǎn)量(件)x各組工人所占比重(%)6510702575408018857合計100第三十頁，共九十六頁，2022年，8月28日練習(xí)3：某局所屬各企業(yè)按工人人數(shù)分組資料如下，計算該局各企業(yè)平均工人人數(shù)。企業(yè)按工人數(shù)分組(人)各組企業(yè)占企業(yè)總數(shù)比重(%)組中值x50～1002100～2508250～50015500～75020750～1000251000～1500201500～200010合計100第三十一頁，共九十六頁，2022年，8月28日思考：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)與簡單算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系。第三十二頁，共九十六頁，2022年，8月28日在社會經(jīng)濟統(tǒng)計中，往往由于缺少總體單位數(shù)資料，不能直接采用算術(shù)平均數(shù)的方法計算平均數(shù)，這時就需要將算術(shù)平均數(shù)的形式加以改變。例如：市場上某種蔬菜價格早市為0.80元/公斤、中午為0.75元/公斤、晚市為0.60元/

公斤。要計算該種蔬菜一天中的平均價格是多少，有如下兩種情況。第三十三頁，共九十六頁，2022年，8月28日

(1)早、中、晚各買一公斤蔬菜，則平均價格為：＝＝＝0.72（元/公斤）第三十四頁，共九十六頁，2022年，8月28日

（2）如果早、午、晚各買一元錢的蔬菜，則一天中所買蔬菜平均價格是用一天中所買蔬菜所花的金額3元錢除以該種數(shù)量4.25公斤,即（)公斤，因此＝＝

＝0.71(元／公斤)第三十五頁，共九十六頁，2022年，8月28日第二節(jié)調(diào)和平均數(shù)一、調(diào)和平均數(shù)的概念調(diào)和平均數(shù)是各單位標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又稱倒數(shù)平均數(shù)。一般有簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種。二、簡單調(diào)和平均數(shù)簡單調(diào)和平均數(shù)是各個標(biāo)志值倒數(shù)的簡單算術(shù)平均的倒數(shù)。在各標(biāo)志值相應(yīng)的標(biāo)志總量均為一個單位的情況下求平均數(shù)時，應(yīng)計算簡單調(diào)和平均數(shù)。第三十六頁，共九十六頁，2022年，8月28日其計算公式為：

==

式中：——調(diào)和平均數(shù)；

x——各變量值(即標(biāo)志值)；

n——變量值的個數(shù)。第三十七頁，共九十六頁，2022年，8月28日

【例5-4】某商品在淡季、平季、旺季的價格分別是100元、116元、140元，假設(shè)分別以淡季、平季、旺季的價格購買金額相等的這種商品，求該商品的平均價格。

===

=116.46(元)第三十八頁，共九十六頁，2022年，8月28日三、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)是各個標(biāo)志值倒數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。在實際工作中各標(biāo)志值相應(yīng)的標(biāo)志總量往往是不等的，在這種情況下求平均數(shù)時，應(yīng)計算加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。其計算公式為：

==第三十九頁，共九十六頁，2022年，8月28日式中：m——總體各組標(biāo)志總量；

x——總體各組標(biāo)志值；

——總體標(biāo)志總量。第四十頁，共九十六頁，2022年，8月28日在前面的例子中，如果每種蔬菜不是各買1元，而是早市買4元錢的蔬菜，午市買3元錢的、晚市買2元錢的蔬菜，則平均每公斤的價格為：＝＝0.73（元）第四十一頁，共九十六頁，2022年，8月28日事實上，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)并無本質(zhì)的區(qū)別，只是由于掌握資料的不同，而采用了不同的計算形式而已。當(dāng)已知各組標(biāo)志值之和xf和各組標(biāo)志值（或組中值）x，而不知道各組的次數(shù)f時，設(shè)m＝xf，則加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的公式可做如下變形：＝＝＝第四十二頁，共九十六頁，2022年，8月28日練習(xí)：某車間資料如表5-5所示，計算平均日產(chǎn)量。表5-5某車間資料

日產(chǎn)量（件）x各組日產(chǎn)量m=xf

2040230602403208503006601202合計84020第四十三頁，共九十六頁，2022年，8月28日調(diào)和平均數(shù)的特點：（1）調(diào)和平均數(shù)是根據(jù)總體的全部變量值計算的結(jié)果。當(dāng)資料不完整時，無法計算。（2）調(diào)和平均數(shù)易受極端值的影響，而且受極小值的影響大于受極大值的影響。這是因為調(diào)和平均數(shù)中變量值采用的是倒數(shù)，小數(shù)字的倒數(shù)值大于大數(shù)字的倒數(shù)值。（3）調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用范圍較小。如果在變量值中有一項為0，則無法求其確定的調(diào)和平均數(shù)。第四十四頁，共九十六頁，2022年，8月28日第四節(jié)幾何平均數(shù)一、幾何平均數(shù)的概念幾何平均數(shù)就是n個變量連乘積的n次方根。二、幾何平均數(shù)的計算方法由于掌握資料差異，幾何平均數(shù)也分為簡單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)。（一）簡單幾何數(shù)設(shè)有n個變量值，x1,x2

,…,xn

,由幾何平均數(shù)定義可得出簡單幾何平均數(shù)的計算公式為：＝＝第四十五頁，共九十六頁，2022年，8月28日式中:

G——幾何平均數(shù)；

∏

——連乘符號。

【例5-5】某機械廠生產(chǎn)機器,設(shè)有毛坯、粗加工、精加工、裝配四個連續(xù)作業(yè)的車間，各車間某批產(chǎn)品的合格率分別為96%，93%，95%，97%。求各車間制品平均合格率。分析：由于全廠產(chǎn)品的總合格率并不等于各車間制品的合格率總和，后續(xù)車間的合格率是在前一車間制品全部合格的基礎(chǔ)上計算的。全廠產(chǎn)品的總合格率應(yīng)等于各車間制品合格率的連乘積，所以不能采用算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)公式計算平均合格率，而應(yīng)用幾何平均法來求。

第四十六頁，共九十六頁，2022年，8月28日

車間制品平均合格率＝＝＝95.24%第四十七頁，共九十六頁，2022年，8月28日第五節(jié)眾數(shù)和中位數(shù)一、眾數(shù)（一）眾數(shù)的概念眾數(shù)是指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。它是總體中最常用遇到的標(biāo)志值，是最普遍的最一般的標(biāo)志值。（二）眾數(shù)的確定確定眾數(shù)，首先要將數(shù)據(jù)資料進行分組，編制變量數(shù)列；然后，根據(jù)變量數(shù)列的不同種類采用不同的方法。第四十八頁，共九十六頁，2022年，8月28日

(1)根據(jù)單項式數(shù)列確定眾數(shù)在單項式數(shù)列情況下，確定眾數(shù)比較簡單，只需要觀察找出次數(shù)出現(xiàn)最多的那個標(biāo)志值即可。

(2)根據(jù)組距式數(shù)列確定眾數(shù)根據(jù)組距式數(shù)列確定眾數(shù)，需采用插補法。一般步驟是先確定眾數(shù)組，然后計算眾數(shù)的近似值。

【例5-6】2003年某地區(qū)職工家庭人均月收入資料見表5-5。第四十九頁，共九十六頁，2022年，8月28日表5-5

2003年某地職工家庭人均月收入資料表人均月收入（元）家庭戶數(shù)（戶）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900～10001000以上2606601800320020001000800600400合計10720第五十頁，共九十六頁，2022年，8月28日從表5-5中的家庭戶數(shù)列可知，家庭戶數(shù)最多的是3200戶，它所對應(yīng)的人均月收入為500～600元。因此，500～600元這一人均月收入組就是眾數(shù)組，它反映了人均收入的一般水平。然后利用下限公式或上限公式計算眾數(shù)的近似值：下限公式：上限公式：第五十一頁，共九十六頁，2022年，8月28日式中，M0——眾數(shù)；

U——眾數(shù)組的上限；

L——眾數(shù)組的下限；

Δ1——眾數(shù)組次數(shù)與下一組次數(shù)之差；

Δ2——眾數(shù)組次數(shù)與上一組次數(shù)之差；

i——組距。根據(jù)表中的資料，將有關(guān)數(shù)字代入下限公式，得到眾數(shù)的近似值：

第五十二頁，共九十六頁，2022年，8月28日眾數(shù)具有以下幾個特點：第一，由于眾數(shù)是根據(jù)變量值出現(xiàn)的次數(shù)確定的，不需要通過全部變量值來計算，因此它不受極端值的影響。第二，在組距數(shù)列中，各組頒布的次數(shù)組距大小的影響，所以根據(jù)組距數(shù)列確定數(shù)列時，要保證各組組距相等。第三，在一個次數(shù)分布中有幾個眾數(shù)，稱為多眾數(shù)；有兩個眾數(shù)，稱為雙重眾數(shù)，說明總體內(nèi)存在不同性質(zhì)的事物。第五十三頁，共九十六頁，2022年，8月28日二、中位數(shù)（一）中位數(shù)的概念中位數(shù)是指將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，處于中間位置的那個標(biāo)志值。由于它的位置居中，其數(shù)值不受極端數(shù)值的影響，也能表明總體各單位標(biāo)志值的一般水平。（二）中位數(shù)的確定根據(jù)所掌握資料的不同，中位數(shù)的確定方法有兩種，即根據(jù)未分組資料確定中位數(shù)和根據(jù)分組資料確定中位數(shù)。第五十四頁，共九十六頁，2022年，8月28日

1.根據(jù)未分組資料確定中位數(shù)①將標(biāo)志值按大小排序②確定中位數(shù)所在的位置與中位數(shù)所在位置相對應(yīng)的標(biāo)志值即為中位數(shù)。

中位數(shù)位置=

如果標(biāo)志值的基數(shù)是奇數(shù)，那么中間位置的那個標(biāo)志值，就是中位數(shù)。第五十五頁，共九十六頁，2022年，8月28日例如：某班組有7名工人，日生產(chǎn)零件數(shù)分別為16，17，18，20，21，22，23件，則中位數(shù)所在位置為第4位[(7+1)/2]，第4位所對應(yīng)的標(biāo)志值，即20件就是中位數(shù)，它代表了這7名工人日生產(chǎn)零件數(shù)的一般水平。以上是標(biāo)志值的項數(shù)是奇數(shù)的情況。如果標(biāo)志值的項數(shù)是偶數(shù)，那么處于中間位置左右兩邊的標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)，就是中位數(shù)。假如上述班組還有1名學(xué)徒工人，日生產(chǎn)零件為14件，那么他們生產(chǎn)零件數(shù)按順序排列為14，16，17，18，20，21，22，23件。此時中位數(shù)的位置為第4.5位[(8+1)/2]，則中位數(shù)為19件[(18+20)/2]，即第4位和第5位所對應(yīng)的標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)。第五十六頁，共九十六頁，2022年，8月28日

2.根據(jù)分組資料確定中位數(shù)①根據(jù)單項數(shù)列確定中位數(shù)這時要考慮標(biāo)志值的分布情況，按一定方法計算累計次數(shù)（向上累計和向下累計）。

【例5-7】某學(xué)院2002～2003學(xué)年共有30名同學(xué)獲得獎學(xué)金，其分布情況見表5-6。

第五十七頁，共九十六頁，2022年，8月28日

表5-6學(xué)生獎學(xué)金分布情況計算表由上表資料計算得中位數(shù)位置為30÷2=15，即中位數(shù)在第15人位置上。獎學(xué)金金額(元/人)人數(shù)(人)人數(shù)累計向上累計(人)向下累計(人)300500800100015003687639172430302721136合計30－－第五十八頁，共九十六頁，2022年，8月28日無論是向上累計還是向下累計法，所選擇的累計人數(shù)數(shù)值都應(yīng)是不小于15的最小數(shù)值。上表中的17和21符合這一要求，它們對應(yīng)的都是第三組，即800元/人就是中位數(shù)。②根據(jù)組距式數(shù)列確定中位數(shù)以表5-7為例。表5-7按餐飲收入分組(萬元)城市數(shù)(個)累計城市數(shù)(個)向上累計向下累計5000以下5000～1500015000～2500025000～3500035000以上4985441321263030261794合計30——第五十九頁，共九十六頁，2022年，8月28日確定中位數(shù)的基本步驟如下：第一步，確定中位數(shù)所在的組。中位數(shù)位置===15

由此可知，中位數(shù)在餐飲收入為15000萬～25000萬元的這一組里。第二步，結(jié)合向上(向下)累計次數(shù)確定了中位數(shù)所在的組。第三步，運用下限或上限公式進行計算，以求得近似的中位數(shù)數(shù)值。第六十頁，共九十六頁，2022年，8月28日一般用以下兩個公式估算中位數(shù)值：

下限公式：上限公式：第六十一頁，共九十六頁，2022年，8月28日式中，Me——中位數(shù)；

L——中位數(shù)所在組的下限；

U——中位數(shù)所在組的上限；

Sm-1——中位數(shù)所在組下一組的向上累計次數(shù)；

Sm+1——中位數(shù)所在組上一組的向下累計次數(shù)；

fm——中位數(shù)所在的次數(shù)；

i——中位數(shù)所在組的組距；

∑f

——總次數(shù)。

第六十二頁，共九十六頁，2022年，8月28日按下限公式可得中位數(shù)：

(萬元)

第六十三頁，共九十六頁，2022年，8月28日練習(xí)：某企業(yè)職工月工資資料如下表所示，試確定其中位數(shù)。月工資(元)人數(shù)(人)向上累計向下累計500～600110600～700180700～800320800～900460900～10008501000～11002501100～12001301200～1300701300～1400201400～150010合計2400第六十四頁，共九十六頁，2022年，8月28日第六節(jié)應(yīng)用平均指標(biāo)需要

注意的問題一、注意社會經(jīng)濟現(xiàn)象的同質(zhì)性二、注意用組平均數(shù)補充說明總平均數(shù)三、注意用分配數(shù)列補充說明平均數(shù)第六十五頁，共九十六頁，2022年，8月28日第七節(jié)標(biāo)志變異指標(biāo)一、標(biāo)志變異指標(biāo)的概念和作用（一）標(biāo)志變異指標(biāo)的概念標(biāo)志變異指標(biāo)是指反映總體中各單位志值差異程度的綜合指標(biāo)，又稱標(biāo)志變動。平均指標(biāo)表現(xiàn)為總體各單位標(biāo)志值的一般水平，反映各單位標(biāo)志值的集中趨勢。標(biāo)志變異指標(biāo)則表現(xiàn)為總體各單位標(biāo)志值的變異程度，反映各單位標(biāo)志值的離中趨勢。第六十六頁，共九十六頁，2022年，8月28日（二）標(biāo)志變異指標(biāo)的作用

1.標(biāo)志變異指標(biāo)可以衡量平均數(shù)代表性的大小平均指標(biāo)作為總體各單位標(biāo)志值一般水平的代表性指標(biāo)，其代表性大小與標(biāo)志變異指標(biāo)的大小成反比關(guān)系，即標(biāo)志變異指標(biāo)越大,平均指標(biāo)的代表性越小,反之則平均指標(biāo)的代表性越大。第六十七頁，共九十六頁，2022年，8月28日

【例5-7】有三組工人的年齡（單位：歲）如下：甲組：20，20，20，20，20=20乙組：19，19，20，20，22=20丙組：17，18，19，21，25=20

三組工人的平均年齡都是20歲，但各組年齡差異程度不一樣，甲組年齡無差異，即變動度為0歲。乙組的變動度為3歲(22～19)。丙組的變動最大為8歲(25～17)。因此，用平均年齡20歲去代表各組工人的年齡，其代表性是不一樣的。第六十八頁，共九十六頁，2022年，8月28日

2.標(biāo)志變異指標(biāo)可以反映社會經(jīng)濟活動過程的均衡性、節(jié)奏性和穩(wěn)定性計算同類總體的標(biāo)志變異指標(biāo)，并進行比較，可以觀察標(biāo)志值變動的穩(wěn)定程度或均衡狀態(tài)。如我們往往需要利用標(biāo)志變異指標(biāo)來測定產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性。

3.標(biāo)志變異指標(biāo)是科學(xué)地確定必要的抽樣單位數(shù)應(yīng)考慮的重要因素第六十九頁，共九十六頁，2022年，8月28日二、標(biāo)志變異指標(biāo)的計算與分析標(biāo)志變異指標(biāo)主要有全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)等。（一）全距全距是指總體各單位標(biāo)志值中兩個極端數(shù)值，即最大值與最小值之差，用“R”來表示。

第七十頁，共九十六頁，2022年，8月28日未分組資料或單項式數(shù)列中全距的計算公式為：

R＝最大標(biāo)志值－最小標(biāo)志值分組資料中全距的計算公式為：

R≈最高組的上限－最低組的下限以例5-7的資料為例，計算全距如下：甲組：R＝20－20＝0（歲）乙組：R＝22－19＝3（歲）丙組：R＝25－17＝8（歲）三組平均年齡均為20歲，但從全距來看丙組的變異程度大，甲組的變異程度最小。第七十一頁，共九十六頁，2022年，8月28日全距的特點：反映了總體各單位標(biāo)志值的變動范圍。它的優(yōu)點是計算簡便，意義明確、能準(zhǔn)確地反映總體中兩極的差距。在日常如證券市場的行情分析中應(yīng)用很廣泛。缺點：全距僅表示總體各單位標(biāo)志值的變動范圍，沒有包括中間各標(biāo)志值的變異情況，也無法反映變量數(shù)列的次數(shù)分布情況，是對變異程度較為粗略的反映。因此，它不能反映總體未必會變異程度，也不能很好地反映平均指標(biāo)的代表性。

第七十二頁，共九十六頁，2022年，8月28日（二）平均差平均差是總體各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差的絕對值的算術(shù)平均數(shù)，用符號“A·D”來表示。計算平均差的目的是測算各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差的大小。因為離差有正、有負(fù)，還可能有零，所以，為了避免加總過程中的正負(fù)抵消，計算平均差時要取離差的絕對值。第七十三頁，共九十六頁，2022年，8月28日根據(jù)所掌握資料的不同，平均差可分為簡單平均差和加權(quán)平均差。

1.簡單平均差如果掌握的資料是未分組的資料，則可計算簡單平均差。一般分為兩個步驟：第一步，求各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差的絕對值。第二步，將離差的絕對值之各除以各項數(shù)。

第七十四頁，共九十六頁，2022年，8月28日其計算公式如下：第七十五頁，共九十六頁，2022年，8月28日

【例5-8】某班有20學(xué)生名,按性別分成兩組，同時該班某門課程的期中測驗成績?nèi)绫?8所示。已知該班該門課程平均分?jǐn)?shù)為80分。

第七十六頁，共九十六頁，2022年，8月28日表5-8

女學(xué)生組男學(xué)生組成績（x）成績（x）68707276808285888990121084025891060626365768895969798201817154815161718合計68合計148第七十七頁，共九十六頁，2022年，8月28日

女學(xué)生組：（分）男學(xué)生組：（分）可見，女學(xué)生組成績的平均差為6.8分，男學(xué)生組的平均差是14.8分，男學(xué)生組成績的平均差明顯地大于女學(xué)生組，說明女學(xué)生組平均成績的代表性要大于男學(xué)生組平均成績的代表性。第七十八頁，共九十六頁，2022年，8月28日

2.加權(quán)平均差如果掌握的是分組資料，則可計算加權(quán)平均差。其計算公式為：第七十九頁，共九十六頁，2022年，8月28日

【例5-9】利用下表某商場食品部職工日銷售額資料,計算加權(quán)平均差。按日銷售額分組（元/人）職工人數(shù)（人）f離差絕對值離差絕對值加權(quán)22002600280030003200234526002000200400120060001000800合計16—3600第八十頁，共九十六頁，2022年，8月28日根據(jù)表中的資料，可得加權(quán)算術(shù)平均數(shù)為2800元/人，加權(quán)平均差為：（元/人）計算結(jié)果表明，該商場日銷售額的加權(quán)平均差為225元/人。

第八十一頁，共九十六頁，2022年，8月28日一般來說，平均差越大，標(biāo)志變異程度越大，平均數(shù)代表性越??；反之，平均數(shù)代表性越大。平均差考慮了研究總體中所有標(biāo)志值的差異程度，所以可以準(zhǔn)確地綜合反映總體的離散程度。但每項平均差的計算都必須取絕對值，這就帶來了不便于進行數(shù)學(xué)處理的問題，因而在實際應(yīng)用中受用了很大的限制。第八十二頁，共九十六頁，2022年，8月28日

(三）標(biāo)準(zhǔn)差

1.標(biāo)準(zhǔn)差的概念標(biāo)準(zhǔn)差是總體各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。用“”來表示。

2.標(biāo)準(zhǔn)差的計算第一步,計算各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差；第二步,將各離差進行平方（平方比較符合代數(shù)運算）；第三步,將離差平方和除以離差項數(shù)，計算出方差；第四步,計算方差的平方根，即為標(biāo)準(zhǔn)差。

第八十三頁，共九十六頁，2022年，8月28日根據(jù)所掌握資料的不同，標(biāo)準(zhǔn)差可分為簡單標(biāo)準(zhǔn)差和加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差。

1.簡單標(biāo)準(zhǔn)差當(dāng)掌握的資料是未分組資料時，可采用如下公式計算簡單標(biāo)準(zhǔn)差；第八十四頁，共九十六頁，2022年，8月28日

【例5-10】已知平均成績?yōu)?0分，以例5-8中考試成績?yōu)槔?，說明簡單標(biāo)準(zhǔn)差的計算。單位：分

女學(xué)生組男學(xué)生組成績（x）成績（x）