《易錯題》初中八年級數(shù)學(xué)上冊第十四章《整式的乘法與因式分解》(培優(yōu)專題)

一、選題1．將個、、、d排成2行2列兩邊各一條豎直線記成xx－．述記號就叫做2階列式，若=12，x=(．xx

bc

，定義

bc

=adA．

B．

C．

．

B解析：【分析】根據(jù)題中的新定義將所求的方程化為普通方程，整理后即可求出方程的解，即為的．【詳解】解：根據(jù)題意化簡

xxxx

=12，（）（）=12整理得：2+2x+1-），4x=12，解得：，故選：．【點睛】此題考查了整式的混合運算，屬于新定義的題型，涉及的知識有：完全平方公式，去括號、合并同類項法則，根據(jù)題意將所求的方程化為普通方程是解本題的關(guān)鍵．2．已知：m

m

，則

m

m

的值為A．15解析：【分析】

B．C21D．B把

兩平方得出mm

的值，再把

3

3

變形代入即可得出答案【詳解】解：m

m

，

，

m

m2

m

3

1=m+mm

1+

m

=37故選：【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵

3．在下列的計算中正確的是（）A．a(chǎn)

2

3

；

B．

；C．

2

；

．

2

A解析：【分析】根據(jù)單項式的乘法，平方差公式，完全平方公式，對各選項計算后利用排除法求解．【詳解】A、a?ab＝b，正確；B、為（2）a?2＝?4，故本選錯誤；C、與3y不同類項不能并；、為（）＝2?6x＋，本選項錯誤．故選：．【點睛】本題主要考查平方差公式，單項式的乘法法則，完全平方公式，熟練掌握運算法則和公式是解題的關(guān)鍵，合并同類項時，不是同類項的不能合并．4．A．

=1，是2的相反數(shù)，則的是（）B．．或3．或C解析：【分析】根據(jù)平方及相反數(shù)定義求出ab的，代入a+b計即可．【詳解】

a

=1，是2的反數(shù)，

a

，，當時，a+b=1-2=-1，當a=-1時，故選：．【點睛】此題考查求代數(shù)式的值，根據(jù)平方及相反數(shù)定義求出a、的是解題的關(guān)鍵．；5．設(shè),b是數(shù)定義一種新運算：a*b①a**

．下面有四個推斷：②

2

*

2

；③

；④

*

．其中所有正確推斷的序號是（）A．②④解析：

B．③④．②D③

42a42aa22【分析】根據(jù)的義，將每個等式的左右兩邊分別計算，再進行判斷即可．【詳解】①a*b=

，

，a*b=b*a成；2

，*b=

，

（）

=a

*b2

不成立；③(?a)*b=

，?b)=

，?a*b=a*(成；④a*(b+c)=

，c=

，a*(b+c)c不立；故選：．【點睛】本題考查了新定義下實數(shù)的運算，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．6．下列運算正確是（）A．b5b＝2C．b＝b

B．b5）＝8．（﹣）＝a2+2abA解析：【分析】根據(jù)冪的乘方，同底數(shù)冪乘法和除法，單項式乘多項式運算法則判斷即可．【詳解】、÷b＝，這個選項正確；、b）＝，這個選項錯誤；、?b4＝，這選項錯誤；D、a（﹣2b）＝﹣ab，這個選項錯誤；故選：．【點睛】本題考查了冪的乘方，同底數(shù)冪乘法和除法，以及單項式乘多項式，重點是掌握相關(guān)的運算法則．7．如圖，對一個正方形進行了分割，過面積相等可以證明下列哪個式子（）

A．

xy2

B．

x)x2xyy

2C．xy

xy

．

()

xy)

xyB解析：【分析】觀察圖形的面積，從整體看怎么表示，再從分部分來看怎么表示，兩者相等，即可得答案．【詳解】解：圖中大正方形的邊長為：x其面積可以表示為：

xy)

2分部分來看：左下角正方形面積為x，上角正方形面積為y，其余兩個長方形的面積均為，各部分面積相加得：

x

22

，()xy

故選：．【點睛】本題考查了乘法公式的幾何背景，明確幾何圖形面積的表達方式，熟練掌握相關(guān)乘法公式，是解題的關(guān)鍵．8．下列計算正確的是（）A．a(chǎn)+a

=a

6

B．·a=a4

C．

÷a

=a

3

．)

3

=6aB解析：【分析】直接利用合并同類項法則、同底數(shù)冪的乘除運算法則以及冪的乘方運算法則、積的乘方運算法則分別化簡得出答案．【詳解】A、

a

，故此選項錯誤；B、a

a

，故此選項正確；C、

3

2

a，此選項錯誤；、

(2

2

3

6

，故此選項錯誤；故選：．【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘除運算以及冪的乘方運算、積的乘方運算、合并同類項，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．9．下列運算中，正確的是（）A．

xy

4

B．x

x

C．x

3

4．

)()

2

y

2

C解析：【分析】

333根據(jù)積的乘方與冪的乘方運算法則，合并同類項法則，同底數(shù)冪的乘法以及平方差公式分別計算各項，然后再進行判斷即可．【詳解】解：

，所以原選項計算錯誤，故不符合題意；B.

x2x

，所以原選項計算錯誤，故不符合題意；，計算正確，符合題意；

)()

2

y

2

，所以原選項計算錯誤，故不符合題意．故選：．【點睛】此題主要考查了乘方與冪的乘方運算法則，合并同類項法則，同底數(shù)冪的乘法以及平方差公式，要熟練掌握．10．列運算正確的是（）A．x·x=x

6

B．

)

=x

6

C．3=27x

．+x

5

B解析：【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方的運算方法，同底數(shù)冪的乘法的運算方法，以及合并同類項的方法，逐項判斷即可．【詳解】x?x3=x5，選A不合題意；（3）＝6，選B符題意；（）

＝，選C不符合題意；x＋5

，選不符合題意．故選：．【點睛】此題主要考查了冪的乘方與積的乘方的運算方法，同底數(shù)冪的乘法的運算方法，以及合并同類項的方法，要熟練掌握．二、填題11．知，

互為相反數(shù)，c，d

互為倒數(shù)，x是軸上到原點的距離為1

的點表示的數(shù)，則

x

acd

的值為．或-2分析】根據(jù)ab互為相反數(shù)cd互為倒數(shù)x是數(shù)軸上到原點的距離為1的點表示的數(shù)可以得到a+b=0cd=1x=±1從而可以求得所求式子的值【詳解】解：∵ab互為相反數(shù)cd互為倒數(shù)x是數(shù)軸上到原點解析：或2【分析】根據(jù)，互相反數(shù)，互倒數(shù)，是數(shù)軸上到原點的距離為的表示的數(shù)，可以得到，，x=±1，而可以求得所求式子的值．

212020221202022【詳解】解：a，互相反數(shù)，，互為倒數(shù)x是軸上到原點的距離為1的表示的數(shù)，，，，x，x2021=1-1+0=0；

acd或

x2021

acd=-1-1+0．故答案為：或．【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法．12．y，

x

的值為_________．【分析】根據(jù)絕對值和平方式的非負性求出x和y的值再由冪的運算法則進行計算【詳解】解：且∴即∴故答案是：【點睛】本題考查冪的運算解題的關(guān)鍵是掌握冪的運算法則解析：

12【分析】根據(jù)絕對值和平方式的非負性求出x和y的值，再由冪的運算法則進行計算．【詳解】解：

x

2，，y，22

，xy，

2020

2021

2020

1．2故答案是：

．【點睛】本題考查冪的運算，解題的關(guān)鍵是掌握冪的運算法則．13．個三角形的面積為3xy－，邊長是2y，則這條邊上的高_．－4【分析】利用面積公式計算即可得到答案【詳解】設(shè)這條邊上的高為由題意得：∴ay=3xy-4y∴a=3x-4故答案為：【點睛】此題考查多項式除以單項式法則：用多項式中的每一項分別除以單

解析：－【分析】利用面積公式計算即可得到答案．【詳解】設(shè)這條邊上的高為，由題意得：

xyy

，，，故答案為：【點睛】此題考查多項式除以單項式法則：用多項式中的每一項分別除以單項式，再把結(jié)果相加．14．解因式：

5x

3

2

=

________________．分析】原式提取公因式再利用平方差公式分解即可【詳解】解：原式=5xx2-4y2）=故答案為：【點睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵解析：

5(xyy)【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【詳解】解：原式（2-4y2）

x(-2y

，故答案為：

5x(+2)(x)【點睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．15．圖所示的四邊形均為方形，請寫出一個可以用圖中圖形的面積關(guān)系說明的正確等式______．（a+b）（）=分析】根據(jù)長方形的面積個大正方形的面積+3個長方形的面積+1個小正方形的面積列式即可【詳解】由題意得：（a+b）（）=故答案為：（a+b）（）=【點睛】解析：）（）2a

【分析】根據(jù)長方形的面=2個正方形的面積個方形的面+1個正形的面積列式即可．【詳解】

由題意得：）（）22ab2，故答案為：）（）2

ab

．【點睛】此題考查多項式乘多項式與圖形面積，正確理解圖形面積的構(gòu)成是解題的關(guān)鍵．16．知有理數(shù)a，滿足

a，5

，則

ab

的值為0【分析】分情況討論或根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡得到即可求出結(jié)果【詳解】解：①（矛盾）舍去；②原式故答案是：0【點睛】本題考查代數(shù)式的求值解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的化簡利用整體代入的思想求值解析：【分析】分情況討論，

，0或a，

，根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡，得到312ab22【詳解】

，即可求出結(jié)果．解：

，0時，

a

，6a

，

，a

（矛盾），舍去；②a，

時，

5a

，b

，

，原

．故答案是：．【點睛】本題考查代數(shù)式的求值，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的化簡，利用整體代入的思想求值．．計算（7+1（﹣）的結(jié)果等_____．分析】根據(jù)平方差公式計算【詳解】（+1（﹣1）故答案為：【點睛】此題考查平方差計算公式：熟記公式是解題的關(guān)鍵解析：【分析】根據(jù)平方差公式計算．

【詳解】（7+1）7﹣），故答案為：．【點睛】此題考查平方差計算公式：

a)

22

，熟記公式是解題的關(guān)鍵．18．式分解

2

．【分析】先利用完全平方公式把原式寫成再根據(jù)完全平方公式得出結(jié)果【詳解】解：原式故答案是：【點睛】本題考查因式分解解題的關(guān)鍵是掌握利用乘法公式進行因式分解的方法解析【分析】

先利用完全平方公式把原式寫成a

2

c

2

2

2

c

2

，再根據(jù)完全平方公式得出結(jié)果．【詳解】解：原式a

2

c

2

abc

2

2

c

2

2a2abc22

．故答案是：

．【點睛】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握利用乘法公式進行因式分解的方法．19．知2

，x＝________3【分析】利用同底數(shù)冪乘法的逆運算求解即可【詳解】∵∴即：∴∴故答案為：3點睛】本題主要考查同底數(shù)冪乘法的逆運算靈活運用同底數(shù)冪乘法法則是解題關(guān)鍵解析：【分析】利用同底數(shù)冪乘法的逆運算求解即可．【詳解】2x

x

x

x

x

3

x

，

7

x

112，：

x

，

，x，故答案為：．【點睛】本題主要考查同底數(shù)冪乘法的逆運算，靈活運用同底數(shù)冪乘法法則是解題關(guān)鍵．20．式分解(＋9________．（x+6）【分析】根據(jù)平方差公式分解因式【詳解】(x＋9=（x+3+3）（x+3-3）=x（x+6）故答案為：x（x+6【點

睛】此題考查多項式的因式分解掌握因式分解的方法：提公因式法和公解析：（）【分析】根據(jù)平方差公式分解因式．【詳解】(＋－（）（x+3-3）（）故答案為：（）【點睛】此題考查多項式的因式分解，掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式）、分組分解法，根據(jù)多項式的特點選用恰當?shù)姆椒ǚ纸庖蚴绞墙忸}的關(guān)鍵．三、解題21．圖，將一張長方形鐵切割成九塊，切痕如下圖虛線所示，其中有兩塊是邊長都為acm

的大正方形，兩塊是邊長都為的正方形，五塊是長、寬分別是、的全等小長方形，且a（）含

、b

的代數(shù)式表示切痕的總長

；（）每塊小方形的面積為2

，四塊正方形的面積和為0cm

，試求

的值．解析：1）

；（）【分析】（）據(jù)切痕有兩橫兩縱列出算式，再根據(jù)合并同類項法則整理即可；（）據(jù)小矩的面積和正方形的面積列出算式，再利用完全平方公式整理求出+b的值，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（）痕=2[（）+2b+a），=6a+6b；故答案為：

；（）題意得

2

2

2

ab

，a2

14142a0,a．

，【點睛】本題考查對完全平方公式幾何意義的理解，應(yīng)從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義；主要圍繞圖形周長和面積展開分析．22．式分解：（）2x2

（）

x

3

2

yxy

2解析：1）

x1)(x

；（）

x)

2

．【分析】（）先提公式，再利用平方差公式進行分解即可；（）先提公式，再利用完全平方公式進行分解即可．【詳解】（）式

x1)(x

．（）式

2

x(x2)

．【點睛】此題主要考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解．23．概念學(xué)習(xí)）規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于）的除法運算叫做除方．例如2，作③，讀作2的3次方；再例如

(

，記作

，讀作的圈次方；般地，把a

（

，為于等于的整數(shù)）記作，作a的圈n次．（初步探究）⑤（）接寫出算結(jié)果：7，；（）于除方下列說法錯誤的____________；A．任何非零數(shù)的圈次方都等于1；B．于任何大于等于2的整數(shù)，

；C．⑨；．數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)；（深入思考）

⑥28⑥28我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？除方2

112

2

方冪的形式（）照上面算式，將下列運算結(jié)果直接寫成冪的形式：(；

⑨

；（）一個非有理數(shù)a的n次方寫成冪的形式____________；（）（為大于等于2的數(shù)）寫成冪的形式_．1解析：初步探究】1），；（）；深入思考】1

4

，27

；（2）

；（）a

m【分析】初步探究：1）據(jù)新定義的運算法則進行計算，即可得到答案；（）據(jù)新定的運算法則進行判斷，即可得到答案；深入思考：1）題目中的運算法則轉(zhuǎn)換成冪的形式，即可得到答案；（）冪的形轉(zhuǎn)換為一般形式即可；（）把代數(shù)進行化簡，然后寫成冪的形式即可．【詳解】解：【初步探究】（）

③

；

⑤

11)))))；44故答案為：

；；（）題意：A、任何非零數(shù)的圈次方都等于1；正；B、于任何大于等于2的整數(shù)，；確；C、

⑨

，

⑧

6

，∴

⑨⑧

，則C錯誤；、數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)；正確；故選：．

⑨4a⑨4a【深入思考】（）

(

⑥

1))))))55

4

；12

7

；故答案為：)；7；（）（）可知，根據(jù)乘方的運算法則，則將一個非零有理數(shù)a的n次寫成冪的形式為：故答案為：；；（）=am?am．故答案為：a

n

；【點睛】本題考查了新定義的運算法則，冪的乘方，有理數(shù)的乘法和除法運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握新定義的運算法則、乘方的運算法則進行解題．24．邊長為的正方形中掉一個邊長為的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）（）述操作驗證的等式_；（）用1）的結(jié)論，完成下列各題：①已：a，2224求的；②計：

1

122

113

112019

12020

．解析：1）-b=（a+b（a-b）2）①8；

20214040【分析】（）別表示接前后的陰影部分的面積，可得等式-b2（））得出答案；（）利用平方差公式將a22

化為（）（a-b）再整體代入即可；②先用平方差公式變形，再約分即可得到結(jié)果．

【詳解】解：（）中影部分的面積為a2-b，圖中陰影部分的面積為）（）因此有a2-b=（））能證的等式是-b

=（））（）-b=（a+b（）=24，a-b=3，；②原=

(1

111)...(1)4

4

【點睛】本題考查平方差公式的意義和應(yīng)用，理解和掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．25．式分解：（）ax2－axy＋ay2（）2－x8解析：1）

2()

2

；（）

(x4)

．【分析】（）提取公式，再用完全平方公式因式分解；（）給原式形用完全平方公式給前三項因式分解后，再利用平方差公式因式分解．【詳解】解：（）式

2(y)=

2ax)

2

；（）式x

=

2=

(x3)(x3)=

(x2)(

．【點睛】本題考查綜合運用提公因式法和公式法因式分解．一般因式分解時，有公因式先提取公因式，再看能否運用公式因式分解，有時還需變形后，分組因式分解．26．圖1是個長為4a、為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形然后用四塊小長方形拼成一個回”正形（如圖）（）察圖2請寫出

()

2

、

()

、ab

之間的等量關(guān)系_；

（）據(jù)1）的結(jié)論，若

x

，則

________；（）展應(yīng)用若

)

2

2020)

2

，求

)m2020)

的值．解析：1）a+b）-（b）＝ab；2）±4（）【分析】（）圖可知圖1的面積為ab，2中色部分的面積為a+）-（）＝（+）（-b），根據(jù)圖的積和圖2中色部分的面積相等可得答案；（）據(jù)1）的結(jié)論，可知xy）-（y）4，將+y＝，x?y

代入計算即可得出答案；（）等式（m）（）＝-1兩平方，再根據(jù)已知條件及完全平方公式變形可得答案．【詳解】解：（）圖知，圖1的積為4ab，2中色部分的面積為a+）（ba）＝（+）（-b），圖的面積和圖中色部分的面積相等，（+）-（-）＝ab，故答案為：a+）-（a）＝ab（）據(jù)1）的結(jié)論，可知xy）-（y）4，x＝，?y＝

，

5

-（y）＝4×

94

，（-y）

＝xy＝，故答案為：（）（m）（）-1[（m）（-2020）

＝，（m）

+2（2019-m）（）（）＝，（m）

（）＝，（m）m-2020）＝＝-6；（m）m）．【點睛】

．．．．．．．本題考查了完全平方公式的幾何背景，熟練運用完全平方公式并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．．通常的歷牌上，可以看到一些數(shù)所滿足的規(guī)律，①是年12月的日歷牌．星期一71421

星期二181522

星期三291623

星期四3101724

星期五4111825

星期六5121926

星期日613202728

29

30

31（表）（）表中，我們選擇用如②樣的正方形框任意圈出2個，將它們先交叉相乘，再相減．如：用正方形框圈出3四數(shù)，然后將它們交叉相乘，再相減，即

4

．請你用表的方形框任意圈出2個數(shù)，將它們先交叉相乘，再相減．列出算式并算出結(jié)果（選擇其中一個算式即．（）用②正方形框任意圈出的2數(shù)中，將它們先交叉相乘，再相減．若設(shè)左上角的數(shù)字為n，用n的數(shù)式表示其它三個位置的數(shù)字，列出算式并算出結(jié)果（選擇其中一個算式即．（）選擇用③那3

的正方形方框任意圈出

個數(shù)，將正方形方框四角位置上的個先叉相乘，再相減，你發(fā)現(xiàn)了什么．選擇一種情況說明理由．解析：1）

9，2,，

，，

n

，；（