理論力學(xué)-第八章點的合成運動

§8–1相對運動·牽連運動·絕對運動

§8–2點的速度合成定理

§8–3牽連運動是平動時點的加速度合成定理

§8–4牽連運動是轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理習(xí)題課第八章點的合成運動§8-1

相對運動·牽連運動·絕對運動運動的相對性：物體對于不同的參考體具有不同的運動。將復(fù)雜的運動分解成兩個簡單運動的組合，稱為點的合成運動（復(fù)合運動）某瞬時，動系上與動點重合的點。如二、復(fù)合運動的一般模型圓。一般為地球，亦可為動系。如：地面固連于運動物體。如：車箱研究對象。如：輪緣M點一、實例:

M點運動地面:擺線，車箱:定系(靜):動系:動點:牽連點:1.參考物與參考系有何區(qū)別?后者包含整個空間。2.某瞬時，動點與牽連點有無相對運動?必有。3.某瞬時，牽連點與動系有無相對運動?無。牽連點某瞬時的固定點不同瞬時，點不同點的運動剛體的運動２．相對運動：動點對動系的運動。例如：人在行駛的汽車里走動。３．牽連運動：動系相對于靜系的運動。例如：行駛的汽車相對于地面的運動。１．絕對運動：動點對靜系的運動。三．三種運動：1、動點在絕對運動中的速度和加速度稱為-----絕對速度和

絕對加速度。絕對相對牽連四、三種速度和三種加速度。2、動點在相對運動中的速度和加速度稱為-----相對速度和

相對加速度。3、動坐標系中與動點相重合的點(不是動點)的速度和加速度稱為----------牽連速度和牽連加速度下面舉例說明以上各概念：

五．動點的選擇原則：

六．動系的選擇原則：

動點：動系：靜系：AB桿上A點固結(jié)于凸輪Ｏ'上固結(jié)在地面上一般選擇主動件與從動件的連接點，它是對兩個坐標系都有運動的點。

動點對動系有相對運動，且相對運動的軌跡是已知的，或者能直接看出的。動系靜系動點

1.

若動點A在AB桿上時

動點：A(在AB桿上)

動系：偏心輪靜系：地面絕對運動：直線相對運動：圓周（曲線）牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動2.若動點A在偏心輪上時

A（在偏心輪上）AB桿地面圓周（紅色虛線）曲線（未知）平動＝＋當t

→

t+△t

，AB→A'B'

M→M'也可看成M→M１→M′MM'

為絕對軌跡MM'

為絕對位移M1M'為相對軌跡M1M'

為相對位移將上式兩邊同除以后，時的極限，得取§８-２點的速度合成定理速度合成定理-------任一瞬時動點的絕對速度等于其牽連速度與相對速度的矢量和。說明：

(1)

va—動點的絕對速度；

(2)

vr—動點的相對速度；

(3)

ve—動點的牽連速度，是動系上一點(牽連點)的速度

I)動系作平動時，動系上各點速度都相等。

II)動系作轉(zhuǎn)動時，ve

是該瞬時動系上與 動點相重合點的速度。

(4)點的速度合成定理是瞬時矢量式，共包括大小?方向六個元素。A為動系，B為動點解：1.分析如下4圖動點的速度和加速度。圖1動系為滑槽，動點為滑塊A，三種軌跡解：圖2動系為斜面，動點為輪心O。解：圖3動系:OA動點:輪心C。動系:套筒B動點:鉸A。動系:OA桿；動點:滑塊B圖4練習(xí)一、二、三:練習(xí)一解:動系:OA動點:輪心C。練習(xí)二解:動系:套筒B動點:鉸A。練習(xí)三解:動系:OA桿；動點:滑塊B橋式吊車。已知：小車水平運行，速度為v平，物塊A相對小車垂直上升的速度為v。求物塊A的運行速度。[例8-1]解：選取動點:物塊A

動系:小車

靜系:地面作出速度平四邊形如圖示，則物塊Ａ的速度大小和方向為相對運動:直線;相對速度vr=v

方向牽連運動:平動;牽連速度ve=v平方向絕對運動:曲線;絕對速度va

的大小,方向待求由速度合成定理：解：取套筒A點為動點，擺桿O1B為動系.基座為靜系。（）曲柄擺桿機構(gòu)已知：OA=r,,OO1=l

圖示瞬時OAO

求：擺桿O1B角速度1[例8-2]由速度合成定理

作出速度平行四邊形如圖示。絕對速度va

=r

方向

OAφ相對速度vr

=?方向//O1B牽連速度ve

=?方向O1B圓盤凸輪機構(gòu)已知：OC＝e,

,（勻角速度）圖示瞬時,OCCA

且

O,A,B三點共線。求：從動桿AB的速度。[例8-3]解：動點取直桿上A點，動系固結(jié)于圓盤，

靜系固結(jié)于基座。絕對速度va

=?待求，方向//AB相對速度

vr

=?未知，方向CA牽連速度ve=OA=2e,方向

OA由速度合成定理

作出速度平行四邊形如圖示。由上述例題可看出，求解合成運動的速度問題的一般步驟為：(1)

選取動點，動系和靜系。(2)

三種運動的分析。(3)

三種速度的分析。(5)

根據(jù)速度平行四邊形，求出未知量。恰當?shù)剡x擇動點、動系和靜系是求解合成運動問題的關(guān)鍵。(4)

根據(jù)速度合成定理作出速度平行四邊形。動點、動系和靜系的選擇原則(1)

動點、動系和靜系必須分別屬于三個不同的物體，否則絕對、相對和牽連運動中就缺少一種運動，不能成為合成運動(2)

動點相對動系的相對運動軌跡易于直觀判斷（已知絕對運動和牽連運動求解相對運動的問題除外）。已知:凸輪半徑r,圖示時桿OA靠在凸輪上。求：桿OA的角速度。[例8-4]絕對運動:直線運動,絕對速度:相對運動:直線運動,相對速度:解:取凸輪上C點為動點,

動系固結(jié)于OA桿上,

靜系固結(jié)于基座。牽連運動:定軸轉(zhuǎn)動,牽連速度:（）如圖示。根據(jù)速度合成定理做出速度平行四邊形由于牽連運動為平動，故由速度合成定理

設(shè)有一動點M按一定規(guī)律沿著固連于動系O'x'y'z'的曲線AB運動,而曲線AB同時又隨同動系O'x'y'z'相對靜系Oxyz平動?！?-3牽連運動是平動時點的加速度合成定理對t求導(dǎo)：(其中 為動系坐標的單位矢量，因為動系為平動，故它們的方向不變，是常矢量，所以 ）—牽連運動為平動時點的加速度合成定理即當牽連運動為平動時，動點的絕對加速度等于牽連加速度與相對加速度的矢量和?！嘁话闶娇蓪憺椋航猓喝U上的A點為動點，

動系與凸輪固連。已知：凸輪半徑求：j=60o時,頂桿AB的加速度。[例8-5]絕對速度va=?,方向AB

；絕對加速度aa=?,方向AB，待求。相對速度vr

=?,方向CA;

相對加速度art=?方向CA方向沿CA指向C牽連速度ve=v0,方向→;牽連加速度ae=a0,方向→由速度合成定理做出速度平行四邊形,如圖示。因牽連運動為平動，故有作加速度矢量圖如圖示，將上式投影到法線n上，得整理得[注]加速度矢量方程的投影是等式兩端的投影，與靜平衡方程的投影關(guān)系不同n絕對運動：圓周運動，已知:OA＝l,=45o

時，ω、α

求：小車的速度與加速度．解：

動點：OA桿上A點;動系：固結(jié)在滑桿上;靜系：固結(jié)在機架上。曲柄滑桿機構(gòu)[例8-6]相對運動：直線運動，牽連運動：平動；α小車的速度：

根據(jù)分析作速度圖和加速度圖在x軸上投影：，方向如圖示小車的加速度：根據(jù)牽連平動的加速度合成定理α[例8-7]曲柄OA=r，以勻角速度ωo轉(zhuǎn)動，BC=DE，BD=CE=l。求圖示位置時，桿BD的角速度和角加速度。60°30°DEABCOωωOα解：角速度

DBCE為平行四邊形，所以BC桿作平動。動系固結(jié)在BC桿上，套筒A為動點。絕對速度:va=rωOvavevrvavevrvBve=vr=va=rωOvB=ve=rωO60°30°DEABCOωωOα角加速度：A點絕對運動作勻速圓周運動；相對運動為直線運動；B點作圓周運動。其加速度方向如圖；Ay30°30°60°？？√√將在y軸上投影：Ay30°30°60°30°BD桿的角加速度：（隱含正號，方向假設(shè)正確）vavevr[例8-8]φRBCOO1Aω曲柄OA=R=10cm，以勻角速度ω=4πrad/s

轉(zhuǎn)動，求φ=30°時BC的速度和加速度。解：動點------滑塊A動系------固結(jié)于BC絕對運動：⑴速度分析圖：60°60°60°30°30°牽連運動：相對運動：φRBCOO1Aω⑵加速度分析圖：？？√√將上式在η軸上投影：30°30°30°60°

30°aaaearnarnτη設(shè)一圓盤-------以勻角速度繞定軸Ｏ順時針轉(zhuǎn)動，盤上圓槽內(nèi)有一點M------以大小不變的速度vr

沿槽作圓周運動，

那么M點相對于靜系的絕對加速度應(yīng)是多少呢？§8-4牽連運動是轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理相對運動為勻速圓周運動，（方向如圖）由速度合成定理可得出選點M為動點，動系固結(jié)與圓盤上，則M點的牽連運動為勻速轉(zhuǎn)動（方向如圖）即絕對運動也為勻速圓周運動，所以方向指向圓心Ｏ點分析上式： 還多出一項2vr。

可見，當牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度并不等于牽連加速度和相對加速度的矢量和。

那么他們之間的關(guān)系是什么呢？2vr又是怎樣出現(xiàn)的呢？它是什么呢？下面我們就來討論這些問題，推證牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理。三種速度分析牽連速度相對速度絕對速度

t

瞬時在位置Ｉt+Dt瞬時在位置II可以看出，經(jīng)過Dt時間間隔，牽連速度和相對速度的大小和方向都變化了。設(shè)有已知桿OA在圖示平面內(nèi)以勻繞軸O轉(zhuǎn)動，套筒M（可視為點M）沿直桿作變速運動。取套筒M為動點，動系固結(jié)于桿OA上，靜系固結(jié)于機架。其中-----在Dt內(nèi)相對速度大小的改變量，它與牽連轉(zhuǎn)動無關(guān)。 -----在Dt內(nèi)由于牽連轉(zhuǎn)動而引起的相對速度方向的改變 量，與牽連轉(zhuǎn)動的的大小有關(guān)

。

Dt時間間隔內(nèi)的速度變化分析(1)相對速度：由 作速度矢量三角形，在矢量上截取長度后，分解為和(2)牽連速度：由 作速度矢量三角形，在矢量上截取等于長后，將分解為和，其中:

—表示Dt內(nèi)由于牽連轉(zhuǎn)動而引起的牽連速度方向的改變量，與相對運動無關(guān)。

—表示Dt內(nèi)動點的牽連速度，由于相對運動而引起的大小改變量，與相對速度有關(guān)。加速度分析根據(jù)加速度定義上式中各項的物理意義如下：第一項大?。悍较颍篋t

0時，D

0,其方向沿著直桿指向A點。因此，第一項正是t

瞬時動點的牽連加速度。第三項大?。簽閷?yīng)于大小改變 方向：總是沿直桿。因此，該項恰是ｔ瞬時動點的相對加速度。第二項大?。涸擁棡橛捎谙鄬\動的存在而引起牽連速度的大小改變的加速度。第四項大?。哼@一項表明由于牽連轉(zhuǎn)動而引起相對速度方向改變的加速度。所以，當牽連運動為轉(zhuǎn)動時，加速度合成定理為

當牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度等于它的牽連加速度，相對加速度和科氏加速度三者的矢量和。一般式由于第二項和第四項所表示的加速度分量的大小，方向都相同，可以合并為一項，用表示，稱為科里奧利加速度，簡稱科氏加速度。

一般情況下

科氏加速度的計算可以用矢積表示方向：按右手法則確定。解:

動點:頂桿上A點；動系:凸輪;靜系:地面。絕對運動:直線;

絕對速度:va=?待求,方向//AB;

相對運動:曲線;相對速度:vr=?方向n;

牽連運動:定軸轉(zhuǎn)動;

牽連速度:ve=r，方向OA，。[例8-9]

已知：凸輪機構(gòu)以勻

繞O軸轉(zhuǎn)動，圖示瞬時OA=r

，A點曲率半徑,已知。求：該瞬時頂桿AB的速度和加速度。根據(jù)速度合成定理做出速度平行四邊形由牽連運動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理作出加速度矢量圖如圖示向n軸投影：解：點M1的科氏加速度 垂直板面向里。

矩形板ABCD以勻角速度繞固定軸z轉(zhuǎn)動，點M1和點M2分別沿板的對角線BD和邊線CD運動，在圖示位置時相對于板的速度分別為和，計算點M1、

M2的科氏加速度大小,并圖示方向。DABCθ點M2的科氏加速度

[例8-10]

解：根據(jù)做出速度平行四邊形方向：與相同。曲柄擺桿機構(gòu)已知：O1A＝r,,,1;取O1A桿上A點為動點，動系固結(jié)O2B上，試計算動點A的科氏加速度。[例8-11]一．概念及公式

1.一點、二系、三運動點的絕對運動為點的相對運動與牽連運動的合成．

2.速度合成定理

3.加速度合成定理牽連運動為平動時牽連運動為轉(zhuǎn)動時第八章點的合成運動習(xí)題課二．解題步驟

1.選擇動點、動系、靜系。

2.分析三種運動：絕對運動、相對運動和牽連運動。

3.作速度分析,畫出速度平行四邊形,求出有關(guān)未知量(速度,

角速度）。

4.作加速度分析，畫出加速度矢量圖，求出有關(guān)的加速度、角加速度未知量。搖桿滑道機構(gòu)解：動點:銷子D(BC上);動系:固結(jié)于OA；靜系:固結(jié)于機架。

絕對運動：直線運動， 相對運動：直線運動，，沿OA線 牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動，（）已知：

求:OA桿的ω、α

。根據(jù)速度合成定理做出速度平行四邊形,如圖示。[例8-12]投至軸：（）根據(jù)牽連轉(zhuǎn)動的加速度合成定理曲柄滑塊機構(gòu)解：動點:O1A上A點;動系:固結(jié)于BCD上,靜系固結(jié)于機架上。

絕對運動：圓周運動;

相對運動：直線運動;

牽連運動：平動;

，水平方向已知：

h;

圖示瞬時;

求:該瞬時桿的w2。[例8-13]根據(jù)

再選動點：BCD上F點動系：固結(jié)于O2E上，靜系固結(jié)于機架上絕對運動：直線運動，

相對運動：直線運動，牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動，根據(jù) 做出速度平行四邊形）（已知：凸輪半徑為R，圖示瞬時O、C在一條鉛直線上;已知;求:該瞬時OA桿的角速度和角加速度。分析:由于接觸點在兩個物體上的位置均是變化的，因此不宜選接觸點為動點。[例8-14]凸輪機構(gòu)解:

取凸輪上C點為動點，動系固結(jié)于OA桿上，靜系固結(jié)于地面上．

絕對運動:直線運動，相對運動:直線運動，牽連運動:定軸轉(zhuǎn)動，方向）(根據(jù)根據(jù)做出加速度矢量圖投至軸：轉(zhuǎn)向由上式符號決定，>0則，<0則已知:主動輪O轉(zhuǎn)速n=30r/minOA=150mm,圖示瞬時,OAOO1求:O1D桿的ω1、α

1

和滑塊B的。[例8-15]刨床機構(gòu)其中）(解：動點：輪O上A點動系：O1D,靜系：機架根據(jù)做出速度平行四邊形。根據(jù)做出加速度矢量圖投至方向：）(再選動點:滑塊B;動系:O1D;靜系:機架。根據(jù)做出速度矢量圖。根據(jù)投至

x軸：做出加速度矢量圖其中圖示瞬時,h已知,求:套筒O的ω和

α

。解：方法1：

A點作直線運動代入圖示瞬時的已知量，得（）（）