相交線與平行線知識點(diǎn)

—、本章共分4大節(jié)共14個課時；2.16～3.7第14周〕章節(jié)第五章相交線與平行線內(nèi)容14課時5.1相交線35.2平行線及其判定35.3平行線的性質(zhì)45.4平移2單元小結(jié)2二、本章有四個數(shù)學(xué)根本領(lǐng)實(shí)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；過一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線垂直；兩條直線被第三條直線所截，假設(shè)同位角相等，那么兩直線平行；兩直線平行，同位角相等.三、本章共有191.234.56.78.同位角內(nèi)錯角1112.1314.1516.假命題17.1819.平移四、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想遇到問題時，常常把它轉(zhuǎn)化為〔或已解決〕的問題.P14五、平移找規(guī)律轉(zhuǎn)化求面積作圖〔2023年安徽中考〕學(xué)校植物園沿路護(hù)欄紋飾局部設(shè)計(jì)成假設(shè)干個全等菱形圖案，每增加一個菱形圖案，紋飾長度就增加dcm，如下圖．每個菱形圖案的邊3長103

cm，其一個內(nèi)角為60°．60° ……d＝26，則該紋飾要d231L；L【解】 第19題圖當(dāng)d＝20時，假設(shè)保持〔1〕中紋飾長度不變，則需要多少個這樣的菱形圖案？【解】相交線與平行線學(xué)問點(diǎn)相交線1、鄰補(bǔ)角與對頂角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與對頂角相等∠1∠212∠2即∠1=∠2為反向延長線鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)∠34有∠3+∠43∠34一條邊公共，4=180°另一邊互為反向延長線.留意點(diǎn)：⑴對頂角是成對消滅的，對頂角是具有特別位置關(guān)系的兩個角；⑵假設(shè)∠α與∠β是對頂角，那么肯定有∠α=∠β；反之假設(shè)∠α=∠β，那么∠α與∠β不肯定是對頂角⑶假設(shè)∠α與∠βα+∠β=180°；反之假設(shè)∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不肯定是鄰補(bǔ)角.⑶兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補(bǔ)角有兩個，而對頂角只有一個.2、垂線⑴定義，當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線C相互垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.符號語言記作：如下圖：AB⊥CD，垂足為O

A O BD⑵垂線性質(zhì)1(與平行公理相比較記)⑶垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的全部線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.3、垂線的畫法：⑴過直線上一點(diǎn)畫直線的垂線；⑵過直線外一點(diǎn)畫直線的垂線.留意：①畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；②過一點(diǎn)作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長線上.畫法：⑴一靠：用三角尺一條直角邊靠在直線上，⑵二移：移動三角尺使一點(diǎn)落在它的另一邊直角邊上，⑶三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線.4、點(diǎn)到直線的距離直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離P記得時候應(yīng)當(dāng)結(jié)合圖形進(jìn)展記憶.A O B如圖，PO⊥AB，PABPO.PO.POPAB現(xiàn)實(shí)生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用.5而又相異的概念分析它們的聯(lián)系與區(qū)分⑴垂線與垂線段區(qū)分：垂線是一條直線，不行度量長度；垂線段是一條線段，可以度量長度. 聯(lián)系：具有垂直于直線的共同特征.(垂直的性質(zhì))⑵兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線的距離區(qū)分：兩點(diǎn)間的距離是點(diǎn)與點(diǎn)之間，點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)與直線之間.聯(lián)系：都是線段的長度；點(diǎn)到直線的距離是特別的兩點(diǎn)(即點(diǎn)與垂足)間距離.⑶線段與距離距離是線段的長度，是一個量；線段是一種圖形，它們之間不能等同.平行線1、平行線的概念：a與直線b作ab.2、兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：⑴相交；⑵平行.因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時，就可以確定它們平行；反過來也一樣〔這里，我們把重合的兩直線看成一條直線〕①有且只有一個公共點(diǎn)，兩直線相交；②無公共點(diǎn)，則兩直線平行；③兩個或兩個以上公共點(diǎn)，則兩直線重合〔由于兩點(diǎn)確定一條直線〕3、平行公理――平行線的存在性與惟一性經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行4、平行公理的推論：假設(shè)兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行baca∴b∥c條直線，才會結(jié)論，這兩條直線都平行.5、三線八角213213465的上方，78如圖，直線ab被直線l所截①∠1∠5lab叫做同位角〔位置一樣〕5與∠3在截線l的兩旁〔穿插，在被截直線a,b之間〔內(nèi)，叫做內(nèi)錯角〔位置在內(nèi)且穿插〕5與∠4在截線l的同側(cè)，在被截直線a,b之間〔內(nèi)，叫做同旁內(nèi)角.④三線八角也可以成模型中看出.同位角是“F”型；內(nèi)錯角是“Z”型；同旁內(nèi)角是“U”型.6、如何判別三線八角判別同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找到構(gòu)成這兩個角的“三線”，有時需要將有關(guān)的局部“抽出”或把無關(guān)的線略去不看，有時又需要把圖形補(bǔ)全.例如：A D23 41如圖，推斷以下各對角的位置關(guān)系：⑴∠1與∠2；⑵∠1與∠7；⑶∠1與∠B 567 FC8BAD；⑷∠296；⑸∠5與∠8.E我們將各對角從圖形中抽出來〔或者說略去與有關(guān)角無關(guān)的線圖.1與∠2是同旁內(nèi)角；∠1與∠7是同位角；∠1與∠BAD是同旁內(nèi)角；∠265∠8A A2A D A D26A F61 1 7意：圖中∠B9，它們C

同位1嗎？ CB F B，由于∠2與∠9

各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成.7、兩直線平行的判定方法方法一 兩條直線被第三條直線所截，假設(shè)同位角相等那么這兩條直線平行簡稱：同位角相等，兩直線平行方法二 兩條直線被第三條直線所截，假設(shè)內(nèi)錯角相等那么這兩條直線平行簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行方法三 兩條直線被第三條直線所截，假設(shè)同旁內(nèi)角互補(bǔ)那么這兩條直線平行簡稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行EAEA134BC2D∵∠3＝∠2∴AB∥CD〔同位角相等，兩直線平行〕F∵∠1＝∠2∴AB∥CD〔內(nèi)錯角相等，兩直線平行〕∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD〔同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行〕行.平行線的判定是寫角相等，然后寫平行.留意：⑴幾何中，圖形之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著內(nèi)在定“位置關(guān)系”.上述平行線的判定方法就是依據(jù)同位角或內(nèi)錯角“相等”或同⑵依據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種：①假設(shè)兩條直線沒有交點(diǎn)〔不相交，那么兩直線平行.②假設(shè)兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行.典型例題：推斷以下說法是否正確，假設(shè)不正確，請賜予改正：⑴不相交的兩條直線必定平行線.相交.⑶過一點(diǎn)可以且只可以畫一條直線與直線平行解答：⑴錯誤，平行線是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”.“在同一平面內(nèi)”是一項(xiàng)重要條件，不能遺漏.⑵正確⑶不正確，正確的說法是“過直線外一點(diǎn)”而不是“過一點(diǎn)”.由于假設(shè)這一點(diǎn)不在直線上，是作不出這條直線的平行線的.典型例題：如圖，依據(jù)以下條件，可以判定哪兩條直 AD線平行，并說明判定的依據(jù)是什么？1解答：B⑴由∠2＝∠BAB∥DE，依據(jù)是同位角相等，兩直線平行；

E23C F⑵由∠1＝∠D可判定AC∥DF，依據(jù)是內(nèi)錯角相等，兩直線平行；⑶由∠ACF＋∠F＝180°可判定AC∥DF，依據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.平行線的性質(zhì)1、平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).EAEA134BC2D∵AB∥CD∴∠1＝∠2〔兩直線平行，內(nèi)錯角相等〕F∵AB∥CD∴∠3＝∠2〔兩直線平行，同位角相等〕∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°〔兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)〕2、兩條平行線的距離如圖，直線AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，則稱線段EF的長度為兩平行ABCDA GE BAB∥CD，在直線ABG，過點(diǎn)GCDGH，則垂

是直線

ABCD3、命題：⑴命題的概念：推斷一件事情的語句，叫做命題.⑵命題的組成每個命題都是題設(shè)、結(jié)論兩局部組成.題設(shè)是事項(xiàng)；結(jié)論是由事項(xiàng)推出的事項(xiàng).命題常寫成“假設(shè)……，那么……”的形式.具有這種形式的命題中，用“假設(shè)”開頭的局部是題設(shè)，用“那么”開頭的局部是結(jié)論.有些命題，沒有寫成“假設(shè)……，那么……”的形式，題設(shè)和結(jié)論不明顯.對于這樣的命題，要經(jīng)過分析才能找出題設(shè)和結(jié)論，也可以將它們改寫成“如果……，那么……”的形式.留意：命題的題設(shè)〔條件〕局部，有時也可用“……”或者“假設(shè)……”等形式表述；命題的結(jié)論局部，有時也可用“求證……”或“則……”等形式表述.4、平行線的性質(zhì)與判定①平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系兩直線平行 同位角相等；兩直線平行內(nèi)錯角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).其中，由角的相等或互補(bǔ)〔數(shù)量關(guān)系〕的條件，得到兩條直線平行〔位置關(guān)系〕這是平行線的判定；由平行線〔位置關(guān)系〕得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)〔數(shù)量關(guān)系〕的結(jié)論是平行線的性質(zhì).AD12AD12E∴DE∥BC〔同位角相等，兩直線平行〕B C∴∠2＝∠C〔兩直線平行同位角相等〕留意，在了DE∥BC，不需要再寫一次了，得到了DE∥BC，這可以把它當(dāng)作條件來用了.A23典型例題：如圖，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65° D E23求∠2、∠3F 1 B解答：∵DE∥BC〔〕∴∠2＝∠1＝65°〔兩直線平行，內(nèi)錯角相等〕∵AB∥DF〔〕∴AB∥DF〔〕∴∠3＋∠2＝180°〔兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)〕∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°平移1、平移變換外形和大小完全一樣.點(diǎn)③連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等2、平移的特征：①經(jīng)過平移之后的圖形與原來的圖形的對應(yīng)線段平行〔或在同始終線上且相等，對應(yīng)角相等，圖形的外形與大小都沒有發(fā)生變化.②經(jīng)過平移后，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行〔或在同始終線上〕且相等.典型例題：如圖，△ABCDEF，那么：A＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵點(diǎn)B＿＿＿＿＿＿.ADBECFADBECFAB＿＿＿＿＿＿＿；⑸線段BC的對應(yīng)線段是線段＿＿＿＿ ＿＿＿；⑹∠A＿＿＿＿＿＿.的對應(yīng)角是∠F.解答：⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB.思維方式：利用平移特征：平移前后對應(yīng)線段相等，對應(yīng)點(diǎn)的連線段平行或在同始終線上解答.考點(diǎn)一：對相關(guān)概念的理解對頂角的性質(zhì)，垂直的定義，垂線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，垂線性質(zhì)與平行公理的區(qū)分等1：推斷以下說法的正誤。對頂角相等；相等的角是對頂角；鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；互補(bǔ)的角是鄰補(bǔ)角；同位角相等；內(nèi)錯角相等；同旁內(nèi)角互補(bǔ)；直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離；過一點(diǎn)有且只有一條直線與直線垂直；過一點(diǎn)有且只有一條直線與直線平行；兩直線不相交就平行；互為鄰補(bǔ)角的兩個角的平分線相互垂直。練習(xí)：以下說法正確的選項(xiàng)是〔 〕A、相等的角是對頂角 B、直線外一點(diǎn)到直線的垂線段叫點(diǎn)到直線的距離CD、過一點(diǎn)有且只有一條直線與直線平行考點(diǎn)二：相關(guān)推理〔識記〕〔1〕∵a∥c，b∥c〔已知〕??∴ ∥ 〔 〕〔2〕∵∠1=∠2，∠2=∠3〔已知〕??∴ = 〔 〕〔 〕〔 〕〔5〕如圖1，∵AOC=5°〔??∴BOD= 〔 〕〔6〕如圖1，∵AOC=5°〔??∴BOC= 〔 〕〔7〕如圖〔1，∵∠AOC=∠AOD，∠AOC+∠AOD=180°〔〕??〔〔1〕∴∠BOC= 〔1 a.2〕..〕13〕a〔4〕ACB423bb〔8如〔2∵a⊥〔??∴∠1= 〔 〕〔9如〔2∵∠1= 〔??∴a⊥〔 〕〔10〕如圖〔3〕，∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)??∴AC= 〔 〕(11)如圖〔3〕，∵?AC=BC∴點(diǎn)〔 〕

C為線段AB的中點(diǎn)〔12如〔4∵a∥〔??∴∠1=∠〔 〕〔13如〔4∵a∥〔??∴∠1=∠〔 〕〔14〕如圖〔4〕，∵a∥b〔已知〕??∴∠1+∠4=〔 〕〔15〔41=〔??∴a∥b〔〕〔16〔41=〔??∴a∥b〔〕〔17〕如圖〔4〕，∵∠1+∠4= 〔已知〕??∴a∥b〔 〕考點(diǎn)三：對頂角、鄰補(bǔ)角的推斷、相關(guān)計(jì)算例題1：如圖5－1，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，對頂角有 別是 ，∠AOD的鄰補(bǔ)角是 。25－2l，ll8個角，∠1=∠5，那么，∠51 2 3是 的對頂角，與∠5相等的角有∠1、 ，與∠5互補(bǔ)的角有 。例題如圖5－3直線ABCD相交于點(diǎn)O射線OE為∠BOD的平分線∠BOE=30°，則∠AOE為 。圖5－1 圖5－25－3考點(diǎn)四：同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的識別例題如圖2-44，∠1和∠4是AB、 被所截得的角，∠3和∠5是 、 被所截得的角，∠2和∠5、 被所截得的角，AC、BCAB內(nèi)角是.例題2：如圖2-45，AB、DC被BD所截得的內(nèi)錯角是 ，AB、CD被AC所截是的內(nèi)錯角是 ，ADBC被BD所截得的內(nèi)錯角是 AD、BC被AC所截得的內(nèi)錯角是 。例題3：如圖1－26所示．AE∥BD，