第三章彈性力學(xué)平面問題的解析解法

第三章彈性力學(xué)平面問題的解析解法第七節(jié)簡支梁受均布荷載第八節(jié)楔形體受重力和液體壓力（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：(2-26)（3）再讓滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。按應(yīng)力求解平面問題的基本步驟：按應(yīng)力求解平面問題的方法：逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（2-27）的φ(x,y)

的形式；（2）然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（2-26），求出（具有待定系數(shù)）；（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（2-18），來考察這些應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)

對應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)

可以求解什么問題。上堂課內(nèi)容回顧：（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)的關(guān)系及，求出φ(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）計(jì)算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。——半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。半逆解法位移分量求解：（1）將已求得的應(yīng)力分量（2）（3）代入物理方程，求得應(yīng)變分量將應(yīng)變分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達(dá)式；由位移邊界條件確定表達(dá)式中常數(shù)，得最終結(jié)果。要點(diǎn)——用半逆解法求解梁、長板類平面問題。xyllqlql1yzh/2h/2q1.

應(yīng)力函數(shù)的確定(1)分析：——主要由彎矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起（擠壓應(yīng)力）。又∵q=常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對稱，∴不隨x變化。推得：(2)由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù)的形式：積分得：(a)(b)——任意的待定函數(shù)第七節(jié)簡支梁受均布荷載xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)——任意的待定函數(shù)(3)由確定：代入相容方程：xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特點(diǎn)：關(guān)于x的二次方程，且要求－l≤x≤l內(nèi)方程均成立。由“高等代數(shù)”理論，須有x的一、二次的系數(shù)、自由項(xiàng)同時(shí)為零。即：對前兩個(gè)方程積分：(c)此處略去了f1(y)中的常數(shù)項(xiàng)對第三個(gè)方程得：積分得：(d)(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)將(c)(d)代入(b)，有(e)此處略去了f2(y)中的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)式中含有9個(gè)待定常數(shù)。(e)2.

應(yīng)力分量的確定(f)(g)(h)3.

對稱條件與邊界條件的應(yīng)用(f)(g)(h)3.

對稱條件與邊界條件的應(yīng)用（1）對稱條件的應(yīng)用：xyllqlql1yzh/2h/2q由q對稱、幾何對稱：——x的偶函數(shù)——x的奇函數(shù)由此得：要使上式對任意的y成立，須有：xyllqlql1yzh/2h/2q（2）邊界條件的應(yīng)用：(a)上下邊界（主要邊界）：由此解得：代入應(yīng)力公式xyllqlql1yzh/2h/2q(i)(j)(k)(b)左右邊界（次要邊界）：（由于對稱，只考慮右邊界即可。）——難以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：軸力N=0；彎矩M=0；剪力Q=－ql；(i)(j)(k)可見，這一條件自動(dòng)滿足。xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的應(yīng)力分布：三次拋物線4.

與材料力學(xué)結(jié)果比較xyllqlql1yzh/2h/2q(p)4.

與材料力學(xué)結(jié)果比較材力中幾個(gè)參數(shù)：截面寬：b=1,截面慣矩：靜矩：彎矩：剪力：將其代入式(p)，有（3-6）xyllqlql1yzh/2h/2q（3-6）比較，得：（1）第一項(xiàng)與材力結(jié)果相同，為主要項(xiàng)。第二項(xiàng)為修正項(xiàng)。當(dāng)h/l<<1，該項(xiàng)誤差很小，可略；當(dāng)h/l較大時(shí)，須修正。（2）為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力中不考慮。（3）與材力中相同。注意：按式（3-6），梁的左右邊界存在水平面力：說明式（3-6）在兩端不適用。解題步驟小結(jié)：（1）（2）（3）根據(jù)問題的條件：幾何特點(diǎn)、受力特點(diǎn)、約束特點(diǎn)（面力分布規(guī)律、對稱性等），估計(jì)某個(gè)應(yīng)力分量（）的變化形式。由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式，求得應(yīng)力函數(shù)的具體形式（具有待定函數(shù)）。（4）（5）將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù)代入相容方程：確定中的待定函數(shù)形式。由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式，求得應(yīng)力分量。由邊界條件確定中的待定常數(shù)。用半逆解法求解梁、矩形長板類彈性力學(xué)平面問題的基本步驟：要點(diǎn)——半逆解法（因次或量綱分析法）xyO問題的提法：楔形體，下部可無限延伸。側(cè)面受水壓作用：（水的容重）；自重作用：（楔形體的容重）；求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律。1.

應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量(1)分析：(a)∵的量綱為：∴的形式應(yīng)為：的線性組合。

的量綱為：(b)由推理得：應(yīng)為x、y的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：第八節(jié)楔形體受重力和液體壓力)m/N(3xyO(2)應(yīng)力分量考慮到：X=0，Y=（常體力）(a)顯然，上述應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。2.

邊界條件的利用(1)

x=0（應(yīng)力邊界）：代入式（a），則應(yīng)力分量為：xyON(b)(2)

（應(yīng)力邊界）：其中：將(b)代入，有代入，可求得：xyO(b)代入式（b），有：(3-7)——李維（Levy）解答沿水平方向的應(yīng)力分布與材力結(jié)果比較：——沿水平方向不變，在材力中無法求得。——沿水平方向線性分布，與材力中偏心受壓公式算得結(jié)果相同?！厮椒较蚓€性分布，材力中為拋物線分布。(3-7)——李維（Levy）解答xyO沿水平方向的應(yīng)力分布結(jié)果的適用性：（1）當(dāng)壩的橫截面變化時(shí)，不再為平面應(yīng)變問題，其結(jié)果誤差較大。（2）假定壩下端無限延伸，可自由變形。而實(shí)際壩高有限，底部與基礎(chǔ)相連，有地基約束，故底部處結(jié)果誤差較大。（3）實(shí)際壩頂非尖頂，壩頂處有其它載荷，故壩頂處結(jié)果誤差較大?！切沃亓蔚木_分析，常借助于有限元數(shù)值方法求解。工程應(yīng)用：——求使壩穩(wěn)定時(shí)的角度，稱為安息角。因次分析法（量綱分析法）：xyO楔形體，下部可無限延伸。側(cè)面受水壓作用：（水的溶重）；自重作用：（楔形體的溶重）；求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律。分析思路：(a)∵的量綱為：∴的形式應(yīng)為：的線性組合。

的量綱為：(b)由推理得：應(yīng)為x、y的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：本節(jié)課內(nèi)容回顧：（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)的關(guān)系及，求出φ(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）計(jì)算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件?！肽娼夥ǖ臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。半逆解法位移分量求解：（1）將已求得的應(yīng)力分量（2）（3）代入物理方程，求得應(yīng)變分量將應(yīng)變分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達(dá)式；由位移邊界條件確定表達(dá)式中常數(shù)，得最終結(jié)果。（1）（2）（3）根據(jù)問題的條件：幾何特點(diǎn)、受力特點(diǎn)、約束特點(diǎn)（面力分布規(guī)律、對稱性等），估計(jì)某個(gè)應(yīng)力分量（）的變化形式。由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式，求得應(yīng)力函數(shù)的具體形式（具有待定函數(shù)）。（4）（5）將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù)代入相容方程：確定中的待定函數(shù)形式。由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式，求得應(yīng)力分量。由邊界條件確定中的待定常數(shù)。用半逆解法求解梁、矩形長板類彈性力學(xué)平面問題的基本步驟：因次分析法（量綱分析法）：xyO楔形體，下部可無限延伸。側(cè)面受水壓作用：（水的溶重）；自重作用：（楔形體的溶重）；求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律。分析思路：(a)∵的量綱為：∴的形式應(yīng)為：的線性組合。

的量綱為：(b)由推理得：應(yīng)為x、y的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：例：圖示矩形截面簡支梁，長為l

，高為h，受有三角形分布載荷作用，體力不計(jì)。試求其應(yīng)力分布。解：（1）應(yīng)力函數(shù)形式的確定梁截面上彎矩和剪力為：由材料力學(xué)方法可確定應(yīng)力分量的分離變量形式：取應(yīng)力分量分析，取應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系：對此式積分：對此式積分：——為待定函數(shù)（2）由相容方