空氣動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)-1 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)

空氣動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)沈陽航空航天大學(xué)航空航天工程學(xué)院飛機(jī)設(shè)計(jì)教研室2014年3月第2章流體動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)第2章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法2.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析2.3理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程組2.3.1連續(xù)方程2.3.2Euler運(yùn)動(dòng)微分方程組2.3.3Bernoulli積分及其物理意義2.3.4Bernoulli方程的應(yīng)用2.4流體運(yùn)動(dòng)積分方程組2.4.1Lagrange型積分方程2.4.2Reynolds輸運(yùn)方程2.4.3Euler型積分方程§2.5環(huán)量與渦

§2.1.1拉格朗日方法與Euler方法根據(jù)連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)，流體是由質(zhì)點(diǎn)組成，無空隙地充滿所占據(jù)的空間。對(duì)于無數(shù)多的流體質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)其發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何正確描述和區(qū)分各流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)行為，將是流體運(yùn)動(dòng)學(xué)必須回答的問題。描述流體運(yùn)動(dòng)的方法有兩種。1、Lagrange方法（拉格朗日方法，質(zhì)點(diǎn)法）在該方法中，觀察者著眼于個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)行為，通過跟蹤每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)歷程，從而獲得整個(gè)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。（引出跡線的概念）§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法用如下方程描述質(zhì)點(diǎn)（a,b,c）所經(jīng)歷的軌跡：

x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t)其中，a,b,c為流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)識(shí)符，用于區(qū)分和識(shí)別各質(zhì)點(diǎn)，一般可用質(zhì)點(diǎn)的初始坐標(biāo)表示;t

表示時(shí)間。

a.b.c.t稱為拉格朗日變數(shù)。

a.b.c

給定，表示指定質(zhì)點(diǎn)的軌跡。

t給定，表示在給定時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)的空間位置。上式就是質(zhì)點(diǎn)（a,b,c）的軌跡參數(shù)方程，三式消去得軌跡··§2.1.1拉格朗日方法與Euler方法因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置是時(shí)間

t的函數(shù)，對(duì)于給定的流體質(zhì)點(diǎn)（a，b，c），速度表達(dá)式是：流體質(zhì)點(diǎn)的加速度為：這里使用偏導(dǎo)數(shù)是因?yàn)樽鴺?biāo)同時(shí)是時(shí)間和質(zhì)點(diǎn)標(biāo)號(hào)的函數(shù)，求導(dǎo)時(shí)要求a,b,c固定不變，即求導(dǎo)是針對(duì)同一流體質(zhì)點(diǎn)的。§2.1.1拉格朗日方法與Euler方法流體質(zhì)點(diǎn)的其它物理量也都是a,b,c,t的函數(shù)。例如流體質(zhì)點(diǎn)（a,b,c）的溫度可表為T(a,b,c,t)2、Euler方法（Euler方法，空間點(diǎn)法，流場(chǎng)法）Euler方法的著眼點(diǎn)不是流體質(zhì)點(diǎn)而是空間點(diǎn)?？疾觳煌黧w質(zhì)點(diǎn)通過空間固定點(diǎn)的流動(dòng)行為，通過記錄不同空間點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的運(yùn)動(dòng)情況，從而獲得整個(gè)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在固定空間點(diǎn)看到的是不同流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化，無法像拉格朗日方法那樣直接記錄同一質(zhì)點(diǎn)的時(shí)間歷程?！?.1.1拉格朗日方法與Euler方法x.y.z.t稱為Euler變量，是四個(gè)相互獨(dú)立的變量。x,y,z給定，t變化，表示不同時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)通過同一空間點(diǎn)的速度。t給定，x.y.z變化，表示給定時(shí)刻，不同流體質(zhì)點(diǎn)通過不同空間點(diǎn)的速度，給定速度場(chǎng)。在固定空間點(diǎn)記錄流過的不同質(zhì)點(diǎn)的速度§2.1.1拉格朗日方法與Euler方法上式既描述了某一瞬間各點(diǎn)的流動(dòng)情況，也描述了不同瞬間的流動(dòng)參數(shù)在各點(diǎn)的分布情況。這種描述法稱為Euler法。

請(qǐng)注意，x,y,z,t是四個(gè)獨(dú)立變數(shù)。如果不另外賦以意義，則不能有這類的表達(dá)式。應(yīng)該指出，速度場(chǎng)的表達(dá)本質(zhì)上指的是該瞬時(shí)恰好通過該空間點(diǎn)的流體微團(tuán)所具有的速度?！?.1.1拉格朗日方法與Euler方法流場(chǎng)flowfield一個(gè)布滿了某種物理量的空間稱為場(chǎng)流體運(yùn)動(dòng)所占據(jù)的空間稱為流場(chǎng)除速度場(chǎng)之外，還有壓強(qiáng)場(chǎng)。在高速流動(dòng)時(shí)，氣流的密度和溫度也隨流動(dòng)有變化，那就還有一個(gè)密度場(chǎng)和溫度場(chǎng)。這都包括在流場(chǎng)的概念之內(nèi)。§2.1.1拉格朗日方法與Euler方法如果場(chǎng)只是空間坐標(biāo)的函數(shù)而與時(shí)間無關(guān)則稱為定常場(chǎng)，否則為非定常場(chǎng)，例如，定常速度場(chǎng)的表達(dá)為：§2.1.1拉格朗日方法與Euler方法Euler觀點(diǎn)下如何表達(dá)加速度？如下4圖來定性描述引起各處速度變化的原因：流體質(zhì)點(diǎn)從A流到B速度不變；A點(diǎn)與B點(diǎn)因水位下降引起速度同時(shí)減??；流體質(zhì)點(diǎn)從A流到B點(diǎn)，因管道收縮引起速度增加；流體質(zhì)點(diǎn)從A流到B點(diǎn)，因水位下降和管道收縮引起速度的變化?！?.1.2Euler法的加速度表達(dá)式水位下降---------流場(chǎng)的非定常性，管道收縮---------流場(chǎng)的不均勻性。引起流體質(zhì)點(diǎn)速度的變化主要來自以上兩方面的貢獻(xiàn)用Euler法來描述一般的非定常流場(chǎng)時(shí)，關(guān)于加速度要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)。A（x，y，z）點(diǎn)上t

瞬時(shí)的流體微團(tuán)的速度是時(shí)間的函數(shù)，所以速度可以隨時(shí)間變化。原在A點(diǎn)的微團(tuán)經(jīng)Δt后到了B點(diǎn)，若B點(diǎn)的速度與A點(diǎn)的不同，那么由于遷移，它也會(huì)有速度的變化。§2.1.2Euler法的加速度表達(dá)式設(shè)在t

瞬時(shí)，位于A（x，y，z）點(diǎn)的一個(gè)微團(tuán)具有速度u，v，w。經(jīng)Δt時(shí)間后，該微團(tuán)移到令：經(jīng)Δt之后，u

變成u+Δu:§2.1.2Euler法的加速度表達(dá)式將變化前后的速度表達(dá)相減，略去高階項(xiàng)，僅保留一階項(xiàng)，得此式右側(cè)第一項(xiàng)是微團(tuán)在（x，y，z）處其速度隨時(shí)間的變化率，即當(dāng)?shù)丶铀俣?。后三?xiàng)是由于微團(tuán)流向速度不相同的鄰點(diǎn)而出現(xiàn)的速度變化率，即遷移加速度。注意上式并非全導(dǎo)數(shù)的表達(dá)（在微積分中當(dāng)復(fù)合函數(shù)只是一個(gè)自變量t的函數(shù)時(shí)才有全導(dǎo)數(shù)），因?yàn)樵贓uler觀點(diǎn)下x、y、z等與時(shí)間t無關(guān)，不能寫出dx/dt的表達(dá)?！?.1.2Euler法的加速度表達(dá)式算子：

Materialderivative：往往用D/Dt這樣一個(gè)符號(hào)來表示。這個(gè)導(dǎo)數(shù)稱為隨流體運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)數(shù)，或稱隨體導(dǎo)數(shù)、實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)或物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。從而上述加速度可以寫成：

同理：§2.1.2Euler法的加速度表達(dá)式需要指出，上述加速度仍然是空間坐標(biāo)和時(shí)間坐標(biāo)四個(gè)獨(dú)立變量（x,y,z,t）的函數(shù)：將上三式分別乘再相加可得加速度表達(dá)的向量式：Hamilton算子§2.1.2Euler法的加速度表達(dá)式隨體導(dǎo)數(shù)算子：除可作用于速度外，對(duì)流場(chǎng)中其它變量也成立。如對(duì)于壓強(qiáng)

p，有：Remark

由于在Euler觀點(diǎn)下，x,y,z,t

是四個(gè)獨(dú)立變量，一般不能寫出dx/dt

的表達(dá)，因此上述表達(dá)并非數(shù)學(xué)上的全導(dǎo)數(shù)。但在物理上，上式仍然表示質(zhì)點(diǎn)壓強(qiáng)在運(yùn)動(dòng)過程中的時(shí)間變化率，只是在場(chǎng)的觀點(diǎn)下將這個(gè)變化率寫為當(dāng)?shù)刈兓屎瓦w移變化率稱為隨體導(dǎo)數(shù)?！?.1.2Euler法的加速度表達(dá)式因此Euler法與拉格朗日方法表示的加速度實(shí)質(zhì)上是一致的，據(jù)此我們也可以利用拉格朗日觀點(diǎn)下對(duì)流體質(zhì)點(diǎn)求全導(dǎo)數(shù)得到質(zhì)點(diǎn)的加速度后，再轉(zhuǎn)化為Euler法的加速度表達(dá)。例：在拉格朗日觀點(diǎn)下沿軌跡線對(duì)質(zhì)點(diǎn)速度求全導(dǎo)數(shù)得流體質(zhì)點(diǎn)的加速度為：Euler法表示的流場(chǎng)速度和加速度實(shí)質(zhì)上顯然是指該瞬時(shí)恰好通過該點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)所具有的速度和加速度：§2.1.2Euler法的加速度表達(dá)式代入即得Euler法下的加速度表達(dá)在不引起誤會(huì)的條件下，也有將隨體導(dǎo)數(shù)表為的。隨體導(dǎo)數(shù)與全導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上是瞬時(shí)統(tǒng)一的，前者采用場(chǎng)的表示方法，后者采用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的表示方法。由于拉格朗日法與Euler法下的速度關(guān)系為：§2.1.2Euler法的加速度表達(dá)式

譬如像直圓管中的定常層流（如下圖）那樣一種實(shí)際流動(dòng)，u=u（y）。當(dāng)?shù)丶铀俣群瓦w移加速度都是零。

遷移加速度中的任何一項(xiàng)都是速度分量與同一方向的導(dǎo)數(shù)之乘積，或稱沿速度方向的導(dǎo)數(shù)。因此只有上述兩項(xiàng)都不為零才可能存在遷移加速度，因此也將稱為對(duì)流導(dǎo)數(shù)?！?.1.2Euler法的加速度表達(dá)式根據(jù)上述分析可得出以下各圖中Euler法的加速度表達(dá)式?！?.1.2Euler法的加速度表達(dá)式人們希望用一些曲線將流場(chǎng)上的流動(dòng)情況表現(xiàn)出來。在某一瞬間看流場(chǎng)的話，從某點(diǎn)出發(fā)，順著這一點(diǎn)的速度指向畫一個(gè)微小的距離到達(dá)鄰點(diǎn)，再按鄰點(diǎn)在同一瞬間的速度指向再畫一個(gè)微小距離，一直畫下去便得一條曲線。這條某瞬時(shí)的空間曲線，其切線都和該點(diǎn)的微團(tuán)速度指向相一致。這樣的空間曲線稱為流線，這樣的線可以畫無數(shù)條。

§2.1.3流線、流管、流面與流量時(shí)間t固定或流線上的切線切線方向數(shù)與速度方向數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，表為微分的關(guān)系則有此式稱為流線微分方程設(shè)流線上位移向量：又設(shè)速度向量：流線與速度方向相切即：§2.1.3流線、流管、流面與流量流線是反映流場(chǎng)某瞬時(shí)流速方向的曲線。同一時(shí)刻，由不同流體質(zhì)點(diǎn)組成的。跡線是同一質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻的軌跡線。根據(jù)流線的定義，可知流線具有以下性質(zhì)：(1)在定常流動(dòng)中，流體質(zhì)點(diǎn)的跡線與流線重合。

在非定常流動(dòng)中，流線和跡線一般是不重合的。(2)在定常流動(dòng)中，流線是流體不可跨越的曲線。(3)在同一時(shí)刻，一點(diǎn)處只能通過一條流線。(4)在奇點(diǎn)和零速度點(diǎn)例外§2.1.3流線、流管、流面與流量當(dāng)給定速度場(chǎng)u,v,w時(shí)，跡線微分方程可寫為：還可以寫為：這與流線微分方程在形式上相同，但是二者有很大區(qū)別。在流線微分方程中

t是固定不變的參數(shù)，積分時(shí)t當(dāng)常數(shù)看，而在跡線微分方程中t

是自變量，積分時(shí)

t為變量，僅在定常流情況下上述二微分方程的積分才相等，此時(shí)流線與跡線重合?！?.1.3流線、流管、流面與流量例.設(shè)有一個(gè)二維非定常流場(chǎng)其速度分布是：求t=0時(shí)過（1，1）的流線和跡線。問定常時(shí)結(jié)果如何？解：1.求流線，由流線方程（其中t固定當(dāng)常數(shù)看）：積分得任一時(shí)刻t流線族為：t=0時(shí)刻流線族為：（這也是定常流流線族）§2.1.3流線、流管、流面與流量過（1，1）流線：2.求跡線，由跡線方程（其中t為自變量）：積分得跡線參數(shù)方程：由初始條件定得c1=c2=1,故所求的跡線參數(shù)方程為：§2.1.3流線、流管、流面與流量當(dāng)流動(dòng)為定常時(shí)再求跡線。由跡線方程：積分得：由初始條件定得c1=c2=1,故所求為：消去

t

得：可見定常時(shí)跡線與流線重合?！?.1.3流線、流管、流面與流量與流線密切相關(guān)的，還有流管和流面這樣兩個(gè)概念。流管是由一系列相鄰的流線圍成的。經(jīng)過一條有流量穿過的封閉圍線的所有流線，如圖，經(jīng)過圍線ABCDA（非流線）的各條流線便圍成一條流管。

圖2-6流管（a）流線組成流管側(cè)壁；（b）沒有流量由流管側(cè)壁流出由流線所圍成的流管也正像一根具有實(shí)物管壁一樣的一根管子，管內(nèi)的流體不會(huì)越過流管流出來，管外的流體也不會(huì)越過管壁流進(jìn)去?！?.1.3流線、流管、流面與流量流面是由許多相鄰的流線連成的一個(gè)曲面，這個(gè)曲面不一定合攏成一根流管。當(dāng)然流管的側(cè)表面也是一個(gè)流面。不管合攏不合攏，流面也是流動(dòng)不會(huì)穿越的一個(gè)面。流量是單位時(shí)間內(nèi)穿過指定截面的流體量，例如穿過上述流管中任意截面S的體積流量Q、質(zhì)量流量m,和重量流量G可分別表為:其中，是速度向量，是密度，是微面積法線向量§2.1.3流線、流管、流面與流量§2.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式在理論力學(xué)中，研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)和剛體（無變形體），它們的基本運(yùn)動(dòng)形式可表示為：質(zhì)點(diǎn)（無體積大小的空間點(diǎn)）:只有平移運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)）；剛體（具有一定體積大小，但無變形）:除平移運(yùn)動(dòng)外，還有整體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)）；在流體力學(xué)中，研究對(duì)象是流體質(zhì)點(diǎn)和不斷變化形狀與大小的變形體，就變形體而言，其運(yùn)動(dòng)形式除包括了剛體的運(yùn)動(dòng)形式外，還有變形運(yùn)動(dòng)。變形運(yùn)動(dòng)包括兩種，其一是引起體積大小變化的邊長(zhǎng)伸縮線變形運(yùn)動(dòng)，其二是引起體積形狀變化的角變形運(yùn)動(dòng)。由此可得變形體的基本運(yùn)動(dòng)形式包括：（1）平動(dòng)；（2）轉(zhuǎn)動(dòng)；（3）線變形運(yùn)動(dòng)；（4）角變形運(yùn)動(dòng)§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)（角平分線轉(zhuǎn)動(dòng)）線變形運(yùn)動(dòng)角變形運(yùn)動(dòng)（角平分線不動(dòng)）§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式為便于分析，在流場(chǎng)中任取一平面微團(tuán)ABCD分析。根據(jù)taylor展開，微分面四個(gè)頂點(diǎn)的速度可表示如下§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式（1）各頂點(diǎn)速度相同的部分，為微團(tuán)的平動(dòng)速度（u,v）。（2）線變形速率線變形運(yùn)動(dòng)是指微元體各邊長(zhǎng)發(fā)生伸縮的運(yùn)動(dòng)。線變形速率定義為單位時(shí)間單位長(zhǎng)度的線變形量。如對(duì)于AB邊長(zhǎng)，在微分時(shí)段內(nèi)邊長(zhǎng)的增加量為：由此得到x方向的線變形速率為：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式同理，在y方向的線變形速率為：平面微團(tuán)的面積變化率為：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式（3）角變形速率與旋轉(zhuǎn)角速度在微分時(shí)段內(nèi)，AB與AC兩正交邊夾角的變化與微分平面的角變形和轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)。在微分時(shí)段內(nèi)，AB邊的偏轉(zhuǎn)角度為（逆時(shí)針為正）：AC邊的偏轉(zhuǎn)角度為（順時(shí)針為負(fù)）：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式解出可得：平面微團(tuán)夾角的總變化量可分解為像剛體一樣角平分線的轉(zhuǎn)動(dòng)部分和角平分線不動(dòng)兩邊相對(duì)偏轉(zhuǎn)同樣大小角度的純角變形部分。如圖所示：設(shè)在微分時(shí)段內(nèi)，平面微團(tuán)角平分線轉(zhuǎn)動(dòng)角度為α，邊線的純角變形量為β，則由幾何關(guān)系可得：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式定義平面微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度（單位時(shí)間的旋轉(zhuǎn)角度）為：定義平面微團(tuán)的角變形速率（單位時(shí)間單邊角變形量）為：上述定義實(shí)質(zhì)是平面微團(tuán)上兩相互垂直線旋轉(zhuǎn)角速度的平均值，即角平分線的旋轉(zhuǎn)角速度。上述定義實(shí)質(zhì)是平面微團(tuán)上兩相互垂直線相對(duì)于角平分線的轉(zhuǎn)角速度?！?.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式

對(duì)于三維六面體微團(tuán)而言，其運(yùn)動(dòng)形式同樣可分為：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)，類似平面微團(tuán)很容易導(dǎo)出相關(guān)公式。此處不再推導(dǎo)，以下直接給出。微團(tuán)平動(dòng)速度：微團(tuán)線變形速率：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式微團(tuán)角變形速率（剪切變形速率）：流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式在點(diǎn)處，速度為：§2.2.2流體微團(tuán)速度分解定理

德國(guó)物理學(xué)家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流場(chǎng)速度的分解定理，正確區(qū)分了流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式。設(shè)在流場(chǎng)中，考慮相距微量的任意兩點(diǎn)M0

和M1，在速度為：右側(cè)可按變形率及角速度的形式改寫為：將相鄰點(diǎn)速度分量Taylor展開：§2.2.2流體微團(tuán)速度分解定理同理：

各式第一項(xiàng)和M0點(diǎn)速度相同是微團(tuán)的整體移動(dòng)速度。第二項(xiàng)是線變形率，第三、四項(xiàng)是角變形率；第五、六項(xiàng)是角速度。說明，微團(tuán)運(yùn)動(dòng)包含移動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)和變形?！?.2.2流體微團(tuán)速度分解定理

應(yīng)該指出，實(shí)際流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以是一種或幾種運(yùn)動(dòng)的組合。如：（1）對(duì)于均速直線運(yùn)動(dòng)，流體微團(tuán)只有平動(dòng)，無轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)。（2）無旋流動(dòng)，流體微團(tuán)存在平動(dòng)、變形運(yùn)動(dòng)，但無轉(zhuǎn)動(dòng)。（3）旋轉(zhuǎn)容器內(nèi)的流體運(yùn)動(dòng)，流體微團(tuán)存在平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，但無變形運(yùn)動(dòng)。微團(tuán)運(yùn)動(dòng)＝平動(dòng)＋線變形（拉伸）＋角變形＋角速度（轉(zhuǎn)動(dòng)）§2.2.2流體微團(tuán)速度分解定理剛體的速度分解定理和流體微團(tuán)的速度分解定理除了變形運(yùn)動(dòng)外，還有一個(gè)重要的差別：整體性：剛體速度分解定理是對(duì)整個(gè)剛體都成立局部性：流體速度分解定理只對(duì)流體微團(tuán)成立譬如，剛體的角速度是刻畫整個(gè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的一整體特征量，在剛體上任意一點(diǎn)都是不變的，而流體的旋轉(zhuǎn)角速度是刻畫局部流體微團(tuán)轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)局部性特征量，在不同點(diǎn)處微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度不同。§2.2.2流體微團(tuán)速度分解定理§2.2.3散度及其意義

三個(gè)方向的線變形率之和在向量分析中稱為速度向量

的散度，符號(hào)為，即

散度在流動(dòng)問題中的意義是微團(tuán)的相對(duì)體積膨脹率（單位體積在單位時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)量）。為說明此點(diǎn)可取一簡(jiǎn)單的矩形微元六面體來看，設(shè)六面體的三邊原長(zhǎng)分別是Δx,Δy,Δz，原來體積是（ΔxΔyΔz），經(jīng)過Δt

時(shí)間后三個(gè)邊長(zhǎng)分別變?yōu)椋簞t相對(duì)體積膨脹率（單位體積在單位時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)量）為：設(shè)六面體的三邊原長(zhǎng)分別是Δx,Δy,Δz，原來體積是（ΔxΔyΔz），經(jīng)過Δt

時(shí)間后三個(gè)邊長(zhǎng)分別變?yōu)椋骸?.2.3散度及其意義任何形狀微團(tuán)的相對(duì)體積膨脹率均為上式。流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)中不論它的形狀怎么變，體積怎么變，它的質(zhì)量總是不變的。而質(zhì)量等于體積乘密度，所以在密度不變的不可壓流里，其速度的散度必為零：如果是密度有變化的流動(dòng)，那么散度一般地不等于零?！?.2.3散度及其意義什么是旋度（curl,rotation）定義向量值函數(shù)為向量場(chǎng)V上的向量值函數(shù)稱rotF為函數(shù)F在向量場(chǎng)V上的旋度（rotation）§2.2.4旋度和位函數(shù)微團(tuán)的瞬時(shí)角速度是上述三個(gè)方向角速度分量之和，這個(gè)值在向量分析里記為，或一個(gè)流場(chǎng)，如果各處的基本上不等于零，這種流場(chǎng)稱為有旋流場(chǎng)，其流動(dòng)稱為有旋流。一個(gè)流場(chǎng)，如果各處的都等于零，這種流場(chǎng)稱為無旋流場(chǎng)，其流動(dòng)稱無旋流。xyzωxωyωz在數(shù)學(xué)分析里，上式是式成為全微分的必要和充分條件這樣的劃分在作理論研究時(shí)有很大的意義。