空氣動力學(xué)基礎(chǔ)- 流體動力學(xué)

空氣動力學(xué)基礎(chǔ)沈陽航空航天大學(xué)航空航天工程學(xué)院飛機(jī)設(shè)計(jì)教研室2014年3月第2章流體動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)基礎(chǔ)第2章流體運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)基礎(chǔ)2.1描述流體運(yùn)動的方法2.2流體微團(tuán)運(yùn)動的分析2.3理想流體運(yùn)動微分方程組2.3.1連續(xù)方程2.3.2Euler運(yùn)動微分方程組2.3.3Bernoulli積分及其物理意義2.3.4Bernoulli方程的應(yīng)用2.4流體運(yùn)動積分方程組2.4.1Lagrange型積分方程2.4.2Reynolds輸運(yùn)方程2.4.3Euler型積分方程§2.5環(huán)量與渦

§2.1.1拉格朗日方法與Euler方法根據(jù)連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)，流體是由質(zhì)點(diǎn)組成，無空隙地充滿所占據(jù)的空間。對于無數(shù)多的流體質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)其發(fā)生運(yùn)動時(shí)，如何正確描述和區(qū)分各流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動行為，將是流體運(yùn)動學(xué)必須回答的問題。描述流體運(yùn)動的方法有兩種。1、Lagrange方法（拉格朗日方法，質(zhì)點(diǎn)法）在該方法中，觀察者著眼于個別流體質(zhì)點(diǎn)的流動行為，通過跟蹤每個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動歷程，從而獲得整個流場的運(yùn)動規(guī)律。（引出跡線的概念）§2.1描述流體運(yùn)動的方法用如下方程描述質(zhì)點(diǎn)（a,b,c）所經(jīng)歷的軌跡：

x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t)其中，a,b,c為流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)識符，用于區(qū)分和識別各質(zhì)點(diǎn)，一般可用質(zhì)點(diǎn)的初始坐標(biāo)表示;t

表示時(shí)間。

a.b.c.t稱為拉格朗日變數(shù)。

a.b.c

給定，表示指定質(zhì)點(diǎn)的軌跡。

t給定，表示在給定時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)的空間位置。上式就是質(zhì)點(diǎn)（a,b,c）的軌跡參數(shù)方程，三式消去得軌跡··§2.1.1拉格朗日方法與Euler方法因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置是時(shí)間

t的函數(shù)，對于給定的流體質(zhì)點(diǎn)（a，b，c），速度表達(dá)式是：流體質(zhì)點(diǎn)的加速度為：§2.1.1拉格朗日方法與Euler方法這里使用偏導(dǎo)數(shù)是因?yàn)樽鴺?biāo)同時(shí)是時(shí)間和質(zhì)點(diǎn)標(biāo)號的函數(shù)，求導(dǎo)時(shí)要求a,b,c固定不變，即求導(dǎo)是針對同一流體質(zhì)點(diǎn)的。流體質(zhì)點(diǎn)的其它物理量也都是a,b,c,t的函數(shù)。例如流體質(zhì)點(diǎn)（a,b,c）的溫度可表為T(a,b,c,t)2、Euler方法（Euler方法，空間點(diǎn)法，流場法）Euler方法的著眼點(diǎn)不是流體質(zhì)點(diǎn)而是空間點(diǎn)?？疾觳煌黧w質(zhì)點(diǎn)通過空間固定點(diǎn)的流動行為，通過記錄不同空間點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的運(yùn)動情況，從而獲得整個流場的運(yùn)動規(guī)律。在固定空間點(diǎn)看到的是不同流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動變化，無法像拉格朗日方法那樣直接記錄同一質(zhì)點(diǎn)的時(shí)間歷程。§2.1.1拉格朗日方法與Euler方法x.y.z.t稱為Euler變量，是四個相互獨(dú)立的變量。x,y,z給定，t變化，表示不同時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)通過同一空間點(diǎn)的速度。t給定，x.y.z變化，表示給定時(shí)刻，不同流體質(zhì)點(diǎn)通過不同空間點(diǎn)的速度，給定速度場?！?.1.1拉格朗日方法與Euler方法在固定空間點(diǎn)記錄流過的不同質(zhì)點(diǎn)的速度上式既描述了某一瞬間各點(diǎn)的流動情況，也描述了不同瞬間的流動參數(shù)在各點(diǎn)的分布情況。這種描述法稱為Euler法。

請注意，x,y,z,t是四個獨(dú)立變數(shù)。如果不另外賦以意義，則不能有這類的表達(dá)式。應(yīng)該指出，速度場的表達(dá)本質(zhì)上指的是該瞬時(shí)恰好通過該空間點(diǎn)的流體微團(tuán)所具有的速度?！?.1.1拉格朗日方法與Euler方法流場flowfield一個布滿了某種物理量的空間稱為場流體運(yùn)動所占據(jù)的空間稱為流場除速度場之外，還有壓強(qiáng)場。在高速流動時(shí)，氣流的密度和溫度也隨流動有變化，那就還有一個密度場和溫度場。這都包括在流場的概念之內(nèi)。如果場只是空間坐標(biāo)的函數(shù)而與時(shí)間無關(guān)則稱為定常場，否則為非定常場，例如，定常速度場的表達(dá)為：§2.1.1拉格朗日方法與Euler方法Euler觀點(diǎn)下如何表達(dá)加速度？如下4圖來定性描述引起各處速度變化的原因：流體質(zhì)點(diǎn)從A流到B速度不變；A點(diǎn)與B點(diǎn)因水位下降引起速度同時(shí)減??；流體質(zhì)點(diǎn)從A流到B點(diǎn)，因管道收縮引起速度增加；流體質(zhì)點(diǎn)從A流到B點(diǎn)，因水位下降和管道收縮引起速度的變化?！?.1.2Euler法的加速度表達(dá)式水位下降---------流場的非定常性，管道收縮---------流場的不均勻性。引起流體質(zhì)點(diǎn)速度的變化主要來自以上兩方面的貢獻(xiàn)用Euler法來描述一般的非定常流場時(shí)，關(guān)于加速度要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)。A（x，y，z）點(diǎn)上t

瞬時(shí)的流體微團(tuán)的速度是時(shí)間的函數(shù)，所以速度可以隨時(shí)間變化。原在A點(diǎn)的微團(tuán)經(jīng)Δt后到了B點(diǎn)，若B點(diǎn)的速度與A點(diǎn)的不同，那么由于遷移，它也會有速度的變化?！?.1.2Euler法的加速度表達(dá)式§2.1.2Euler法的加速度表達(dá)式設(shè)在t

瞬時(shí)，位于A（x，y，z）點(diǎn)的一個微團(tuán)具有速度u，v，w。經(jīng)Δt時(shí)間后，該微團(tuán)移到令：經(jīng)Δt之后，u

變成u+Δu:將變化前后的速度表達(dá)相減，略去高階項(xiàng)，僅保留一階項(xiàng)，得此式右側(cè)第一項(xiàng)是微團(tuán)在（x，y，z）處其速度隨時(shí)間的變化率，即當(dāng)?shù)丶铀俣?。后三?xiàng)是由于微團(tuán)流向速度不相同的鄰點(diǎn)而出現(xiàn)的速度變化率，即遷移加速度。注意上式并非全導(dǎo)數(shù)的表達(dá)（在微積分中當(dāng)復(fù)合函數(shù)只是一個自變量t的函數(shù)時(shí)才有全導(dǎo)數(shù)），因?yàn)樵贓uler觀點(diǎn)下x、y、z等與時(shí)間t無關(guān)，不能寫出dx/dt的表達(dá)。§2.1.2Euler法的加速度表達(dá)式算子：

Materialderivative：往往用D/Dt這樣一個符號來表示。這個導(dǎo)數(shù)稱為隨流體運(yùn)動的導(dǎo)數(shù)，或稱隨體導(dǎo)數(shù)、實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)或物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。從而上述加速度可以寫成：

同理：§2.1.2Euler法的加速度表達(dá)式需要指出，上述加速度仍然是空間坐標(biāo)和時(shí)間坐標(biāo)四個獨(dú)立變量（x,y,z,t）的函數(shù)：§2.1.2Euler法的加速度表達(dá)式將上三式分別乘再相加可得加速度表達(dá)的向量式：Hamilton算子隨體導(dǎo)數(shù)算子：除可作用于速度外，對流場中其它變量也成立。如對于壓強(qiáng)

p，有：Remark

由于在Euler觀點(diǎn)下，x,y,z,t

是四個獨(dú)立變量，一般不能寫出dx/dt

的表達(dá)，因此上述表達(dá)并非數(shù)學(xué)上的全導(dǎo)數(shù)。但在物理上，上式仍然表示質(zhì)點(diǎn)壓強(qiáng)在運(yùn)動過程中的時(shí)間變化率，只是在場的觀點(diǎn)下將這個變化率寫為當(dāng)?shù)刈兓屎瓦w移變化率稱為隨體導(dǎo)數(shù)。§2.1.2Euler法的加速度表達(dá)式因此Euler法與拉格朗日方法表示的加速度實(shí)質(zhì)上是一致的，據(jù)此我們也可以利用拉格朗日觀點(diǎn)下對流體質(zhì)點(diǎn)求全導(dǎo)數(shù)得到質(zhì)點(diǎn)的加速度后，再轉(zhuǎn)化為Euler法的加速度表達(dá)。例：在拉格朗日觀點(diǎn)下沿軌跡線對質(zhì)點(diǎn)速度求全導(dǎo)數(shù)得流體質(zhì)點(diǎn)的加速度為：§2.1.2Euler法的加速度表達(dá)式Euler法表示的流場速度和加速度實(shí)質(zhì)上顯然是指該瞬時(shí)恰好通過該點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)所具有的速度和加速度：代入即得Euler法下的加速度表達(dá)在不引起誤會的條件下，也有將隨體導(dǎo)數(shù)表為的。隨體導(dǎo)數(shù)與全導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上是瞬時(shí)統(tǒng)一的，前者采用場的表示方法，后者采用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)的表示方法。由于拉格朗日法與Euler法下的速度關(guān)系為：§2.1.2Euler法的加速度表達(dá)式

譬如像直圓管中的定常層流（如下圖）那樣一種實(shí)際流動，u=u（y）。當(dāng)?shù)丶铀俣群瓦w移加速度都是零。

遷移加速度中的任何一項(xiàng)都是速度分量與同一方向的導(dǎo)數(shù)之乘積，或稱沿速度方向的導(dǎo)數(shù)。因此只有上述兩項(xiàng)都不為零才可能存在遷移加速度，因此也將稱為對流導(dǎo)數(shù)?！?.1.2Euler法的加速度表達(dá)式根據(jù)上述分析可得出以下各圖中Euler法的加速度表達(dá)式。§2.1.2Euler法的加速度表達(dá)式人們希望用一些曲線將流場上的流動情況表現(xiàn)出來。在某一瞬間看流場的話，從某點(diǎn)出發(fā)，順著這一點(diǎn)的速度指向畫一個微小的距離到達(dá)鄰點(diǎn)，再按鄰點(diǎn)在同一瞬間的速度指向再畫一個微小距離，一直畫下去便得一條曲線。這條某瞬時(shí)的空間曲線，其切線都和該點(diǎn)的微團(tuán)速度指向相一致。這樣的空間曲線稱為流線，這樣的線可以畫無數(shù)條。

§2.1.3流線、流管、流面與流量時(shí)間t固定或流線上的切線切線方向數(shù)與速度方向數(shù)對應(yīng)成比例，表為微分的關(guān)系則有此式稱為流線微分方程設(shè)流線上位移向量：又設(shè)速度向量：流線與速度方向相切即：§2.1.3流線、流管、流面與流量流線是反映流場某瞬時(shí)流速方向的曲線。同一時(shí)刻，由不同流體質(zhì)點(diǎn)組成的。跡線是同一質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻的軌跡線。根據(jù)流線的定義，可知流線具有以下性質(zhì)：(1)在定常流動中，流體質(zhì)點(diǎn)的跡線與流線重合。

在非定常流動中，流線和跡線一般是不重合的。(2)在定常流動中，流線是流體不可跨越的曲線。(3)在同一時(shí)刻，一點(diǎn)處只能通過一條流線。(4)在奇點(diǎn)和零速度點(diǎn)例外§2.1.3流線、流管、流面與流量當(dāng)給定速度場u,v,w時(shí)，跡線微分方程可寫為：還可以寫為：這與流線微分方程在形式上相同，但是二者有很大區(qū)別。在流線微分方程中

t是固定不變的參數(shù)，積分時(shí)t當(dāng)常數(shù)看，而在跡線微分方程中t

是自變量，積分時(shí)

t為變量，僅在定常流情況下上述二微分方程的積分才相等，此時(shí)流線與跡線重合。§2.1.3流線、流管、流面與流量例.設(shè)有一個二維非定常流場其速度分布是：求t=0時(shí)過（1，1）的流線和跡線。問定常時(shí)結(jié)果如何？解：1.求流線，由流線方程（其中t固定當(dāng)常數(shù)看）：積分得任一時(shí)刻t流線族為：t=0時(shí)刻流線族為：（這也是定常流流線族）§2.1.3流線、流管、流面與流量過（1，1）流線：2.求跡線，由跡線方程（其中t為自變量）：積分得跡線參數(shù)方程：由初始條件定得c1=c2=1,故所求的跡線參數(shù)方程為：§2.1.3流線、流管、流面與流量當(dāng)流動為定常時(shí)再求跡線。由跡線方程：積分得：由初始條件定得c1=c2=1,故所求為：消去

t

得：可見定常時(shí)跡線與流線重合?！?.1.3流線、流管、流面與流量與流線密切相關(guān)的，還有流管和流面這樣兩個概念。流管是由一系列相鄰的流線圍成的。經(jīng)過一條有流量穿過的封閉圍線的所有流線，如圖，經(jīng)過圍線ABCDA（非流線）的各條流線便圍成一條流管。

圖2-6流管（a）流線組成流管側(cè)壁；（b）沒有流量由流管側(cè)壁流出由流線所圍成的流管也正像一根具有實(shí)物管壁一樣的一根管子，管內(nèi)的流體不會越過流管流出來，管外的流體也不會越過管壁流進(jìn)去?！?.1.3流線、流管、流面與流量流面是由許多相鄰的流線連成的一個曲面，這個曲面不一定合攏成一根流管。當(dāng)然流管的側(cè)表面也是一個流面。不管合攏不合攏，流面也是流動不會穿越的一個面。流量是單位時(shí)間內(nèi)穿過指定截面的流體量，例如穿過上述流管中任意截面S的體積流量Q、質(zhì)量流量m,和重量流量G可分別表為:其中，是速度向量，是密度，是微面積法線向量§2.1.3流線、流管、流面與流量§2.2流體微團(tuán)運(yùn)動的分析§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動形式在理論力學(xué)中，研究對象是質(zhì)點(diǎn)和剛體（無變形體），它們的基本運(yùn)動形式可表示為：質(zhì)點(diǎn)（無體積大小的空間點(diǎn)）:只有平移運(yùn)動（平動）；剛體（具有一定體積大小，但無變形）:除平移運(yùn)動外，還有整體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動（轉(zhuǎn)動）；在流體力學(xué)中，研究對象是流體質(zhì)點(diǎn)和不斷變化形狀與大小的變形體，就變形體而言，其運(yùn)動形式除包括了剛體的運(yùn)動形式外，還有變形運(yùn)動。變形運(yùn)動包括兩種，其一是引起體積大小變化的邊長伸縮線變形運(yùn)動，其二是引起體積形狀變化的角變形運(yùn)動。由此可得變形體的基本運(yùn)動形式包括：（1）平動；（2）轉(zhuǎn)動；（3）線變形運(yùn)動；（4）角變形運(yùn)動§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動形式平動轉(zhuǎn)動（角平分線轉(zhuǎn)動）線變形運(yùn)動角變形運(yùn)動（角平分線不動）§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動形式為便于分析，在流場中任取一平面微團(tuán)ABCD分析。根據(jù)taylor展開，微分面四個頂點(diǎn)的速度可表示如下§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動形式（1）各頂點(diǎn)速度相同的部分，為微團(tuán)的平動速度（u,v）。（2）線變形速率線變形運(yùn)動是指微元體各邊長發(fā)生伸縮的運(yùn)動。線變形速率定義為單位時(shí)間單位長度的線變形量。如對于AB邊長，在微分時(shí)段內(nèi)邊長的增加量為：由此得到x方向的線變形速率為：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動形式同理，在y方向的線變形速率為：平面微團(tuán)的面積變化率為：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動形式（3）角變形速率與旋轉(zhuǎn)角速度在微分時(shí)段內(nèi)，AB與AC兩正交邊夾角的變化與微分平面的角變形和轉(zhuǎn)動有關(guān)。在微分時(shí)段內(nèi)，AB邊的偏轉(zhuǎn)角度為（逆時(shí)針為正）：AC邊的偏轉(zhuǎn)角度為（順時(shí)針為負(fù)）：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動形式解出可得：平面微團(tuán)夾角的總變化量可分解為像剛體一樣角平分線的轉(zhuǎn)動部分和角平分線不動兩邊相對偏轉(zhuǎn)同樣大小角度的純角變形部分。如圖所示：設(shè)在微分時(shí)段內(nèi)，平面微團(tuán)角平分線轉(zhuǎn)動角度為α，邊線的純角變形量為β，則由幾何關(guān)系可得：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動形式定義平面微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度（單位時(shí)間的旋轉(zhuǎn)角度）為：定義平面微團(tuán)的角變形速率（單位時(shí)間單邊角變形量）為：上述定義實(shí)質(zhì)是平面微團(tuán)上兩相互垂直線旋轉(zhuǎn)角速度的平均值，即角平分線的旋轉(zhuǎn)角速度。上述定義實(shí)質(zhì)是平面微團(tuán)上兩相互垂直線相對于角平分線的轉(zhuǎn)角速度。§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動形式

對于三維六面體微團(tuán)而言，其運(yùn)動形式同樣可分為：平動、轉(zhuǎn)動和變形運(yùn)動，類似平面微團(tuán)很容易導(dǎo)出相關(guān)公式。此處不再推導(dǎo)，以下直接給出。微團(tuán)平動速度：微團(tuán)線變形速率：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動形式微團(tuán)角變形速率（剪切變形速率）：流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動形式在點(diǎn)處，速度為：§2.2.2流體微團(tuán)速度分解定理

德國物理學(xué)家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流場速度的分解定理，正確區(qū)分了流體微團(tuán)的運(yùn)動形式。設(shè)在流場中，考慮相距微量的任意兩點(diǎn)M0

和M1，在速度為：右側(cè)可按變形率及角速度的形式改寫為：將相鄰點(diǎn)速度分量Taylor展開：§2.2.2流體微團(tuán)速度分解定理同理：

各式第一項(xiàng)和M0點(diǎn)速度相同是微團(tuán)的整體移動速度。第二項(xiàng)是線變形率，第三、四項(xiàng)是角變形率；第五、六項(xiàng)是角速度。說明，微團(tuán)運(yùn)動包含移動，轉(zhuǎn)動和變形?！?.2.2流體微團(tuán)速度分解定理§2.2.2流體微團(tuán)速度分解定理

應(yīng)該指出，實(shí)際流體微團(tuán)的運(yùn)動可以是一種或幾種運(yùn)動的組合。如：（1）對于均速直線運(yùn)動，流體微團(tuán)只有平動，無轉(zhuǎn)動和變形運(yùn)動。（2）無旋流動，流體微團(tuán)存在平動、變形運(yùn)動，但無轉(zhuǎn)動。（3）旋轉(zhuǎn)容器內(nèi)的流體運(yùn)動，流體微團(tuán)存在平動和轉(zhuǎn)動，但無變形運(yùn)動。微團(tuán)運(yùn)動＝平動＋線變形（拉伸）＋角變形＋角速度（轉(zhuǎn)動）剛體的速度分解定理和流體微團(tuán)的速度分解定理除了變形運(yùn)動外，還有一個重要的差別：整體性：剛體速度分解定理是對整個剛體都成立局部性：流體速度分解定理只對流體微團(tuán)成立譬如，剛體的角速度是刻畫整個剛體轉(zhuǎn)動的一整體特征量，在剛體上任意一點(diǎn)都是不變的，而流體的旋轉(zhuǎn)角速度是刻畫局部流體微團(tuán)轉(zhuǎn)動的一個局部性特征量，在不同點(diǎn)處微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度不同?！?.2.2流體微團(tuán)速度分解定理§2.2.3散度及其意義

三個方向的線變形率之和在向量分析中稱為速度向量

的散度，符號為，即

散度在流動問題中的意義是微團(tuán)的相對體積膨脹率（單位體積在單位時(shí)間內(nèi)的增長量）。為說明此點(diǎn)可取一簡單的矩形微元六面體來看，設(shè)六面體的三邊原長分別是Δx,Δy,Δz，原來體積是（ΔxΔyΔz），經(jīng)過Δt

時(shí)間后三個邊長分別變?yōu)椋簞t相對體積膨脹率（單位體積在單位時(shí)間內(nèi)的增長量）為：§2.2.3散度及其意義設(shè)六面體的三邊原長分別是Δx,Δy,Δz，原來體積是（ΔxΔyΔz），經(jīng)過Δt

時(shí)間后三個邊長分別變?yōu)椋喝魏涡螤钗F(tuán)的相對體積膨脹率均為上式。流體微團(tuán)在運(yùn)動中不論它的形狀怎么變，體積怎么變，它的質(zhì)量總是不變的。而質(zhì)量等于體積乘密度，所以在密度不變的不可壓流里，其速度的散度必為零：如果是密度有變化的流動，那么散度一般地不等于零?！?.2.3散度及其意義什么是旋度（curl,rotation）定義向量值函數(shù)為向量場V上的向量值函數(shù)稱rotF為函數(shù)F在向量場V上的旋度（rotation）§2.2.4旋度和位函數(shù)微團(tuán)的瞬時(shí)角速度是上述三個方向角速度分量之和，這個值在向量分析里記為，或一個流場，如果各處的基本上不等于零，這種流場稱為有旋流場，其流動稱為有旋流。一個流場，如果各處的都等于零，這種流場稱為無旋流場，其流動稱無旋流。xyzωxωyωz在數(shù)學(xué)分析里，上式是式成為全微分的必要和充分條件這樣的劃分在作理論研究時(shí)有很大的意義。無旋流多了一個的條件。這個條件就是：§2.2.4旋度和位函數(shù)現(xiàn)在既是無旋流，我們可令代表這個全微分：φ(x,y,z)名為速度位或稱位函數(shù)，為標(biāo)量。；；這就是說，位函數(shù)在某個方向的偏導(dǎo)數(shù)便等于速度在那個方向的分量，例如：u,v,w

與φ

的關(guān)系是：§2.2.4旋度和位函數(shù)SxyzuVvwvs一個無旋流場一旦知道了它的位函數(shù)φ(x,y,z)的具體函數(shù)，按這個式子就可以算出流場上任何一點(diǎn)的流速來。位函數(shù)的絕對值沒有太大意義但其差值有意義。對于無旋流存在速度位φ，則沿一條連接A、B兩點(diǎn)的曲線進(jìn)行速度的線積分結(jié)果只與二端點(diǎn)的φ值之差有關(guān)而與積分路徑無關(guān)：§2.2.4旋度和位函數(shù)例.設(shè)有一個二維流場其速度分布是,問這個流動是有旋的還是無旋的？有沒有速度位存在？流線方程是什么？微元如何變形？可見流動是無旋的，應(yīng)該有速度位函數(shù)φ存在。

解:1.計(jì)算ωz：

§2.2.4旋度和位函數(shù)積分得：

（此處積分常數(shù)取為零）3.求流線：由流線方程2.求Φ：

§2.2.4旋度和位函數(shù)積分得常數(shù)C取一系列的值，得流線是一系列雙曲線。

4.線變形率：由

及，得：

5.角變形率：

6.散度：

§2.2.4旋度和位函數(shù)A’’B’’C’’D’’A’B’C’D’DCABxy0考察矩形微團(tuán)ABCD，在如圖流場中將從左上方流向右下方，由于流動無旋微團(tuán)不轉(zhuǎn)動；x方向線段有拉伸，y方向線段縮短；盡管微團(tuán)有線變形，但微團(tuán)無角變形；此外由于散度為零，流動過程中矩形微團(tuán)面積保持不變。需要指出，一般并不是先有了速度后求φ，而是恰恰相反，先求出φ，然后再確定速度分布?！?.2.4旋度和位函數(shù)連續(xù)方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中具體表達(dá)形式。由于連續(xù)方程僅是運(yùn)動的行為，與動力無關(guān)，因此適應(yīng)于理想流體和粘性流體?！?.3理想流體運(yùn)動微分方程組2.3.1連續(xù)方程xzyABCDA’B’C’D’以下針對一個微分六面體推導(dǎo)微分形式的連續(xù)方程。現(xiàn)在流場中劃定一個邊長分別為dx，dy，dz的矩形六面體，這個體的空間位置相對于坐標(biāo)系是固定的，不隨時(shí)間變化，被流體所通過。假設(shè)六面體:中心點(diǎn)坐標(biāo)為：x，y，z中心點(diǎn)三個分速：u，v，w中心點(diǎn)密度：ρ(x,y,z,t)t瞬時(shí)通過垂直于x軸單位面積的流體流量為ρu,稱密流;xzyABCDA’B’C’D’將密流當(dāng)一個標(biāo)量看，則各面中點(diǎn)的密流可由中心點(diǎn)Taylor級數(shù)展開表達(dá)。在dt時(shí)段內(nèi)，從ABCD面進(jìn)入的流體質(zhì)量為§2.3.1連續(xù)方程在dt時(shí)段內(nèi)，從A’B’C’D’面流出的流體質(zhì)量為：§2.3.1連續(xù)方程在dt時(shí)段內(nèi)，x方向凈流入微分六面體的流體質(zhì)量為：同理可得，在dt時(shí)段內(nèi)，由y,z方向凈流入微分六面體的流體質(zhì)量為：由此可得，在dt

時(shí)段內(nèi)由所有側(cè)面流入到微分六面體的凈流體總質(zhì)量為：§2.3.1連續(xù)方程根據(jù)質(zhì)量守恒定律，在dt

時(shí)段內(nèi)從側(cè)面凈流入微分六面體的總質(zhì)量，應(yīng)等于六面體內(nèi)流體質(zhì)量因密度隨時(shí)間變化的引起增量：§2.3.1連續(xù)方程由于ρ是空間位置和時(shí)間的函數(shù)，在dt

時(shí)段內(nèi)，由于密度變化引起微分六面體質(zhì)量的增加量為：即：上式兩邊同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的連續(xù)方程，即：§2.3.1連續(xù)方程

等于微元控制體上單位體積流出的質(zhì)量流量的原因在于，因?yàn)橛懈咚构剑海@然當(dāng)密度不變時(shí)，可將散度看成單位體積流出的體積流量）

連續(xù)方程的物理意義是：流體微元控制體密度的局部增長率與微元控制體單位體積流出的質(zhì)量流量之和等于零?！?.3.1連續(xù)方程連續(xù)方程的物理意義是：流體微元的相對密度增加率與相對體積膨脹率之和為零。對于不可壓縮流體，連續(xù)方程變?yōu)椋翰豢蓧哼B續(xù)方程的物理意義是：不可壓縮流動流體微元的相對體積膨脹率保持為零，或從微元控制體流出的單位體積流量為零?！?.3.1連續(xù)方程連續(xù)方程是流動首先應(yīng)該滿足的基本關(guān)系例如，速度場：滿足不可壓連續(xù)方程，能夠代表一個三維不可壓縮流動。則不能夠代表一個三維不可壓縮流動。而速度場：此外，還可以根據(jù)某方向的速度分布和連續(xù)方程，確定出其他方向的速度分布?！?.3.1連續(xù)方程例：設(shè)不可壓縮流體在xoy

平面內(nèi)流動，速度沿x軸方向的分量u=Ax(A

為常數(shù))，求速度在

y

軸方向的分量v。解：對于不可壓縮流動，密度的隨體導(dǎo)數(shù)由微分形式連續(xù)方程：§2.3.1連續(xù)方程§2.3.1連續(xù)方程如果流動非定常，上式中函數(shù)f(x)則應(yīng)為f(x，t)。而函數(shù)f()的形式可任取。因此v

有無窮多個解。如果設(shè)v在x

軸上的分布為0即f(x)＝0，則：在流場中劃出一塊三邊分別的為dx，dy，dz的微元矩形六面體的流體來看，不計(jì)粘性力，表面力就沒有切向力，僅只法向力（壓力）一種，而徹體力是可以有的。xyz·Pdxdydz§2.3.2Euler運(yùn)動微分方程組Euler運(yùn)動微分方程組是在不計(jì)流體粘性前提下推導(dǎo)出來的，該方程實(shí)質(zhì)上是微分形式的動量方程。假設(shè)：六面體體積：dτ=dxdydz中心點(diǎn)坐標(biāo)：x,y,z中心點(diǎn)速度：u,v,w中心點(diǎn)加速度：中心點(diǎn)壓強(qiáng)：p中心點(diǎn)密度：ρ中心點(diǎn)處沿三個方向的單位質(zhì)量徹體力：

fx,fy,fzxyz·Pdxdydz微元六面體的表面力可以用中心點(diǎn)處壓強(qiáng)的一階Taylor展開表示,如圖為x方向徹體力，其他方向同理可得?！?.3.2Euler運(yùn)動微分方程組由于沒有剪應(yīng)力，并且其他面上的壓力在x方向均無投影，從而x方向的表面力為：x方向的徹體力為：根據(jù)Newton定律：x方向合外力等于質(zhì)量乘以x方向加速度，得§2.3.2Euler運(yùn)動微分方程組兩邊同除以微元體積dxdydz，令其趨于零，并代入加速度的表達(dá)，得同理可以寫出y

和

z方向的表達(dá)：這就是笛卡爾坐標(biāo)系下理想流體的Euler方程?！?.3.2Euler運(yùn)動微分方程組Euler方程規(guī)定了理想流的壓強(qiáng)變化與速度變化和徹體力之間的關(guān)系。壓強(qiáng)變化的原因：速度的變化和徹體力的存在彼此獨(dú)立分開計(jì)算對于如圖的一維理想流動，利用Newton定律很容易證明Euler方程為：sVEuler方程的向量形式為：§2.3.2Euler運(yùn)動微分方程組理想流Euler方程還可以有另一種表達(dá)形式。把加速度的遷移部分改寫一下，把角速度配成顯式：

式中V是合速，另兩個遷移加速度也可以改為類似的式子：§2.3.2Euler運(yùn)動微分方程組得到如下形式的理想流Euler方程稱為：“格羅米柯-蘭姆方程”該方程的向量形式為，其中微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的2倍也稱為渦量。這個方程本質(zhì)上仍是理想流體運(yùn)動方程。其好處是在方程中顯示了旋轉(zhuǎn)角速度。便于分析無旋流動。§2.3.2Euler運(yùn)動微分方程組對于理想不可壓流體，在質(zhì)量力有勢條件下，假設(shè)為定常流動，有：§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義這樣格羅米柯方程變?yōu)椋含F(xiàn)在流場中，任取一條光滑曲線dS，并將上式投影到曲線上，有：如果上式右邊項(xiàng)為零，有:這樣在曲線上，下式成立:這就是Bernoulli積分（1738年），或Bernoulli方程。對于理想不可壓流體的定常流動，在質(zhì)量力有勢條件下，單位體積流體微團(tuán)沿著這條特定曲線s的勢能、壓能和動能之和不變，即總機(jī)械能不變。§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義Bernoulli積分成立的條件是:（1）沿著任意一條流線，Bernoulli積分成立（2）沿著任意一條渦線，Bernoulli積分成立§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義（3）在以下條件下，Bernoulli積分與所取的曲線無關(guān)，在整個流場中積分常數(shù)不變，等于同一個常數(shù)。

(a)靜止流場:(b)無旋流場，有勢流動:(c)流線與渦線重合，即Beltramiflow:可得：即括號中標(biāo)量在全流場保持為常數(shù)?！?.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義在不計(jì)質(zhì)量力情況下，Bernoulli積分變?yōu)?對于不可壓縮流體:如果質(zhì)量力只有重力:Bernoulli積分變?yōu)?§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義

事實(shí)上沿流線的Bernoulli方程也可由一維流Euler方程：在定常和重力場條件下（其中是g與s夾角的余弦），沿一維流線s方向積分得到。Bernoulli方程各項(xiàng)具有能量的量綱代表單位質(zhì)量流體的動能，gy代表單位質(zhì)量流體的勢能，代表單位質(zhì)量流體的壓力勢能或流動功?！?.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義如果將一維流的Bernoulli方程寫成高度的量綱，并且應(yīng)用于重力不能忽略的液體，可用下圖表示一維流Bernoulli方程的幾何意義：y：代表所論流體質(zhì)點(diǎn)的高度稱為高度水頭p/γ:

代表所論流體沿真空管上升的高度稱為壓力水頭，上2項(xiàng)合稱靜力水頭V2/2g:代表所論流體垂直上拋所能達(dá)到高度，稱為速度水頭H:代表沿一維流管每單位重量流體具有的總能量，稱總水頭?！?.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義y1y2H1H2靜力水頭線總水頭線12yx表明：理想、定常、不可壓、重力場中，沿一維流管的高度水頭、壓力水頭和速度水頭可以互相轉(zhuǎn)化，總水頭保持不變（注意靜力學(xué)中靜力水頭線為水平線）從1→2有：§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義例.求如圖光滑容器中小孔的出流速度V，假設(shè)小孔中心距自由面深為h。Vhpapa解.由于是小孔出流，流動可以假設(shè)是定常的。假設(shè)不計(jì)粘性損失。從而：（由于實(shí)際上粘性不可忽略，實(shí)際速度將略低于上述理論值，其中cv叫做速度系數(shù)，實(shí)驗(yàn)表明cv＝0.97）沿小孔中心點(diǎn)處一根流線列Bernoulli方程，由于是小孔，中心點(diǎn)處速度可以近似代表小孔速度?！?.3.4Bernoulli方程應(yīng)用測量低速氣流的速度用的風(fēng)速管就是根據(jù)上述原理設(shè)計(jì)并由上式去計(jì)算風(fēng)速的。風(fēng)速管的構(gòu)造很簡單，見右下圖：

總壓孔對準(zhǔn)來流，來流撞在孔上速度降為零，相應(yīng)的壓強(qiáng)達(dá)到了總壓p0

，而靜壓空處感受到的是靜壓，測量時(shí)不必分開量總壓和靜壓，只要把二者接在一根U形測壓計(jì)的兩支上，看二者的差（p0-p）就行了。速度V用Bernoulli方程計(jì)算：（在實(shí)際流動中由于有損失故左式還要乘上一個修正系數(shù)）風(fēng)速管的結(jié)構(gòu)氫氣泡顯示的來流在風(fēng)速管頭部滯止情況§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用直勻流對機(jī)翼的繞流

例.在海平面上，直勻流流過一個機(jī)翼，遠(yuǎn)前方直勻流的靜壓p＝p∞＝101200牛/米2，流速=100米/秒。已知A，B，C三點(diǎn)的速度分別是VA=0，VB=150米/秒，VC=50米/秒，空氣在海平面的ρ=1.255千克/米3

。假設(shè)流動無旋，求A、B、C三點(diǎn)的壓強(qiáng)。解:流動是無旋的，Bernoulli常數(shù)全流場通用。根據(jù)遠(yuǎn)前方的條件得：§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用這就是通用于全流場的常數(shù)。于是：§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用例:

有一種二維的繞其固定軸線的旋轉(zhuǎn)流動，其Vθ正比于半徑r，即Vθ=kr，如圖。試證Bernoulli常數(shù)C是r的函數(shù)。證:先沿著流線寫出Bernoulli方程

一種旋轉(zhuǎn)流動

對半徑取導(dǎo)數(shù)：§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用由于法向壓力差必須平衡微團(tuán)的離心力，故有

左側(cè)的第二項(xiàng)是AD面和BC面上的壓力在r向的投影。略去微量的高次項(xiàng)，得代入的式子，并將代入，得：一種旋轉(zhuǎn)流動

§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用Vθ=kr的速度分布就像剛體轉(zhuǎn)動一樣，可以證明這個流動是有旋流（ω=k），這個結(jié)果說明在有旋流場上，Bernoulli常數(shù)跨流線是要變的。§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用§2.4流體運(yùn)動的積分方程§2.4.1基本概念

流體動力學(xué)是研究產(chǎn)生流體運(yùn)動的原因。為此，我們必須解決三個方面的問題：（1）流體的運(yùn)動學(xué)問題；（2）作用于流體上各種力的特征；（3）控制流體運(yùn)動的普遍規(guī)律（質(zhì)量守恒、Newton第二定律（動量守恒）、動量矩守恒、能量守恒等）流體動力學(xué)方程是將這些描述物質(zhì)運(yùn)動的普遍規(guī)律，應(yīng)用于流體運(yùn)動的物理現(xiàn)象中，從而得到聯(lián)系流體運(yùn)動各物理量之間的關(guān)系式，這些關(guān)系式就是流體動力學(xué)的基本方程。如果關(guān)系式是以微分形式給出稱為微分方程（如前所述）。如果是以積分形式給出，稱為流體動力學(xué)積分方程，在流體動力學(xué)積分方程中，具體包括：（1）質(zhì)量方程（2）動量方程（3）動量矩方程------不講（4）能量方程------不講§2.4.1基本概念控制體（ControlVolume）：被流體所流過，相對于某個坐標(biāo)系而言，固定不變的任何體積稱為控制體?？刂企w的邊界，稱為控制面?？刂企w是不變的，但占據(jù)控制體的流體質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間是變化的?？刂企w的形狀可根據(jù)需要而定。§2.4.1基本概念xzyxyzs1s2n例如，F(xiàn)=ma，F(xiàn)指作用于控制體邊界面上所有作用于流體上外力的合力?？刂企w對應(yīng)Euler觀點(diǎn)，研究控制體內(nèi)流體各物理量的關(guān)系?？刂企w的基本特點(diǎn):（1）控制體的邊界相對于坐標(biāo)系而言是固定的；（2）在控制面上可以發(fā)生質(zhì)量交換，即流體可以流進(jìn)、流出控制面；（3）在控制面上受到外界作用于控制體內(nèi)流體上的力；（4）在控制面上存在能量的交換?！?.4.1基本概念下面我們考察如何將系統(tǒng)中的物理量N（可以是質(zhì)量、動量、動量矩、能量等等物理量）隨時(shí)間的變化率，用關(guān)于控制體的描述方法表達(dá)出來。所謂控制體分析方法，就是要把上述適用于流體系統(tǒng)的各物理定律用關(guān)于控制體的描述方法表達(dá)出來，而連系著系統(tǒng)分析方法和控制體方法之間的橋梁就是Reynolds輸運(yùn)方程。§2.4.2Reynolds輸運(yùn)方程則系統(tǒng)τ中的物理量N可以用下述體積分（三重積分）表示，其中τ是系統(tǒng)占據(jù)的空間：顯然，當(dāng)=1

時(shí)，N=m

代表系統(tǒng)的質(zhì)量；當(dāng)時(shí)，代表系統(tǒng)的動量；§2.4.2Reynolds輸運(yùn)方程對于系統(tǒng)τ中的物理量N，假設(shè)每單位質(zhì)量中含有物理量為σ：Reynolds輸運(yùn)方程:流體系統(tǒng)物理量N隨時(shí)間的增加率，等于控制體τ

內(nèi)的物理量隨時(shí)間的變化率加上凈流出控制面S

的物理量流量?！?.4.2Reynolds輸運(yùn)方程Reynolds輸運(yùn)方程將針對系統(tǒng)的表達(dá)轉(zhuǎn)化為針對控制體的表達(dá)，這在研究流動問題時(shí)帶來了極大方便。后者的表達(dá)往往容易寫出，尤其是在定常情況下，只需寫出流過控制面上的物理量流量：

當(dāng)=1

時(shí)，代表質(zhì)量流量；當(dāng)時(shí)，代表動量流量；§2.4.2Reynolds輸運(yùn)方程由質(zhì)量守恒：這就是積分形式的質(zhì)量方程。其意義為：控制體中質(zhì)量的增加率等于凈流入控制面的質(zhì)量流量。xyztτs1s2nEuler型積分方程是對控制體建立的積分方程。利用Reynolds輸運(yùn)方程，可很容易獲得。（1）質(zhì)量方程由Reynolds輸運(yùn)方程，取σ＝1，有§2.4.3Euler型積分方程由Reynolds輸運(yùn)方程，取，有：（2）動量方程由動量守恒原理得：意義為：控制體所受合外力等于控制體中動量的增加率加上凈流出控制面的動量流量。－積分形式動量方程§2.4.3Euler型積分方程積分形式質(zhì)量方程的應(yīng)用值得指出：質(zhì)量方程描述流體的質(zhì)量守恒條件，與流體是否受力無關(guān)，與流體屬性是否有粘性也無關(guān)。積分形式質(zhì)量方程不描述單獨(dú)點(diǎn)的細(xì)節(jié)，它用在控制體上，甚至允許控制體包含流動不連續(xù)的地方，例如以后要介紹的激波等處。§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用例：一段輸氣管道直徑150mm，在相距8m的兩個截面上同時(shí)量取數(shù)據(jù)，流入、流出的重量流量分別為2N/s和1.8N/s，問這段管道內(nèi)氣體的平均密度隨時(shí)間的變化率有多大？解：這是一個非定常問題，流入與流出流量不相等必然造成控制體內(nèi)質(zhì)量增加。取這段管道內(nèi)空間為控制體，由積分形式質(zhì)量方程：§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用例：一容積固定為τ

的容器裝滿鹽水，初始時(shí)刻密度為ρi，純水（設(shè)水密度為ρw

）流入容器并與其中鹽水充分混合，設(shè)流動定常，容器內(nèi)液位恒定，流入與流出的體積流量不變Q1＝Q2＝Q。求（1）容器內(nèi)液體混合物的密度變化率；（2）密度變?yōu)棣褧r(shí)（ρi>ρ>ρw）所需的時(shí)間。解（1）：劃容器內(nèi)部為控制區(qū)。由積分形式質(zhì)量方程：τ=常數(shù)ρwρ§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用解（2）：由上式：§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用關(guān)于積分形式質(zhì)量方程的進(jìn)一步討論：（1）當(dāng)密度等于常數(shù)時(shí)，ρ＝c(必然為不可壓)，由上式得：Q1S1S2Q2上述積分可用流入與流出的體積流量Q表為：或說明：當(dāng)密度等于常數(shù)時(shí)，流入控制體的體積流量與流出的體積流量相等§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用（2）當(dāng)流動為定?？蓧簳r(shí)，有：設(shè)質(zhì)量流量用表示，得到或說明當(dāng)流動定常時(shí)，流入控制體的質(zhì)量流量與流出的質(zhì)量流量相等。注意后一式表示流經(jīng)控制面任一截面的流量為常數(shù)?！?.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用說明：在密度不變的一維流動中，流管的粗細(xì)將反映流速小大。（3）對于一維流動，控制體如圖sV1V2ρ2ρ1A1A2

一維流動中，當(dāng)密度等于常數(shù)時(shí)，流入的體積流量等于流出的體積流量，可表為§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用

一維流動中，當(dāng)定?？蓧簳r(shí)，流入的質(zhì)量流量等于流出的質(zhì)量流量，可表為：說明：在定常一維可壓流動中，密度ρ、速度V與截面積A的乘積為常數(shù)。

對式取微分，可以得到定常一維流動質(zhì)量方程的微分形式：§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用積分形式動量方程的應(yīng)用

積分形式動量方程中的合外力指流體受到的所有形式的外力之和，可以包含徹體力、法向表面力和切向表面力，控制體中的物體對于流體的作用力也可以單獨(dú)考慮。一般來說有兩類控制體可供選擇：控制體將流過的物體也包括在內(nèi)，例如繞機(jī)翼的流動。物體不包括在所取控制體之內(nèi)，而物體的部分壁面構(gòu)成控制面的一部分，例如管道中的流動；§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用積分形式的動量方程用于定常、一維管流控制體時(shí)（如圖），可得：p1、ρ1、V1A1A2xyθ1θ2p2、ρ2、V2對于物體不包括在所取控制體之內(nèi)的情況，例如管道，應(yīng)用積分形式動量方程的目的主要是通過求流體受力來確定管道受到流體的反作用力。RxRy方程左端是控制體內(nèi)流體所受合力在相應(yīng)坐標(biāo)系的投影?！?.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用設(shè)兩端的壓強(qiáng)分別為p1、p2，管壁對流體的作用力為投影分別為Rx、Ry

，不計(jì)徹體力，從而動量方程可寫為（x方向）：即：管壁受力大小相等方向相反。當(dāng)求管壁所受純由流動引起的反作用力例如固定管道的螺栓受力時(shí)，由于大氣壓無合力可不考慮，上式中壓強(qiáng)用表壓。y方向同理得：§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用

將控制體外部取得離機(jī)翼足夠遠(yuǎn)，這樣即使翼面附近有粘性力，到了S面上也沒有粘性力了，只有壓力的作用，從而x方向表面力為：

對于如圖的控制體（機(jī)翼被包含在控制體之內(nèi)），主要目的是求物體（機(jī)翼）受力。我們將動量方程作些變換和說明，得到更常用的形式。設(shè)機(jī)翼受力在三個方向的分量為Fx、Fy和Fz。則控制體受力的三個分量為－Fx、－Fy和－Fz

。(n,x)np§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用控制體內(nèi)的x方向徹體力為：從而控制體內(nèi)x方向所受的合外力為：控制體內(nèi)x方向的動量隨時(shí)間變化率及凈流出控制面的動量流量為：注：連接S和S1雙層面上的面積分為0?！?.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用由動量守恒，得：同理：上述方程常常用于定常流動的氣體，此時(shí)式中的當(dāng)?shù)刈兓室豁?xiàng)等于零，且徹體力可以忽略?！?.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用例．有一種尾跡詳測法可以用來測量一個二維物體的型阻（型阻是由粘性直接和間接造成的物體動量法測型阻

p1、u1p2、u2解：取控制面S

如圖。在上游足夠遠(yuǎn)處氣體流基本上還沒有受到物體的影響還是直勻流。在下游一定距離處氣流的靜壓已經(jīng)和來流的靜壓沒有什么區(qū)別了，但尾跡區(qū)速度分布仍然受到影響如圖。阻力，例如摩擦阻力和壓差阻力）。我們來看一看要測哪些量，并怎樣使用積分形式的動量方程。§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用

上下兩根流線取在遠(yuǎn)離物體的地方，那里流速和靜壓都和原來的來流值一樣。在這個S面上作用的靜壓既然都是同一個值，那末壓力做面積分的結(jié)果必是零。上下兩根流線處沒有摩擦力。

設(shè)定常，不計(jì)徹體力，則計(jì)算翼型受到的阻力Fx只需計(jì)算越過控制面的動量流量：測出尾跡區(qū)σ中速度分布即可求出阻力?！?.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用§2.4環(huán)量與渦

§2.4.1環(huán)量與渦的概念研究流動的問題，還有兩面?zhèn)€極重要的概念，一個叫環(huán)量，一個叫做渦。速度環(huán)量：在流場中任取一條封閉曲線，速度沿該封閉曲線的線積分稱為該封閉曲線的速度環(huán)量。速度環(huán)量的符號決定于流場的速度方向和繞行方向規(guī)定積分時(shí)逆時(shí)針繞行方向?yàn)檎捶忾]曲線所包圍的區(qū)域總在行進(jìn)方向的左側(cè)。如果把一個速度向量分成三個坐標(biāo)軸方向的三個分量u,v,w,把線段ds也分解成dx,dy,dz三個方向的三個線段，有：沿曲線AB作速度的線積分沿閉曲線速度的線積分

于是環(huán)量表達(dá)式為：§2.4.1環(huán)量與渦的概念如果流動是無旋的，存在位函數(shù)Φ，那末上式中的u,v,w

都可以用Φ

的偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)：

說明在無旋流動中，沿著任意一條封閉曲線的速度環(huán)量均等于零。但是對有旋流動，上述結(jié)論并不成立，繞任意一條封閉曲線的速度環(huán)量一般不等于零。§2.4.1環(huán)量與渦的概念在三維流里，流體微團(tuán)可以有三個方向的角速度ωx,ωy,ωz,三者合為一個合角速度是：旋轉(zhuǎn)軸線都按右手定則確定。合角速度是個向量，它的三個方向余弦是ωx/ω,ωy/ω,ωz/ω。

渦量概念是指流場中任何一點(diǎn)微團(tuán)角速度之二倍，如平面問題中的2ωz

，稱為渦量，渦量是個純運(yùn)動學(xué)的概念。§2.4.1環(huán)量與渦的概念像流線一樣，在同一瞬時(shí)，如在流場中有一條曲線，該線上每一點(diǎn)的渦軸線都與曲線相切，這條曲線叫渦線。渦線的微分方程是（給定時(shí)刻，t為參量）：渦線給定瞬間，通過某一曲線（本身不是渦線）的所有渦線構(gòu)成的曲面稱為渦面。由封閉渦面組成的管狀渦面稱為渦管。渦面渦管§2.4.1環(huán)量與渦的概念渦量在一個截面上的面積分稱為渦通量，在平面問題中，渦通量就是：在三維空間問題中，渦通量就是：式中的S

是任意形狀空間曲面，γ是曲面上微面積dS的法線和ω的軸線之間的夾角。nγ空間問題的渦通量平面問題的渦通量渦線是截面積趨于零的渦管。渦線和渦管的強(qiáng)度都定義為繞渦線或渦管的一條封閉圍線的環(huán)量?！?.4.1環(huán)量與渦的概念在有旋流動中，速度環(huán)量與渦量存在著十分密切的聯(lián)系。為說明這個聯(lián)系，首先考察二維流場?！?.5.2環(huán)量與渦量的關(guān)系在二維流場中，任取封閉曲線，然后把該封閉曲線所圍成的面積用兩組坐標(biāo)的平行線分割成一系列微小面積，做每一塊微小面積的速度環(huán)量并求和，得到總的速度環(huán)量。對于微元ABCD，速度環(huán)量為§2.5.2環(huán)量與渦量的關(guān)系繞整個封閉曲線的速度環(huán)量為（上圖中微元矩形塊的重合部分做線積分時(shí)因正負(fù)號相反而相消）上式即為二維問題中的格林公式。表明：沿平面上一封閉圍線l做速度的線積分，所得的環(huán)量等于曲線所圍面積上每個微團(tuán)角速度的2倍乘以微團(tuán)面積之和，即等于通過面積S的渦通量?！?.5.2環(huán)量與渦量的關(guān)系如果圍線內(nèi)沒有渦通量，那末沿圍線的環(huán)量必是零。如果把圍線放大一些，盡管面積放大了，但只要包進(jìn)去的面積里沒有渦通量，那么環(huán)量值并不會改變。沿任何圍線只要速度環(huán)量等于零，就說明圍線內(nèi)無渦通量。推廣到三維空間中的封閉曲線L上，計(jì)算的速度環(huán)量仍等于二倍角速度乘圍線所包的面積，但這面積應(yīng)取其在與渦線相垂直的平面上的投影值。沿一塊有限大的曲面S的圍線L的環(huán)量仍等于S面上各點(diǎn)的二倍角速度與面積點(diǎn)積：§2.5.2環(huán)量與渦量的關(guān)系展開即：§2.5.2環(huán)量與渦量的關(guān)系其實(shí)這就是是斯托克斯公式，描述曲線積分與曲面積分之間的關(guān)系。三維流中環(huán)量與渦的關(guān)系

nγ表明：沿空間封閉曲線L

的環(huán)量，等于穿過張?jiān)贚上任意曲面S上的渦通量，渦通量的數(shù)值與所張的曲面形狀無關(guān)，只跟圍線所包含的渦量有關(guān)，無旋時(shí)渦通量為零從而沿封閉曲線的速度環(huán)量也為零。對于無旋流動還有：說明位函數(shù)差的意義是沿線段的速度線積分?！?.5.2環(huán)量與渦量的關(guān)系一條強(qiáng)度為Γ的渦線的一段dS對線外的一點(diǎn)P會產(chǎn)生一個誘導(dǎo)速度，情況正像電流會產(chǎn)生磁力的一樣。表達(dá)渦段所產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度的公式是：

渦與誘導(dǎo)速度§2.5.2環(huán)量與渦量的關(guān)系這個dV是一個垂直于線段dS與受擾點(diǎn)P所組成的平面的速度（如圖），其值正比于渦強(qiáng)Γ和渦段長度dS，但反比于距離r的平方，另外還要乘上r與ds的夾角的θ的正弦。這個公式在形式上和電磁學(xué)的電磁感應(yīng)的比奧—薩瓦公式一樣，仍叫比奧—薩瓦公式?；颍骸?.5.2環(huán)量與渦量的關(guān)系現(xiàn)在把一條強(qiáng)度為Γ的直渦線對線外一點(diǎn)所產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度寫一下。參看下圖。AB是渦線，P為線外一點(diǎn)，P到AB的距離是h。令任意微段ds與P的連線和AB垂線PN之間夾角為γ，則直線渦的誘導(dǎo)速度ds§2.5.2環(huán)量與渦量的關(guān)系ds再令PA與AB的