彎曲應(yīng)力 材料力學(xué)

第7章彎曲應(yīng)力及彎曲強(qiáng)度計(jì)算

7.1純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力7.2彎曲切應(yīng)力7.4提高梁的彎曲強(qiáng)度的措施7.3彎曲梁的強(qiáng)度計(jì)算7.1純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力

7.1.1純彎曲概念

FFaaFaMo+純彎曲：橫截面上只有彎矩M

沒有剪力剪切彎曲

各橫截面上既有彎矩M

又有剪力FQ7.1.2實(shí)驗(yàn)觀察與假設(shè)

（1）梁變形后，橫向線段I-I和II-II還是直線，它們與變形后的軸線仍然垂直，但傾斜了一個(gè)小角度dθ。（2）縱線ab縮短了，而縱線cd伸長(zhǎng)了

平面假設(shè)：橫截面在變形前為平面，變形后仍為平面，且仍垂直于變形后梁的軸線，只是繞橫截面上某個(gè)軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。梁的各縱向纖維都是受到軸向拉伸和壓縮的作用，因此橫截面上只有正應(yīng)力。+FaFaFQo彎曲應(yīng)力1122cabd1122cabdMMMM7.1.3正應(yīng)力計(jì)算公式中性層：構(gòu)件內(nèi)部既不伸長(zhǎng)也不收縮的纖維層。彎曲應(yīng)力中性軸：橫截面與中性層的交線。中性層橫截面中性軸1.幾何關(guān)系MM1.幾何方面彎曲應(yīng)力m2n2sysLyO1O2ra2'dxn2m2n1m1O曲率中心n2dxn1m1m2ya1ya2e1O1O2e2x中性層z中性軸y對(duì)稱軸oa2a1ydqdldqxe2e12.物理關(guān)系(虎克定律)彎曲應(yīng)力3.靜力學(xué)關(guān)系dAyz(中性軸)xzyOsdAM即中性軸通過截面形心②梁的上下邊緣處，彎曲正應(yīng)力取得最大值—抗彎截面模量。

純彎曲梁橫截面上的應(yīng)力(彎曲正應(yīng)力)：

①距中性層y處的應(yīng)力三、最大彎曲正應(yīng)力EIz：抗彎剛度橫截面上正應(yīng)力的畫法：

MsminsmaxMsminsmax彎曲應(yīng)力

①線彈性范圍—正應(yīng)力小于比例極限sp；②精確適用于純彎曲梁；

③對(duì)于橫力彎曲的細(xì)長(zhǎng)梁(跨度與截面高度比L/h>5)，上述公式的誤差不大，但公式中的M應(yīng)為所研究截面上的彎矩，即為截面位置的函數(shù)。公式適用范圍：1.矩形截面三種典型截面對(duì)中性軸的慣性矩2.實(shí)心圓截面

3.截面為外徑D、內(nèi)徑d(a=d/D)的空心圓:

例7-1一空心矩形截面懸臂梁受均布載荷作用，如圖所示。已知梁跨長(zhǎng)l=1.2m,均布載荷集度q=20kN/m，橫截面尺寸為H=12cm，B=6cm，h=8cm，b=3cm。試求此梁外壁和內(nèi)壁的最大正應(yīng)力

解：（1）作彎矩圖，求最大彎矩

（2）計(jì)算橫截面的慣性矩

(3)計(jì)算應(yīng)力

qlbBHh彎曲應(yīng)力例7-2一受集中載荷的簡(jiǎn)支梁，由18號(hào)槽鋼制成，如圖所示。已知梁的跨長(zhǎng)l=2m，F(xiàn)=5kN,求此梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。

ABCF解：（1）作彎矩圖，求最大彎矩

在梁中點(diǎn)截面上的彎矩最大

（2）求截面的慣性矩及有關(guān)尺寸

Iz=111cm4

橫截面上邊緣及下端至中性軸的距離分別為

（3）計(jì)算最大應(yīng)力

危險(xiǎn)截面的彎矩為正，截面下端受最大拉應(yīng)力

=截面上緣受最大壓應(yīng)力

彎曲應(yīng)力例

如圖所示懸臂梁，自由端承受集中載荷F=15kN作用。試計(jì)算截面B--B的最大彎曲拉應(yīng)力與最大彎曲壓應(yīng)力。

解：1．確定截面形心位置選參考坐標(biāo)系z(mì)’oy如圖示，將截面分解為I和II兩部分，形心C的縱坐標(biāo)為:2．計(jì)算截面慣性矩彎曲應(yīng)力2012020120單位：mmIII3計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力截面B—B的彎矩為:

在截面B的上、下邊緣，分別作用有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，其值分別為：彎曲應(yīng)力

7.2

彎曲切應(yīng)力7.2.1矩形截面梁彎曲應(yīng)力n1m'n'2m1'ze11'1'11ye2e1x2112dxBAyyxdxxM+dMMFSFSss+dst'mnmm'dxtyt'AOyzbhtmaxyOt代入切應(yīng)力公式：切應(yīng)力t呈圖示的拋物線分布，在最邊緣處為零在中性軸上最大，其值為：—平均切應(yīng)力

彎曲應(yīng)力xdx7.2.2工字形截面梁腹板上任一點(diǎn)處的可直接由矩形梁的公式得出：式中：b為腹板厚度彎曲應(yīng)力中性軸處最大切應(yīng)力腹板與翼板交接處，切應(yīng)力最小若b遠(yuǎn)小于B，則最大切應(yīng)力與最小切應(yīng)力，近似相等，對(duì)腹板上切應(yīng)力可視為均勻分布。7.2.3圓形截面梁式中：A為圓截面面積對(duì)于等直桿，最大切應(yīng)力的統(tǒng)一表達(dá)式為：彎曲應(yīng)力例7-3由木板膠合而成梁如圖，求膠合面上沿x軸單位長(zhǎng)度內(nèi)剪力膠合面解：取長(zhǎng)dx

微段，再?gòu)奈⒍沃腥∑椒拍景錗M+dMFQdxxpqsrdxqxdxqFN1FN2psr可得7.3彎曲梁的強(qiáng)度計(jì)算

7.3.1彎曲梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算

材料的拉壓強(qiáng)度相等時(shí)，梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為抗拉和抗壓強(qiáng)度不等的材料（如鑄鐵）則拉、壓的最大應(yīng)力不超過各自的許用應(yīng)力

例7-4

某單梁橋式吊車如圖所示，跨長(zhǎng)l=10mm，起重量（包括電動(dòng)葫蘆自重）為G=30kN，梁由№28號(hào)工字鋼制成，材料的許用應(yīng)力[σ]=160MPa，試校核該梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。

解：(1)畫計(jì)算簡(jiǎn)圖

將吊車橫梁簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，梁自重為均布載荷q

№28號(hào)工字鋼

(2)畫彎矩圖

（3)校核彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度

№28號(hào)工字鋼

此梁的強(qiáng)度足夠。

例7-5

螺栓壓板夾緊裝置如圖所示。已知板長(zhǎng)3a=150mm，壓板材料的彎曲許用應(yīng)力為[σ]=140MPa。試確定壓板傳給工件的最大允許壓緊力F。

解：壓板可簡(jiǎn)化為圖所示的外伸梁

作彎矩圖如圖所示。最大彎矩在截面B上

MFaMB==max例7-6

T形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖所示。鑄鐵的抗拉許用應(yīng)力為[σT]=30MPa，抗壓許用應(yīng)力為[σc]=160MPa。已知截面對(duì)形心軸z的慣性矩為Iz=763cm3，且y1=52mm。試校核梁的強(qiáng)度

解：支座反力為

作彎矩圖如圖所示

最大正彎矩在截面C上

最大負(fù)彎矩在截面B上

在截面B上，彎矩為負(fù)，最大拉應(yīng)力發(fā)生于上邊緣各點(diǎn)

最大壓應(yīng)力發(fā)生于下邊緣各點(diǎn)

在截面C上，彎矩為正，最大拉應(yīng)力發(fā)生于下邊緣各點(diǎn)，而這些點(diǎn)到中性軸的距離卻比較遠(yuǎn)，因而就有可能發(fā)生比截面B還要大的拉應(yīng)力。強(qiáng)度條件滿足

CABD801202020y1y2+一4kN·m2.5kN·mxMO例

圖示圓截面軸AD，中段BC承受均布載荷q=1kN/m，許用應(yīng)力[σ]=140MPa。試確定軸徑。彎曲應(yīng)力解：軸計(jì)算簡(jiǎn)圖及彎矩圖如圖由強(qiáng)度條件得代入數(shù)據(jù)得：d1=321mm，d2=248mm?。篸1=320mm，d2=250mm例

T形截面鑄鐵外伸梁，均布載荷q=25N/mm，截面形心離底邊及頂邊分別為y1=45mm與y2=95mm，慣性矩Iz=8.84×104m4，許用拉應(yīng)力[σt]=35MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=140MPa，試校核強(qiáng)度。彎曲應(yīng)力解：1.危險(xiǎn)截面與危險(xiǎn)點(diǎn)判斷作彎矩圖如圖危險(xiǎn)截面為D與B截面二截面應(yīng)力分布如圖危險(xiǎn)點(diǎn)可能為a、b、c三點(diǎn)2.強(qiáng)度校核強(qiáng)度滿足要求例

簡(jiǎn)易起重機(jī)，工字鋼制成，載荷F=20kN，并可沿軸移動(dòng)（0<η<l），試選擇工字鋼型號(hào)。已知梁跨度l=6m，許用應(yīng)力[σ]=100MPa，許用切應(yīng)力[τ]=60MPa。彎曲應(yīng)力解：1.內(nèi)力分析載荷位于梁中點(diǎn)時(shí)，彎矩最大載荷靠近支座時(shí)，剪力最大2.按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度選擇截面查表3.校核梁的剪切強(qiáng)度選擇NO22a工字鋼可同時(shí)滿足要求彎曲應(yīng)力

例

已知16號(hào)工字鋼Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，[s]=160MPa，E=210GPa，在梁的下邊緣C點(diǎn)沿軸向貼一應(yīng)變片，測(cè)得C點(diǎn)軸向線應(yīng)變,求F并校核梁正應(yīng)力強(qiáng)度。CNO.16FAB例T形梁尺寸及所受荷載如圖所示,已知[s]y=100MPa，[s]L=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左側(cè)截面E點(diǎn)的正應(yīng)力、切應(yīng)力；2)校核梁的正應(yīng)力、切應(yīng)力強(qiáng)度條件。CAB40401010yc1FQ0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_彎曲應(yīng)力該梁滿足強(qiáng)度要求7.3.2橫力彎曲梁的切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算

彎曲切應(yīng)力的強(qiáng)度條件為滿足彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的梁一般說都能滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。在下述一些情況下要進(jìn)行梁的彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度校核：（1）梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷，以致梁的彎矩較小而剪力頗大；（2）鉚接或焊接的工字梁，如腹板較薄而截面高度頗大以致厚度與高度的比值小于型鋼的相應(yīng)比值，這時(shí)，對(duì)腹板應(yīng)進(jìn)行剪應(yīng)力校核；（3）經(jīng)焊接、鉚接或膠合而成的梁，對(duì)焊縫、鉚釘或膠合面等，一般要進(jìn)行剪切計(jì)算。

CABz+一一例7-7

外伸梁如圖所示，外伸端受集中力F的作用，已知F=200kN，l=0.5m，a=0.3m，材料的許用正應(yīng)力[σ]=160MPa，許用剪應(yīng)力[τ]=100MPa，試選擇工字鋼型號(hào)。

解：(1)畫剪力圖和彎矩圖

(2)由正應(yīng)力強(qiáng)度條件，初選工字鋼型號(hào)

依據(jù)，Wz=375cm3查型鋼表得，№25a號(hào)工字鋼：

(3)校核切應(yīng)力強(qiáng)度

梁的切應(yīng)力強(qiáng)度不夠

（4）

按切應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇工字鋼型號(hào)

選定工字鋼型為№25b7.4提高梁的彎曲強(qiáng)度的措施

彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

提高梁的承載能力應(yīng)從兩個(gè)方面考慮，一方面是合理安排梁的受力情況，以降低Mmax的數(shù)值；另一方面則是采用合理的截面形狀，以提高的數(shù)值Wz，充分利用材料的性能。

7.4.1合理安排梁的受力情況

合理布置梁的支座

合理布